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HYPERBOLE

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À l'origine apparaissant en volume V14, page 199 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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HYPERBOLE , une See also:

section conique, se composant de deux branches ouvertes, chacune se prolongeant à l'See also:infini. Il peut être défini de plusieurs manières. Dans la définition de solido comme section d'un cône en un See also:avion à moins de inclination à l'See also:axe que See also:le générateur apporte hors de l'existence See also:des deux branches infinies si nous imaginons le cône pour être doubles et pour nous prolonger à l'infini. Dans la définition See also:plate, c.-à-d. en tant que conique ayant une unité plus grande que d'excentricité, est un See also:point de départ commode pour la See also:recherche euclidienne. Dans la géométrie projective elle peut être définie en tant que conique à qui intersecte la See also:ligne à l'infini dans deux vrais See also:points, ou à ce qui il est possible de tirer deux vraies tangentes du centre. Analytiquement, il est défini par une équation du deuxième degré, duquel See also:les See also:limites les plus élevées ont de vraies racines (voir la SECTION CONIQUE). Tout en ressemblant à la parabole en se prolongeant à l'infini, la courbe a les affinités les plus étroites à l'See also:ellipse. Ainsi elle a un vrai centre, deux foyers, deux directrices et deux sommets; l'axe transversal, joignant les sommets, correspond à l'axe See also:principal de l'ellipse, et la ligne par le centre et la perpendiculaire à cet axe s'appelle l'axe conjugué, et correspond à l'axe See also:mineur de l'ellipse; au sujet de See also:ces haches la courbe est symétrique. La courbe ne semble pas intersecter l'axe conjugué, mais l'introduction des imagmaries nous permet de le considérer comme couper cet axe dans deux points irréels. Appelant les foyers S, S ', les vrais sommets A, A ', les extrémités 199 de l'axe conjugué B, B 'et le centre C, les positions de B, B 'sont données par See also:AB=ab'=cs. Si un rectangle soit construit au sujet du aa 'et du BB ', les diagonales de See also:cette figure sont les "asymptotes" de la courbe; elles sont les tangentes du centre, et par conséquent touchent la courbe à l'infini. Ces deux See also:lignes peuvent être décrites dans dans la définition de solido comme section d'un cône en un avion par son See also:sommet et parallèle à l'avion produisant de l'hyperbole.

Si les asymptotes soient perpendiculaires, ou, en d'autres termes, le principal que les haches soient égale, la courbe s'appelle l'hyperbole rectangulaire; L'hyperbole qui a pour ses haches transversales et conjuguées les haches transversales et conjuguées d'une autre hyperbole serait l'hyperbole conjuguée. Quelques propriétés de la courbe seront brièvement énoncées: Si le PN soit l'ordonnée du point P sur la courbe, le aa 'les sommets, le X le See also:

rassemblement du directrix et l'axe et le C le centre, puis PN2: See also:AN.na ': SX2: AX.a'x, c.-à-d. PN2 est à AN.na 'dans un rapport constant. Le See also:cercle sur le aa 'comme diamètre s'appelle auxiliarly le cercle; évidemment AN.na 'égale la See also:place de la tangente à ce cercle de N, et par conséquent le rapport du PN à la tangente auxiliarly au cercle de N égale le rapport de l'axe conjugué au transversal. Nous pouvons observer que les asymptotes intersectent ce cercle dans les mêmes points que les directrices. Une propriété importante est: la différence des distances focales de n'importe quel point sur la courbe égale l'axe transversal. La tangente à un point quelconque bissecte l'See also:angle entre les distances focales du point, et la normale est également inclinée aux distances focales. En outre auxiliarly le cercle est le See also:lieu des pieds des perpendiculaires des foyers sur n'importe quelle tangente. Deux tangentes de n'importe quel point sont également inclinées à la distance focale du point. Si la tangente au rassemblement de P l'axe conjugué dans t, et le transversal dans N, puis Ct. PN = BC2; pareillement si See also:g et G soient les intersections correspondantes de la normale, See also:PAGE: Page: BC2: AC2. Un diamètre est une ligne par le centre et terminée par la courbe: il bissecte toutes les See also:cordes parallèles aux tangentes à ses extrémités; le diamètre parallèle à ces cordes est son diamètre conjugué. N'importe quel diamètre est un See also:moyen proportionnel entre l'axe transversal et la See also:corde focale parallèles au diamètre. N'importe quelle ligne a découpé des distances égales entre la courbe et les asymptotes.

Si la tangente à P rencontre les asymptotes dans R, R ', puis See also:

CR.cr '= CS2. La géométrie de l'hyperbole rectangulaire est simplifiée par le fait que ses See also:principales haches sont égales. Analytiquement l'hyperbole est donnée par axe+zhxy+bye+2gx+ 2fy+c=o où ab>h2. S'est rapporté au centre que ceci devient Axe+2Hxy+By2+C=o; et si les haches des coordonnées soient les principales haches de la courbe, l'équation est encore simplifiée à Ax2-By2=C, ou si l'axe semi-transversal soit a, et semi-conjuguent b, x2/See also:a2-y2/b2=1. C'est la See also:forme le plus généralement utilisée. Dans l'a=b rectangulaire d'hyperbole; par conséquent son équation isx2-y2=o. Les équations aux asymptotes sont x/a = * y/b et x = * y respectivement. S'est rapporté aux asymptotes comme les haches l'équation générale devient xy=k2; évidemment les haches sont obliques dans l'hyperbole générale et rectangulaires dans l'hyperbole rectangulaire. Les valeurs du k2 constant sont 1(a2+b2) et à2 respectivement.

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