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THÉORÈME FONDAMENTAL

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À l'origine apparaissant en volume V11, page 691 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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See also:

Le See also:croix-rapport FON DAMENTAL de THEOREM.The de quatre See also:points dans une See also:ligne est égal au croix-rapport de leurs projections sur n'importe quelle autre ligne qui se situe dans le même See also:avion avec lui. § 14. Avant que nous tirions See also:des conclusions de ce résultat, nous devons étudier la signification d'un croix-rapport légèrement plus entièrement. Si quatre points de A, B, C, D sont indiqués, et nous souhaitons former leur croix-rapport, nous avons d'abord pour See also:les diviser en deux groupes de deux, les points dans chaque See also:groupe étant pris dans une commande See also:ferme. laissez ainsi A, B soit le See also:premier, le C, le D la deuxième paire, le A et le C étant les premiers points dans chaque paire. Le croix-rapport est alors le rapport See also:AC:cb divisé par See also:AD: DB. Ceci sera dénoté près (See also:ab, CD), de sorte que (ab, CD) = on se rappelle facilement CB:acaddb ceci. Afin de l'écrire dehors, faites d'abord les deux See also:lignes pour les fractions, et See also:mettez au-dessus et au-dessous de See also:ces derniers les lettres A et B dans leurs endroits, ainsi, P'B: PIB; et remplissez alors vers le haut, en See also:travers, premier par C et l'autre par D. § 15. Si nous prenons les points dans un See also:ordre différent, la valeur du croix-rapport changera. Nous pouvons faire ceci de vingt-quatre manières différentes en formant toutes les permutations des lettres. Mais ces de vingt-quatre croix-rapports les groupes de quatre sont égaux, de sorte qu'il y ait vraiment seulement six ceux différents, et ces six sont des reciprocals dans les paires.

Nous avons les règles suivantes: I. Si dans un croix-rapport les deux groupes soient échangés, sa valeur See also:

demeure inchangée, c.-à-d.. (ab, CD) = (CD, ab) au sujet de (See also:BA, C.c) = (C.c, BA). II. Si dans un croix-rapport les deux points appartenant à un des deux groupes soient échangés, le croix-rapport change en son réciproque, c.-à-d.. (ab, CD) = I/(ab, C.c) = i/(BA, CD) = I/(cd, BA) = 'CDA, ab). Le I. et II. nous voyons de que huit croix-rapports sont associés à (ab, CD). [ § i6. Si le X. = (ab, CD), le A = (C.a., DB), les v = (See also:ANNONCE, AVANT JÉSUS CHRIST), puis le A, à, les v et leurs reciprocals i/A, I/µ, qv sont les valeurs de tout le nombre de vingt-quatre croix-rapports. D'ailleurs, A, le Ti, v sont reliés par les relations P 'A-i-Iiµ=, s+I/v=v+IIA = Aµv = 1; See also:cette proposition peut être Droved en remplaçant A, est, v andreducing à une origine See also:commune. Il y a donc quatre équations entre trois inconnus; par conséquent si un croix-rapport soit donné, le vingt-trois restant sont déterminé. D'ailleurs, deux des quantités A, le µ, v sont positifs, et l'un négatif restant.

L'See also:

arrangement suivant See also:montre les vingt-quatre croix-rapports exprimés en termes d'A, est, v. ] (AB, CD) = (AB, C.c) = (BA, CD). Pour quatre points harmoniques les six croix-rapports deviennent deux égaux et deux: A=i, ia=2, ai=2, = I, IIA, Ar1=2. Par conséquent si nous obtenons quatre points dont le croix-rapport est 2 ou, alors ils sont harmoniques, mais non disposé de sorte que des conjugés soient appareillés. Si c'est le See also:cas le croix-rapport = le I. § 19. Si nous égalisons n'importe quels deux des six valeurs ci-dessus des croix-rapports, nous obtenons ou X = I, o, oo, ou X = -1, 2, 1, ou bien A devient une See also:racine de l'équation AÀ+i = o, c.-à-d., une racine de See also:cube imaginaire de I. dans ce cas-ci les six valeurs deviennent l'égale trois et trois, de sorte que seulement deux valeurs différentes demeurent. Ce cas, cependant important dans la théorie de courbes cubiques, est pour nos buts sans intérêt, tandis que les points harmoniques sont tout-importants. § 20. De la définition 'des points harmoniques, et par l'aide du § j'I, les propriétés suivantes suis facilement déduit. En ce qui concerne si C et D sont les conjugés harmoniques A et B, puis un d'eux des mensonges dedans, l'autre sans ab; il est impossible de déplacer d'A à B sans passer par C ou par D; celui bloque la manière finie, l'autre la voie par l'See also:infini. Ceci est exprimé par en disant A et B "sont séparés" C et D. Pour chaque position de C il y See also:aura un et seulement un See also:point D qui est son conjugé harmonique en ce qui concerne n'importe quelle paire A de point, B.

Si A et B sont différents points, et avec si C coïncide A ou B, D . Mais si A et B coïncident, un des points C ou D, se trouvant entre eux, coïncide avec eux, et l'autre peut être aligné n'importe où en. Il suit que, "si de quatre conjugés harmoniques deux - coïncidez, alors un tiers coïncide avec eux, et le See also:

quart peut être n'importe quel point dans la ligne." Si C est le point See also:moyen entre A et B, alors D est le point à l'infini; pour le C.a.: CB=+1, par conséquent AD:db doit être égal à I. Le conjugé harmonique du point à l'infini dans une ligne en ce qui concerne deux points de A, B est le point moyen d'ab. Cette propriété importante donne un premier exemple comment des propriétés métriques sont reliées à les projectives. [ § 21. Propriétés harmoniques du quadrilatère et du quadrilatère complets. (ab, CD) '(C.a., DB) '(C.c CD) - un tµ I/(Iv) (CB CA I(X 1)/v A, 'BD) (C.c, BA), (DB, C.a.) _ (ab, C.c) '(ANNONCE, BC)1 (BA, CD). Ti d'IjA IJ(i) C, ab) Bv (l(µI) de ~ I)/a t+ A) I(bc, ad), d (CB, DA) (DA, CB) J L (C.a., BD) '(ANNONCE, CB) (BD, C.a.) 1 µ de A v/(v1) (AVANT JÉSUS CHRIST, DD)~) Iµ -- I)/i I/V (DB) (DA, AVANT JÉSUS CHRIST) A/(a '(DB,.. § 17. Si un des points desquels un croix-rapport est formé est le point à l'infini dans la ligne, le croix-rapport change en rapport See also:simple. Il est commode a laissé le point à l'infini occuper le dernier See also:endroit dans l'expression symbolique pour le croix-rapport. Ainsi s'I est un point à l'infini, nous avons (ab, ci) = AC/cb, parce qu'cAi: IB = I.

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