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CRAYON DE

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À l'origine apparaissant en volume V11, page 706 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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CRAYON DU § 87 DE CONICS. Par quatre See also:points de A, B, C, D dans un See also:avion, duquel See also:le See also:mensonge du non trois dans une See also:ligne, un nombre See also:infini de conics peut être dessiné, à savoir par See also:ces quatre points et tout un cinquième conique See also:simple. Ce système de conics s'appelle un crayon de conics. De même, tout le conics touchant quatre a fixé la See also:forme de See also:lignes un système tels que n'importe quelle cinquième tangente détermine un et seulement un coniques. Nous avons ici See also:les théorèmes: Les paires de points dans lesquels les paires de tangentes que n'importe quelle ligne est coupé par un système de de pouvoir être tiré d'un See also:point au conics par quatre points fixes un système de conics touchant quatre sont alignées en fixés par involution sont dans l'involution. Nous prouvons le See also:premier théorème seulement. Laissez ABCD (fig. 36) soit le quatre-point, alors n'importe quelle ligne t coupera C.a. opposé de deux côtés, BD dans les points E, E ', l'cAnnonce de paire, AVANT JÉSUS CHRIST dans les points F, F ', et tous les coniques du système en M, N, et nous ont A(cd, See also:MN)=b(cd, manganèse). Si nous coupons ces crayons par t nous obtenons (EF, MN)=(f'e ', manganèse) ou (EF, manganèse) = (E'F ', NM). Mais c'est, selon le § 77 (7), l'état que M, N sont les points correspondants dans l'involution déterminée par les paires E, E de point ', F, F 'dans ce que la ligne t See also:coupe See also:des paires de côtés opposés du quatre-point ABCD. See also:Cette involution est indépendante du conique See also:particulier choisi. § 88.

Là suivent plusieurs théorèmes importants: Par quatre points on ne peut dessiner deux, un, ou aucun conics qui touchent n'importe quelle ligne indiquée, selon que l'involution déterminée par le quatre-point donné sur la ligne a de vrais, coïncidents ou imaginaires foyers. On ne peut dessiner deux, un, ou aucun conics qui touche quatre lignes données et traverse un point donné, selon que l'involution déterminée par le quatre-côté donné au point a de vrais, coïncidents ou imaginaires rayons focaux. Pour les quatre points traversants coniques qui touche une ligne donnée a son point de See also:

contact à un centre de l'involution déterminée par le quatre-point sur la ligne. Comme un See also:cas spécial que nous obtenons, en prenant la ligne à l'infini: Par quatre points desquels aucun n'est à l'infini deux ou aucunes paraboles peut être dessiné. Le problème de dessiner des quatre points traversants coniques et de toucher une ligne donnée est résolu en déterminant les points de contact sur la ligne, c.-à-d., en déterminant les centres de l'involution dans laquelle la ligne coupe les côtés du quatre-point. La remarque correspondante se tient pour le problème de dessiner le conics qui touchent quatre lignes et traversent un point donné. correspondant qui rencontrent l'avion r dans le même point ou dans dans le premier cas le point de contact serait hyperbolique, dans la même ligne. Dans ce cas-ci chaque avion par les centres SI et le S2 des deux crayons correspondra à lui-même. Si ces crayons sont introduits dans n'importe quelle autre position ils seront projectifs (mais pas See also:perspective). La See also:correspondance entre deux crayons projectifs est uniquement déterminée, si à quatre rayons (ou à avions) dans celui les rayons correspondants (ou les avions) dans l'autre sont donnés, à condition que aucuns trois rayons de mensonge non plus réglé dans un avion. Laissez a, b, c, d soit quatre rayons dans celui, ', b ', c ', d 'que la correspondance rayonne dans l'autre crayon. Nous prouverons que nous pouvons trouver pour chaque See also:rayon e dans le premier un rayon correspondant simple e 'dans la seconde. Au crayon axial a (b, c, d...) constitué par les avions qui joignent a à b, c.d..., correspond respectivement le crayon axial '(b ', c ', d '...), et cette correspondance est déterminée. Par conséquent, l'avion un 'e 'qui correspond aux ae plats est déterminé. De même le b'e See also:plat 'peut être trouvé et tous les deux déterminent ensemble le rayon e '. De même la correspondance entre deux crayons réciproques est déterminée si pour quatre rayons dans celui les avions correspondants dans l'autre sont donnés. § 93.

Nous pouvons maintenant combiner le §. deux crayons réciproques. Chaque rayon coupe son avion correspondant dans un point, le See also:

lieu de ces points est, une See also:surface See also:quadrique. 2. Deux crayons projectifs. Chaque avion coupe son avion correspondant dans une ligne, mais un rayon en règle générale ne coupe pas son rayon correspondant. Le lieu des points où un rayon coupe son rayon correspondant est un cubique See also:tordu. Les lignes où un avion coupe son avion correspondant sont des sécantes. 3. Trois crayons projectifs. Le lieu de l'intersection des avions correspondants est une surface cubique. De ces derniers nous considérons seulement les deux premiers cas. § 94.

Si deux crayons sont réciproques, alors à un avion dans l'un ou l'autre correspond une ligne dans l'autre, à un crayon plat un crayon axial, et ainsi de See also:

suite. Chaque ligne coupe son avion correspondant dans un point. Si le SI et le S2 soient les centres des deux crayons, et P soit un point où Al de ligne dans le premier coupe son avion correspondant See also:a2, alors la ligne b2 dans le crayon S2 que les passages par P rencontreront son avion correspondant t31 en P. See also:For b2 est une ligne dans l'avion a2. Le tai plat correspondant doit donc passer par See also:Al de ligne, par conséquent par P. Les points dans lesquels les lignes dans le SI coupent les avions correspondant à eux dans S2 sont donc identiques aux points dans lesquels les lignes dans S2 coupent les avions correspondant à eux en See also:silicium. Le lieu de ces points est une surface qui est coupée en un avion dans un conique ou dans une ligne-paire et par une ligne dans pas plus de deux points à moins qu'elle se trouve tout à fait sur la surface. La surface elle-même s'appelle donc une surface quadrique, ou une surface du deuxième See also:ordre. Pour prouver ceci nous considérons n'importe quelle ligne p dans l'See also:espace. Le crayon plat dans le SI que les mensonges dans l'avion dessiné par p et le crayon axial correspondant dans S2 déterminent sur des rangées projectives de p deux, et ces points dans ces derniers qui coïncident avec leurs points correspondants se trouvent sur la surface. Mais là existent seulement deux, ou un, ou aucun tels points, à moins que chaque point coïncide avec son point correspondant. Dans le dernier cas la ligne se trouve tout à fait sur la surface.

Ceci prouve également qu'un avion coupe la surface dans une courbe du deuxième ordre, car aucune ligne ne peut avoir plus de deux points en See also:

commun avec lui. Pour prouver que c'est une courbe de la même sorte que ceux ont considéré avant, nous devons prouver qu'elle peut être produite par les crayons plats projectifs. Nous prouvons d'abord que See also:cela vaut pour n'importe quel avion par le centre d'un des crayons, et après que chaque point sur la surface peut être pris comme centre d'un tel crayon. Alors laissé a1 soit un avion par le silicium au crayon plat dans le SI qu'il contient correspond dans S2 un crayon axial projectif à l'See also:axe a2 et ceci coupe a1 dans un deuxième crayon plat. Ces deux crayons plats dans a1 ne sont projectifs, et, en général, ni concentrique ni la perspective. Ils produisent donc d'un conique. Mais si la ligne ¢2 traverse le SI les crayons auront le SI en tant que centre commun, et peuvent donc n'avoir deux, ou une, ou aucune lignes unies à leurs lignes correspondantes. La See also:section de la surface par Al plat sera en conséquence une ligne-paire ou une ligne simple, ou bien Al plat See also:aura seulement le point SI en commun avec la surface. Chaque See also:Li de ligne par le SI coupe la surface dans deux points, à savoir d'abord dans le SI et puis au point où il coupe son avion correspondant. Si maintenant l'avion correspondant traverse le SI, comme dans le cas juste considéré, alors les deux points où le Li coupe la surface coïncident au silicium, et à la ligne s'appelle une tangente sur la surface avec le SI comme point de contact. Par conséquent si 11 soient une tangente, il se situe dans cet avion r1 qui correspond à la ligne S2S1 comme ligne dans le crayon S2. La section de cet avion a été juste considérée.

Elle suit cela, toutes les tangentes sur la surface quadrique au centre d'un des crayons réciproques se situent dans un avion qui est appelé l'avion de tangente sur la surface à ce point comme point de contact. À la ligne joindre les centres des deux crayons comme ligne dans une correspond dans l'autre l'avion de tangente à son centre. L'avion de tangente sur une surface quadrique ou coupe la surface dans deux lignes, ou il a seulement une ligne simple, ou bien seulement un See also:

seul point en commun avec la surface. X". 23 seconde paraboliques, dans le troisième elliptique. § 95. Il See also:reste à montrer que chaque point S sur la surface peut être pris comme centre d'un des crayons ce qui produisent de la surface. Laissez S être n'importe quel point sur l'I'extérieur produit par le silicium et le S2 réciproques de crayons. Nous devons établir une correspondance réciproque entre les crayons S et SI, de sorte que la surface produite par eux soit identique à 4h. pour faire ceci que nous dessinons deux et des avions a1/í par le silicium, coupant la surface 4, dans le which du conics deux nous dénotons également par Al et t31. Ces See also:rassemblement de conics au SI, et à un autre point T où la ligne de l'intersection d'Al et de t31 coupe la surface. Dans le crayon S nous dessinons un See also:certain avion qui traverse T, mais pas par le SI ou le S2. Il coupera le conics deux d'abord à T, et donc à chacun à un autre point que nous appelons A et B respectivement.

Phoenix-squares

Ceux-ci que nous nous joignons à S par les lignes a et b, et établissent maintenant la correspondance exigée entre les crayons SI et S pendant que follows:To SE REPOSENT correspondra l'avion a, à Al plat la ligne a, et à $1 la ligne b, par conséquent au crayon plat en Al le crayon axial a. ces crayons sont rendus projectifs par l'aide du conique en Al. De la même manière le crayon plat dans salut est rendu projectif au crayon axial b par l'aide du conique dans RI, éléments correspondants étant ceux qui se réunit sur le conique. Ceci détermine la correspondance, parce que nous savons pour plus de quatre rayons dans le SI les avions correspondants en crayons S de S. The deux et le SI rendu ainsi réciproque produisent d'une surface quadrique qui traverse le point S et par Al du conics deux et le F31. Les deux surfaces.1, et ont donc les points S et SI et le conics à et salut en commun. Pour prouver qu'ils sont identiques, nous dessinons un avion par S et S2, coupant chacun d'Al de conics et du RI dans deux points, qui seront toujours possibles. Cet avion coupe 4'et 43'dans le conics deux qui ont le point S et les points où ils coupent Al et t31 en commun, celui sont cinq points en tout. Le conics coïncident donc. Ceci See also:

montre que tout ces point P sur mensonge sur See also:Di quel ont propriété que l'avion SS2P coupe, du conics a1/31 dans deux points pièce. Si l'avion SS2P n'a pas cette propriété, alors nous dessinons un avion SSIP. Ceci coupe chaque surface dans un conique, et ces le conics ont en commun les points S, SI, un point sur chacun d'Al de conics, 0'1, et un point sur un du conics par S et S2 qui se trouvent sur les deux surfaces, par conséquent cinq points. Ils sont donc coïncidents, et notre théorème est prouvé. § 96.

Les propositions suivantes suivent: Une surface quadrique a à chaque point un avion de tangente. Chaque section See also:

plate d'une surface quadrique est une conique ou une ligne-paire. Chaque ligne qui a trois points en commun avec des mensonges extérieurs quadriques sur la surface. Chaque conique qui a cinq points en commun avec des mensonges extérieurs quadriques sur la surface. Par le conics deux qui se situent dans différents avions, mais ayez deux points en commun, et par un point See also:externe toujours une surface quadrique peut être dessinée. § 97. Chaque avion qui coupe une surface quadrique dans une ligne-paire est un avion de tangente. Pour chaque ligne dans cet avion par le centre de la ligne-paire (le point d'intersection des deux lignes) coupe la surface dans deux points coïncidents et est donc une tangente sur la surface, le centre de la ligne-paire étant le point de contact. Si une surface quadrique contient une ligne, puis chaque avion par des coupes de cette ligne la surface dans une ligne-paire (ou dans deux lignes coïncidentes). Pour cet avion ne peut pas couper la surface dans un conique. Par conséquent si une surface quadrique contient une ligne p puis elle contient un nombre de lignes infini, et par chaque point Q sur la surface, on peut tracer une ligne q qui coupe le p. pour l'avion par le point Q et la ligne p coupe la surface dans une ligne-paire qui doit passer par Q et de le quel p est une ligne. Non deux que de telles lignes q sur la surface peuvent rencontrer. Pour car tous les deux rencontrent p leur avion contiendrait p et coupe donc la surface dans une triangle.

Chaque ligne qui coupe trois lignes q sera sur la surface; pour elle a trois points en commun avec elle. Par conséquent les surfaces de quadrique qui contiennent des lignes sont identiques aux surfaces quadriques régnées considérées dans le §§ 89-93, mais à une exception importante. Dans la dernière See also:

recherche nous avons laissé hors de la considération la possibilité d'un avion ayant seulement une ligne (deux lignes coïncidentes) en commun avec une surface quadrique. § 98. Pour étudier ce cas nous supposons d'abord qu'il y a un point A sur la surface par laquelle deux lignes différentes a, b peuvent être tracées, qui se trouvent tout à fait sur la surface. Si P est n'importe quel autre point sur la surface qui ne se trouve ni sur a ni b, alors l'avion par P et a coupera la surface dans un deuxième °line 'qui traverse P et qui coupe le a. de même il y a une ligne b 'par P qui coupe le b. ces deux lignes 'et b 'peut coïncider, mais alors ils doivent coïncider avec la See also:PA. Si ceci se produit pour un point P, il se produit pour chaque autre point Q. For si deux lignes différentes pourraient être tracées par Q, alors par la même chose qui raisonne la ligne PQ serait tout à fait sur la surface, par conséquent deux lignes seraient tracées par P contre la prétention. De ceci suit: S'il y a un point sur une surface quadrique par laquelle une, mais seulement une, ligne peut être dessinée sur la surface, alors par chaque ligne du point un II peut être dessiné, et toutes ces lignes se réunissent dans un point. La surface est un cône du deuxième ordre. Si par un point sur une surface quadrique, deux, et seulement deux, des lignes peuvent être dessinés sur la surface, alors par des lignes de chaque point deux peut être dessiné, et la surface est une surface quadrique régnée. Si par un point sur une surface quadrique aucune ligne sur la surface ne peut être tracée, alors la surface ne contient aucune ligne. En utilisant les définitions à l'extrémité du § 95, nous pouvons également dire: Sur une surface quadrique les points sont tous hyperboliques, ou tout paraboliques, ou tou'elliptiques.

Comme exemple d'une surface quadrique avec les points elliptiques, nous mentionnons la sphère qui peut être produite par deux crayons réciproques, où à chaque ligne dans une correspond la perpendiculaire d'avion à elle dans l'autre. § 99. See also:

Polonais et théorie polaire de Planes.The de poteaux et de polars en ce qui concerne un conique est facilement prolongés aux surfaces quadriques. Laissez P être un point dans l'espace pas sur la surface, que nous supposons pour ne pas être un cône. Sur chaque ligne par P qui coupe la surface dans deux points nous déterminons le conjugé harmonique Q de P en ce qui concerne les points d'intersection. Par un de ces lignes nous dessinons deux avions a et le lieu de S. The des points Q dans a est une ligne a, le polaire de P en ce qui concerne le conique dans quel des coupes la surface. De même le lieu des points Q en $ est une ligne b. que ceci coupe a, parce que la ligne de l'intersection de a et de f contient mais un lieu de Q. The de point de tous les points Q est donc un avion. Cet avion est appelé le See also:plan polaire du point P, en ce qui concerne la surface quadrique. Si P se trouve sur la surface nous prenons le plan de tangente de P comme son polaire. La prise suivante de propositions: I. Chaque point a un avion polaire, qui est construit en dessinant les polars du point en ce qui concerne le conics dans lequel deux avions par le point coupent la surface.

2. Si Q est un point dans le polaire de P, alors P est un point dans le polaire de Q, parce que c'est vrai en ce qui concerne le conique dans ce qu'un avion par PQ coupe la surface. 3. Chaque avion est le plan polaire d'un point, qui s'appelle le Polonais de l'avion. Le See also:

poteau à un avion est trouvé en construisant les avions polaires avec de trois points dans l'avion. Leur intersection sera le poteau. 4. Les points dans lesquels le plan polaire de P coupe la surface sont des points de contact des tangentes tiré de P sur la surface, comme est facilement vu. Par conséquent: 5. Les tangentes tirées d'un point P à une forme extérieure quadrique un cône du deuxième ordre, parce que le plan polaire de P le coupe dans un conique. 6. SI le poteau décrit une ligne a, son avion polaire tournera autour d'une autre ligne ', comme suit de 2.

Ces lignes a et 'seraient l'onjugate en ce qui concerne la surface. aussi. Le poteau de la ligne à l'infini s'appelle le centre de la surface. S'il se trouve à l'infini, l'avion à l'infini est un avion de tangente, et la surface s'appelle un paraboloïde. L'avion polaire à n'importe quel point à l'infini traverse le centre, et s'appelle un avion diamétral. Une ligne par le centre s'appelle un diamètre. Elle est bissectée au centre. Le conjugé de ligne à lui se trouve à l'infini. Si un point se déplace le See also:

long d'un diamètre ses tourner plats polaires autour du conjugué rayent à l'infini; c'est-à-dire, il déplace le parallèle à lui-même, son centre se déplaçant sur la première ligne. Les points moyens des See also:cordes parallèles se situent dans un avion, à savoir dans le plan polaire du point à l'infini par lequel les cordes sont dessinées.

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