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espace. Du double nombre infini d'avions dans les crayons chacun rencontrera son avion correspondant. Ceci donne un système d'un double nombre de lignes infini dans l'espace. Nous savons (§ 5) qu'il y a un nombre de lignes infini quadruple dans l'espace. À partir parmi See also:

ces derniers nous pouvons choisir ceux qui satisfont une ou plusieurs conditions données. Les systèmes See also:

des lignes obtenues ainsi étaient première systématiquement étudiée et classifié par Plucker, dans ses See also:

mes de Ra de DES de Geometrie. Il emploie les noms suivants: On dit qu'un nombre de lignes infini See also:

TRIPLE (un doublet du l'"triple," triple, du triplus de Lat., triple; cf. "double" de duplus)

triple, c.-à-d., toutes les lignes qui satisfont une See also:

CONDITION (le condicio de Lat., du condicere, pour convenir, arrangent; non lié au conditio, du condere, du conditum, pour remonter)

condition, See also:

FORME (forma de Lat.)

forme un complexe des lignes; par exemple toutes les lignes coupant une See also:

LIGNE

ligne donnée, ou toutes les lignes touchant une See also:

SURFACE

surface. On dit qu'un double nombre de lignes infini, c.-à-d., toutes les lignes qui satisfont deux conditions, ou qui sont communes à deux complexes, forme une congruence des lignes; par exemple toutes les lignes dans un avion, ou toutes les lignes coupant deux courbes, ou toutes les lignes coupant une courbe donnée deux fois. Un nombre de lignes infini simple, c.-à-d., toutes les lignes qui satisfont trois conditions, ou qui appartiennent à trois complexes, forment une surface régnée; par exemple un ensemble de lignes sur une surface See also:

QUADRIQUE

quadrique régnée, ou surfaces développables qui sont constituées par les tangentes à une courbe.

Elle suit que toutes les lignes dans lesquelles la See also:

correspondance surface See also:

sous la forme twoprojective de See also:

rassemblement de crayons une congruence. Nous verrons que See also:

CETTE

cette congruence se compose de toutes les lignes qui coupent un cubique tordu deux fois, ou de toutes les sécantes à un cubique tordu. § See also:

Io2. Laissez le See also:

Li être la ligne See also:

S1S2, S2S2

S1S2 comme une ligne dans le silicium de crayon à elle correspond une ligne 12 dans S2. À chacun des centres deux lignes correspondantes se réunissent. Les deux crayons axiaux avec du Li et le l2 comme haches sont projectifs, et, car leurs haches se réunissent à S2, les intersections de la correspondance surface la forme un cône du deuxième See also:

ordre (§ 58), avec S2 comme centre. Si oir1 et 72 soient les avions correspondants, alors leur intersection sera une ligne p2 que les passages par S2. correspondant à elle en silicium seront une ligne See also:

pi qui se situe dans l'avion, et qui rencontre donc p2 à un See also:

CERTAIN

certain See also:

POINT de LÉZARD, ou LE LÉZARD

point P. Conversely, si p2 soit n'importe quelle ligne dans S2 qui rencontre sa ligne correspondante pi à un point P, alors à l'avion 12 P2 correspondra le lipl plat, c.-à-d., l'avion S1S2P. Ces avions intersectent dans P2, de sorte que p2 soit une ligne sur le cône quadrique produit par les crayons axiaux h et 12. Par conséquent: Toutes les lignes dans un crayon qui rencontrent leur correspondance raye sous l'autre forme un cône du deuxième ordre qui a son centre au centre du See also:

PREMIER, ou BONNE

premier crayon, et traverse le centre de la seconde. De ceci suit que les points dans lesquels la correspondance rayonne le See also:

mensonge de rassemblement sur deux cônes du deuxième ordre qui ont le raie joindre leurs centres en See also:

COMMUN

commun, et forme donc, ainsi que la ligne SIS2 ou ll, l'intersection de ces cônes. N'importe quel avion See also:

COUPE (français pour "découpé")

coupe chacun des cônes dans un conique.

Le conics ces deux ont nécessairement ce point en commun dans lequel il coupe le Li de ligne, et donc sans compter qu'un ou trois autres points. Il suit que la courbe est du troisième ordre pendant qu'un avion peut le couper dans trois, mais pas dans plus de trois, points. Par conséquent: Le See also:

LIEU (Lat. pour l'"endroit"; dans des rinros de gr.)

lieu des points dans lesquels la correspondance des lignes sur le rassemblement projectif de deux crayons est une courbe du troisième ordre ou "a tordu" k cubique, lesquels traverse les centres des crayons, et qui apparaît comme intersection de deux cônes du deuxième ordre, qui ont une ligne en commun. Une ligne appartenant à la congruence déterminée par les crayons est une sécante du cubique; elle n'a deux, ou un, ou aucun points en commun avec ce cubique, et s'appelle en conséquence un approprié sécant, une tangente, ou une sécante inexacte du cubique. Un inexact sécant peut être considéré comme, pour employer la See also:

LANGUE (adaptée du langage de vue, du langue, de la langue, du lingua de Lat.)

langue de la géométrie du même See also:

rang, comme sécante avec les points d'intersection imaginaires. § to3. Si See also:

Al et See also:

A2(z)

a2 soient deux lignes correspondantes quelconques dans les deux crayons, les avions alors correspondants dans les crayons axiaux ayant Al et ¢2 comme haches produisent d'une surface quadrique régnée. Si P soit n'importe quel point sur le k cubique, et si p2 soit les rayons correspondants dans le silicium et les S2 qui se réunissent à P, alors à l'avion a1 pi dans le SI correspond ¢2 Pz dans S2. Ceux-ci se réunissent donc dans une ligne par P. Ceci peut être énoncé ainsi: Ces sécantes du cubique qui a coupé Al de rayon, dessinées par le silicium de centre d'un crayon, forme une surface quadrique régnée qui traverse les deux centres, et qui contient le k. cubique tordu de telles surfaces un nombre infini existe. Chaque raie par le silicium ou le S2 qui ne sont pas une sécante détermine un d'eux. Si, cependant, les rayons a1 et a2 sont des sécantes se réunissant à A, alors la surface quadrique régnée devient un cône du deuxième ordre, ayant A comme centre. Ou toutes les lignes de la congruence qui traversent un point sur la forme cubique tordue de k un cône du deuxième ordre.

En d'autres termes, la See also:

PROJECTION

projection d'un cubique tordu de n'importe quel point dans la courbe à n'importe quel avion est allumée une conique. Si Al n'est pas une sécante, mais fait pour passer par tout point Q dans l'espace, la surface quadrique régnée déterminée par Al traversera Q. There que la volonté soit donc une ligne de la congruence passant par Q, et seulement un. Pour si deux telles lignes traversent Q, puis les lignes S1Q et S2Q soyez les lignes correspondantes; par conséquent Q sera un point sur le k cubique, et un nombre infini de sécantes traversera lui. Par conséquent: Par chaque point dans l'espace pas sur l'une et seulement une sécante cubique tordue au cubique peut être dessiné. § 104. Le fait que toutes les sécantes par un point sur la forme cubique un cône quadrique prouve que les centres des crayons projectifs produisant du the cubique ne sont pas distingués d'aucun autre point sur le cubique. Si nous prenons deux points quelconques de S, s sur le cubique, et dessinons les sécantes par chacune d'elles, nous obtenons deux cônes quadriques, qui ont la ligne solides solubles en commun, et qui intersectent sans compter que le See also:

LONGÉVITÉ

long du cubique. Si nous faisons ces deux crayons ayant S et s comme centres projectifs en prenant quatre rayons sur l'un cône comme correspondant aux quatre rayons de l'autre qui rencontrent le premier sur le cubique, la correspondance est déterminée. Ces deux crayons produiront des cônes cubiques et et deux des sécantes ayant S et s car les centres seront identiques aux cônes ci-dessus, pour chacun a cinq rayons en commun avec un du premier, à savoir la ligne solides solubles et les quatre lignes déterminées pour la correspondance; donc intersect de ces deux cônes dans l'See also:

ORIGINAL

original cubique. Ceci donne au théorème sur un cubique tordu deux points quelconques peut être pris comme centres des crayons projectifs qui produisent des avions cubiques et correspondants étant ceux qui se réunit sur la même sécante. Des deux crayons projectifs à S et à s nous pouvons garder première fixée, et déplaçons le centre de l'autre le long de la courbe. Les crayons resteront par ceci projectifs, et un avion a dans S sera coupé en son avion correspondant a toujours dans le même a. sécant tandis que les mouvements du s le long de la courbe l'avion 'tourneront environ a, décrivant un crayon axial. Cette See also:

BRANCHE (du branche de vue, du branca en retard de Lat., de la patte d'un animal)

branche de la géométrie est concernée par les méthodes pour représenter des solides et d'autres figures dans trois dimensions par des schémas dans un avion.

La méthode la plus importante est See also:

cela qui a été inventée par See also:

MONGE, GASPARD (1746-1818)

Monge vers la See also:

fin du 18ème siècle. Elle est basée sur les projections parallèles à un avion par des rayons perpendiculaires à l'avion. Une telle projection s'appelle orthographique (voir la PROJECTION, le § r8). Si l'avion est See also:

HORIZONTAL

horizontal la projection s'appelle le See also:

plan de la figure, et si l'avion est See also:

VERTICAL (du sommet de Lat., du point le plus élevé)

vertical l'See also:

altitude. Dans la méthode de Monge une figure est représentée par son plan et altitude. Ce donc s'appelle souvent le schéma dans le plan et l'altitude, et la projection parfois simplement orthographique. § 1. Nous supposons alors que nous avons deux avions, un horizontal, l'autre verticale, et ceux-ci nous appelons les plans du plan et de l'altitude respectivement, ou le plan vertical horizontal et, et les dénotons par les lettres et dedans. Leur ligne d'intersection s'appelle l'See also:

axe, et sera dénotée par xy. Si la surface du See also:

papier de See also:

DESSINÉ

dessin est prise comme plan du plan, alors le plan vertical sera la perpendiculaire d'avion à lui par l'axe xy. pour introduire ceci également dans le plan du papier de dessin que nous le tournons autour de l'axe jusqu'à ce qu'il coïncide avec le plan horizontal. Ce See also:

PROCESSUS

processus de tourner un avion vers le See also:

bas jusqu'à ce qu'il coïncide avec des autres s'appelle rabatting un à l'autre. Naturellement il n'y a aucune nécessité pour avoir un des deux avions horizontaux, mais même lorsque ce n'est pas le See also:

cas il est commode pour maintenir les noms ci-dessus.

L'See also:

ARRANGEMENT (le schéma de Lat., oxfjya de gr., la figure, forment, de la hache de racine, vue dans l'exeiv, pour avoir, se tenir, être d'un tel forme, forme, &c.)

arrangement entier mieux sera compris en se rapportant à fig. 37. Un point A dans l'espace est là projeté par D. R perpendiculaire 'D, aa, et AA2 aux avions 7r, et 'See also:

R2(rt-s2)

r2 de sorte qu'et A2 soient les projections horizontales et verticales de A. Si nous nous rappelons qu'une ligne est perpendiculaire à un avion qui perpendiculaire à chaque ligne dans l'avion si seulement elle est perpendiculaire à deux lignes d'intersection quelconques dans l'avion, nous voyons que l'axe qui est perpendiculaire au aa, et à AA2 est également la perpendiculaire à A, See also:

ao et à AÀo parce que ces quatre lignes sont toutes dans le même avion. Par conséquent, si l'avion 'r2 soit tourné autour de l'axe jusqu'à ce qu'il coïncide avec l'avion puis AÀo sera la suite de A, ao. Cette position des avions est représentée dans fig. 38, dans laquelle la ligne A, a2 est perpendiculaire à l'axe X. Réciproquement deux points quelconques d'A1, comme dedans, une perpendiculaire de ligne à l'axe seront les projections d'un certain point dans l'espace quand l'avion nr2 est tourné autour de l'axe jusqu'à ce qu'il soit perpendiculaire à l'avion II, parce qu'en cette position les deux perpendiculaires aux avions 2r, et ire par les points A, et A, sera dans un avion et donc un rassemblement à certains le point A. La représentation de Points.We ont ainsi la méthode suivante de représenter dans un avion simple la position des points dans l'espace: nous prenons dans l'avion une ligne xy comme axe, et puis n'importe quelle paire de points AI, A2 dans l'avion sur une perpendiculaire de ligne à l'axe représente un point A dans l'espace. Si la ligne A, a2 coupe l'axe au ao, et si à la AI un perpendiculaire soit érigé à l'avion, alors le point A sera dans lui à une See also:

taille A, A=AoA2 au-dessus de l'avion. Ceci donne la position du point A relativement à l'avion a. de la même manière, si dans une perpendiculaire à x2 par A2 par point A soit pris tels qu'cAà AoA, alors ceci donnera le point A relativement à l'avion 7I"2.

§ 2. Les deux avions dedans, ir2 en leur position originale divisent l'espace en quatre parts. Ceux-ci s'appellent les quatre quarts de See also:

CERCLE de PASSAGE, ou CERCLE MÉRIDIEN

cercle. Nous supposons que l'avion a2 est tourné comme indiqué dans fig. 37, de sorte que le point P See also:

vienne à Q et, $, à.s R à S, puis le See also:

QUART (par la vue du quartarius de Lat., de la quatrième partie)

quart de cercle dans lequel les mensonges du point A s'appelle le premier, et nous disons g_-B2 au-dessus dont dans le premier quart de cercle par point se trouve comme -., A l'horizontal et devant l'avion vertical de II t. Maintenant nous allons autour de l'axe dans le c, 8,;A, See also:

SENS

sens de S dans lequel l'ire plat est tourné et Q b viennent en See also:

succession à la seconde, troisièmement Iv III et quatrième quart de cercle. Dans la seconde a - point de QC de C se trouve au-dessus du plan du plan et -- D derrière le plan de l'altitude, et ainsi de suite. R D, dans fig. 39, qui représente une vue de côté des avions dans fig. 37 les quarts de cercle sont fig. 39, marquée, et dans le chaque un point avec son See also:

pro jection est pris. Fig.

38 See also:

MONTRE (dans le wcecce de O. Eng., une garde conservante ou l'observation, de wacian, pour garder, observer, wacan, pour se réveiller)

montre comment ceux-ci sont représentés quand l'avion dedans est tourné vers le bas. Nous voyons que le point de A se situe dans le premier quart de cercle si le plan se trouve ci-dessous, l'altitude au-dessus de l'axe; dans la seconde si le plan et l'altitude toutes les deux se trouvent en haut; dans le tiers si le plan se trouve en haut, l'altitude ci-dessous; dans le quart si le plan et l'altitude toutes les deux se trouvent au-dessous de l'axe. Si un point se situe dans le plan horizontal, son altitude se situe à l'axe et le plan coïncide avec le point lui-même. Si un point se situe dans le plan vertical, son plan se situe à l'axe et l'altitude coïncide avec le point lui-même. Si un point se situe à l'axe, son plan et altitude se situent à l'axe et coïncidez avec lui. De chacune de ces propositions, qui seront facilement See also:

VUES

vues pour être vraies, l'See also:

INVERSE

inverse se tient également. § 3. La représentation d'un Plane.As que nous sommes ainsi See also:

PERMIS (par le Français from le licentia de Lat., le licere, pour être légal)

permis de représenter des points dans un avion, nous peut représenter n'importe quelle figure finie en représentant ses points séparés. Elle est, cependant, non possible de représenter un avion de cette façon, pour les projections de ses points couvrent complètement les avions a, et a2, et aucun avion ne semblerait différent de tout autre. Mais tout avion coupes chacune des avions 2r,,r2 dans une ligne. Ceux-ci s'appellent les traces de l'avion. Ils se sont coupés à l'axe au point où les dernières coupes l'avion a. Un avion est déterminé par ses deux traces, qui sont deux lignes qui se réunissent sur l'axe, et, réciproquement, deux lignes quelconques qui se réunissent sur l'axe déterminent un avion.

Si l'avion est parallèle à l'axe ses traces sont parallèles à l'axe. De peut être à l'infini; alors l'avion coupera un des plans de la projection à l'infini et sera parallèle à lui. Ainsi un avion parallèle au plan horizontal du plan a seulement une trace finie, à savoir cela avec le plan de l'altitude. Si les passages plats par l'axe ses deux traces coïncident avec l'axe. C'est le See also:

seul cas dans lequel la représentation de l'avion par ses deux traces échoue. Un troisième plan de la projection est donc présenté, qui est la meilleure perpendiculaire prise aux autres deux. Nous l'appelons simplement le troisième avion et le dénotons près dedans. Car il est perpendiculaire à dedans, il peut être pris comme plan d'altitude, sa ligne de l'intersection y avec a, étant l'axe, et soit tourné vers le bas pour coïncider avec 2r. ceci est représenté dans fig. 40. See also:

OC est l'axe xy tandis que la bureautique et les See also:

OBÉLISQUE (gr. b/ÉXivrcos, diminutif des OEM, une broche)

OB sont les traces du troisième avion. Elles se situent dans un y. de ligne que l'avion X est rabatted au sujet de y au plan horizontal. Un avion a par la volonté xy d'axe montrent alors dans lui une trace a3.

Dans fig. ô les lignes OC et volonté OP soient ainsi les traces d'un avion par l'axe xy, qui fait un See also:

ANGLE (de l'angulus de Lat., un coin, un diminutif, dont la forme primitive, angus, ne se produit pas dans le latin; apparenté sont de Lat. angere, pour se comprimer dans de du courbure ou pour étrangler, et les ayKOS de gr., une courbure; tous les deux

angle POQ avec le plan horizontal. Nous pouvons également trouver la trace avec laquelle n'importe quel autre avion fait As. Dans rabatting l'avion IRS sa trace OB avec l'avion 'e2 viendra dans la position OD par conséquent un avion 13 ayant les traces CA et les CB auront avec le troisième avion la trace # le s, ou l'cAnnonce si OD = OB. B,'C 'B, See also:

Bo Co D "y IC2 7o8 qu'il suit également immédiatement que si un avion a est perpendiculaire au plan horizontal, alors chaque point dans lui a son projection horizontale dans la trace horizontale de l'avion, comme tous les rayons projetant ces points se situent dans l'avion lui-même. N'importe quel avion qui est perpendiculaire au plan horizontal a sa perpendiculaire verticale de trace à l'axe. N'importe quel avion qui est perpendiculaire au plan vertical a son perpendiculaire horizontale de trace à l'axe et aux projections verticales de tous les points dans l'avion se situent dans cette trace. § 4. La représentation d'une ligne de Line.A est déterminée par deux points dans elle ou en deux avions par elle. Nous obtenons en conséquence deux représentations d'elle par des projections ou par des traces. La ligne a de First.A est représentée par son Al de projections et a2 sur l'irl et le Ti de deux avions. Ceux-ci peuvent être deux lignes quelconques, pour, apportant les avions 7r1, Ti dans leur position originale, les avions par ces lignes perpendiculaires au TI et le Ti respectivement intersectera dans une certaine ligne qui a a1, a2 en tant que ses projections.

Deuxièmement. Une ligne a est représentée par son tracesthat est, par les points dans lesquels il coupe le T1 de deux avions, Ti deux points que quelconques peuvent être pris comme traces d'une ligne dans l'espace, parce que on le détermine quand les avions sont en leur position originale comme ligne joignant les deux traces. Cette représentation devient indéterminée si les deux traces coïncident à l'axe. Dans ce cas-ci nous employons encore un troisième plan, ou bien les pro jections de la ligne. Le fait qu'il y a différentes méthodes de représenter des points et des avions, et par conséquent deux méthodes de représenter des lignes, suggère le principe de la dualité (section ii., géométrie projective, § 45). Elle vaut la See also:

PEINE

peine tandis que de maintenir ceci dans l'esprit. C'est également intéressant se rappeler que les traces des avions ou des lignes se situent toujours dans les avions ou les lignes qu'elles représentent. Les projections ne font pas en règle générale ceci sauf quand le point ou la ligne projetée se situe dans un des plans de la projection. Après avoir montré maintenant comment représenter des 'points, des avions et des lignes, nous devons énoncer les conditions ce qui doit se tenir pour que ces éléments puissent se trouver un dans l'autre, ou bien que la figure constituée par elles peut posséder certaines propriétés métriques. On le constatera que les anciens sont beaucoup plus simples que derniers. Avant que nous fassions ceci, cependant, nous expliquerons la See also:

NOTATION (un mot d'origine étymologique incertaine, probablement onomatopoeic; le nouveau dictionnaire anglais rejette la dérivation du retard norvégien, d'un arbre tombé)

notation utilisée; pour elle est de grande importance pour avoir une notation systématique. Nous dénoterons l'espace d'in de points par les See also:

CAPITAUX (de l'assetz de O. ni de vue, mod. Capitaux, "assez" de vue)

capitaux pi, B, C; les avions dans l'espace par Greek See also:

marque avec des lettres a, T3, y; lignes dans l'espace par les minuscules a, b, c; projections horizontales par des suffixes I, comme la AI, a1; projections verticales par les suffixes 2, comme A2, a2; traces par les tirets simples et doubles un 'a ', ', '.

Par conséquent pi sera la projection horizontale d'un point P dans l'espace; une ligne un will.have les projections a1, a2 et les traces 'et a.; un avion a a les traces 'et '. § 5. Si un point se situe dans une ligne, les projections du point se situent dans les projections de la ligne. Si une ligne se situe dans un avion, les traces de la ligne se situent dans les traces de l'avion. Ces propositions suivent immédiatement des définitions des projections et des traces. Si un point se situe dans deux lignes ses projections doivent se situer dans les projections de tous les deux. Par conséquent si deux lignes, données par leurs projections, intersectent, l'intersection de leurs plans et l'intersection de leurs altitudes doit se situer dans une perpendiculaire de ligne à l'axe, parce qu'elles doivent être les projections du point commun aux deux lignes. SimilarlyIf deux lignes données par leurs traces se situent dans le même avion ou intersectent, puis les lignes joignant leurs traces horizontales et verticales respectivement doivent se réunir sur l'axe, parce qu'elles doivent être les traces de l'avion par elles. § 6. Pour trouver les projections d'une ligne qui See also:

joint deux points de A, B donné par leur Al de projections, A2 et B1, B2, nous joignons la AI, le B1 et l'A2, B2; ce seront les projections exigées. Par exemple, les traces d'une ligne sont deux points dans la ligne dont les projections sont connues ou à tous les événements facilement trouvés. Elles sont les traces elles-mêmes et les pieds des perpendiculaires d'elles à l'axe. Par conséquent si un 'a '(fig.

41) sont les traces d'une ligne a, et si par pendiculars d'eux coupez l'axe dans P et Q respectivement, alors l'a'Q de ligne sera l'horizontal et l'a'P la projection verticale de la ligne. Réciproquement, si les projections a1, a2 d'une ligne sont données, et si ceux-ci coupaient l'axe dans Q et P respectivement, puis la See also:

PAÏEN

PA de perpendiculaires 'et la QA 'au ` d'axe dessiné par ces points a coupé Al de projections et l'a2 dans les traces 'et '. Pour trouver la ligne de l'intersection de deux avions, nous observons que cette ligne se situe dans des les deux avions; ses traces doivent donc il dans les traces de tous les deux. Par conséquent les points où les traces horizontales du rassemblement donné d'avions seront les horizontales, et le point où les traces verticales rencontrent la trace verticale de la ligne exigée. § 7. Pour décider si un point A, indiqué par ses projections, se situe dans un avion a, indiqué par ses traces, nous traçons une ligne p par oining A à un certain point dans l'avion a et déterminez ses traces. Si ceux-ci se situent dans [ les traces DESCRIPTIVES de l'avion, puis la ligne, et donc le point A, mensonges dans l'avion; autrement pas. Ceci est commodément fait en joignant la AI à un certain point p 'dans la trace '; ceci donne pi; et le point où la perpendiculaire de p 'à l'axe coupe le dernier nous se joignent à A2; ceci donne p2. Si la trace verticale de cette ligne se situe dans la trace verticale de l'avion, puis, et puis seulement, fait la ligne p, et avec elle le point A, mensonge dans l'avion a. § 8. Les avions parallèles ont les traces parallèles, parce que des avions parallèles sont coupés en n'importe quel avion, par conséquent aussi par l'arj et par Rr2, dans les lignes parallèles. Les lignes parallèles ont les projections parallèles, parce que des points à l'infini sont projetés à l'infini. Si une ligne est parallèle à un avion, alors raye par les traces de la ligne et le parallèle aux traces de l'avion doit se réunir sur l'axe, parce que ces lignes sont les traces d'un avion parallèle à l'avion donné. § 9.

Pour dessiner un avion par deux lignes d'intersection ou par deux lignes parallèles, nous déterminons les traces des lignes; les lignes joignant leurs traces horizontales et verticales respectivement seront les traces horizontales et verticales de l'avion. Elles se réuniront, à un point fini ou à l'infini, sur l'axe si les lignes intersectent. Pour dessiner un avion par une ligne et un point sans ligne, nous joignons le point donné à n'importe quel point dans la ligne et déterminons l'avion par ceci et la ligne donnée. Pour dessiner un avion par trois points qui ne sont pas alignés en, nous traçons deux des lignes que chacun joint deux des points donnés et dessine l'avion par eux. Si les traces de chacune des trois lignes See also:

ABÎME (gr. comme, privative, 6u6QOs, fond)

ab, AVANT JÉSUS CHRIST, CA soient trouvées, ceux-ci doivent se situer dans deux lignes qui se réunissent sur l'axe. § à. Nous avons dans le dernier exemple obtenu plus de points, ou pouvons facilement obtenir plus de points, que sont nécessaire pour la détermination de la figure requiredin ce cas les traces de l'avion. Ceci se produira dans un See also:

GRAND

grand beaucoup de constructions et est d'importance considérable. Il peut se produire que certains des points ou des lignes obtenus ne sont pas commodes dans la construction réelle. Les traces horizontales des lignes ab et C.a. peuvent, par exemple, très presque tomber ensemble, dans ce cas la ligne les joignant n'est pas bonne définies. Ou, un ou les deux peut tomber au delà du papier le dessin, de sorte qu'ils soient pratiquement inexistants pour la construction. Dans cette facilité les traces de la ligne AVANT JÉSUS CHRIST peuvent être employées. Ou, si les traces verticales du ab et C.a. sont toutes deux en position commode, de sorte que la trace verticale de l'avion exigé soit trouvée et un des traces horizontales soit obtenu, alors nous puissions joindre le dernier au point où la trace verticale coupe l'axe. Le dessinateur doit se rappeler que les lignes qu'il trace ne sont pas les lignes mathématiques sans épaisseur, et donc chaque schéma est affecté par quelques erreurs.

Il est donc très souhaitable de pouvoir constamment vérifier le dernier. De tels contrôles se présentent toujours quand le même résultat peut être obtenu par différentes constructions, ou quand, comme dans le cas ci-dessus, quelques lignes doivent se réunir sur l'axe, ou si trois points doivent se situer dans une ligne. Un dessinateur soigneux se servira toujours de ces contrôles. § 11. Pour dessiner un avion par un point donné parallèle à un avion donné a, nous dessinons par les lignes du point deux qui sont parallèles à l'avion a, et pour déterminer l'avion par elles; ou, car nous savons que les traces de l'avion exigé sont parallèles à ceux de donné (§ 8), nous devons seulement tracer une ligne l par le point parallèle à l'avion et trouver un de ses traces, dites la trace verticale l "; une ligne par ce parallèle à la trace verticale de a sera la trace verticale de l'avion exigé 13, et une ligne parallèle à la trace horizontale d'une réunion 13"sur l'axe sera la trace horizontale 13'. Laissez AI A2 (fig. 42) soit le point donné, un 'a 'l'avion donné, une ligne 11 par Al, parallèle à l''et un See also:

trait horizontal l2 par A2 sera les projections d'une ligne 1 par le parallèle de A/R "à l'avion, parce que le plan horizontal par cette ligne coupera l'avion a dans une ligne c qui a son ci horizontal de projection parallèle à l''. § 12. Nous venons maintenant aux propriétés métriques des figures. Une ligne est perpendiculaire à un avion si les projections de la ligne sont par pendicular aux traces de l'avion. Nous la prouvons pour la projection horizontale. Si une ligne p est perpendiculaire à un avion a, chaque avion par p est perpendiculaire à a; par conséquent aussi le plan vertical qui projette la ligne p à pi.

Car cet avion est perpendiculaire au plan horizontal et à l'avion a, c'est également perpendiculaire à leur intersectionthat est, à la trace horizontale du a. qu'elle suit que chaque ligne dans ces avion, donc aussi pi de projection, le plan de p, est perpendiculaire à la trace horizontale de a. Pour dessiner un avion par une perpendiculaire donnée du point A à une ligne donnée p, nous dessinons d'abord par un certain point 0 dans les lignes y d'axe, perpendiculaire de y la 'respectivement aux projections p1 et le ¢2 de la ligne donnée. Ce seront les traces d'un avion y qui est perpendiculaire à la ligne donnée. Nous dessinons après par le point donné A un avion parallèle à l'avion y; ce sera l'avion exigé. 709 autres propriétés métriques dépendent de la détermination des vraies lignes du point deux perpendiculaires aux deux avions et déterminent la taille ou la forme d'une figure angle entre le dernier comme ci-dessus. En général la projection d'une figure diffère dans la taille et la forme dans des cas spéciaux qu'il est plus simple de déterminer immédiatement l'angle entre de la figure elle-même. Mais les figures dans un avion parallèle à un avion les deux avions en prenant une perpendiculaire See also:

PLATE-forme

plate de See also:

section au inter- de la projection seront identiques à leurs projections, et sectionneront ainsi des deux avions et rabatt ceci. C'est particulièrement l'être donné dans leurs dimensions vraies. Dans d'autres cas il y a le cas si un des avions est le plan vertical horizontal ou du pro-problème, constamment se reproduisant, l'un ou l'autre pour trouver la forme et le jection vrais. la taille d'une figure plate quand le plan et l'altitude sont donnés, ou, See also:

con- dans fig. 45 l'angle PIQR est ainsi l'angle que l'avion a versely, pour trouver le dernier de la forme vraie connue de la figure fait avec le plan horizontal. soi-même. Pour faire ceci, l'avion est tourné autour d'un de ses traces jusqu'à lui le § 15. Nous revenons au cas général de rabatting un plan a de est fixés dans ce plan de projection auquel la trace appartient que les traces un 'a "sont donné. Ceci s'appelle techniquement rabatting l'avion respectivement dans ici il sera commode pour déterminer d'abord la position qui plan du plan ou de l'altitude. Car il n'y a aucune différence dans l'a"which de trace est une ligne dans les aassumes quand rabatted.

Dirige le traitement des deux cas, nous considérera seulement le cas du rabatt- dans cette ligne coïncident avec leurs altitudes. Par conséquent elle est donnée dans l'See also:

ing un avion a dans le plan du plan. Le plan de la figure est sa See also:

DIMENSION (du dimensio de Lat., une mesure)

dimension vraie, et nous pouvons mesurer au loin le long d'elle la distance vraie une projection (orthographique) parallèle de la figure elle-même. Les résultats entre deux points dans elle. Si donc (fig. 45) P est n'importe quel point dans "de la projection parallèle (voir la PROJECTION, le §§ 17 et 18) peut là à l'origine coïncident avec l'avant être maintenant employé. La trace 'remplacera par ceci ce qui son altitude P2, et si 0 p autrefois s'appelaient l'axe de la projection. Par conséquent nous voyons que le corre- est le point où les "coupes sponding des points dans le plan et dans rabatted l'avion sont jointes par l'axe xy, de sorte que 0 soit perpendiculaire des lignes which.:are à la trace 'et que correspondant également dans ', alors les lignes du point P se réunissent sur cette trace. Nous voyons également que la correspondance est après rabatting le o complètement déterminé si nous savons pour un point ou une ligne dans l'avion supposent qu'un tel plan de posi- le point ou la ligne la correspondance dans rabatted le tion plat qui See also:

OP=op2. À avant, cependant, nous traitons de ceci que nous considérons quelques cas spéciaux le même See also:

temps le plan est le § 13. Pour déterminer la distance entre deux points de A, B donné par leurs projections orthographiques A1 de la projection un Q.i., See also:

BLÈME, CAVALIER D'CHenry (1856-)

Bl et A2, B2, ou, en d'autres termes, pour déterminer le vrai de l'avion a. par conséquent une 'longueur d'une ligne le plan et l'altitude dont sont indiqués la ligne joignant P au plan See also:

SOLUTION (du solvere de Lat., pour se desserrer, dissolvez)

Solution.The deux points de A, B dans le mensonge de l'espace verticalement au-dessus de leur volonté de pi après rabatting soient Al de plans, Bl (fig. 43) et See also:

A1A=AoA2, B1B=BoB2. Les quatre points perpendiculaires à l''.

Mais A, B, Al, forme de Bl donc un avion pi est connu; c'est le quadrilatère du See also:

PIED

pied p sur la See also:

base A1B1 et de la perpendiculaire d'avoir des angles droits à la base. P2 à l'axe xy. Nous A/cet avion nous rabatt au sujet de l'aspiration A1B1 donc, pour trouver P, par A1A et B1B de dessin par de P1 un P1Q perpendiculaire à l''et à la trouvaille là-dessus un point P tels que pendicular à OP=op2 d'cA1b1 et de fabrication.

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