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R2(rt-s2)

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À l'origine apparaissant en volume V14, page 548 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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R2(rt-s2) - De RI (I +q2)r-2Pgs+(I +p2)t)/(1 +p2+q2) +(I+p2+q2)2=o. 44, See also:Le problème du changement See also:des variables a été considéré la première fois par Brook Taylor dans son incrementorum de Methodus. Dans le See also:cas See also:con-See also:Changez de sidered par Taylor que y est exprimé en fonction de z, et variables de z. en fonction x, et lui désirer exprimer See also:les coefficients ential de différer de y en ce qui concerne x sans élimination du z. que le résultat peut être obtenu immédiatement par les règles pour différencier un de de un produit et une fonction d'une fonction. Nous avons le dx dydy 'd2ydy.d2z d2y de dz de dx de dz (dz)2 dx2 De, dx 'le dx dx2+dz3 du dx dýdy.d2z+ d,dz d2z dý (dz) de dx2 dz2 de dz3dz2 'l'introduction des coefficients différentiels partiels nous permet de traiter des cas plus généraux du changement des variables que See also:cela considéré ci-dessus. Si u, v sont de See also:nouvelles variables, et x, y sont reliés à elles par des équations du x=See also:fi(u de See also:type, v), y=See also:f2(u, v), (I.) tandis que y est une fonction explicite ou implicite de x, nous avons le problème d'exprimer les coefficients différentiels de See also:divers ordres de y en ce qui concerne x en termes de coefficients différentiels de v en ce qui concerne le u. que nous avons (~at'2 See also:poids du See also:commerce/dx au av du au av du (de See also:Li+ i (BT) par la règle de tout le différentiel. De la même manière, au See also:moyen de différentiels des ordres plus supérieurs, nous pouvons exprimer d2y/dx2, et ainsi de See also:suite. Équations comme (I.) peut être interprété en tant qu'effectuer une transformation par laquelle un See also:point (u, v) est fait pour correspondre à un point (x, y). La théorie entière de transformations, et fonctions, ou expressions différentielles, qui demeurent invariables See also:sous des groupes de transformations, a été étudiée exhaustivement par Sophus See also:Lie (voyez, en See also:particulier, de son der de Theorie Transformationsgruppen, de See also:Leipzig, de 1888-1893). (voyez également les ÉQUATIONS et les GROUPES). Un problème plus général du changement des variables est présenté quand on le désire pour exprimer les coefficients différentiels partiels d'une fonction V en ce qui concerne x, y. . .

en termes de ceux en ce qui concerne u, v. . là où u, v. sont reliés à x, y. . par toutes relations fonctionnelles. Quand il y a deux variables X, y, et u, v sont donnés des fonctions de x, y, nous avons la See also:

hache 'l'Au ay ay. poids du commerce de l'Au ax+av de hache de poids du commerce poids du commerce d'Au de poids du commerce poids du commerce d'aVav d'aVaVau ay 'et les coefficients différentiels des ordres plus supérieurs doivent être constitués par des applications répétées de la règle pour différencier un produit et les règles de quand le See also:boeuf d'See also:ava d'a_aua de type = la hache au+ax poids du commerce x, y sont donnés des fonctions de u, v. . . nous avons, au See also:lieu de ce qui précède, de telles équations que l'Au auay de hache ay d'Au de poids du commerce de hache de poids du commerce de __ de poids du commerce 'et l'aV/ax, aV/ay peuvent être trouvé en résolvant See also:ces équations, si l'a(x de Jacobian, y)/a(u, v) n'est pas zéro. La généralisation de See also:cette méthode pour le cas de plus de deux variables n'a pas besoin de nous détenir. Dans les cas aimez qu'ici considéré lui est parfois plus commode pour ne pas considérer les équations relier x, y avec u, v en tant qu'effectuer une transformation de point, mais pour considérer les lieux u=const., v=const. en tant que deux "familles" des courbes. Alors dans de toute région du See also:plan de (x, y) dans lequel l'a(x de Jacobian, y)/a(u, v) ne disparaît pas ou ne devient pas See also:infini, tout point (x, y) est uniquement déterminé par les valeurs u et v qui appartiennent aux courbes des deux familles qui traversent le point. Des variables telles qu'u, v sont alors décrites en tant que ''coordonnées jcurvilinear "du point.

Cette méthode est applicable à tout nombre de variables. Quand l'u=const de lieux s'intersectent perpendiculairement, les variables sont des coordonnées curvilignes "orthogonales". Les systèmes tridimensionnels de telles coordonnées ont des applications importantes dans la See also:

physique mathématique. La référence peut être faite à G. Lame, les curvilignes de coordonnees de les de sur de Leyans (See also:Paris, 1859), et à G. Darboux, à curvilignes de coordonnees de les de sur de Lecons et à orthogonaux de systemes (Paris, 1898). Quand une coordonnée telle qu'u est reliée à x et y par une relation fonctionnelle du f(x de See also:forme, y, u) = o les courbes u=const. sont une See also:famille des courbes, et cette famille peut être telle qu'aucune deux courbes de la famille n'ont un point See also:commun. Quand ce n'est pas le cas les See also:points dans lesquels un f(x de courbe, y, u) = o est intersecté par un f(x de courbe, y, un u+Au) = o tendent à limiter des positions pendant que du est diminué indéfiniment. Le lieu de ces positions limiteuses est l'"enveloppe" de la famille, et en général il touche toutes les courbes de la famille. Il est facile de voir que, si u,v sont les paramètres de deux familles de courbes qui ont des enveloppes, l'a(x de Jacobian, y)/a(u, v) disparaît à tous les points sur ces enveloppes. Il est facile de voir également qu'à un point quelconque où l'a(u réciproque de Jacobian, v)/a(x, y) disparaît, une courbe de la famille u touche une courbe de la famille v. En ce qui concerne si trois variables X, y, z sont reliées par un f(x fonctionnel de relation, y, z) = o, un d'elles, parole de z, peut être considéré comme une fonction implicite des autres deux, et les coefficients différentiels partiels de z x et y peuvent être constitués par la règle de tout le différentiel.

Nous avons l'az _ L de l'az de. f _ - la hache/az ay/ex 'ay = az 'et là n'est aucune difficulté dans la marche à suivre pour exprimer les coefficients différentiels plus élevés. Là surgit le problème d'exprimer en ce qui concerne les coefficients différentiels partiels de x en ce qui concerne y et z en termes de ceux de z x et y. le problème est connu en tant que celui de "changer la variable dépendente." Il est résolu en appliquant la règle de tout le différentiel. Les considérations semblables sont applicables à tous les cas dans lesquels des variables de n sont reliées par moins que des équations de n. 45, Le théorème du See also:

tailleur peut être prolongé aux fonctions de plusieurs variables. Dans le cas de deux variables le général pour le See also:mula de See also:prolongation, avec un See also:reste après n nomme, peut être écrit les of'Taylor le plus simplement dans le théorème de forme. f(a+h, b+k) = f (a, b) +df (a, b) + 2 d2f(a, b) +... + n I I)See also:id''-'f(a, b)+dnf(a+Oh, b+Bk), d'f(a, b) = [ (hdx+See also:kay)'f(x, y')]y_a dans lequel n et d"f (a+6h, b+6k) _ (h +kayl) f (x) ] = +en, v-b+Px la dernière expression est le reste après des See also:limites de n, et dans lui 0 dénote un See also:certain nombre particulier entre o et le i. les résultats pour trois variables ou plus peut être écrit sous la même forme. La prolongation du théorème du tailleur a été donnée par See also:Lagrange (1797); la forme écrite ci-dessus est due à Cauchy (1823). Pour la validité du théorème sous cette forme qu'il est nécessaire que tous les coefficients différentiels jusqu'au nième devraient être continus dans une région liée par x = un 'h, y = b t k. quand tous les coefficients différentiels, n'importe comment haut l'See also:ordre, sont continus dans une telle région, le théorème mène à une expansion de la fonction d'une série entière multiple. De telles expansions sont comme importantes juste dans l'See also:analyse, mécanique de geometry.See also:and que des expansions des fonctions d'une variable.

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