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CORRESPONDANCE
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CORRESPONDANCE . HOMOGRAPHIQUE ET See also:PERSPECTIVE S'ÉTEND See also:LE § 25. Deux rangées, p et p ', qui sont un la See also:projection de l'autre (comme dans fig. 5), stand dans une relation définie entre eux, caractérisé par See also:les propriétés suivantes. 1. À chaque See also:point dans l'un ou l'autre correspond un point dans l'autre; c'est-à-dire, on dit que See also:ces See also:points correspondent qui sont See also:des projections d'une des autres. 2. Le See also:croix-rapport de quatre points quelconques dans un égale See also:cela des points correspondants dans l'autre. 3. Les See also:lignes joignant la correspondance dirige tout le passage par le même point. Si nous supposons les points correspondants marqués, et les rangées introduites dans n'importe quelle autre position, alors les lignes joignant les points correspondants ne se réuniront plus dans un point See also:commun, et par conséquent le tiers des propriétés ci-dessus ne se tiendra pas plus See also:longtemps; mais nous avons toujours une correspondance entre les points dans les deux rangées possédant les deux premières propriétés. Une telle correspondance s'est appelée une correspondance d'one-one, tandis que les deux rangées entre lesquelles une telle correspondance a été établie seraient projectives ou homographiques. Deux rangées qui sont chaque la projection de l'autre sont donc projectives. Nous verrons actuellement, aussi, que deux rangées projectives quelconques peuvent toujours être placées dans une telle position qu'on apparaît comme projection de l'autre. Si elles sont en une telle position les rangées seraient en position de perspective, ou être simplement dans la perspective. § 26. La notion d'une correspondance d'one-one entre les rangées peut être See also:sortie aux crayons plats et axiaux, à savoir on dira qu'un See also:crayon See also:plat est projectif à un crayon plat si à chaque See also:rayon dans le See also:premier correspond un rayon dans la seconde, et si le croix-rapport de quatre rayons dans un égale cela des rayons correspondants dans la seconde. De même un crayon axial peut être projectif à un crayon axial. Mais un crayon plat peut également être projectif à un crayon axial, ou l'un ou l'autre crayon peut être projectif à une rangée. La définition est la même dans chaque See also:cas: il y a une correspondance d'one-one entre les éléments, et quatre éléments ont le même croix-rapport que ceux correspondants. § 27. Il y a également dans chaque cas une position spéciale qui s'appelle la perspective, à savoir. t. Deux rangées projectives sont perspective si elles se situent dans le même See also:avion, et si l'une rangée est une projection de l'autre. 2. Deux crayons plats projectifs sont perspective(I) s'ils se situent dans le même avion, et ont une rangée comme See also:section See also:commune; (2) s'ils se situent dans le même crayon (dans l'See also:espace), et sont les deux sections du même crayon axial; (3) s'ils sont dans l'espace et ont une rangée en tant que section commune, ou sont les deux sections du même crayon axial, un des conditions impliquant l'autre. 3. Deux crayons axiaux projectifs, si leurs haches se réunissent, et si elles ont un crayon plat comme section commune. 4. Une rangée et un crayon plat projectif, si la rangée est une section du crayon, chaque point se situant dans sa See also:ligne correspondante. 5. Une rangée et un crayon axial projectif, si la rangée est une section du crayon, chaque point se situant dans sa ligne correspondante. 6. Un See also:appartement et un crayon axial projectif, si l'ancien est une section de l'autre, chaque rayon se situant dans son avion correspondant. Que dans chaque cas la correspondance établie par la position indiquée est comme s'est appelé projectif suit immédiatement de la définition. Il n'est pas aussi évident que la position de perspective puisse toujours être obtenue. Nous montrerons dans le ó de § ceci pour les trois premiers cas. D'abord, cependant, nous donnerons quelques théorèmes qui se relient à la correspondance générale, pas à la position de perspective. § 28. Deux rangées ou crayons, plat ou axial, qui sont projectifs à un tiers sont projectifs entre eux; ceci suit immédiatement des définitions. § 29. Si deux rangées, ou deux crayons, plats ou axiaux, ou une rangée et un crayon, soient projectifs, nous pouvons assumer à trois éléments quelconques dans celui les trois éléments correspondants dans l'autre, et alors la correspondance est uniquement déterminée. Pour si dans deux rangées projectives nous supposons que les points A, B, C dans le premier correspondent aux points indiqués A ', B ', C 'dans l'en second See also:lieu, alors à n'importe quel quatrième point D dans le premier correspondra un point D 'dans la seconde, de sorte que (See also:ab, CD) = (A'B ', C'D '). Mais il y a seulement un point, D ', qui fait l'égale du croix-rapport (A'B ', C'D ') au nombre donné (ab, CD). Le même raisonnement se tient dans les autres cas. § 30. Si deux rangées sont perspective, alors les lignes joignant la correspondance dirige tout le See also:rassemblement dans un point, le centre de la projection; et le point dans lequel les deux See also:bases des rangées intersectent pendant qu'un point dans la première rangée coïncide avec son point correspondant dans la seconde. Ceci suit de la définition. D'See also:inverse les prises également, à savoir. Si deux rangées projectives ont une telle position qu'un point dans celui coïncide avec son point correspondant dans l'autre, alors elles sont perspective, c.-à-d., les lignes joignant les points correspondants tout le passage par un point commun, et forment un crayon plat. Pour laissez A, B, C, D. . . soyez des points dans celui, et A ', B ', C ', D '. . . la correspondance se dirige dans l'autre rangée, et a laissé A être fait pour coïncider avec son point correspondant A '. Laissez S être le point où rassemblement des lignes BB le 'et cc ', et nous a laissés joignent S au point D dans la première rangée. See also:Cette ligne coupera la deuxième rangée dans un point D ", de sorte qu'A, B, C, D soient projetés de S dans les points A, B ', C ', D ". Le croix-rapport (ab, CD) est donc l'égale (ab ', C'D"), et par hypothèse qu'elle est égale à (A'B ', C'D '). Par conséquent (A'B ', C'D") = (A'B ', C 'I) '), c.-à-d., D "est le même point que D '. § 31. Si deux projetaient les crayons plats dans le même avion sont dans la perspective, alors les intersections de la See also:forme correspondante de lignes une rangée, et la ligne joignant les deux centres comme ligne dans le premier crayon correspond à la même ligne comme ligne dans la seconde. Et réciproquement, si deux crayons projectifs dans le même avion, mais avec différents centres, ayez une ligne dans See also:celle coïncidente avec sa ligne correspondante dans l'autre, alors les deux crayons sont la perspective, c.-à-d., l'intersection du See also:mensonge correspondant de lignes dans une ligne. La See also:preuve est la même que dans le § 30. § 32. Si deux crayons plats projectifs dans le même point (crayon dans l'espace), mais pas dans le même avion, sont perspective, alors les avions joignant la correspondance rayonne tout le passage par une ligne (ils forment un crayon axial), et la ligne commune aux deux crayons (dans ce que leurs avions intersectent) correspond à elle-même. Et réciproquement: Si deux crayons plats qui ont un centre commun, mais ne se situent pas dans un avion commun, sont placés de sorte qu'un rayon dans celui coïncide avec son rayon correspondant dans l'autre, alors ils sont perspective, c.-à-d., les avions joignant les lignes correspondantes tout le passage par une ligne. § 33. Si deux crayons axiaux projectifs sont perspective, alors l'intersection des avions correspondants se situent dans un avion, et l'avion commun aux deux crayons (dans quel le mensonge de deux haches) correspond à lui-même. Et réciproquement: Si deux crayons axiaux projectifs sont placés dans une telle position qu'un avion dans celui coïncide avec son avion correspondant, alors les deux crayons sont perspective, c.-à-d., les avions correspondants se réunissent dans les lignes qui se situent dans un avion. La preuve est encore la même que dans le § 30. § 34. Ces théorèmes concernant la position de perspective deviennent illusoires si les rangées projectives des crayons ont une See also:base commune. Nous avons alors: Dans deux rangées projectives sur le même lineand également dans deux projectifs et crayons plats concentriques dans le même avion, ou dans deux crayons axiaux projectifs avec un élément commun d'axisevery dans celui coïncide avec son élément la correspondance dans l'autre dès que trois éléments dans celui coïncideront avec leurs éléments correspondants dans l'autre. Preuve (en cas de deux éléments de rows).Between quatre A, B, C, D et leurs éléments correspondants A ', B ', C ', D 'existe la relation (ABCD) = (A'B'C'D '). Si maintenant A ', B ', C 'coïncident respectivement avec A, B, C, nous obtenons (ab, CD) = (ab, CD '), par conséquent D et D 'coïncident. 
Le dernier théorème peut également être énoncé ainsi: Dans deux rangées ou crayons projectifs, qui ont une base commune mais ne soyez pas identique, pas plus de deux éléments dans celui peuvent coïncider avec leurs éléments correspondants dans l'autre. Ainsi deux rangées projectives sur la même ligne ne peuvent pas avoir plus de deux paires de points coïncidents à moins que chaque point coïncide avec son point correspondant. Il est facile de construire deux rangées projectives sur la même ligne, qui ont deux paires de points correspondants coïncidents. Laissez les points A, B, C comme les points appartenant à l'une rangée correspondent à A, à B, et à C 'comme points dans la seconde. Puis A et B coïncident avec leurs points correspondants, mais C pas . Il est, cependant, non nécessaire que deux telles rangées aient deux fois un point coïncident avec son point correspondant; il est possible que ceci se produise seulement une fois ou pas du tout. De ceci nous verrons des exemples plus See also:tard. § 35. Si deux rangées ou crayons projectifs sont en position de perspective, nous savons immédiatement que l'élément dans un correspond à n'importe quel élément donné dans l'autre. Si p et q (fig. 9) sont deux rangées projectives, de sorte que K corresponde à lui-même, et si nous savons que cela à A et B dans p correspondent A 'et B 'dans q, alors le point S, où le aa 'rencontre BB ', est le centre de la projection, et par conséquent, afin de trouver le point C 'correspondre à C, nous ont joindre seulement C à S; le point C ', où cette ligne See also:coupe q, est le point exigé. Si deux crayons plats, S1 et S2, dans un avion sont la perspective (fig. E/S), nous devons savoir seulement deux paires, a, 'et b, b ', des rayons correspondants afin de trouver l'See also:axe s de la projection. Le ce étant connu, un rayon c 'dans S2, correspondant à un donné, le rayon c dans le SI, est trouvé en joignant S2 au point où c coupe l'axe s. Une construction semblable se tient dans les autres See also:caisses de chiffres de perspective. De ceci dépend la See also:solution du problème général suivant. § 36, trois paires d'éléments correspondants dans deux rangées projectives ou crayons étant donnés, pour déterminer pour tout élément dans un l'élément correspondant dans l'autre. Nous résolvons ceci dans les deux caisses de deux rangées projectives et de deux crayons plats projectifs dans un avion. Le problème I.Let A, B, C soit le problème II.Let a, b, c soit trois points dans une rangée s, A ', B ', C 'trois rayons dans un crayon S, ', b ', c 'que la correspondance dirige dans les rayons correspondants dans une rangée pro-projective s ', tous les deux qui sont dans un crayon jective S ', tous les deux qui sont dans l'avion; on l'exige pour trouver pour le même avion; on l'exige à n'importe quel point D dans s la trouvaille de correspondance pour n'importe quel rayon d dans S le corre -. le point D d'See also:ing 'dans s '. rayon sponding d 'dans S '. La solution est faite pour dépendre de la construction d'une rangée ou d'un crayon See also:auxiliaire qui est perspective à tous les deux donnée. Ceci est trouvé comme suit: Solution du problème I.On la ligne joignant deux points correspondants, parole aa '(fig. II), prennent deux points quelconques, S et S ', comme centres des crayons auxiliaires. Joignez l'intersection See also:Bl du SB et du S'B 'à l'intersection C1 du See also:Sc et du S'C 'par la ligne SL. Alors une rangée sur le See also:silicium sera perspective à s avec S comme centre de projection, et aux s avec des s comme centre. Pour trouver maintenant le point D 'sur des s correspondant à un point D sur s que nous avons déterminer seulement les See also:DI de point, où l'écart-See also:type de ligne coupe le silicium, et pour dessiner S'DI; le point où cette ligne coupe la volonté du s soit regeired le point D ', les rangées s de Proof.The et les s sont deux perspective au silicium de rangée, par conséquent ils sont projectifs à un un autre. À A, B, C, D sur s correspondent AI, B1, ci; D1 sur le silicium, et à ces derniers correspondent A ', B ', C ', D 'sur s '; de sorte que D et D 'soient les points correspondants comme exigés. Fig. II De AI. solution 694 du problème II. Par l'intersection A de deux correspondant rayonne a et '(fig. 12), prennent deux lignes, s et s ', comme bases des rangées auxiliaires. Laissez le SI être le point où la ligne b1, qui See also:joint B et B ', coupe le See also:Cl de ligne, qui joint C et C '. Alors un silicium de crayon sera perspective à S avec s comme axe de projection. Pour trouver le rayon d 'dans les s correspondant à un rayon donné d dans S, d coupé par s à D; projetez ce point de SI à D 'sur des s et joignez D 'à S '. Ce sera le rayon exigé. Proof.That que le crayon SI est perspective à S et également aux s suit de la construction. À Al de lignes, b1, I, d1 dans le SI correspondent les lignes a, b, c, d dans S et les lignes ', b ', c ', d 'dans S ', de sorte que d et d 'soient les rayons correspondants. Dans la première solution les deux centres, S, S ', sont deux points quelconques sur une ligne joignant deux points correspondants quelconques, de sorte que la solution du problème permette d'un See also:grand beaucoup de différentes constructions. Mais quelque construction soit employée, le point D ', correspondant à D, doit être toujours identique, selon le théorème dans le § 29. Ceci provoque un See also:certain nombre de théorèmes, lesquels, cependant, nous n'entamerons pas. Les mêmes remarques se tiennent pour le deuxième problème. § 37. Triangles.As homologique que une autre application des théorèmes au sujet de la perspective See also:rame et des crayons nous prouverons le théorème important suivant. Théorème -- si See also:ABC et A'B'C '(fig. 13) soit deux triangles, telles que les lignes aa ', BB ', cc 'rassemblement dans un point S, puis les intersections d'cAvant JÉSUS CHRIST et B'C ', du CA et du C'A ', et du ab et de l'cA'b 'se situeront dans une ligne. De telles triangles seraient homologiques, ou dans la perspective. Les triangles sont "coaxiales" dans la vertu de la propriété que les rassemblements des côtés correspondants sont situés sur la même droite et copolar, puisque les lignes joignant des sommets correspondants sont concourantes. Proof.Let a, b, c dénotent les lignes aa ', BB ', les cc ', qui se réunissent chez S. Puis que ceux-ci peuvent être pris comme bases des rangées projectives, de sorte qu'A, A ', le fils une correspondance à B, à.b ', à S sur b, et à C, C ', S sur le c. comme point S soit commun à tous, n'importe quels deux de ces rangées seront perspective. Si le SI soit le centre de la projection des rangées b et c, S2 c et a, S3 a et b, et si la ligne See also:S1S2 coupe a dans A1, et b en See also:BI, et c en Cl, alors See also: Le théorème inverse se tient également, à savoir. Theorem.If les côtés d'un rassemblement de triangle ceux des autres dans trois points qui se situent dans une ligne, puis les sommets se trouvent sur trois lignes qui rencontrent dans un point. La preuve est presque identique à avant. § 38. Les relations métriques entre la rangée projective de Rows.Every contient un point qui est distingué de tous les autres, à savoir le point à l'See also:infini. Dans deux rangées projectives, au point I à l'infini dans un correspond un point I'dans l'autre, et au point J 'à l'infini dans la seconde correspond un point J dans le premier. Les points I'et J sont en général fini. Si maintenant A et B sont deux points quelconques dans celui, A ', B 'que la correspondance se dirige dans l'autre ro_w, puis (ab, JI) = (A'B ', J'I '), parole ou AJ/jb: AI/ib = A'J'/j'b ': AT/it '. Mais, par le § 17, AI/ib = A'J'/7'b '= - I; donc les derniers changements d'équation dans AJ. À '= BJ. B'I ', cela est au produit de say[PROJECTIVE Theorem.The des distances de deux points correspondants quelconques dans deux rangées projectives des points qui correspondent aux points à l'infini dans l'autre sont constants, à savoir. AJ. A'I'=k. See also:Steiner a demandé ce numéro k la See also:puissance de la correspondance. (la relation AJ. A'I'=k prouve que si J, I'soit donné alors le point A 'correspondant à un point indiqué A est aisément trouvé; par conséquent A, A 'produisent des gammes homographiques dont I et J 'correspondent aux points à l'infini sur les gammes. Si nous prenons à deux origines quelconques 0, 0', sur les gammes et réduisent l'expression AJ. A'I'=k à son équivalent algébrique, nous dérivons une équation de la forme axx'-r/3x+yx 'd S = o. réciproquement, si une relation de cette nature se tient, dirige alors la correspondance aux solutions les gammes homographiques See also:sous de x, de x 'forme. ] § 39. Rows.If semblable que les points à l'infini dans deux rangées projectives correspondent de sorte qu'I'et J soient à l'infini, ce résultat perd sa signification. Mais si A, B, C soit trois points quelconques dans un, A ', B ', C 'ceux correspondants sur l'autre rangée, nous avons (ab, ci) = (A'B ', C'I '), à la laquelle réduit See also:AC/cb = A'C'/c'b 'ou AC/a'c'=bc/b'c ', c.-à-d., les segments correspondants sont proportionnels. Réciproquement, si les segments correspondants sont proportionnels, alors au point à l'infini dans un correspond le point à l'infini dans l'autre. Si nous appelons de telles rangées semblables, nous pouvons énoncer que du résultat ainsi les rangées projectives Theorem.Two sont semblables si au point à l'infini dans un correspond le point à l'infini dans l'autre, et réciproquement, si deux rangées sont semblables puis elles sont projectives, et les points à l'infini sont les points correspondants. De ceci les propositions bien connues suivent: Deux lignes sont coupées proportionnellement (dans les rangées semblables) par une série de parallèles. Les rangées sont perspective, avec le centre de la projection à l'infini. Si deux rangées semblables sont parallèle placé, alors les lignes joignant les points homologues traversent un point commun. § 40. Si deux crayons plats soient projectifs, alors là existe dans l'un ou l'autre, une seule paire de lignes perpendiculairement à une une autre, telles que les lignes correspondantes dans l'autre crayon sont encore perpendiculaires. Pour prouver ceci, nous plaçons les crayons dans la position de perspective (fig. 14) en rendant une pièce de monnaie de rayon cident avec son rayon correspondant. Les rayons correspondants se réunissent alors sur une ligne p. et maintenant nous traçons le See also:cercle qui a son centre 0 sur p, et qui traverse les centres S et s des deux crayons. Ce cercle coupe p dans deux points de H et K. The deux aère des rayons, h, k, et h ', k, joignant ces points à la volonté de S et de s soient des paires de rayons correspondants perpendiculairement. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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