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À l'origine apparaissant en volume V11, page 713 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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A1A = AoA2, B1B = BoB2. Rabatted alors. See also:

Cette See also:ligne correspond donc au See also:plan de l'a"that r aa;bq y See also:ab donnera la longueur exigée. est, à l'See also:axe xy, See also:points la See also:correspondance sur See also:ces See also:lignes étant ceux que la construction pourrait avoir qui se trouve sur une perpendiculaire à l''. Exécuté dans l'See also:altitude nous avons ainsi une paire de lignes correspondantes et pouvons maintenant trouver b y m un See also:roi AÀ = AoA1 et pour n'importe quel See also:point B1 dans See also:le plan le point correspondant B dans rabatted B2B = BoB1 sur l'See also:avion de perpendiculaire de lignes. Nous traçons une ligne par B1, la parole B1P1, coupure 'en C. To il à A2B2. Naturellement le ab doit avoir correspond la ligne CP, et le point où ceci est coupé par le projet A B, la même longueur dans le See also:rayon d'See also:ing de See also:les deux See also:cas par B1, perpendiculaire à l'', est le point exigé B. B que cette figure peut être transformée en de même n'importe quelle figure dans rabatted l'avion peut être trouvé quand un modèle. Coupez le See also:papier le See also:long du plan est connu; mais ceci est habituellement trouvé dans un morceau différent AIABBI de façon plus de le long d'cA1bi jusqu'à car cette méthode et le raisonnement utilisé pour lui ont leur See also:particulier il se tient droit perpendiculairement au plan See also:horizontal. Les avantages de points, nous le donnons également. A, volonté de B soit alors en leur position vraie dans l'See also:espace relatif dedans. Simi- supposant les avions n1 et 2r2 pour être en leurs positions dans l'espace larly si B2BAA2 soit coupé et tourné le long d'cA2b2 par une bonne perpendiculaire entre eux, nous prenons une See also:section de la figure entière See also:angle que nous obtiendrons le ab en sa position vraie relativement à l'avion par une perpendiculaire d'avion à la trace 'au sujet de ce que nous avons 1-2 ans misant.

Pour finir nous plions le plan entier du papier le long de l'axe X au rabatt que l'avion a. a laissé cette section passer par le point Q dedans jusqu'à ce que l'avion I"2 soit perpendiculaire à dedans. En cette position les deux '. Ses traces seront alors les lignes QP1 et PIP2 (fig. 9). Ces ensembles de points ab coïncideront si le schéma a été précis sera perpendiculaire, et donc, ainsi que les modèles de section de cette sorte peut être fait dans beaucoup de cas et leur See also:

con- QP2 de l'avion a, forment une triangle droit-à angles QP1P2 avec le struction ne peuvent pas être trop fortement recommandés afin de réaliser l'angle droit à P1, et avoir les côtés P1Q et PIP2 que les deux la See also:projection orthographique sont donné dans leurs longueurs vraies. Cette triangle nous rabatt au sujet de son § 14. Pour trouver l'angle entre deux lignes données a, dont b la See also:base P1Q, faisant P1R=pip2. La volonté de la ligne QR donnent alors aux projections vraies a1, b1 et See also:a2, b2 sont donnés la longueur de la ligne QP dans l'espace. Si maintenant l'avion un être tourné autour de See also:Solution.Let a1, (fig. 44) le See also:rassemblement b1 dans See also:pi, a2, b2 dans T, alors si la ligne 'le point P décrira un See also:cercle au sujet de Q car le centre avec le See also:PUITS de rayon n'est pas perpendiculaire à l'axe les deux lignes ne se réunira pas. Dans QP=qr, dans une perpendiculaire d'avion à la trace '. Par conséquent quand la cette caisse que nous dessinons un avion a de parallèle de ligne a été rabatted dans le plan horizontal la volonté du point P à b pour rencontrer la ligne a. c'est See also:mensonge dans le PIQ perpendiculaire à l'', de sorte que QP=qr.

plus facile fait en dessinant d'abord si la AI est le plan d'un point A dans l'avion a, et si la AI se situe dans QP1, perpendiculaire de la ligne PIP2 alors au point A se trouvera verticalement au-dessus d'See also:

Al dans la ligne QP. Sur l'axe pour rencontrer a2 dans P2, et puis le refus la triangle QP1P2, le point A viendra à ao, le schéma par P2 que une ligne A1Ao de la ligne C2 étant perpendiculaire à QP1. Hence A sera un point en parallèle à b2; puis b1, C2 sera QP tels que QA=QAo. les projections d'une ligne c qui si B1 est le plan d'un autre point, mais tel qu'cA1b1 est parallèle est parallèle à b et rencontre a dans le P. à l'', puis à la ligne correspondante ab seront également parallèles à l''. L'avion que ces deux lignes par conséquent, si par A une ligne ab soit parallèle dessiné à l'See also:des ', et de B1 B nous déterminent rabatt à la perpendiculaire à l'', puis à leur intersection donne le plan de B. Thus de point. Nous déterminons les traces de n'importe quel point donné dans le plan la vraie position dans l'avion a, quand 'et c 'des lignes a et c; rabatted, peut être trouvé par cette deuxième méthode. C'est l'un alors a'c 'est la trace 'du leur le plus généralement donné en livres sur le schéma géométrique. Le See also:premier avion. Sur rabatting la méthode de point expliquée est, cependant, dans la plupart des cas pendant qu'il donne P préférable vient à un point S sur la ligne le dessinateur une plus grande variété de constructions. Il exige une perpendiculaire de P1Q à l'a'c ', une quantité tellement légèrement plus grande de la See also:connaissance théorique.

ce QS=qp. Mais QP est le hypotenuse d'une triangle PP1Q avec si au See also:

lieu de notre savoir le plan d'une figure le dernier est lui-même un angle droit pi. Ceci que nous construisons par la fabrication QR = PoP2; alors donné, alors le See also:processus de trouver le plan est l'See also:inverse du P1R=pq. Les lignes a et la volonté du c incluent donc ci-dessus égal et les besoins d'angles peu d'explication. Nous donnons un exemple. à ceux a fait par les lignes données. Il doit être rappelé que deux le § 16. On l'exige pour tracer le plan et l'altitude d'un See also:polygone des lignes incluent deux angles qui complètent. Lesquels de ces derniers que la vraie See also:forme et placent dans un avion donné a sont connues. est être prise dans n'importe quel cas spécial dépend des circonstances. Nous d'abord rabatt l'avion a (fig. 46) en tant qu'avant de sorte que pi See also:vienne à pour déterminer l'angle entre une ligne et un avion, nous dessinons par P, par conséquent OPI à OP laissent le polygone donné dans un être la figure n'importe quel point dans la ligne une perpendiculaire à l'avion (§ 12) et déterminent ABCDE.

Nous projetons, pas les sommets, mais les côtés. Pour projeter l'angle entre lui et la ligne donnée. Le complément de ceci la ligne ab, nous la produisons pour couper 'dans F et See also:

OP dans See also:G, et dessinons l'angle de projet. est l'une perpendiculaire exigée à l''; alors G1 correspond à G, donc à FG1 à FG. Pour déterminer l'angle entre deux avions, nous dessinons par de la même manière nous pourrions projeter tous les autres côtés, au moins II ceux dont See also:coupe et OP dans les points commodes. Il sera le meilleur, cependant, d'abord produira tous les côtés pour couper OP et 'et puis pour dessiner tous les rayons de projection par A, B, C. . perpendiculaire à l'', et dans la même direction les lignes G, G1, &See also:amp;c. Par FG de See also:dessin nous obtenons Al de points, See also:Bl sur le rayon de projection par A et B. We puis joignent B au Ni de point où des rassemblements AVANT JÉSUS CHRIST produits la trace '. Ceci donne C1. ainsi nous continuons jusqu'à ce que nous ayons trouvé le EL. Le EL d'Al de ligne doit alors rencontrer AE dans ', et ceci donne un contrôle. Si un des côtés coupe 'ou OP au delà du papier de dessin que cette méthode échoue, mais alors nous pouvons facilement trouver la projection d'une autre ligne, d'une parole d'une diagonale, ou directement de la projection d'un point, par les anciennes méthodes. Aussi le servir de vérifier le schéma, parce que deux diagonales correspondantes doit se réunir dans la trace '. Nous ayant au plan trouvons facilement l'altitude.

L'altitude de G est au-dessus de G, dans ", et ce de F est au See also:

F2 à l'axe. Ceci donne l'altitude F2G2 de FG et dans elle nous obtenons à l'in A2132 les verticales par Al et B1. Car un contrôle nous ont OG=og2. De même l'altitude des autres côtés et sommets sont trouvées. § 17. Nous procédons donner quelques applications des principes ci-dessus à la représentation des solides et de la solution des problèmes liés à eux. D'une See also:pyramide sont donnés sa base, la longueur de la perpendiculaire du See also:sommet à la base, et le point où cette perpendiculaire coupe la base; elle est exigée d'abord pour développer la See also:surface entière de la pyramide en un avion, et pour déterminer en second lieu sa section en un avion qui coupe le plan de la base dans une ligne donnée et fait un angle donné avec elle. 1. Car les plans de la projection ne sont pas donnés nous pouvons les prendre comme nous voulons, et nous les choisissons de façon que la solution devienne aussi See also:simple comme possible. Nous prenons le plan de la base comme plan horizontal et perpendiculaire de plan See also:vertical au plan de la section. Alors laissé (fig. 47) ABCD soit la base de la pyramide, Vi le plan du sommet, puis les altitudes de A, B, C, D seront à l'axe à A2, à B2, à C2, à D2, et au sommet à un See also:certain point V2 au-dessus de V, à une distance connue de l'axe.

Les lignes V1A, V1B, &c., seront les plans et les lignes VÀ2, V2B2, &c., les altitudes des bords de la pyramide, de laquelle projettent ainsi et l'altitude sont connues. Nous développons la surface en plan de la base en transformant chaque See also:

visage latéral au sujet de son See also:bord inférieur en plan horizontal par la méthode employée dans le § 14. Si un visage a été tourné vers le See also:bas, la parole ABV à ABP, alors au point Q auxquels le sommet du prochain visage BCV vient peut être obtenue plus simplement en trouvant sur la perpendiculaire de la ligne V1Q AVANT JÉSUS CHRIST au point Q tels que BQ = point d'ébullition, parce que ces lignes représentent le même bord BV de la pyramide. Prochain R est trouvé en faisant See also:CR=cq, et ainsi de See also:suite jusqu'à ce que nous ayons le dernier fait de S. The de sommet dans ce cas-ci qu'cEn TANT QUE nécessité AP égal donne à un contrôle commode. 2. L'avion dont la section que nous devons déterminer a son perpendiculaire donnée par trace horizontale à l'axe, et sa trace verticale fait l'angle donné avec l'axe. Ceci le détermine. Pour trouver la section de la pyramide en cet avion là soyez deux méthodes applicables: nous trouvons les sections de l'avion avec les visages ou avec les bords de la pyramide. Nous employons le dernier. Car l'avion a est perpendiculaire au plan vertical, la trace 'contient la projection de chaque figure dans elle; les points E2, F2t G2, H2 où cette trace coupe les altitudes des bords veulent, soient donc les altitudes des points où les bords ont coupé a. de ces derniers que nous trouvons les plans E1, la Floride, G1, H1, et en les joignant le plan de la section. Si du EL, les lignes de la Floride soient perpendiculaire dessinée à ab, ceux-ci détermineront les points E, F sur le visage développé dans lequel l'avion des coupes il; par conséquent aussi la ligne EF. de même sur les autres visages.

Naturellement BF doit 'être la même longueur sur le point d'ébullition et sur BQ. Si l'avion que un être rabatted au plan, nous obtenons la vraie forme de la section comme représenté sur la figure dans EFGH. C'est FoF=OF2 bymaking facilement fait, &c. Si la figure représentant le développement de la pyramide, ou améliorez une See also:

copie d'elle, est coupé, et si les visages latéraux soient pliés le long des lignes ab, AVANT JÉSUS CHRIST, &c., nous obtenons un modèle de la pyramide avec la section marquée sur ses visages. Ceci peut être placé sur son plan ABCD et le plan de l'altitude plié autour de l'axe X. que la pyramide se tient alors devant ses altitudes. Si après l'avion a avec un trou coupé représentant la section vraie soit plié le long de la trace 'jusqu'à ce que son bord coïncide avec ", les bords du trou doivent coïncider avec les lignes EF, FG, &c., sur les visages. § i8. Des polyèdres comme la pyramide dans le § 17 sont représentés par les projections de leurs bords et sommets. Mais les solides ont bondi par les surfaces incurvées, ou apprêtent elles-mêmes, ne peuvent pas être ainsi représentés. Pour une surface nous pouvons employer, comme en cas d'avion, son tracesthat est, les courbes dans lesquelles il coupe les plans de la projection. Nous pouvons également projeter des points et des courbes sur la surface. Un rayon coupe la surface généralement dans plus d'un point; par conséquent il se produira que certains des rayons touchent la surface, si deux de ces points coïncident. Les points de See also:contact de ces rayons formeront une certaine courbe sur la surface, et ceci apparaîtra du centre de la projection comme frontière de la surface ou d'une See also:partie de la surface.

Les contours de toutes les surfaces des solides que nous voyons au sujet de nous sont constitués par les points auxquels des rayons par notre contact d'See also:

oeil la surface. Les projections de ces découpes donc mieux sont adaptées pour donner une idée de la forme d'une surface. Ainsi les tangentes tirées de n'importe quel centre fini à une forme de sphère un cône circulaire droit, et ceci seront coupées en n'importe quel avion dans un conique. V2 ce s'appelle souvent la projection d'une sphère, mais ce s'appelle mieux la découpe-ligne de la sphère, car c'est la frontière des projections de tous les points sur la sphère. Si le centre est à l'See also:infini le cône de tangente devient un See also:cylindre circulaire droit touchant la sphère le long d'un See also:grand cercle, et si la projection est, comme dans notre cas, orthographique, alors la section de ce cône en un plan de projection sera un cercle égal au grand cercle de la sphère. Nous obtenons un tel cercle dans le plan et des autres dans l'altitude, leurs centres étant plan et altitude du centre de la sphère. De même les rayons touchant un cône du deuxième See also:ordre se situeront dans des deux avions qui traversent le sommet du cône, la découpe-ligne de la projection du cône consiste donc en deux lignes se réunissant dans la projection du sommet. Ceux-ci peuvent, cependant, être invisibles si aucun vrai rayon de tangente ne peut être tiré du centre de la projection; et ceci se produit quand le rayon projetant le centre du sommet se trouve en dessous du cône. Dans ce cas-ci les traces du cône sont d'importance. Ainsi en représentant un cône de révolution avec un axe vertical nous obtenons dans le plan une trace circulaire de la surface dont le centre est le plan du sommet du cône, et dans l'altitude la découpe, se composant d'une paire de lignes intersectant dans l'altitude du sommet du cône. Le cercle dans le plan et la paire de lignes dans l'altitude ne déterminent pas la surface, parce que on pourrait concevoir un nombre infini de surfaces qui traversent la trace circulaire et touchent deux avions par les lignes de découpe dans le plan vertical. La surface devient seulement complètement définie si nous notons à la figure qu'elle représentera un cône. Le même se tient pour toutes les surfaces. Même un avion est entièrement représenté par ses traces seulement See also:sous le tl'at silencieux de compréhension que les traces sont ceux d'un avion. § 19.

Certains des problèmes plus simples liés à la représentation des surfaces sont la détermination des sections plates et des courbes de l'intersection de deux telles surfaces. L'ancien est constamment employé dans presque tous les problèmes au sujet des surfaces. Sa solution dépend naturellement de la nature de la surface. Pour déterminer la courbe de l'intersection de deux surfaces, nous prenons un avion et déterminons sa section avec chacune des deux surfaces, rabatting cet avion au besoin. Ceci donne deux courbes qui se situent dans le même avion et dont les intersections nous donneront des points sur les deux surfaces. Il doit ici se rappeler que deux courbes dans l'espace n'intersectent pas nécessairement, par conséquent que les points dans lesquels leurs projections intersectent ne sont pas nécessairement les projections des points communs aux deux courbes. Ce, cependant, sera le cas si les deux courbes se situent dans un avion See also:

commun. En prenant alors un certain nombre de sections plates des surfaces nous pouvons obtenir autant de points sur leur courbe d'intersection comme nous voudrons. Ces avions ont, naturellement, pour être choisis de telle manière que les sections soient des courbes aussi simples que les autorisations de cas de, et telles qu'elles peuvent dessiner facilement et exactement. Ainsi si possible les sections devraient être les lignes droites ou les cercles. Ceci non seulement sauve le See also:temps dans le dessin mais détermine tous les points sur les sections, et donc aussi les points où les deux courbes se réunissent, avec l'exactitude égale. § 20.

Phoenix-squares

Nous donnons quelques exemples comment ces sections doivent être choisies. Un cône est coupé en chaque avion par le sommet dans les lignes, et si c'est un cône de révolution en des avions perpendiculaires à l'axe en cercles. Un cylindre est coupé en chaque avion parallèle à l'axe dans les lignes, et si c'est un cylindre de révolution en des avions perpendiculaires à l'axe en cercles. Une sphère est coupée en chaque avion en cercle. Par conséquent en cas de deux cônes situés n'importe où dans l'espace nous prenons des sections par les deux sommets. Ceux-ci couperont les deux cônes dans les lignes. De même en cas de deux cylindres nous pouvons prendre des sections parallèles à l'axe de tous les deux. En cas de sphère et de cône de révolution avec l'axe vertical, les sections horizontales couperont les deux surfaces en cercles dont les plans sont des cercles et dont les altitudes sont des lignes, tandis que les sections verticales par le sommet du cône coupent le dernier dans les lignes et la sphère en cercles. Pour éviter de dessiner les projections de ces cercles, qui en général seraient des ellipses, nous rabatt l'avion et puis tracer les cercles dans leur vraie forme. Et ainsi de suite dans d'autres cas. Une particulière See also:

attention devrait dans tous les cas être prêtée à ces points dans lesquels les tangentes à la projection de la courbe de l'intersection sont parallèles ou perpendiculaire à l'axe X, ou à où ces projections touchent la découpe d'un des surfaces. (O.

H.) IV. La GÉOMÉTRIE See also:

ANALYTIQUE r. dans la géométrie nommée il y a un See also:disque durable que la science a eu son origine dans la connaissance que deux distances peuvent être comparées par la See also:mesure, et dans l'idée que la mesure doit être efficace dans la See also:dissociation de différentes directions aussi bien que dans la comparaison des distances dans la même direction. La distance de l'oeil d'un observateur d'un See also:objet vu serait indiquée dès qu'on s'est assuré qu'une See also:tige, des droites à l'oeil et de la longueur prise comme connue, pourraient être données la direction de la ligne de la See also:vision, et a dû l'être déplacé le long de lui un certain nombre de fois par des longueurs égales à ses propres afin d'atteindre l'objet de l'oeil. D'ailleurs, si un See also:champ avait pour deux de ses lignes de frontières directement à l'oeil, un fonctionnement de sud au See also:nord et l'autre de l'ouest à l'est, la position d'un point dans le See also:domaine seraient indiqués si la tige, quand ouest dirigé, devait être décalée du point un observait le nombre de fois de rencontrer à l'ouest l'ancienne frontière, et aussi, quand sud dirigé, devait être décalée un autre nombre de fois observé au sud pour rencontrer le dernier. Comparaison par la mesure, le commencement de la géométrie, See also:compte impliqué, la base de l'arithmétique; et la science du nombre a été marquée dehors dès le début en date de l'importance géométrique. Mais l'arithmétique des ancients était insatisfaisante comme science du nombre. Bien qu'une longueur pourrait être identifiée comme connu quand la mesure a certifié qu'il était tant de temps par longueur See also:standard, ce n'était pas chaque longueur qui pourrait être ainsi indiquée en termes de même longueur standard, même par une arithmétique enrichie avec la notion du nombre partiel. L'idée de, incommensurability possible des longueurs a été présentée dans l'Europe par See also:Pythagoras; et l'idée correspondante de l'irrationality du nombre était absente d'une arithmétique See also:brute, alors qu'il y avait de grandes difficultés pratiques de la manière de son introduction. Par conséquent peut-être elle a surgi ce, jusqu'aux temps comparativement modernes, See also:appel à l'aide arithmétique dans le raisonnement géométrique était des manières allpossible retenues. La géométrie a figuré plutôt comme aide de la science plus difficile de l'arithmétique. 2. Elle était réservée pour que l'algèbre enlève les incapacités de l'arithmétique, et pour reconstitue les premières idées de la See also:terre-mesureuse dans la position de commander des idées dans la See also:recherche géométrique.

Cette science unifiée de nombre pur a fait comparativement peu de progrès dans les mains des ancients, mais a commencé à susciter l'attention due peu de temps après la renaissance de l'étude. Elle exprime les classes entières des faits arithmétiques en rapports simples, donne aux See also:

lois arithmétiques la forme d'équations impliquant les symboles qui peuvent signifier tous les See also:nombres connus ou cherchés, et fournit les processus qui nous permettent d'analyser l'information fournie par une équation et de dériver de cette équation d'autres équations, qui les lois exprès dont sont en effet les conséquences ou les causes d'une See also:loi commencée, mais différer considérablement d'elle sous la forme. Surtout, pour les buts actuels, elle traite non seulement du nombre intégral et partiel, mais le nombre considéré comme capable de la croissance continue, juste comme la distance est capable de la croissance continue. La difficulté de l'expression arithmétique du nombre irrationnel, une difficulté considérée comme par l'école See also:moderne des analystes avoir été longuement surmonté (voir la FONCTION), ne lui est pas essentielle. Elle peut appeler le rapport de la diagonale d'une See also:place à un côté, par exemple, ou à celui de la circonférence d'un cercle à un diamètre, un nombre, et a laissé a ou x dénoter que nombre, juste comme correctement qu'elle peut permettre à l'une ou l'autre See also:lettre de dénoter n'importe quel nombre raisonnable qui peut être plus grand ou moins que le rapport en question par une différence moins que toute petite que nous choisissons d'assigner. Compte seulement, et pas le compte des objets, de l'essence de l'arithmétique, et de l'algèbre. Mais il est légal pour compter des objets, et en particulier pour compter des longueurs égales par la mesure. L'idée élargie est que même lorsqu'a ou x est un nombre irrationnel nous pouvons parler de a ou d'unités de longueur de x par la mesure. Nous pouvons donnons l'interprétation concrète à une équation algébrique en permettant à ses See also:limites toutes de signifier des nombres de fois la même unité de longueur, ou la même unité de superficie, ou &c. et dans n'importe quelle équation légalement dérivée dès la début par des processus algébriques nous pouvons faire la même chose. See also:Descartes dans son Geometrie (1637) était le premier pour systématiser l'application de ce principe aux premières notions inhérentes de la géométrie; et les méthodes qu'il a instituées sont devenues les méthodes les plus efficaces de tous dans la recherche géométrique. Elle est à peine trop pour dire que, quand des faits connus quant à une figure géométrique ont été une fois exprimés en termes algébriques, tout strictement des faits consécutifs quant à la figure peuvent être déduits par des processus presque mécaniques. Certains peuvent jaillir soient des conséquences inattendues; et en obtenant ceux dont il y a eu See also:suggestion à l'avance le travail souvent ahurissant d'une attention See also:constante à la figure est obvié. Ce sont les méthodes de ce qui s'appelle maintenant analytique, ou parfois algébrique, la géométrie.

3. L'utilisation moderne du terme "analytique" dans la géométrie s'est obscurcie, mais non rendu désuet, une utilisation plus à court terme, une aussi vieille que See also:

Platon. Il n'y a rien algébrique dans cette See also:analyse, comme distingué de la synthèse, des Grecs, et des expositors de la géométrie pure. Il a la référence à un ordre des idées dans la démonstration, ou, plus fréquemment, en découvrant des moyens d'effectuer la construction géométrique d'une figure avec une propriété spéciale assignée. Nous devons supposer hypothétiquement que la construction a été effectuée, dessinant une figure approximative qui des objets exposés il aussi presque qu'est faisable. Nous analysons alors ou examinons en See also:critique la figure, traitée comme correcte, et vérifions d'autres propriétés qu'elle peut seulement posséder en See also:association avec See also:celle en question. Actuellement on trouvera un de ces propriétés souvent qui est d'un tel caractère que la construction d'une figure le possédant est simple. Les moyens d'effectuer synthétiquement une construction comme ont été désirés est ainsi mis en évidence par ce que Platon a appelé analyse. Ou encore, étant invité à prouver un théorème A, nous vérifions qu'il doit être vrai si un autre théorème B, que B doit être si C est, et ainsi de suite, de ce fait constate par la suite que le théorème A est la conséquence, par une chaîne des intermédiaires, d'un théorème dont Z l'établissement est facile. Cette analyse géométrique n'est pas le sujet de l'See also:article actuel; mais dans le raisonnement de la forme à la forme d'une équation ou d'un système des équations, avec l'objet de baser la See also:preuve algébrique d'un fait géométrique sur d'autres faits d'un caractère plus évident, la même See also:logique est utilisée, et "la géométrie analytique" nommée est ainsi en partie expliqué. 4. Dans l'algèbre vraie, le nombre positif était See also:seul d'abord occupé, et dans de la distance signless réelle de la géométrie. Mais dans l'algèbre il est devenu d'importance pour indiquer que chaque équation du premier degré a une See also:racine, et la notion du nombre négatif a été présentée. L'unité négative a dû être définie en tant que ce qui peut être ajouté à l'unité positive et produire la See also:somme zéro. La notion correspondante était aisément actuelle dans la géométrie, où il était clair qu'une distance d'unité puisse être mesurée vers la See also:gauche ou vers le bas à partir de la See also:fin plus lointaine d'une distance d'unité déjà mesurée vers la droite ou se lever d'un point 0, avec le résultat d'atteindre 0 encore.

Ainsi, donnez l'interprétation complète dans la géométrie algébriquement au négatif, il était seulement nécessaire pour associer le distinctness du signe à l'oppositeness de la direction. Plus See also:

tard on l'a découvert que le raisonnement algébrique serait beaucoup facilité, et que les conclusions quant au vrai maintiendraient toute leur solidité, si une paire d'Al imaginaire d'unités -1 de ce qui pourrait s'appeler le nombre étaient permises d'être contemplées, la paire étant définie, bien que pas séparément, par les deux propriétés d'avoir la vraie somme o et le produit réel i. seulement dans ces deux vraies combinaisons elles entrent dans les conclusions quant au vrai. Un See also:avantage gagné était que chaque équation quadratique, et non quelques équations quadratiques seulement, pourraient être parlées de en tant qu'ayant deux racines. Ces admissions de See also:nouvelles unités dans l'algèbre étaient finales, en tant qu'elle ont admis de la preuve que toutes les équations des degrés plus haut que deux ont les pleins nombres de racines possibles à leurs degrés respectifs de toute façon, et que chaque racine a une valeur a inclus sous la forme a+b J i, avec a, b, vrai. L'enrichissement correspondant pourrait être donné à la géométrie, avec des avantages correspondants et la même See also:absence du danger, et ceci a été fait. Sur une ligne de la mesure de la distance nous contemplons comme existant, non seulement continuum infini de points à de vraies distances d'une origine de la mesure 0, mais continuum doublement infini de points, tout sauf le continuum séparément infini de le vrai imaginaire, et imaginaire dans des paires conjuguées, une paire conjuguée étant aux distances imaginaires de 0, qui ont une vraie arithmétique et un vrai See also:moyen géométrique. À la géométrie enrichie avec cette See also:conception toute l'algèbre a son application. 5. La géométrie réelle est une, deux ou tridimensionnelle, c.-à-d. linéal, See also:plat ou solide. Dans la géométrie unidimensionnelle des positions et les See also:mesures dans une ligne simple seulement sont admises. Maintenant les constructions descriptives pour des points dans une ligne sont impossibles sans sortir de la ligne. On l'a donc tenu qu'il y a un See also:sens dans lequel aucune science de la géométrie strictement confinée à une See also:dimension n'existe.

Mais une algèbre d'une variable peut être appliquée à l'étude des distances suivant une ligne mesurée d'un point choisi là-dessus, de sorte que l'idée de la construction à la différence de la mesure ne soit pas essentielle à une géométrie unidimensionnelle facilitée par algèbre. Dans la géométrie de deux dimensions, l'See also:

appartement de la terre-mesureuse, le passage d'un point 0 à n'importe quel autre point, peut être effectué par deux See also:mars successifs, un est ou ouest et un nord ou au sud, et, comme sera vu, une algèbre de deux variables suffit pour l'exploitation géométrique. Dans la géométrie de trois dimensions, See also:cela de l'espace, n'importe quel point peut être atteint de choisi par trois mars, un est ou ouest, un nord ou sud, et on vers le haut ou vers le bas; et nous verrons qu'une algèbre de trois variables est toute qui est nécessaire. Avec trois arrêts réels de la géométrie de dimensions; mais l'algèbre peut fournir tout nombre de variables. Quatre variables ou plus ont été employés dans les manières analogues à ceux dans lesquelles une, deux et trois variables sont employées pour les buts d'un, de deux et de géométrie tridimensionnelle, et les résultats ont été exprimés en See also:langue quasi-géométrique sur la supposition on peut concevoir un highez, dont l'espace, bien que non réalisé, dans lequel quatre directions indépendantes existent, tels qu'aucune See also:succession de mars le long de trois d'entre eux ne peut effectuer le même déplacement d'un point comme marche le long du See also:quart; et pareillement pour des nombres plus élevés que quatre. Ainsi analytique, bien que non réels, les geometries existent pour quatre et plus de dimensions. Ils sont en fait des algèbres meublés avec la nomenclature d'une See also:fonte géométrique, suggérée par les formes commodes d'expression que la géométrie réelle a, en échange pour des avantages reçus, conféré sur des algèbres d'une, deux et trois variables. Nous nous confinerons aux dimensions de la géométrie réelle, et ne consacrerons aucun espace à l'unidimensionnel, excepté par ailleurs comme existant dans le bidimensionnel. La méthode analytique sera maintenant expliquée pour les See also:caisses de deux et trois dimensions en succession. La forme d'elle a commencé par Descartes, et de là connu en tant que cartésien, sera seul considéré dans beaucoup de détail. I. La Géométrie Analytique See also:Plate.

6. On assume Coordinates.It que les points, les lignes et les chiffres considérés se situent dans un et le même avion, qui surface n'a pas besoin donc d'être de quelque façon visé. Dans l'avion par point 0, et le x'Ox de deux lignes, y'Oy, intersectant dans 0, sont pris une fois pour toutes, et considérés comme fixé. 0 s'appelle l'origine, et le x'Ox, y'Oy les haches de x et y respectivement. D'autres positions dans l'avion sont indiquées par rapport à cette origine fixe et à ces haches fixes. De tout point P nous y Fie. 48. Fig. 49, supposent parallèle dessiné par P.m. à l'axe de y pour rencontrer l'axe de x en M, et peuvent également supposer parallèle dessiné par PN à l'axe de x pour rencontrer l'axe de y dans N, de sorte qu'cOmpn soit un parallélogramme. La position de P est déterminée quand nous connaissons OM (= NP) et MP ~on). Si OM est des temps de x l'unité d'une See also:

balance de la mesure choisie au See also:plaisir, et le MP est des temps de y l'unité, de sorte que x et y aient des valeurs numériques, nous appelons x et y les coordonnées (cartésiennes) de P. To les distinguent que nous parlons souvent de y comme ordonnée, et de x comme See also:abscisse. Il est nécessaire de s'occuper des signes; X a un signe ou l'autre selon que le point P est sur un côté ou l'autre de l'axe de y, et signe de y un ou l'autre selon que P est sur un côté ou l'autre de l'axe du x. en utilisant les lettres N, E, S, W, comme dans une See also:carte, et vu l'avion comme divisé en quatre quarts de cercle par les haches, les signes sont habituellement pris pour être: X y pour le quart de cercle + + nord-est + S point de E + de N W S W A désigné sous le nom du point (a, b), quand ses coordonnées sont x = a, point de y = de b.

A peut être fixe, ou il peut être variable, c.-à-d. soit considéré pour l'instant en tant que librement pour se déplacer dans l'avion. Les coordonnées (x, y) d'un point variable sont les variables algébriques, et seraient "des coordonnées courantes." Les haches de x et de y habituellement (comme dans fig. 48) sont prises perpendiculairement à une une autre, et nous parlons alors d'eux en tant que haches rectangulaires, et de x et de y en tant que "coordonnées rectangulaires" d'un point P; OMPN est alors un rectangle. Parfois, cependant, il est commode d'utiliser les haches qui sont obliques à une une autre, de sorte que (comme dans fig. 49) l'angle xOy entre leurs directions positives soit un certain angle connu Co distinct d'un angle droit, et OMPN est toujours un parallélogramme oblique avec des angles donnés; et nous parlons alors de x et de y en tant que "coordonnées obliques." Les coordonnées en règle générale sont prises pour être rectangulaires dans ce qui suit. 7. Équations et lieux. Si (x, y) est le point P, et si nous sommes donnés ce x=o, nous sommes dits que, dans fig. 48 ou fig. 49, le point M se trouve à 0, quelque valeur y puisse avoir, c.-à-d. nous sommes dits que l'un fait que P se trouve sur l'axe du y. réciproquement, si P se trouve n'importe où sur l'axe de y, nous ont toujours OM = o, c.-à-d. x=o. Ainsi l'équation X = o est un satisfait par les coordonnées (x, y) de chaque point à l'axe de y, et pas par ceux de tout autre point. Nous disons que le x=o est l'équation de l'axe de y, et que l'axe de y est le lieu représenté par l'équation X = o. de même y = o est l'équation de l'axe du x. que un x=a d'équation, où a est une constante, exprime que P se trouve sur un parallèle à l'axe de y par un point M sur l'axe de x tels qu'cOm = a. chaque ligne parallèle à l'axe de y a une équation de cette forme.

De même, chaque ligne parallèle à l'axe de x a une équation de la forme y = b, où b est une certaine constante définie. Ce sont des cas simples du fait qu'une équation simple dans les coordonnées courantes d'un point de variable (x, y) impose une See also:

limitation à la liberté de ce point pour changer. Les coordonnées d'un Se du point N P, O M pris au hasard dans l'avion, en règle générale, ne satisferont pas l'équation, mais infiniment beaucoup de points, et dans la plupart des cas infiniment des beaucoup de vrais, ont des coordonnées qui la satisfont, et ces points sont exactement ceux qui se trouvent sur un certain lieu d'une dimension, d'une ligne droite ou plus fréquemment d'une courbe, qui serait représentée par l'équation. Prenez, par exemple, le y=mx d'équation, où est dedans une constante donnée. Il est satisfait par les coordonnées de chaque point P, qui est tel que, dans fig. 48, le MP de distance, avec son signe approprié, est temps de m la distance OM, avec son signe approprié, c.-à-d. par coordonne de chaque point dans la ligne droite par 0 que nous arrivons à par faire une ligne, à l'origine coïncident avec le x'Ox, tournent environ 0 dans la direction See also:vis-à-vis celui des mains d'une See also:montre par un angle duquel m est la tangente, et par ceux sans d'autres points. Cette ligne est le lieu qu'elle représente. Prenez, plus généralement, l'équation y = 0(x), où 0(x) est n'importe quelle fonction non-ambiguë donnée de x. choisissant n'importe quel point M sur le x'Ox dans fig. i, et donner à x la valeur de la mesure numérique d'cOm, l'équation détermine un y correspondant simple, et ainsi détermine un seul point P sur la ligne par M parallèle à y'Oy. 'c'est un point dont les coordonnées satisfont l'équation. Laissez maintenant le See also:mouvement de M de l'extrémité à gauche vers le juste d'extrémité du x'Ox de ligne, considéré comme s'est prolongé de deux manières jusque nous aiment, c.-à-d. laissez la prise de x toutes les valeurs réelles d'ainsi à la Co. Avec chaque valeur va un point P, comme ci-dessus, sur le parallèle à y'Oy par le M correspondant; et nous constatons ainsi qu'il y a un See also:chemin de l'extrémité encore vers le juste d'extrémité de la figure, tous les points P le long de laquelle soyez distingué d'autres points par la propriété exceptionnelle de satisfaire l'équation par leurs coordonnées. Ce chemin est un lieu; et l'équation y=4(x) le représente. Plus généralement toujours, prenez un f(x d'équation) = o qui implique x et y sous une forme fonctionnelle.

N'importe quelle valeur particulière indiquée à x dans elle produit à partir d'elle une équation pour-la détermination d'une valeur ou les valeurs de y, qui sont assortis à cette valeur de x dans l'indication un point ou les points (x, y), dont les coordonnées satisfont le f(x d'équation, y) = o. ici encore, car x prend toutes les valeurs, le point ou points décrivent un chemin ou des chemins, qui constituent un b représenté par lieu l'équation. À moins que quand y entre au premier degré seulement dans le f(x, y), il ne doive pas être prévu que toutes les valeurs de y, déterminées comme allant de See also:

pair avec une valeur choisie de x, seront nécessairement réelles; en effet il n'est pas rare que tous soient imaginaire pour quelques gammes des valeurs du x. que le lieu peut en grande partie se composer des continuum de Koints imaginaire; mais les vraies parties de lui constituent une vraie courbe ou les vraies courbes citent que nous devons permettre à x d'admettre de tou'imaginaire, comme de tout le vrai, valeurs, afin d'obtenir toutes les parties imaginaires du lieu. Un lieu ou une courbe peut être algébriquement indiqué dans une autre manière; à savoir. nous pouvons être donnés deux équations x=f(0), y=F(0), qui expriment les coordonnées de n'importe quel point de lui en tant que deux fonctions du même paramètre variable 0 duquel toutes les valeurs sont ouvertes. Comme 0 prend toutes les valeurs alternativement, le point (x, y) traverse la courbe. C'est un bon exercice pour tracer un certain nombre de courbes, prises comme définies par les équations qui les représentent. Ceci, dans des cas simples, peut être fait approximativement en traçant les valeurs de y données par l'équation d'une courbe comme allant de pair avec un nombre considérable de valeurs de x, et reliant les See also:divers points (x, y) obtenu ainsi. Mais les méthodes existent pour diminuer le travail de ce processus expérimental. Un autre problème, qui davantage sera occupé ici, est celui de déterminer les équations des courbes d'intérêt connu, prises comme définies par les propriétés géométriques. Ce n'est pas un sujet pour la surprise que les courbes qui ont étée les la plupart et le plus See also:longtemps ont étudié géométriquement sont parmi ceux représentées par des équations du caractère le plus simple. 8. Le Line.This droit est le See also:type le plus simple de lieu.

En outre le type le plus simple d'équation dans x et y est Ax+By+C = o, un du premier degré; Ici les coefficients A, B, C sont des constantes. Ils sont, comme les coordonnées courantes, x, y, numérique. Mais, en donnant l'interprétation à une telle équation, nous devons naturellement nous référer à la See also:

hache de nombres, près, au C des importances d'unité du même genre, d'unités du compte par exemple, ou des unités de longueur ou des places d'unité. On le verra maintenant que chaque ligne droite a une équation du premier degré, et que chaque équation du premier degré représente une ligne droite. On l'a vu (§ 7) que les lignes parallèles aux haches ont des tions d'equa- du premier degré, exempt d'un des variables. Prenez maintenant un See also:ABC de ligne droite incliné aux deux haches. Laissez lui faites un angle donné a avec la direction positive de l'axe de x, c.-à-d. dans fig. ö laissez ceci être l'angle par lequel la hache doit être au sujet du du volv dans le sens contraire des aiguilles d'une montre au sujet de A afin de pour être fait à pièce de monnaie cident avec la ligne. Laissez C, des coordonnées (h, k), soit un point fixe sur la ligne, et P (x, y) tout autre point sur lui. Dessinez le CD d'ordonnées, P.m. de l'See also:and P de C, et laissez le parallèle à l'axe de x à rassemblement P.m. de C, produit au besoin, en triangle droit-à angles de R.

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