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TRACE Z See also:LES PROJECTIONS dans la construction See also:des See also:cartes, on doit considérer comment une See also:partie de See also:surface sphérique, ou une See also:configuration tracée sur une sphère, peut être représentée sur un See also:avion. Si See also:le See also:secteur à être See also:ours représenté par rapport très petit à la surface entière de la sphère, la matière est facile: ainsi, par exemple, il n'y a aucune difficulté dans la fabrication d'une carte d'une See also:paroisse, parce que dans See also:ces See also:cas-ci la See also:courbure de la surface ne se rend pas évident. Si la See also:zone est plus grande et atteint la See also:taille d'un comté, comme Yorkshire par exemple, alors courbure commence à être sensible, et on exige pour considérer comment il doit être traité. La sphère ne peut pas être ouverte dehors dans un avion comme le cône ou le See also:cylindre; par conséquent dans une représentation See also:plate des See also:configurations sur une sphère il est impossible de maintenir les proportions désirées de See also:lignes ou secteurs ou égalité des angles. Mais bien qu'on ne puisse pas remplir toutes les conditions du cas, nous pouvons en accomplir en sacrifiant d'autres; nous pouvons, par exemple, avoir dans la similitude exacte de représentation aux parties tout très petites de l'See also:original, mais aux dépens des secteurs, qui seront tout représentés mal. Ou nous pouvons maintenir l'égalité des secteurs si nous renonçons à l'idée de la similitude. Elle est donc habituelle, exceptant dans des cas spéciaux, pour orienter un cours See also:moyen, et, en faisant des See also:compromis, pour essayer d'obtenir une représentation qui n'impliquera pas de grandes erreurs de See also:balance. Un globe donne une représentation parfaite de la surface de la See also:terre; mais, pratiquement, les See also:limites nécessaires à sa taille le rendent impossible de représenter de See also:cette manière les détails des See also:pays. Un globe des dimensions ordinaires n'atteint à peine n'importe quel autre See also:objectif que pour donner une See also:conception claire de la surface de la terre dans l'ensemble, montrant la figure, l'ampleur, la position et les dispositifs généraux des continents et des îles, avec les océans et les mers intervenants; et à cette See also:fin il est en effet absolument essentiel et ne peut pas être remplacé par n'importe quel genre de carte. La construction d'une carte se résout pratiquement en schéma de deux ensembles de lignes, un ensemble pour représenter des méridiens, l'autre pour représenter des parallèles. Ceux-ci qui sont dessinés, le See also:remplissage dedans des contours des pays ne présente aucune difficulté. Première et la plupart normale de l'idée qui se produit à une quant à la façon de tracer les cercles de la See also:latitude et de la See also:longitude est de les dessiner selon les See also:lois de la See also:perspective. Peut-être la prochaine idée qui se produirait serait de dériver les méridiens et les parallèles d'une autre manière géométrique See also:simple. Le secteur égal cylindrique See also:Projection.Let nous supposent un modèle de la terre être enveloppé par un cylindre de telle manière que le cylindre touche l'équateur, et ont laissé le See also:plan de chacun parallèle tel que le P.r. être prolongé pour intersecter le cylindre de N dans le P.r. de See also:cercle déroulent maintenant le cylindre et la volonté p de projection apparaissent comme dans fig. 2. Le monde entier est maintenant représenté comme rectangle, chaque parallèle de E est une See also:ligne droite, et sa longueur totale est identique que ce de l'équateur, la distance de chacun parallèle de l'équateur est le péché 1 (où 1 est la latitude et le See also:rayon de FIG. I modèle. la terre est prise comme unité). Les méridiens sont les lignes droites parallèles espacées aux distances égales. Cette projection de S possède une propriété importante. De la géométrie élémentaire de la sphère et du cylindre il est clair que chaque See also:bande de N N u r Q S S S de la projection soit égale dans le secteur à la zone sur le modèle qu'elle représente, et que chaque partie d'une bande est égale dans le secteur à la partie correspondante d'une zone. Ainsi, chaque petite figure quatre-dégrossie (sur le modèle) liée par des méridiens et des parallèles est représentée sur la projection par un rectangle n 11 qui est exactement du même secteur, et ceci s'applique à une telle figure cependant petite. Il suit donc que n'importe quelle figure, de n'importe quelle See also:forme sur le modèle, est correctement représentée en ce qui concerne le secteur par son See also:chiffre de See also:correspondance sur la projection. Les projections ayant cette propriété seraient les projections des surface équivalent ou les projections équivalentes; le nom de la projection juste décrite est "la projection de surface équivalent cylindrique." Cette projection servira à exemplifier la remarque faite dans le See also:premier See also:paragraphe qu'il est possible de choisir certaines qualités du modèle qui sera représenté sincèrement, mais seulement aux dépens d'autres qualités. Par exemple, il est clair que dans ce cas-ci toutes les longueurs méridiennes soient trop See also:petites et toutes les longueurs le See also:long des parallèles, excepté l'équateur, sont trop See also:grand. Ainsi bien que les secteurs soient préservés les formes sont, particulièrement parti de l'équateur, beaucoup See also:tordu. La propriété de préserver des secteurs est, cependant, valable quand le See also:but de la carte est d'exhiber des secteurs. Si, par exemple, on le désire pour donner une idée de la See also:distribution aride de secteur des See also:divers états comportant l'See also:empire See also:britannique, c'est une projection See also:assez bonne. 1blercator's, qui est généralement employé dans les See also:atlas, préserve la forme locale aux dépens du secteur, et est valueless afin de montrer des secteurs. Beaucoup d'autres projections peuvent être et avoir été conçues, qui dépendent pour leur construction d'un rapport purement géométrique entre le modèle imaginaire et l'avion. Ainsi on peut dessiner des projections qui sont dérivées des cônes qui touchent ou coupent la sphère, les parallèles constitué par l'intersection avec les cônes des avions parallèles à l'équateur, ou par des lignes tracées radialement du centre. Il est commode de décrire toutes les projections qui sont dérivées du modèle par une construction géométrique simple et directe en tant que "projections géométriques." Toutes autres projections peuvent être connues en tant que "projections non-géométriques." Les projections géométriques, qui incluent des projections de perspective, sont d'une manière générale de la petite valeur See also:pratique. Elles ont apparu indistinctement beaucoup plus en grande partie sur l'See also:horizon du carte-fabrica que leurs garanties d'importance. Elle n'va pas trop loin indiquer que l'expression "projection de carte" donne à la plupart des personnes bien informées la notion d'une projection géométrique; mais le nombre de loin plus grand de projections utiles sont non-géométrique. La notion visée n'est aucun doute dû au terme même "projection," qui semble malheureusement indiquer un See also:arrangement des parallèles et des méridiens terrestres qui peuvent être atteints par la construction géométrique directe. Particulièrement le mal a été provoqué par cette idée en traitant le See also:groupe de projections coniques. Les projections coniques les plus utiles n'ont rien à faire avec les cônes sécants, mais sont simplement des projections dans lesquelles les méridiens sont des lignes droites qui convergent à un See also:point qui est le centre des parallèles circulaires. On peut dire que le nombre de projections géométriques vraiment utiles est quatre: juste décrit de secteur le central et et suivant cylindrique égal de projectionsthe de perspective, le stereographic et See also: Dans des schémas de perspective de la sphère, l'avion sur lequel la représentation est faite réellement peut généralement être n'importe quelle perpendiculaire d'avion à la ligne joignant le centre de la sphère et le point de See also:vision. Si V soit le point de vision, P n'importe quel point sur la surface sphérique, puis p, le point dans lequel la ligne droite VP intersecte le plan de la représentation, est la projection de P. Projection.In orthographique cette projection le point de vision est à une distance infinie et aux rayons par conséquent parallèles; dans ce cas-ci le plan du schéma peut être censé passer par le centre de la sphère. Laissez le cercle (fig. 3) représente le plan de l'équateur sur lequel nous proposons de faire une représentation orthographique des méridiens et des parallèles. Le centre de ce cercle est clairement la projection du See also:poteau, et les parallèles sont projetés dans des cercles ayant le poteau pour un centre See also:commun. Les diamètres agissent ', bb 'étant perpendiculaire, ont laissé le bab de See also:demi-cercle 'être divisé en nombre exigé de pièces égales; les diamètres dessinés par ces See also:points sont les projections des méridiens. Les distances de c, de d et de e de l'See also:annonce de diamètre 'sont les rayons des cercles successifs représentant les parallèles. Il est clair que, quand les points de See also:division sont très étroits, les parallèles seront tout d'abord serrés vers l'extérieur de la carte; tellement ainsi, cette cette projection n'est pas beaucoup employée. Pour une projection orthographique du globe sur un avion méridien laissez les gnrs (fig. 4) soit le méridien, NS l'See also:axe de la rotation, alors qr est la projection de l'équateur. Les parallèles seront représentés par les lignes droites passant par les points de la division égale; ces lignes sont, comme l'équateur, perpendiculaire au NS. Les méridiens seront dans ce cas-ci les ellipses décrites sur le NS comme axe See also: a. Laissez-nous prochaine construction une projection orthographique de la sphère sur l'horizon de n'importe quel See also:endroit. See also:Placez outre de l'aop d'See also:angle (fig. 5) de la bureautique de rayon, égale à la latitude. Laissez tomber pp perpendiculaires sur la bureautique, puis P est la projection du poteau. Sur le See also:ao l'See also:ob de prise = les pp produits, alors ob est les semiaxis mineurs de l'See also:ellipse représentant l'équateur, son axe principal étant qr perpendiculairement au ao. Les points dans lesquels les méridiens rencontrent cet équateur elliptique sont déterminés par parallèle dessiné par lignes à l'aob par les points du cdefgh égal de subdivision. Prenez deux points, comme d et See also: Quand le P.m. est moins que la See also:PA la totalité de p B r 'Q 'l'ellipse doit être dessinée. Quand le P.m. est PA plus grande que l'ellipse touche le cercle dans deux points; ces points divisent l'ellipse en deux parts, dont un, étant de l'autre côté de l'aqr See also:plat méridien, est invisible. Fig. 6 See also:montre la projection orthographique complète. Projection De Stereographic. Dans ce cas-ci le point de vision est k sur la surface, et la projection est faite sur le plan du grand cercle dont le poteau est kplV de V. Let (fig. 7) soit un grand cercle par le point de vision, et des ors la trace du plan de la projection. Laissez c être le centre d'un See also:petit cercle dont le rayon est cp=See also:cl; la ligne droite See also:pl représente ce petit cercle dans la projection orthographique de v. FIG. 7. nous avons d'abord pour prouver que la projection stereographic du petit cercle p1 est lui-même un cercle; c'est-à-dire, une ligne droite par V, se déplaçant le long de la circonférence du pl, trace un cercle sur le plan des ors de projection. Cette ligne produit d'un cône oblique se tenant sur une See also:base circulaire, son axe étant V (depuis le pVc=angle VL d'angle); ce cône est divisé symétriquement en le plan du grand kpl de cercle, et également en l'avion qui traverse l'axe Vc, perpendiculaire à l'avion kpl. maintenant Vr•Vp, étant = le kVp=See also:Vo•Vk de See also:cos de kVp•Vk de Vo sec, est égal à Vs•Vl; donc les triangles Vrs, Vlp sont semblables, et il suit que la See also:section du cône par les rs plats est semblable à la section en l'avion pl. Mais le dernier est un cercle, par conséquent également la projection est un cercle; et puisque la représentation de chaque cercle infiniment petit sur la surface est elle-même un cercle, elle suit que See also:cela dans cette projection la représentation de petites pièces est strictement semblable. Une autre inférence est que l'angle dans lequel deux lignes sur la sphère intersectent est représenté par le même angle dans la projection. Ceci peut autrement être prouvé au moyen de fig. 8, où Vok est le diamètre de la sphère passant par le point de vision, fgh le plan de la projection, kt un grand cercle, passant naturellement par V, et ouv la ligne de l'intersection de ces deux avions. Un avion de tangente sur la surface à t See also:coupe le plan du See also:pro jection dans les rvs de ligne perpendiculaires à l'cOv; la TV est une tangente au cercle kt à t, See also:TR et est sont deux tangentes quelconques sur la surface au t. maintenant le vtu d'angle (u étant la projection de t) est 90°oAV=90°oVt=ouV=tuv, depuis des TV et des uvs sont les angles droits, il suit que les vts et le vus d'angles sont égaux. Par conséquent l'angle son est également égal à son rus de projection; c'est-à-dire, n'importe quel angle constitué par deux lignes d'intersection sur la surface est vraiment représenté dans la projection de stéréo-graphique. Dans cette projection, donc, des angles sont correctement représentés et chaque petite triangle est représentée par une triangle semblable. Des projections ayant cette propriété de la représentation semblable de petites pièces s'appellent orthomorphic, se conforment ou See also:conforme. Le mot, qui a été présenté par Germain 'et adopté par See also:Craig, 2 orthomorphic est peut-être le meilleur à employer. Puisque dans les projections orthomorphic des figures très petites sont correctement représentées, il suit que la balance est la même dans toutes les directions autour d'un point dans son voisinage immédiat, et des projections orthomorphic peuvent être définies en tant que See also:possession de cette propriété. Il y a beaucoup d'autres projections orthomorphic, dont mieux connu est See also:Mercator. Ce sont décrits ci-dessous. Nous avons vu que la projection stereographic de n'importe quel cercle de la sphère est elle-même un cercle. Mais dans le cas dans lequel le cercle à être les passages projetés par V, la projection devient, pour un grand cercle, une ligne par le centre de la sphère; autrement, une ligne n'importe où. Elle suit que des méridiens et les parallèles sont représentés dans une projection sur l'horizon de n'importe quel endroit par deux systèmes des cercles orthogonal de coupure, un système passant par deux points fixes, à savoir, les poteaux; et les méridiens projetés comme ils traversent l'See also:exposition de poteaux les différences appropriées de la longitude. Pour construire une projection stereographic avec de la sphère sur l'horizon d'un endroit donné. See also:Tracez le cercle a descendu?. (fig. 9) avec les diamètres 'A. Germain, projections de DES de Traite (See also:Paris, 1865). 2T. Craig, un traité sur des projections (les ETATS-UNIS marchent et aperçu géodésique, See also:Washington, 1882).kv, lr perpendiculairement; le dernier doit représenter le méridien central. Prenez le koP égal à la Co-latitude de l'endroit donné, la parole u; dessinez le See also:bruit de diamètre ', et le vP, le vP 'lr de découpage dans pp ': ce sont les projections des poteaux, par lesquels tous les cercles représentant des méridiens doivent passer. Tous leurs centres alors seront dans un smn de ligne qui croise pp 'perpendiculairement par son point moyen dedans. Décrire maintenant le méridien dont la longitude occidentale est W, l'aspiration PN faisant l'angle opn=90°w, alors n est le centre du cercle exigé, dont la direction car elle traverse p fera un opg=w d'angle avec pp p que les longueurs des multiples lignes sont fig. 9. See also:op=taniu; op'=cotlu; om=cotu; cot Co du See also:mn=cosec u. Encore, pour les parallèles, Pb de prise = PC égal à la Co-latitude, parole c, du parallèle à projeter; joignez le vb, vc lr de coupure dans e, d. alors ED est le diamètre du cercle qui est la projection exigée; son centre est naturellement le point moyen d'cEd, et les longueurs de l'See also:arc de lignes od=tan2(u-c); oe=tan%(u+c). Le Sn de ligne lui-même est la projection d'un parallèle, à savoir, qui de quel la Co-latitude c = 180° u, un parallèle qui traverse le point de vision. Malgré le service de la construction, la projection de stéréo-graphique n'est pas beaucoup employée dans la cartographie. Elle est parfois employée pour des cartes des sphères de hemi- dans les atlas, et pour des diagrammes d'étoile. La perspective See also:externe Projection.We viennent maintenant au cas général dans lequel le point de vision a n'importe quelle position en dehors de la sphère. Laissé abed (fig. See also:Ica) soit la grande section de cercle de la sphère en un avion passant par c, le point central de la partie de surface à représenter, et V le point de vision. Laissez la perpendiculaire de pj à Vc être le plan de la représentation, joignez le pj de découpage de système mv dans f, alors f est la projection de n'importe quel point m au See also:ABC de cercle, et l'ef est la représentation du centimètre. Laissez le com=u d'angle, Ve=k, Vo=h, ef = p; puis, depuis l'ef: eV = magnésium: gV, nous avons le péché de p=k u/(h+cosu), qui donne se relier de See also:loi. une distance sphérique u avec sa représentation rectiligne p. que la balance relative à un point quelconque dans ce système de projection est donnée par a = dp/du, a'=p/sin est, a=k(I+h cos u)/(h+cos 1)2; a'=k/(h+cos u), ancien s'appliquer aux See also:mesures faites dans une direction qui traverse le centre de la carte, le dernier à la direction transversale. L'See also:acte de produit 'donne l'exagération des secteurs. En ce qui concerne le changement d'angles nous avons = (h+ cos u)/(1+k cos u), et le plus grand changement d'angle est = péché \h-+-Itan22/ceci disparaît quand h = 1, qui est si la projection soit stereographic; ou pour l'u=o, c'est au centre de la carte. À une distance de 90° du centre, le plus grand changement est 90°2 le cot 'd h. (voir le Phil. Mégohm. 1862.) les constantes h et k du Projection.The de Clarke peuvent être déterminées, de sorte que toute la fausse déclaration, à savoir: L'udu de péché de M=f Pt(a1)2+(a'1)2 }, sera un minimum, R étant la plus grande valeur de est, ou le rayon sphérique de la carte. À la substitution des expressions; pour a et 'l'intégration est effectuée sans difficulté. Mis, a=(ços See also: Fig. 12 est une représentation de perspective de plus qu'un hémisphère, le rayon étant 108, et la distance h du point de vision, 1,40. Coordonne xy de n'importe quel point dans cette perspective peut être exprimé en termes de latitude et longitude du point correspondant sur la sphère de la façon suivante. Coordonne See also:lancer à la prise de centre le méridien central pour l'axe de y et une perpendiculaire de ligne à elle pour l'axe du x. a laissé la latitude du point G, qui doit pour occuper le centre de la carte, See also:bey; si 0,w soit la latitude et la longitude de n'importe quel point P (la longitude étant comptée du méridien de G), de u la See also:PAGE de distance, et de h l'See also:azimut de P à G, puis la triangle sphérique dont les côtés sont 900-7, 900- et u donne à ceux-ci le µ = le péché W de péché du péché u de relations de cos ¢, le péché 4, le péché y cos 4. cos W, cos des u=cos y du péché u cos u = péché +cos op 7 cos 43 cos W du péché 7. Maintenant péché,u, µ de y = de p cos, c.-à-d., cos¢sinw k - péché 4 de x = de p de x du péché y de h,+, + cos confortable 4, cos W 'y cos7sin4, péché ycos4cosw k - h + péché 4 du péché y, + cos confortable 4 cos Co 'par quels x et y peut être calculé pour n'importe quel point de la sphère. Si de ces équations nous éliminons W, nous obtenons l'équation au parallèle dont la latitude est ¢; que c'est une ellipse dont le centre est dans le méridien central, et sa plus grande perpendiculaire d'axe à la même chose. Le rayon de courbure de cette ellipse à son intersection avec le méridien de centre est k cos 4, le péché 7+sin ¢ de /(h). l'élimination de 4 'entre x et y donne l'équation du méridien dont la longitude est W, qui est également une ellipse dont centre et les haches peuvent être déterminées. La table suivante contient calculée coordonne pour une carte de l'Afrique, qui est incluse entre le See also:nord des latitudes 40° et 40° le sud et 40° de longitude est et à l'ouest d'un méridien central. Valeurs de x et de y. 4'w=0° w=10° w=20° w=30° w=40° 00 X = 0,00 9,69 19,43 29,25 39,17 y = 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9,60 19,24 28,95 38'76 de 10° X = 0,00 y = 9'69 9'75 9,92 10,2 1 10,63 9,32 18,67 28,07 37'53 y=19'43 19,54 de 20° X = 0,00 19,87 20,43 21'25 35'44 y=29.25 29,40 29'87 30,67 31'83 400 de 30° X = 0,00 8,84 17,70 26,56 x = o•oo 8,15 16,28 24,39 32,44 Y39'17 39'36 39'94 40'93 Projection.-In central ou gnomonique de 42'34 (perspective) cette projection l'See also:oeil est imaginé pour être au centre de la sphère. Il est évident que, depuis les plans de tous les grands cercles du passage de sphère par le centre, les représentations de tous les grands cercles sur cette projection seront les lignes droites, et c'est la propriété spéciale de la projection centrale, que n'importe quel grand cercle (c.-à-d. la ligne la plus courte sur la surface sphérique) est représenté par une ligne droite. Le plan de la projection peut être l'un ou l'autre parallèle au plan de l'équateur, dans ce cas les parallèles sont représentés par les cercles concentriques et les dians de meri- par les lignes droites rayonnant du centre commun; ou le plan de la projection peut être parallèle au plan d'un See also:certain méridien, dans ce cas les méridiens sont les lignes droites parallèles et les parallèles sont des hyperboles; ou le plan de la projection peut être incliné à l'axe de la sphère à n'importe quel angle X. Dans le dernier cas, qui est le plus général, si 8 est l'angle des marques de méridien (sur le See also:papier) avec le méridien central, la longitude de n'importe quel point P concernant le méridien central, I, la latitude de P, puis il est clair que le méridien central soit une ligne droite perpendiculairement à l'équateur, qui est également une ligne droite, bronzent également B=sin Stan a, et la distance de p, la projection de P, de l'équateur le long de son méridien est (sur le papier) m sec par péché 1/péché (l+x), où le x=cot X cos a de tan, et m est une See also:constante qui définit la balance. Les trois variétés de la projection centrale sont, comme cela est le cas pour d'autres projections de perspective, connues See also:sous le nom de polaire, méridien ou See also:horizontal, selon la inclination du plan de la projection. Fig. 14 est un exemple d'une projection centrale méridienne d'une partie de l'Océan See also:Atlantique. Le terme "gnomonique" était p appliqué 1'47 + cos U. Pour une carte de l'Afrique ou de l'Amérique du Sud, la mésange limiteuse de rayon que nous pouvons prendre comme 40°; puis dans ce cas-ci 2'543 péché u à cette projection parce que la projection des méridiens est un 1 problème semblable à celle du repére d'un See also:soleil-See also:cadran. Elle est. cependant, améliorez pour employer le terme "central de Ú," qui s'explique. La projection centrale est utile pour l'étude des itinéraires directs par la See also:mer et la terre. Le département hydrographique des Etats-Unis a édité quelques diagrammes sur cette projection. Des notions fausses de la direction des lignes les plus courtes, qui sont engendrées par une étude des cartes sur la projection de Mercator, peuvent être corrigées par une inspection des cartes dessinées sur la projection centrale. Il n'y a aucune projection qui possède exactement la propriété de montrer les chemins les plus courts par les lignes droites une fois appliquée au sphéroïde; un qui presque tout à fait ainsi est cela qui résulte de l'intersection des normals terrestres avec un avion. Nous avons brièvement passé en See also:revue les projections les plus importantes qui sont dérivées de la sphère par la construction géométrique directe, et nous passons à cette See also:branche plus importante du sujet qui traite les projections qui ne sont pas sujettes à cette See also:limitation. Projections Coniques. Les projections coniques sont ceux dans lesquelles les parallèles sont représentés par les cercles concentriques et les méridiens par les rayons équidistants. Il n'y a aucun raccordement nécessaire entre une projection conique et n'importe quel émouvant ou sécant cône. Les projections par exemple qui sont dérivées par la construction géométrique des cônes sécants sont les projections très faibles, exhibant de grandes erreurs, et elles ne seront pas discutées. Le conique nommé est donné au groupe embrassé par la définition ci-dessus, parce que, de même qu'évident, une projection ainsi dessiné peut être pliée en See also:rond pour former un cône. Le plus simple et, en même See also: Alors la longueur vraie de Gn parallèle sur la sphère est le péché y de W, et c'est égale à la longueur sur la projection, c.-à-d. péché de W y = hw(z+y); pareillement péché y de W '= hw(z+y '). On assume que le rayon de la sphère est unité, et z et y sont exprimés en See also:mesure circulaire. Par conséquent péché y'(z+y de h = de péché y/(z+y) _ '); de ces h et z sont facilement trouvés. Dans la description ci-dessus on l'a supposé que les deux parallèles errorless ont été choisis. Mais il est habituellement souhaitable d'imposer une certaine See also:condition qu'elle-même fixera les errorlessparallels. Il y a beaucoup de conditions, dont tout un peut être imposé. Dans fig. 15 laissez le centimètre et le C'm 'représenter les parallèles extrêmes de la carte, et laissez les Co-latitudes de ces parallèles être c et c ', puis tout un des conditions suivantes peut être rempli: (a) Les erreurs de la balance des parallèles extrêmes peuvent être rendues égales et peuvent être égalisées à l'See also:erreur de la balance du parallèle de l'erreur maximum (qui est près du parallèle moyen). (b) Ou les erreurs de la balance des parallèles extrêmes peuvent être égalisées à cela du parallèle moyen. Ce n'est pas aussi bon une projection comme (a). (c) Ou les erreurs absolues de l'extrémité et des parallèles moyens peuvent être égalisés. (d) Ou dans le See also:bout le parallèle de l'erreur maximum peut être considéré au See also:lieu du parallèle moyen. (e) Ou la longueur See also:moyenne de tous les parallèles peut être rendue correcte. C'est équivalent à rendre la surface totale entre les parallèles extrêmes correcte, et doit être combiné dans une autre condition, par exemple, que les erreurs de la balance sur les parallèles extrêmes seront égales. Nous discuterons maintenant (a) ci-dessus, à savoir une projection conique avec des méridiens rectifiés et deux parallèles standard, les erreurs de balance des parallèles d'extrémité et parallèle de l'erreur maximum étant égalisée. Depuis la balance les erreurs des parallèles extrêmes doivent être égale, h(z+c) = h(z+c ') -1, d'où le péché c du péché c du péché c de sinus du péché c c 'le péché c 'de z = de c l'erreur de la balance le long du parallèle (près dont du centre), la Co-latitude est b est 1{h(z+b)/sin b }. C'est un maximum quand bb=z de tan, d'où b est trouvé, en outre I h(z+b) h(z+c) I, d'où sien a trouvé le péché b = péché c (iii.) pour les parallèles errorless des Co-latitudes y et - y 'que nous avons h = (z+y)/sin y = (z+y')/sin y '. Si ceci est appliqué au cas d'une carte de l'Afrique du Sud entre des limites 15° le S. S. et 35° (voyez que fig. 16) il sera constatée que le parallèle de l'erreur maximum est 25° 20'; les parallèles errorless, au degré le plus proche, sont ceux de 18° et de 32°. La plus grande erreur de balance est dans ce cas-ci environ 0,7 %. dans le See also:compte ci-dessus que la terre a été traitée comme sphère. Naturellement sa vraie forme est approximativement un sphéroïde de révolution, et les valeurs des haches le plus généralement utilisées sont ceux de Clarke ou de See also:Bessel. Pour le sphéroïde, les formules sont arrivées à par les mêmes principes mais cumbrous dans la forme doit être employé. Mais il sera habituellement suffisant que le choix des parallèles errorless emploie les formules sphériques simples données ci-dessus; puis, après avoir fait le choix de ces parallèles, les véritables longueurs sphéroïdales le long des méridiens entre eux peuvent être prises hors des tables d'See also:ordinaire (comme ceux édités par l'enquête d'See also: Là où aucune grande amélioration n'est exigée il sera suffisant de prendre les parallèles errorless en tant que ceux éloignés des parallèles extrêmes environ un sixième du See also:total s'étendent dans la latitude. Supposez ainsi qu'on l'exige pour tracer une projection pour l'Inde entre les latitudes 8° et 400 N. By cette règle approximative les parallèles errorless devraient être éloignés des parallèles extrêmes au sujet de 32°/6, c.-à-d. 5° 20'; ils devraient donc, au degré le plus proche, être 13° et 350 erreurs maximum de balance de N. The seront environ 2 %. que les erreurs de balance changent approximativement comme See also:place de la gamme de la latitude; une règle approximative est, la plus grande échelle error=L2/ö, 000, où L est la gamme dans la latitude en degrés. Ainsi un pays avec une gamme de 7° dans la latitude (presque 50o m.) peut être tracé sur cette projection avec une erreur linéaire de balance de rnaximum (le long d'un parallèle) environ d'o•1 %;'il n'y a aucune erreur le long de n'importe quel méridien. Il est peu important avec ceci cette erreur de I est beaucoup moins que cela qui peut être prévu de la contraction et de l'expansion du papier sur lequel la projection est dessinée ou imprimée. jare;TC le See also:Cap (du See also:livre d'essai d'See also:examiner topographique, par la permission du contrôleur de See also: En utilisant la même notation de h (z+c)sin de 'c=h (z+c ') '= péché Z (c+c de h péché c (de Zc-{ Zc de z-{ ') '). L. See also:Euler, en ADA See also:Acad. See also:PIM. Petrop. (1778), d'abord discuté cette projection. Si une carte de l'Asie entre les parallèles 1o° N. et 700 N. est construite sur ce système, nous avons le c=ò°, c'=8o°, d'où des équations ci-dessus z=66.7° et h=6138. Les erreurs absolues de la longueur le long des parallèles 1o°, du ô° et du 70° entre deux méridiens quelconques sont égale mais les erreurs de balance sont respectivement 5, 6,7, et 15 %. la modification (d) de cette projection ont été choisis pour la carte de 1:1,000,000 de l'Inde et des pays limitrophes sous la publication par l'aperçu de l'Inde. On donne un exposé de ceci dans une See also:brochure produite par ce département en 1903. Les parallèles de limiting° sont 8° et ô° N., et le parallèle de la plus grande erreur est 23'40'51"que les erreurs de la balance sont I.8, 2,3, et 1,9 %. il n'est pas en règle générale souhaitable de choisir cette forme de la projection. Si la surface de la carte est partout également valable il est clair qu'un arrangement par lequel les erreurs de la balance sont plus grandes vers le poteau que vers l'équateur soit défectueux, et il doit être noté que dans le cas ait cité la grande majeure partie de la terre est dans le nord de la carte. La projection (a) pour la même région aurait trois erreurs maximum égales de balance de 2 %. qu'il peut admettre que la différence pratique entre les deux formes est dans ce cas-ci insignifiante, mais des erreurs linéaires de balance devraient être réduites autant que possible dans les cartes destinées à l'utilisation générale, f. sous la cinquième forme de la projection, la surface totale de la projection entre les parallèles d'extrémité et deux méridiens quelconques est égalisé au secteur de la partie de la sphère qu'elle représente, et les erreurs de la balance des parallèles extrêmes sont égalisées. Alors il est facile de montrer cela _ (c'sin de c')((sin de péché de cc de péché de c 'c); h = (ccos c')/(c'c)ltz-1 de cos -; (c+c ') }. il peut également montrer que n'importe quelle autre zone de la même gamme dans la latitude See also:aura les mêmes erreurs de balance le long de ses parallèles limiteurs. Par exemple, une série de projections peut être construite pour des zones, chacune qui a une gamme de to° de latitude, de l'équateur au poteau. Traitant la terre comme sphère et en utilisant les formules ci-dessus, la série possédera les propriétés suivantes: les méridiens seront tout vrais pour mesurer, le secteur de chaque zone seront corrects, les erreurs de balance des parallèles limiteurs seront tout identiques, de sorte que la longueur de la zone supérieure du parallèle of.any soit égale à celle du parallèle inférieur de la zone au-dessus d'elle. Mais les courbures de ces parallèles seront différentes, et deux zones adjacentes ne s'adapteront pas mais seront capables du See also:contact exact de See also:roulement. Ainsi on peut construire un modèle plat très instructif du globe qui montrera en arrangeant convenablement les points de contact des zones les chemins de grands cercles sur la sphère. Le modèle plat a été conçu par See also:professeur J. D. See also:Everett, F.r.s., whoalso a précisé que la projection a eu la propriété de l'égalité des erreurs de balance des parallèles limiteurs pour des zones de la même largeur. La projection peut se nommer la projection d'Everett. Projection.See also:If coniques simples dans le dernier groupe de projections que les deux ont choisi les parallèles qui doivent être approche errorless indéfiniment étroitement, nous obtiennent une projection dans laquelle tous les méridiens sont, comme avant, des longueurs rectifiées vraies, dans lesquelles un parallèle est errorless, la courbure de cela parallèle étant clairement cela qui résulteraient du déroulement d'un cône touchant la sphère le long du parallèle représenté. Et il fait de wasin à l'origine par une considération du cône de tangente que le groupe entier de projections coniques s'est produit. La manière quasi-géométrique de considérer les projections coniques est légitime dans ce cas. La projection conique simple est donc atteinte de cette façon: imaginez un cône pour toucher la sphère le long de n'importe quel parallèle choisi, le rayon de ce parallèle sur le papier (pp, fig. 17) sera le cot 0 de r, où r est le rayon de la sphère et ¢ est la latitude; ou si la forme sphéroïdale est prise en considération, le rayon du parallèle sur le papier sera le cot 4 de v, où v est la normale terminé par l'axe mineur (la valeur v peut être trouvée des tables géodésiques ordinaires). Les méridiens sont des générateurs du cône et chaque parallèle tel que HH 'est un cercle, concentrique avec pp parallèles choisis et éloigné de lui la longueur rectifiée vraie de l'arc méridien entre eux. Cette projection n'a aucun mérite comme fig. comparée 17, avec le groupe juste a décrit. Les erreurs de la balance le long des parallèles augmentent rapidement pendant que le parallèle choisi est parti de, les parallèles sur le papier étant toujours trop grand. Comme exemple nous peut prendre le cas d'une carte de l'Afrique du Sud de la même gamme que cela de l'exemple donné en (a) ci-dessus, à savoir de S. 15° à 35° S. Let le parallèle choisi soit S. 25°; le rayon de ce parallèle sur le papier (prenant le rayon de la sphère comme unité) est le cot 25°; le rayon de parallel°35° S.=radius de la distance 25° méridienne entre 25 et 3$ = cot 250104180=1.970. En outre le h=sin du latitude=sin choisi 25°, et la longueur sur le papier le long de 35° parallèle de co°=whX1.97o=wX1.970Xsin 25°, mais la longueur sur la sphère du w=w cos 35°, par conséquent l'erreur de balance = 19 cos 350 5° = I •6 %, une erreur qui est davantage de deux fois plus grande que See also:celle ont obtenu par la méthode (a). La projection du Projection.This de Bonne, qui s'appelle également "a modifié la projection conique," est dérivée du conique simple, juste décrit, de la façon suivante: un méridien central est choisi et dessiné comme ligne droite; des degrés de latitude espacés aux distances rectifiées vraies sont marqués suivant cette ligne; les parallèles sont les arcs circulaires concentriques dessinés par les points appropriés sur le méridien central, le centre des arcs fixé en décrivant un parallèle choisi avec un rayon de cot de v en tant qu'avant; les méridiens de chaque côté du méridien central sont dessinés comme suit: le long de chaque parallèle les distances sont égales marqué aux longueurs vraies le long des parallèles sur la sphère ou le sphéroïde, et la courbe par les points correspondants ainsi fixés sont les méridiens (fig. 18). Ce système est cela qui a été adopté en 1803 par "Depot de la See also:Guerre" pour la carte de la France, et est là connu par le See also:titre de Projection de Bonne. Il est celui sur lequel la carte d'enquête d'artillerie de l'Ecosse sur l'échelle de r See also:po à un See also:mille est construite, et elle est fréquemment rencontrée dans les atlas ordinaires. Elle See also:malade-est adaptée pour des pays ayant la grande ampleur dans la longitude, pendant que les intersections des méridiens et des parallèles deviennent très des obliqueas seront See also:vues sur examiner la carte de l'Asie dans la plupart des atlas. Si q,° soit pris comme latitude du parallèle de centre, et coordonne soit mesuré à partir de l'intersection de ce parallèle avec le méridien central, alors, si p soit le rayon du parallèle de la latitude 4, nous avons le p= -- le cot +(t0 en outre, si S soit un point sur ce parallèle dont coordonne est x, y, de sorte que CONTRE = p, et 0 soit l'angle CONTRE des marques avec le méridien central, puis pB=co cos ¢; et le péché B de x=p, y = cot 00 p cos 0. La projection a la propriété des secteurs égaux, puisque chaque petit élément lié par deux parallèles infiniment étroits est égal dans la longueur et la largeur à l'élément correspondant sur la sphère ou le sphéroïde. En outre tous les méridiens ne croisent le parallèle choisi (mais aucun autre) perpendiculairement, puisque dans le voisinage immédiat de ce parallèle la projection est identique à la projection conique simple. Là où une projection de surface équivalent est exigée pour un pays n'ayant aucune grande ampleur dans la longitude, telle que la France, l'Ecosse ou le Madagascar, cette projection est bonne à choisir. Projection de surface équivalent Sinusoïdale. Cette projection, qui est parfois connue comme See also:Sanson, et est également parfois inexactement projection. Le polyconic simple est employé par See also:Flamsteed's appelé topographique, est un cas particulier de Bonne dans lequel le parallèle choisi est l'équateur. L'équateur est une ligne droite perpendiculairement au méridien central qui est également une ligne droite. Le long du méridien central les latitudes sont cochées aux distances rectifiées vraies, et des points ainsi ont trouvé les parallèles sont dessinées comme les lignes droites parallèles à l'équateur, et donc perpendiculairement au méridien central. Des longueurs rectifiées vraies sont marquées le long des parallèles et par la correspondance dirigent les méridiens sont dessinées. Si la terre est traitée car une sphère les méridiens sont clairement des courbes de sinus, et pour cette See also:raison d'Avezac a donné à la projection le nom sinusoïdal. Mais il est également facile de tracer les longueurs sphéroïdales. C'est une projection très appropriée pour une carte égale de secteur de l'Afrique. Le Projection.This de Werner est un autre cas de limitation de la projection de surface équivalent de Bonne dans lequel le parallèle choisi est le poteau. Les parallèles sur le papier deviennent alors des arcs circulaires inachevés dont le poteau est le centre. Le méridien central, est toujours une ligne droite qui est coupée par les parallèles aux distances vraies. La projection (après Johann Werner, 1468-1528), bien qu'intéressant, est pratiquement inutile. Projections De Polyconic. Ces projections pseudo-coniques sont valeur pas tellement pour leurs mérites intrinsèques quant au fait qu'elles se prêtent à la tabulation. Il y a deux formes, le polyconic simple ou équidistant, et le polyconic rectangulaire. Le Polyconic.If simple un cône touche la sphère ou le sphéroïde le long d'un parallèle de latitude et, et est puis déroulé, de la volonté de parallèle sur le papier a un rayon de cot 4 de v, où v est la normale terminé par l'axe mineur. Si nous imaginons une série de cônes, dont chacun touche un d'une série choisie de parallèles, l'See also:apex de chaque cône se trouvera sur l'axe prolongé du sphéroïde; les générateurs de chaque cône se situent dans des avions méridiens, et si chaque cône est déroulé et les générateurs dans n'importe quel un avion sont superposés pour former un méridien central droit, nous obtenons une projection dans laquelle le méridien central est une ligne droite et les parallèles sont des arcs de circulaire chacun dont a un centre différent qui se trouve sur la See also:prolongation du méridien central, le rayon de tout être parallèle le cot de v d). Jusqu'ici la construction est la même pour les deux formes de polyconic. En polyconic simple les méridiens sont obtenus en mesurant à l'extérieur à partir du méridien central le long de chacun le parallèle les longueurs vraies des degrés de longitude. Par les points correspondants ainsi trouvé les courbes méridiennes sont dessinés. La projection résultante est proche précis le méridien central, mais car ceci est écarté des parallèles de plus en plus séparé de l'un l'autre, et les parallèles et les méridiens (excepté le long de l'équateur) intersectent aux angles qui diffèrent de plus en plus d'un angle droit. Le vrai mérite de la projection est que chaque parallèle particulier a pour chaque carte le même rayon See also:absolu, et il est ainsi facile de construire les tables qui seront utiles universel. C'est particulièrement valable pour la projection des feuilles simples sur les échelles comparativement grandes. Une See also:feuille d'une place de degré sur une échelle de 1:250,000 projetée de cette manière diffère inappreciably de la même feuille projeté sur un meilleur système, par exemple une projection conique orthomorphic ou le conique avec des méridiens rectifiés et deux parallèles standard; il y a ainsi l'See also:avantage que le polyconic simple une fois utilisé pour les feuilles simples et les grandes échelles est une approximation suffisamment étroite aux formes meilleures de conicalsection du See also:personnel général, par la côte des Etats-Unis et l'aperçu géodésique et par la division topographique de l'enquête géologique des ETATS-UNIS. Des tables utiles, basées sur le sphéroïde de Clarke de 1866, ont été éditées par le bureau de guerre et par la côte des ETATS-UNIS et l'aperçu géodésique. Polyconic.In rectangulaires ceci le méridien central et les parallèles sont dessinés comme dans le polyconic simple, mais les méridiens sont des courbes qui coupent les parallèles aux angles du righ t. Dans ce cas-ci, laissez P (fig. 20) soit le pôle du nord, unité centrale de traitement le méridien central, U, U 'se dirige dans ce méridien dont les Co-latitudes sont z et z+dz, de sorte qu'UU'=dz. Faites PU=z, UC = tan z, U'C '= tan (z+dz); et avec le cc 'car les centres décrivent les arcs UQ, U'Q ', qui représentent les parallèles de la Co-latitude z et z+dz. ont laissé PQQ 'faire partie d'une courbe méridienne coupant les parallèles perpendiculairement. Joignez QC, C'Q '; c'étant perpendiculaires aux cercles seront des tangentes à la courbe. 
Laissez UCQ=à, UC'Q'=2(a+da), puis angle CQC de U le petit ', ou l'angle entre les tangentes à QQ ', will=2da. Maintenant Fig. 20. Cc '= C'U 'CU UU '= tan (z+dz) tan 2zdz zdz=tan. La QC de tangentes, C'Q 'intersectera à q, et dans la triangle CC'q la perpendiculaire de C sur C'q est (omettant petit des quantités deuxième de l'See also:ordre) égale à l'un ou l'autre côté du à de péché de tan 2zdz d'équation = zda de -2 tan. bronzez le à de zdz=2da/sin, qui est l'équation du méridien: l'intégrale est tan a = W cos z, où W, une constante, détermine une courbe méridienne particulière. La distance de Q du méridien central, à de péché de tan z, est égale à 2 tan,z tan par _ See also:costa d'I+tanà 1+See also:w2 à l'équateur que ceci devient simplement 2w. a laissé n'importe quel point équatorial dont la longitude réelle est 2w soit représentée par un point sur l'équateur développé à la distance 2w du méridien central, alors nous ont la construction très simple suivante (due à O'Farrell de l'enquête d'artillerie). Laissez P (fig. 21) soit le poteau, U n'importe quel point dans le méridien central, QUQ le parallèle représenté dont la perpendiculaire de l'aspiration See also:SUS de z. du rayon CU=tan au méridien par U; déterminer alors le point Q, dont la longitude est par exemple 3°, congédiez les USA égaux à la moitié de la véritable longueur de l'arc du parallèle sur la sphère, c.-à-d. 1° 30'péché z de rayon de u à s le ", et avec le centre S et fig. 21. le rayon See also:SU décrivent un arc circulaire, qui intersectera le parallèle dans le point exigé Q. See also:For si nous supposons 2w pour être la longitude du point prié Q, les USA est par le péché z de construction=w, et l'angle subtended par SU à C est zl de péché de tan -1 j = tan -1 (W cos z) = a,/de 1 \ tan z/et donc UCQ=à comme il devrait être. Les avantages de cette méthode sont celui avec un See also:mode remarquablement simple et commode de construction que nous avons une carte dans laquelle les parallèles et les méridiens intersectent perpendiculairement. Fig. 22 est une représentation de ce système des continents de l'Europe et de l'Afrique, auxquels elle approprié bien. Pour l'Asie ce système ne ferait pas, comme dans les latitudes nordiques, la parole le long du parallèle de 70°, la représentation est beaucoup à l'etroit. En ce qui concerne la déformation dans la carte de l'Afrique comme construite ainsi, considérez une petite place dans la latitude 400 et dans la longitude 400 est ou à l'ouest du méridien central, la place étant ainsi placé quant à soyez transformé en rectangle. Les côtés, à l'origine unité, sont devenus o•95 et 1,13, et le secteur 1,08, secting inter de diagonales à 90 t 9° 56'. Dans la projection de la perspective de Clarke 2w une place du péché z de côté d'unité occupant la même position, une fois transformée à un rectangle, a ses côtés I•02 et 1,15, son secteur 1,17, et ses diagonales intersectent au qo° * 7° 6'. La dernière projection est donc la meilleure dans le point de la "similitude," mais l'ancien représente des secteurs mieux. Ceci s'applique, cependant, seulement à une partie particulière de la carte; le long de l'équateur vers 30° ou longitude 400, le polyconic est certainement inférieur, alors que le long du méridien il est meilleur que le perspectiveexcept, naturellement, près du centre. Sur le tout la distribution plus égale de la déformation donne l'avantage au système de perspective. Pour les feuilles simples sur de grandes échelles il n'y a rien à choisir entre cette projection et le polyconic simple. Toutes les deux sont les représentations raisonnablement parfaites. Le polyconic rectangulaire est de temps en temps employé par la section topographique du personnel général. Projections De Zenithal. Un certain point sur la terre est choisi comme point central de la carte; de grands cercles rayonnant de ce point sont représentés par les lignes droites qui sont inclinées à leurs angles vrais au moment où l'intersection. Les distances le long des lignes de See also:rayonnement changent selon n'importe quelle loi à l'extérieur du centre. Il suit (sur la prétention sphérique), cela entoure de ce que le point choisi est le centre sont également des cercles sur la projection. Il est évident que toutes les projections de perspective soient zenithal. Zenithal équidistant Projection.In cette projection, qui s'appelle généralement "la projection équidistante," n'importe quel point sur la sphère étant prise comme centre de la carte, de grands cercles par ce point sont représentés par les lignes droites des longueurs rectifiées vraies, et s'intersectent aux angles vrais. Dans le cas général si z, est la Co-latitude du centre de la carte, z la Co-latitude de n'importe quel autre point, la différence de la longitude des deux points, A l'azimut de la ligne les joignant, et c la longueur sphérique de la ligne les joignant, puis de la position de l'intersection de n'importe quel méridien avec le parallèle est donné (sur la prétention sphérique) par la See also:solution d'une triangle sphérique simple. Laissez ainsi le tan O = tan z cos a, puis cos c = cos z sec un cos (z -0), et péché péché de A = du péché z un cosec c. Le cas le plus utile est celui dans lequel le point central est le poteau; les méridiens sont les lignes droites inclinées entre eux aux véritables différences angulaires de la longitude, et les parallèles sont les cercles équidistants avec le poteau comme centre. C'est la meilleure projection à employer pour des cartes montrant le progrès de la découverte polaire, et s'appelle la projection équidistante polaire. Les erreurs sont plus petites que pourrait être supposé. Il n'y a aucune erreur de balance le long des méridiens, et le long des parallèles l'erreur de balance est (x)I de z/péché, où z est la Co-latitude du parallèle. Sur un ro° parallèle éloigné du poteau l'erreur de la balance est seulement la théorie o.5 générale de Zenithal Projections.For le saké de la simplicité que ce sera d'abord supposé que le poteau est le centre de la carte, et que la terre est une sphère. Selon ce qui a été dit ci-dessus, les méridiens sont maintenant les lignes droites divergeant du poteau, divisant le 360° en angles égaux; et les parallèles sont représentés par des cercles ayant le poteau comme centre, le rayon du parallèle dont la Co-latitude est z étant p, une certaine fonction de z. que l'See also:unction particulier de f choisi détermine la nature de la projection. Laissez Ppq, les P.r. (fig. 23) soit deux méridiens contigus croisés par les parallèles RP, carré, et l'Op'q ', ou les lignes droites représentant ces méridiens. Si l'angle à P est DP, c'est également la valeur de l'angle chez O. Let la Co-latitude pp = z, Pq = z + dz; Op'=p, Oq'=p+dp, la circulaire courbe p'r ', des q représentant le P.r. de parallèles, qs. Si le rayon de la sphère soit unité, p'q'=dp; p'r'=pdp, pq = dz; zd de See also: S'il étaient possible de faire une représentation parfaite, alors nous devrions avoir a = r, '= r partout. Ce, cependant, est impossible. Nous pouvons faire a = r partout par la prise p = z. que c'est la projection équidistante juste décrite, une méthode très simple et efficace de représentation. Ou nous pouvons faire '= I partout. Ceci donne p = péché z, une projection de perspective, à savoir, l'orthographique. Ou nous pouvons avoir besoin de que des secteurs soient strictement représentés dans le développement. Ceci sera effectué en faisant aa '= 1, ou le zdz de pdp=sin, dont l'intégrale est p = 2 sin2z, qui est la projection de surface équivalent de Zenithal de See also:Lambert, parfois, cependant incorrectement désigné sous le nom de la projection de Lorgna après Antonio Lorgna (b. 1736). Dans ce système il y a fausse déclaration de forme, mais aucune fausse déclaration des secteurs. Ou nous pouvons avoir besoin d'une projection dans laquelle toutes les petites pièces doivent être représentées sous leurs formes vraies c.-à-d. une projection orthomorphic. Par exemple, une petite place sur la surface sphérique doit être représentée comme petite place dans le développement. Cette condition sera atteinte en faisant a = ', ou dp/p = dz/sin z, dont l'intégrale est, c étant une constante arbitraire, le p=c tan 2z. Ce, encore, est une projection de perspective, à savoir, le Stereographic. En cela, cependant toutes les petites parties de la surface sont représentées dans leurs formes correctes, pourtant, la balance changeant d'une See also:part de la carte à l'autre, le tout n'est pas une représentation semblable de l'original. La balance, a = 2csec2z, à un point quelconque, applique à toutes les directions rondes ce point. Ces deux dernières projections sont, comme elle étaient, aux extrémités de la balance; chacun, parfait de sa propre manière, est dans autre respecte réprehensible. Nous pouvons éviter les deux extrémités par les considérations suivantes. Bien que nous ne puissions pas faire a = I et '= un 1, afin d'avoir une See also:image parfaite de la surface sphérique, pourtant vu un I et 'un I comme erreurs locales de la représentation, nous puissions faire (un 1)2+ (a'I)2 par minimum au-dessus de la surface entière à représenter. Pour effectuer ceci nous devons multiplier cette expression par l'élément de la surface auquel elle s'applique, à savoir zdzdp de péché, et puis intégrons du centre aux limites (de circulaire) de la carte. Laissez 13 être le rayon sphérique du segment à représenter, puis toute la fausse déclaration doit être prise comme l o a - (dz I) 2+ (péché z - - le zdz de 2 péchés, qui doit être fait à un minimum. Mettant p = z+y, et donnant à y seulement une variation sujet à la condition par = o quand z=o, les équations de solutionusing la notation ordinaire du calcul du dd~ du variationsare N) = o; P.r. = o, P/3 étant la valeur 2p du péché z quand z =.3. Ceci donne le y=zsin z de zdz de 2 sin;2zdz2+sin z cos (dy)13=0. cette méthode de développement est dû à 'monsieur See also:George Airy, dont la See also:recherche originale de paperthe est différente sous la forme le d'après ce qui précède, qui est dû à colonel Clarkewill soit trouvé dans le See also:magasin philosophique pour 1861. La solution de l'équation mène à cette notation d'az de cot du résultat p=2, sec 2z + lz de C tan, C = 2 le See also:loge sec 2R du cote z/9. Le rayon limiteur de la carte est R = 2C tan Y. In "ce système, appelé par See also: L'exagération dans de tels systèmes, il est important de se rappeler, si de la balance linéaire, secteur, ou l'angle, est le même pour une distance donnée du centre, celui qui soit l'azimut; c'est-à-dire, l'exagération est une fonction de la distance du centre seulement. Théorie générale de projections coniques. Des méridiens sont représentés par les lignes droites tracées par un point, et une différence de longitudew est représentée par un hw d'angle. Les parallèles de la latitude sont les arcs circulaires, tous qui ont l'See also:installation comme centre le point de divergence des lignes méridiennes. Il est clair que la perspective et les projections zenithal soient les groupes particuliers de projections coniques. le See also:fidµ a laissé z être la Co-latitude d'un parallèle, et p, une fonction de z, le rayon du cercle O q représentant ce parallèle. Considérez dans l'espace de façon finie petit dessus sur le r contenu par sphère 'par deux méridiens consécutifs, la différence de à qui de longitude est dµ, et le See also:con- deux les balances de la projection par rapport à la sphère sont p'q'/pq=dp/dz = la balance du measurements=a méridien par exemple et du zdµ de p'r'/pr = de phdµ/sin = du See also:ph/sin z = balance des mesures perpendiculaires au méridien = ', parole. Maintenant nous pouvons faire l'a=i partout, puis p=z+const. Ceci donne le groupe de projections coniques avec des méridiens rectifiés, ou comme cas particulier le zenithal équidistant. Nous pouvons faire l'a=a 'partout, qui est identique qu'exigeant cela à un point quelconque la balance sera la même dans toutes les directions. Ceci donne un groupe de projections orthomorphic. Dans ce cas-ci dp/dz = ph/sin z, ou Zz intégrant et p=k(tan de z. de dp/p=hdz/sin)", où k est une constante. Maintenant h est à notre disposition et nous pouvons lui donner une telle valeur que deux parallèles choisis sont des longueurs correctes. Laissez z, z2 soit les Co-latitudes de ces parallèles, alors il est facile de prouver que h = La de tan de notation du péché de zilog de péché de notation z2 (ii.) ]. notez tan az2 cette projection, donnée par les équations (I.) et (ii.), est la projection de See also:Gauss's projectioncommonly appelé orthomorphic de Lambert; son nom descriptif est la projection conique orthomorphic avec deux parallèles standard. Le k constant dans (I.) définit la balance et peut être employé pour rendre les erreurs de balance le long de zéro choisi de parallèles pas mais de la même chose; et un autre parallèle, par exemple le parallèle central peut alors être rendu errorless. La valeur h = 3, comme suggérés par monsieur See also: Dans le See also:diagramme de Mercator l'équateur est représenté par une ligne droite, qui est croisée perpendiculairement par un système des lignes droites parallèles et équidistantes représentant les méridiens. Les parallèles sont les lignes droites parallèles à l'équateur, et la distance du parallèle de la latitude ¢ de l'équateur est, comme nous avons vu ci-dessus, r = une notation, tan (450+2). À proximité de l'équateur, ou en effet dans 30° de la latitude de l'équateur, la représentation est très précise, mais car nous procédons au nord ou les southwards l'exagération du secteur devient plus grand, et par la See also:suite excessif les poteaux étant à l'infini. Cette distance des parallèles peut être exprimée en r=a de forme (péché ¢ +; le péché 54-+ du péché 3sb+1...), prouvant que près de l'équateur r est presque proportionnel à la latitude. Par suite de la représentation semblable de petites pièces, une courbe dessinée sur la sphère coupant tous les méridiens aux mêmes curveis loxodromic d'anglethe a projeté dans une ligne droite, et c'est cette propriété qui rend le diagramme de Mercator si valable aux See also:marins. Par exemple: joignez par une ligne droite sur l'extrémité et les Bermudes de la terre de diagramme, et mesurez l'angle d'intersection de cette ligne avec le méridien. Nous obtenons ainsi le roulement qu'un bateau doit maintenir pendant son cours entre ces ports. Ce n'est pas grand-cercle naviguant, et le bateau ainsi dirigé ne prend pas le chemin le plus court. La projection d'un grand cercle (étant ni un méridien ni l'équateur) est une courbe qui ne peut pas être représentée par une équation algébrique simple. Si la véritable forme sphéroïdale de la terre est considérée, les semi-haches étant a et b, mettant e = (a2b')/a, et employer des logarithmes communs, la distance du parallèle de l'équateur peuvent être montrés pour être ó... 1 de péché de péché e2 ¢ é4 (d'a/M){log tan (45°+z0) où M, le See also:module des logarithmes communs, = 0,434294. Naturellement la projection de Mercator n'a pas été à l'origine atteinte de la façon au-dessus de décrit; la description a été donnée pour prouver que la projection de Mercator est un cas particulier du groupe orthomorphic conique. L'introduction de la projection est due au fait que que la navigation il est très souhaitable possède les diagrammes qui donneront les contours locaux corrects (c.-à-d. dans la phraséologie See also:moderne soyez orthomorphic) et montrera en même temps comme 'ligne droite n'importe quelle ligne ce qui coupe les méridiens à un angle constant. Le dernier état rend nécessaire clairement des méridiens parallèles, et l'ancien une See also:augmentation continue de balance pendant que l'équateur est parti de, c.-à-d. la balance à un point quelconque doit être égale à la balance à la latitude de l'équateur X sec. En See also:jours tôt les calculs ont été effectués en assumant cela pour une petite augmentation de latitude, la parole 1', la balance étaient constants, puis résumants les petites longueurs ainsi obtenu. De nos jours (pour la simplicité la terre sera prise comme sphère) nous devrions dire qu'une petite longueur d'See also:agitation méridienne est représentée dans cette projection par un ¢do de sec, et la longueur du méridien dans la projection entre l'équateur et la latitude ¢, Vo par sec impaire) = une notation, tan (45°+z0), qui est la manière directe de l'arrivée à la loi de la construction de cette projection très importante. (i.) W, la projection de Mercator, bien qu'indispensable en mer, est de peu de valeur pour des cartes de terre. Pour les feuilles topographiques il est évidemment peu See also:convenable; et dans les cas dans lesquels on l'exige pour montrer de grands secteurs sur de petites échelles sur une projection orthomorphic, cette forme devrait être choisie ce qui donne deux parallèles standard (orthomorphic conique de Lambert). La projection de Mercator est souvent employée dans les atlas pour des cartes du monde. Ce n'est pas une bonne projection à choisir à cette fin à cause de la grande exagération de la balance près des poteaux. Les idées fausses résultant de cette exagération de balance peuvent, cependant, être corrigées par la juxtaposition d'une carte du monde sur une projection de surface équivalent. Il est maintenant nécessaire de retourner à la considération générale des projections coniques. On lui a montré que les balances de la projection (fig. 23) par rapport à la sphère sont p'q'/pq = dp/dz = a le long d'un méridien, et z=o de p'r'/pr'=ph/sin 'perpendiculairement à un méridien. Maintenant si Vo '= 1 les secteurs sont correctement représentées, puis zdz de hpdp=sin, et lhp'=Ccos d'intégration z; (i.) ceci donne le groupe entier de projections coniques de secteur égal. Comme un cas spécial a laissé le poteau être le centre des parallèles projetés, puis quand le z=o, le p=o, et le const=l, nous ont p=2 le péché Zz/See also:Sh (ii.) laissent le zi être la Co-latitude d'un certain parallèle qui est d'être correctement représenté, puis 2h le péché Zz, /Ih=sin z, et 1z des h=cos,; mettant cette valeur de h dans l'équation (ii.) le rayon de tout parallèle = le lz sec Iz du péché p=2, (iii.) ceci est la projection de surface équivalent conique de Lambert avec une See also:norme parallèle, le poteau étant le centre des parallèles. Si nous mettons z, = 8, puis h = I, et les méridiens sont inclinés à leurs angles vrais, également la balance au poteau devient correcte, et l'équation (iii.) devient iz du péché p=2; c'est la projection de surface équivalent zenithal. Retour à l'expression générale pour les projections coniques de secteur égal p=al [ 2(Ccos z)/h } (I.) nous pouvons avoir C et h de sorte que deux parallèles choisis quelconques soient leurs longueurs vraies; laissez leurs Co-latitudes être z, et z2, puis 2h (C cos z) = le péché 'z, (v.) 2h (C cos z2) = péché 'z2 (vi.) à partir quels C et h sont facilement trouvés, et les rayons sont obtenus à partir (I.) au-dessus de. C'est projection de surface équivalent conique de H. C. Albers'avec deux parallèles standard. Le poteau n'est pas le centre des parallèles. La projection par Rectangular Spheroidal coordonne. Si dans la projection conique simple le parallèle choisi est l'équateur, ceci et les autres parallèles deviennent les lignes droites parallèles et les méridiens sont les lignes droites espacées aux distances équatoriales, coupant les parallèles perpendiculairement; les parallèles sont leurs distances vraies à part. Cette projection est le cylin- simple drical. Si maintenant nous imaginons le cylindre émouvant tourné par un à angle droit de façon à toucher la sphère le long de n'importe quel méridien, une projection est exactement obtenu semblable au durent, sauf que dans ce cas-ci nous représentons, pas des parallèles et des méridiens, mais de petits cercles parallèles aux cercles méridiens et grands donnés perpendiculaires à lui. Il est clair que la projection soit un cas spécial de projection conique. La position de n'importe quel point sur la surface de la terre est ainsi référée, sur cette projection, tq un méridien choisi en tant qu'un axe, et n'importe quel grand cercle perpendiculairement à elle en tant qu'autre. Ou, en d'autres termes, n'importe quel point est fixé par la longueur de la perpendiculaire de lui dessus au méridien fixe et la distance du See also:pied de la perpendiculaire d'un certain point fixe sur le méridien, ce sphérique ou sphéroïdal coordonne l'traçage pendant que rectangulaire plat coordonne. La perpendiculaire est vraiment une section plate de la surface par le point donné perpendiculairement au méridien choisi, et peut brièvement s'appeler un grand cercle. Un si grand cercle diverge clairement du parallèle; la différence exacte dans la latitude et la longitude entre le point et le pied de la perpendiculaire peut être immédiatement obtenue par des formules géodésiques ordinaires, mettant l'azimuth=9o°. Approximativement la différence de la latitude en secondes est le x'tan. cosec I'/2pv où x est la longueur de la perpendiculaire, p qui du rayon de courbure au méridien, v qui de la normale s'est terminé par l'axe mineur. la latitude du pied de la perpendiculaire. La différence de la longitude en secondes est le cosec I'/v approximativement de x sec p. L'erreur résultante consiste principalement en une exagération de nord de balance et au sud et est approximativement égale à sec X (exprimant x en arc); elle est pratiquement indépendante de l'ampleur dans la latitude. Elle est sur cette projection 6-dans laquelle les cartes d'artillerie d'I/2,öo et. Des cartes d'artillerie du See also:royaume See also:uni sont tracées, un méridien étant choisi pour un groupe de comtés. Il est également employé pour See also:rin, un po et 4 po. Cartes d'artillerie de l'Angleterre, le méridien central choisi étant cela qui traverse un point dans la forêt de See also:Delamere dans See also:Cheshire. Cette projection ne devrait pas être employée en règle générale pour les cartes topographiques, mais convient aux plans cadastraux à cause de la convenance de tracer le rectangulaire coordonne des points trigonometrical ou transversaux très nombreux exigés dans la construction de tels plans. En ce qui concerne les erreurs impliquées, une gamme d'environ 150 See also:milles chaque côté du méridien central donnera une erreur maximum dans la balance dans une direction du nord et du sud environ d'o.1%. Projection de surface équivalent Elliptique. Dans cette projection, qui s'appelle également la projection de Mollweide's les parallèles sont les lignes droites parallèles et les méridiens sont des ellipses, le méridien central étant une ligne droite perpendiculaire à l'équateur, qui est également divisé. Si le monde entier est représenté sur la prétention sphérique, l'équateur est deux fois la longueur du méridien central. Chaque méridien elliptique a pour un axe le méridien central, et pour l'autre la partie arrêtée de l'équateur également divisé. Il suit que l'est de See also:go° de méridiens et à l'ouest de la forme méridienne centrale un cercle. Il est facile de montrer que cela préserver la propriété des secteurs égaux la distance du parallèle de l'équateur doit être 112 le péché 6 où le péché 7r = 2b+sin 26, (b étant la latitude du parallèle. La longueur du méridien central du poteau à pole=2 d2, où le rayon de la sphère est unité. La longueur de l'équateur = 4 112. Les projections des surface équivalent suivantes peuvent être employées pour exhiber la surface entière du globe: Secteur égal cylindrique, secteur égal sinusoïdal et secteur égal elliptique. Projections conventionnelles ou arbitraires. Ces projections sont conçues pour la simplicité du See also:dessin et pas pour toutes les propriétés spéciales. La projection la plus utile de cette classe est la projection globulaire. C'est une représentation conventionnelle de N S d'un hémisphère dans lequel l'équateur et le méridien central sont deux lignes droites égales perpendiculairement, leur intersection étant le centre de la frontière circulaire. Les méridiens divisent l'équateur en pièces égales et sont des arcs des cercles passant par des points ainsi déterminés et les poteaux. Les parallèles sont des arcs des cercles qui divisent les méridiens centraux et extrêmes en pièces égales. Ainsi dans fig. 26 le NS = l'cEw et chacun est divisé en pièces égales (dans ce cas-ci chaque division est ro°); la circonférence NESW est également divisée en espaces de ro° et des arcs circulaires sont dessinés par les points correspondants. C'est une projection simple et efficace et un See also: Fig. 27 montre la méthode de tracer la projection pour une feuille de champ. Une telle projection s'appelle habituellement un graticule. Dans ce cas-ci le ABC est le méridien central; les véritables longueurs méridiennes des espaces 30'sont marquées sur ce méridien, et à chacune de ces derniers, tel que le See also:ab, de la figure (dans ce cas-ci représentant demi de degré carré), comme ABED, est appliquées. Ainsi le point D est l'intersection d'un cercle d'cAnnonce de rayon avec un cercle du rayon BD, ces longueurs étant prises des tables géodésiques. La méthode n'a aucun mérite sauf que de convenance. See also:Sommaire. Les projections suivantes ont été région égale brièvement décrite de I. Cylindrical. 2. Orthographique . 3. Stereographic (qui est orthomorphic). 4. Perspective externe de général. 5. Erreur minimum "(Clarke). 6. Central . 7. Conique, avec des méridiens rectifiés et deux parallèles standard (5 formes). 8. Conique simple. 9. Cylindrique simple (un cas spécial de 8). 10. Secteur égal conique modifié (Bonne). II. Sinusoïdal (Sanson). 12, 13 coniques coniques de Werner. Polyconic simple. 14, Polyconic rectangulaire. 15, Orthomorphic conique avec 2 parallèles standard (Lambert, généralement appelé Gauss's). 16, Orthomorphic cylindrique (Mercator). 17, Secteur égal conique avec une norme parallèle. 18, "deux parallèles. 19, La projection par sphéroïdal rectangulaire coordonne. 20, Zenithal équidistant. 21, Région égale de Zenithal. Projection de J.22. Zenithal par l'équilibre des erreurs (bien aérées). 1 23. Secteur égal elliptique (Mollweide). 124, Globulaire (conventionnel). 25, Graticule de feuille de champ. Des 25 projections ci-dessus, 23 sont coniques ou quasi-coniques, si les projections zenithal et de perspective soient incluses. Les projections peuvent, si on le préfère, soient groupées selon leurs propriétés. Ainsi dans la See also:liste ci-dessus 8 sont le secteur égal, 3 sont orthomorphic, des erreurs d'équilibres de I, 1 représente tous les grands cercles par les lignes droites, et dans 5 un système de grands cercles est représenté correctement. Parmi les projections qui n'ont pas été décrites peuvent être mentionnées l'orthomorphic circulaire (See also:Lagrange) et le secteur égal rectiligne (Collignon) et un nombre considérable de projections conventionnelles, qui dernier soyez pour la plupart de peu de valeur. Le choix d'une projection dépend de la fonction que la carte est prévue pour accomplir. Si la carte est prévue pour que des buts See also:statistiques montrent les secteurs, la densité de la See also:population, incidence des précipitations, de la maladie, distribution de la See also:richesse, &See also:amp;c., une projection de surface équivalent devraient être choisis. En ce cas une balance de secteur devrait être donnée. En mer, Mercator est pratiquement la seule projection utilisée à moins que quand on le désire pour déterminer le cercle graphiquement grand coure dans de grands océans, quand la projection centrale doit être utilisée. Pour donner de bonnes idées générales de la forme et de la distribution des dispositifs extérieurs des continents ou de la projection de la perspective d'un Clarke d'hémisphère est le meilleur. Pour exhiber le progrès de l'exploration polaire la projection équidistante polaire devrait être choisie. Pour les cartes spéciales pour l'See also:usage général sur des échelles d'i/r, d'o0o, de 000 et de plus petit, et pour dont une série les feuilles doivent s'adapter ensemble, le conique, avec des méridiens rectifiés et deux parallèles standard, est une bonne projection. Pour les cartes topographiques, dans lesquelles chaque feuille est tracée indépendamment et l'échelle n'est pas plus petite que 1/500.000, l'une ou l'autre forme de polyconic est très commode. Ce qui suit sont les projections adoptées pour certaines des See also:principales cartes officielles de l'empire britannique conique, avec les méridiens rectifiés et deux Parallels.The standard I: carte de l'artillerie 1.000.000 du royaume uni, cartes spéciales de la section topographique, le Général Staff, par exemple la carte 64-mile de l'Afghanistan et de la See also:Perse. Le 1: aperçu i,000,000 de série de l'Inde de l'Inde et des pays limitrophes. Secteur conique et égal modifié (Bonne's).The i po, % de po, I po et dedans. Cartes d'artillerie de l'Ecosse et de l'Irlande. Le I: carte 800,00o de la See also:colonie de cap, éditée par l'Arpenteur-Général. Polyconic simple et cartes rectangulaires de Polyconic sur des échelles de I: 1.000.000, I: 500.000, I: 250.000 et I: 125.000 de la section topographique du Général Staff, y compris toutes les cartes sur ces échelles de l'Afrique britannique. Une approximation rectiligne au polyconic simple est également employée pour les feuilles topographiques de l'aperçu de l'Inde. Le polyconic simple est employé pour les cartes de I po du département de See also:milice du Canada. Projection de Zenithal par Balance des erreurs (à-mille d'Airy's).The à I dedans. Carte d'artillerie de l'Angleterre. Projection par Rectangular Spheroidal Co-ordinates.The r: 2500 et les 6 po. Feuilles d'artillerie du royaume uni, et le I po, I po et a dedans. Cartes d'artillerie de l'Angleterre. Les plans cadastraux de l'aperçu de l'Inde, et plans cadastraux dans tout l'empire. J. H. Lambert (der Mathematik, u.s.w de Gebrauch de See also:somme de Beitrage. See also:Berlin, 1772) a conçu les projections suivantes de la liste ci-dessus: 1, 15, 17, et 21; ses orthomorphic cylindrique transversaux et le secteur égal cylindrique transversal n'ont pas été décrits, car elles sont rarement employées. Entre d'autres contribuants nous mentionnons Mercator, Euler, gauss, C. B. Mollweide (1774-1825), Lagrange, See also:Cassini, R. Bonne (1727-1795), bien aéré et See also:colonel A. R. Clarke. (Ci De C. F..; A. R. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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