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INTERPOLATION (de l'interpolare de La...
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See also:INTERPOLATION (de l'interpolare de See also:Lat., pour changer, ou insérer quelque chose de frais, lié au pollee, à un See also:poli) , dans See also:les mathématiques, See also:le See also:processus d'obtenir See also:des See also:limites intermédiaires d'une série de laquelle des limites particulières seulement sont données. Les cubes, par exemple, montrés dans la deuxième See also:colonne du See also:tableau attaché, peuvent numéroter. See also:Cube de nombre. 0 0 j'I 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 sois considéré comme des limites d'une série, et le cube d'un nombre partiel, n'excédant pas le dernier nombre dans la première colonne, peut être trouvé par interpolation. Le processus d'obtenir le cube d'un nombre excédant le dernier nombre dans la première colonne serait extrapolation; les formules qui s'appliquent à l'interpolation s'appliquent dans la théorie à l'extrapolation, mais dans dans la See also:pratique les précautions spéciales quant à l'exactitude sont nécessaires. L'See also:article actuel traite seulement l'interpolation. La See also:limite est habituellement limitée à ces See also:cas dans 'qui là sont deux quantités, x et u, qui est ainsi relié qui quand x a n'importe quelle valeur arbitraire, se trouvant peut-être entre certaines limites, la valeur de est est déterminée. Il y a des séries données de valeurs associées de u et de x, et l'interpolation consiste en déterminant la valeur de u pour n'importe quelle valeur arbitraire de x, ou valeur de x pour n'importe quelle valeur arbitraire de u, se trouvant entre deux des valeurs de la série. L'une ou l'autre des deux quantités peut être considérée en fonction de l''autre; il est commode de traiter un, x, comme "la variable indépendante," l'autre, u, étant traité comme "variable dépendente," c.-à-d. en fonction du x. si, de même qu'habituellement le cas, les valeurs successives d'un des quantités procèdent par un incrément constant, See also:cette quantité doit être considérées comme variable indépendante. Les deux séries de valeurs peuvent être tabulées, ceux de x étant placé dans une colonne (ou la rangée), et ceux de u dans une colonne parallèle (ou la rangée); on dit qu'alors a est tabulé en termes de x. que la variable indépendante X s'appelle l'See also:argument, et la variable dépendente a s'appelle l'entrée. L'interpolation, dans le See also:sens See also:ordinaire, consiste en déterminant la valeur de u pour une valeur d'intermédiaire de x entre deux valeurs apparaissant dans la table. Ceci peut être décrit en tant qu'interpolation directe, pour la distinguer de l'interpolation See also:inverse, qui consiste en déterminant la valeur de x pour une valeur d'intermédiaire de u entre deux dans la table. Les méthodes utilisées peuvent être sorties aux cas dans lesquels la valeur de a dépend des valeurs des quantités deux ou plus indépendants un 'y, dans le cas ordinaire que nous pouvons considérer les valeurs de x comme mesurées le See also:long d'un See also:BOEUF de See also:ligne droite d'un See also:point fixe 0, de sorte qu'à n'importe quelle valeur de x là corresponde un point sur la ligne. Si nous représentons la valeur correspondante de a par une ordonnée tirés de la ligne, les extrémités de toutes telles ordonnées se trouveront sur une courbe qui sera le graphique de a en ce qui concerne l'interpolation de:c. consiste donc en déterminant la longueur de l'ordonnée d'une courbe occupant une position particulière, quand les longueurs des ordonnées occupant certaines positions indiquées sont connues. Si a est une fonction de deux variables, x et y, nous pouvons pareillement la représenter par l'ordonnée d'une See also:surface, la position de l'ordonnée déterminé par les valeurs de x et de y conjointement. La série ou les tables auxquelles l'interpolation doit être appliquée peut pour la convenance être considérée comme tombant dans deux groupes principaux. Le See also:premier See also:groupe comporte les tables mathématiques, c.-à-d. tables des fonctions mathématiques; dans le cas d'une telle table la valeur de la fonction u pour chaque valeur See also:sous See also:forme de tableaux de x est calculée à un degré connu d'exactitude, et le degré d'exactitude d'une valeur interpolée de u peut être estimé. Le deuxième groupe comporte des tables des valeurs qui sont trouvées expérimentalement par exemple évaluent d'une quantité physique ou d'un rapport statistique; See also:ces valeurs sont sujettes habituellement à certaines "erreurs" d'observation ou de choix aléatoire (voir la PROBABILITÉ). Les méthodes d'interpolation sont habituellement les mêmes dans les deux groupes de cas, mais des considérations spéciales doivent être prises en considération dans le deuxième groupe. La ligne de la délimitation des deux groupes n'est pas absolument fixe; "on a lissé" les tables employées par les actuaires, par exemple, qui sont de grande importance dans la vie pratique, sont basées sur des observations See also:statistiques, mais les tables formées directement des observations afin d'obtenir les séries qui correspondent sous la forme à la série de valeurs des fonctions mathématiques. Il doit supposer, en tout cas dans le cas d'une fonction mathématique, que l'"entrée" u change sans interruption avec l'"argument" x, c.-à-d. qu'il n'y a aucune coupure soudaine, changements de la direction, &See also:amp;c., dans la courbe qui est le graphique de u. Les diverses méthodes d'interpolation sont décrites ci-dessous. Le plus See also:simple est See also:cela qui emploie le principe des pièces proportionnelles; et des tables mathématiques sont habituellement arrangées afin de permettre à cette méthode d'être utilisées. Là où ce n'est pas possible, les méthodes sont basées l'un ou l'autre sur l'utilisation du théorème du See also: En considérant des méthodes d'interpolation, on le supposera, à moins que le contraire soit énoncé, que les valeurs de x procèdent par un incrément constant, qui sera dénoté par h. Afin de voir quelle méthode doit être utilisée, il est habituellement nécessaire d'arranger la série donnée de valeurs de u sous forme de table, comme expliqué ci-dessus, et prendre alors aux différences successives du u. les différences des valeurs successives de u s'appellent les ses premières différences; celles-ci forment une See also:nouvelle série, dont les premières différences sont les deuxièmes différences de u; et ainsi de See also:suite. Les systèmes de la See also:notation des différences sont expliqués brièvement ci-dessous. Pour la discussion plus pleine, la référence devrait être faite aux DIFFÉRENCES, CALCUL DE. I. INTERPOLATION DES TABLEAUX MATHÉMATIQUES A. See also:Direct Interpolation. I. L'interpolation par les premiers cas les plus simples de Differences.The sont ceux dans laquelle la première différence dans u est See also:constante, ou presque ainsi. Par exemple: Exemple r.(u = lox de notation). Exemple 2.(u = lox de notation). X. u. 1er See also:Diff. + 4,341 '6375898 le 6376898 See also:I000 4,343 de MOO 4,342 '6377898 le 6378898 de MOO 4'344 I000 4,345,6379898 dans l'exemple la première différence d'une See also:correspondance à une différence de hm•ooi dans x est •000i000; mais, puisque nous travaillons partout à sept endroits des décimales, il est plus commode de lui écrire 1000. Ce système d'ignorer la See also:virgule décimale en faisant face aux différences sera adopté dans tout cet article. Pour trouver u pour une valeur intermédiaire de x nous assumons le principe des pièces proportionnelles, c.-à-d. nous supposons que la différence dans u est ainsi proportionnelle à la différence dans le x. pour x=4'342945 que la différence dans u est •945 de MOO = 945, de sorte qu'a soit •6376898+.0000945='6377843. Pour x=4.34294482 la différence dans u serait 944'82, de sorte que la valeur de u soit apparemment 6376898+.000094482 = 637784282. ceci, toutefois soyez incorrect. Il doit se rappeler que les valeurs de u sont seulement indiquées "corrigent à sept endroits des décimales," c.-à-d. chaque u. 1er Diff de x.. I -- 7'40 la valeur 7'44 sous forme de tableaux par 87157 du 87099 7'43 58 du 87040 7'42 59 du 86923 59 7'41 •86982 58 'diffère de la valeur vraie correspondante par une See also:erreur See also:tabulaire qui peut avoir n'importe quelle valeur jusqu'à t a de 0000001; et nous ne pouvons pas donc par interpolation obtenir un résultat qui est correct à neuf endroits. Si la valeur interpolée de u doit être employée dans les calculs pour lesquels il est important que cette valeur devrait être aussi précise comme possible, il peut être commode de la maintenir temporairement dans le 6376898+944 82=.6377842 82 de forme ou le 6376898+94432 = le 6J77842g2; mais nous devons finalement retourner à l'See also:arrangement d'See also:sept-See also:endroit et l'écrire comme •6377843. Le résultat de l'interpolation par la première différence est sujet ainsi habituellement à deux inexactitudes, à premier être l'erreur tabulaire de u elle-même, et à deuxième être See also:indice à la nécessité d'ajuster la figure See also:finale de la différence (proportionnelle) supplémentaire. Si les valeurs sous forme de tableaux sont correctes à sept endroits des décimales, la valeur interpolée, avec la figure finale ajustée, sera dans •000000l de sa valeur vraie. Dans l'exemple 2 les différences ne semblent pas à première vue fonctionner régulièrement, mais c'est seulement due au fait que la figure finale en chaque valeur de a représente, comme expliqué dans le dernier See also:paragraphe, une approximation à la valeur vraie. Le principe général sur lequel nous procédons est identique; mais nous employons la différence réelle correspondant à l'See also:intervalle dans lequel la valeur de x se situe. Ainsi pour x=7.41373 nous devrions prendre u=.86982+(•373 de 58)=•87004; ce résultat étant correct dans le 00001. 2. L'interpolation par le deuxième Differences.See also:If que les premières différences consécutives de a ne sont pas approximativement égales, nous doit tenir See also:compte du prochain See also:ordre des différences. Par exemple: Exemple 3.(u = notation,ox). En ce cas la formule d'avancer-différence est généralement employée. La notation est comme suit. Les séries de valeurs de x et de u sont respectivement le xo, XI, x2. . . et uo, u2. et les différences successives de a sont dénotées par Au, 6.ù. . . Ainsi Auo dénote u, uo, et l'aùo dénote l'Au, Auo=u2ù, +uo. La valeur de x pour laquelle a est cherché est censée se trouver entre le xo et XI. Si nous l'écrivons égale à xo+B(xixo) = xo+Bh, de sorte que 0 se trouve entre o et 1, nous pouvons dénoter lui par x9, et la valeur correspondante de a par u9. Nous avons alors 0(10) 0(10)(20) le ì d'See also:Ito=uo+Bauo Aùo+ i aåto... (i). 3! Des Tableaux des valeurs des coefficients de l'aùo et l'Aúo à trois endroits des décimales pour différentes valeurs de 0 o au I sont donnés dans les collections ordinaires de tables mathématiques; mais la formule n'est pas vraiment commode si nous devons aller au delà de l'aùo, ou si l'aùo lui-même contient plus de deux figures significatives. Pour s'appliquer la formule à l'exemple 3 pour x=6.277, nous avons 8 = •77, de sorte qu'u9 = •79239+('77 de 695)0)89 de II) = 79239+ 535 15+0 98 = '79775. Ici, en tant qu'ailleurs, nous employons deux figures supplémentaires dans les calculs intermédiaires, afin d'ajuster la figure finale dans le résultat final. 3. Les différences du Theorem.Where du tailleur au delà de la seconde sont impliquées, le théorème du tailleur est utile. Ce théorème (voir le CALCUL INFINITESIMAL) donne la formule B 'uo=uo+c, B-;-c22~+e33!+... (2), où, C2 cis, c3. sont les valeurs pour le x=xo du premier, deuxième, troisième. . . coefficients différentiels de u en ce qui concerne le x. les valeurs de c, C2. . le bidon de See also: P3, P2, P1, uo sont facilement calculés. Comme exemple, prise endroits de u = de tan X à cinq des décimales, les valeurs de x procédant par une différence d'I°. On le constatera que ce qui suit fait See also:partie de la table: Exemple 4. -- (it = tan x). X. u. 1er Diff. 2ème Diff . 3ème Diff . 4ème Diff . + + + + 65° 2,14451 732 16 66° 2,24604 10153 828 96 19 I0981 115 67° 2'35585 943 18 pour trouver un forx=66°23', nous avons 8=23/60=•3833333. Les expositions suivantes le plein fonctionnement: dans la pratique réelle il serait abrégé. Les opérations débutent du côté droit. On le notera que deux figures supplémentaires sont maintenues partout. uo. µ0u0. 322.0, µ0ú0. Sûo. le 1I de 2,24604 -- loo67°0 -- 8,.800 +iosö _, 00 _ l l c3 - 1_'s --- ci°+1054942 c2=+8261 - 'Í 10,550, 4=+X900 P19=-{-410507 _ P29=-f- 1602 3P30=-1- 1371 1N2 ue=2.28710 P1=+1071044 P2+840,3 P3 = { - le ''lo7 la valeur 2,2870967, a obtenu en maintenant les figures supplémentaires, est correct dans le 7 de •0000i (§ 8), de sorte que 2,28710 soit correct dans •o000I I. En s'appliquant cette méthode aux tables mathématiques, il est souhaitable, à cause de l'erreur tabulaire, que les différences prises en considération en (4) devraient finir avec une différence d'ordre égal. Si, par exemple nous employons µ5ú0 en calculant c, et c3, nous devons également employer Vito pour calculer le C2 et le c4, quoique la limite due à Sûo soit négligeable si Sûo étaient connus exactement. 4. Interpretation.In géométrique et algébrique appliquant le principe des pièces proportionnelles, en ce cas comme qui de l'example I, nous traitent en effet le graphique de u comme ligne droite. Nous voyons que les extrémités d'un See also:certain nombre d'ordonnées consécutives se situent approximativement dans une ligne droite: IE que, si les valeurs sont correctes dans le tZp, une ligne droite traverse les See also:points qui sont sur une distance correspondante des extrémités réelles des ordonnées; et nous supposons que le que-ce est vrai pour des ordonnées intermédiaires. Algébriquement nous traitons u en tant qu'étant de la forme A+Bx, où A et B sont des constantes déterminées par les valeurs de u aux extrémités de l'intervalle par lequel nous interpolons. En employant d'abord et les deuxièmes différences nous traitons u en tant qu'étant de la forme A+Bx+C.x'2; c.-à-d. nous passons une parabole (avec la verticale d'See also:axe) par les extrémités de trois ordonnées consécutives, et considérons que c'est le graphique de u, au degré d'exactitude donné par les données. De même en employant des différences d'un ordre plus supérieur nous remplaçons le graphique par une courbe dont l'équation est de la forme u = A+Bx+Cx2+Dx3+. . . Les diverses formes qui la prise d'interpolation-formules sont due aux divers principes sur lesquels des ordonnées sont choisies pour déterminer les valeurs de A, B, C. . B. Interpolation Inverse. 5. Pour trouver la valeur de x quand u est donné, c.-à-d. pour trouver la valeur de 0 quand l'uo est donné, nous employons la même formule que pour l'interpolation directe, mais procédons (si les différences au delà de la première sont impliquées) par approximation successive. Le théorème du tailleur, par exemple, donne 0 = (u9u0)(c, +...) = (a9no)=P, (6), x. õ 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 U. 81291 •8o6i8 1er Diff du • 79934 du 77815 •78533 •79239. +718 +706 +695 +684 +673 2ème Diff. I2 II II II nous trouvons d'abord une valeur approximative pour 0: calculez alors See also: Quand les valeurs de u ont été tabulées pour des valeurs de x procédant par une différence h, il est souvent souhaitable de déduire une table en laquelle les différences de x sont h/n, où n est un nombre entier. Si n est égal il peut être recommandé de former une table intermédiaire en laquelle les intervalles sont 4h. À cette fin nous avons u } = s (Uo+UI) U=u-85ù+i!65û-i-Ala6u+... = u-e(bù-'cfb'u-za(56u -...) } ] ce qui suit est un exemple; les données sont les valeurs des endroits de tan X à cinq des décimales, l'intervalle dans x étant ° de I. que les différences de l'ordre impair sont omises pour la convenance de l'impression. Exemple 5. = j'u-See also:bronze x. 5ù. Sou. 56u. Vualuesmeanof Uof. X de U.. X. + + + 73° 3.27o85 2339 100 5 3,26794 95 3'37594 731° 740 3,48741 2808 132 23 3,48392 9 8 '3,60588 744° 75° 3,73205 3409 187 18. 3,72783 17 3,86671 754-4° 76° 4,01078 4197 260 51 4,00559 22 77° 4'33148 5245 384 64 4'32501 07 4'16530 762° si une nouvelle table est formée de ces valeurs, les intervalles étant 2°, on le constatera que les différences au delà du See also:quart sont négligeables. Pour subdiviser 11 en plus petits intervalles qu'4h, de diverses méthodes peuvent être employées. On doit calculer les ensembles de quantités qui dans la nouvelle table seront les différences successives, correspondant à l'uo, uI. . . et pour trouver les limites d'intermédiaire par les See also:additions successives. Une meilleure méthode est d'employer une formule due à J. D. See also:Everett. Si nous écrivons 0=1 -0, la formule d'Everett est, sous sa forme plus symétrique, ue=See also:But++1)0'0-1)42 +(0+2)(0+1)010-1)(O-2)5ûI+... 3• 5• +duo+(0+1)3(-1)52110+(0+2)(0+1)5 (0-i)((a -2)5ûo+... Pour des calculs réels une forme moins symétrique peut être employée. Dénotation (0+1)0(0-I)S214+(0+2)(O+1)0(0-1)(0-2)bût+... (E/S) 3! 
5! par WI, nous prenons, pour l'interpolation entre l'uo et l'uI, as=See also:ur:-I-O uo+OVI+1_OVo (ii), les valeurs successives de 0 étant 1/n, 2/n,.. (n-I)/n. pour l'interpolation entre l'ui et l'u2 que nous avons, avec la même See also:succession des valeurs de 0, ut.e=uI+eVI, V2+1_eVI - (12). Les valeurs d'I-eVi en (12) sont exactement identiques à celles de WI en (ii), mais dans l'ordre d'See also:inversion. Le processus est donc qui (I.) nous trouvons les valeurs successives uo+0 de l'uo, &c., c.-à-d. nous construisons une table, avec les intervalles priés de x, comme si nous avons eu pour tenir compte seulement des premières différences; (ii.) nous construisons, dans une colonne parallèle, une table donnant les valeurs de l'eVI, &c.; (iii.) nous répétons ces dernières valeurs, plaçant l'ensemble appartenant à chaque intervalle h dans l'intervalle prochain le suivant, et écrivant les valeurs dans l'ordre d'inversion; et (iv.) en s'ajoutant horizontalement nous obtenons les valeurs finales pour la nouvelle table. Comme exemple, prenez les valeurs de tan X par des intervalles de dans x, comme trouvé ci-dessus (5) ex. Le premier See also:diagramme ci-dessous est une partie de cette table, avec les différences, et la seconde See also:montre que le calcul des limites de (ii) obtenait une table en laquelle les intervalles sont 0,1 d'I°. La dernière colonne mais une dans le deuxième diagramme est présentée pour la convenance du calcul. Exemple 6. X. See also:Bu Btu b'u. 18û de u = de tan X.. + + + +11147 • 62 740,0 3'48741 700 8 11847 7 0 74°'5 3,60588 770 9 12617 79 - I x t_eVo d'uo+ODuo eVI.. BVI f I~See also:Vo. u. . 73°.6 -22 35. 73°'7 -39 11 73°'8 -44 71 730.9'0 -33 54 74 3'48741 00 3,48741 74°.1 13,51110 40 -24 58 -33 54 -58 12 3,51052 74°.2 3,53479 8o -43 02 -44 71 -87 73 3'53392 74° 3 355849 20 -49 18 -39 j'I -88 29 3'55761 74 '4 õ -36 89 -22 35 -59 24 3'5$159 740-5 3'60588 8 3,60588 3'5821 00 le suivant suis les valeurs des coefficients de la mésange, mis, du 5û1, et S6ui dans (9) pour certaines valeurs de n. pour calculer les quatre limites dues au b'ut dans le cas de n=5 qu'il devrait noter que troisième la limite est deux fois la première, le quart est le moyen du premier et le tiers, et la seconde est le moyen du troisième et le quart. Dans le tableau 1, et dans la dernière colonne du tableau 2, les coefficients sont corrigés dans la dernière figure. Co. U. Cie. 5Û De U. Cie.. Co. ~6U. 00135168 de 006336 du 032 •2 = I/7ô approximativement. 011648 de 6 064 du 010752 '00226304 = 1/442 de •4 •056 •00239616 = 1/417 008064 de 8 048 •00160512 = 1/623, TABLEAU 2.-n=10 de •. Co. U. Cie. 5ù. Co. 5û. Co. 56u. + - + - 00633600 •001351680 du 00329175 •000704591 •2 •0320 de •1 •oi65 '3 01075200 du 00889525 •001887064 •4 •0560 de 0455 '002263040 01171875 •002441406 •o6ô •01164800 •002396160 du 5 •o625 '7 '0595 00806400 •001605120 de 0480 de •01044225 •002115799 •8 '9 u. Cie. 5ù. Cie. 5û. Co du 000886421 Cie. de 00454575 de 0285. Yu. 002419911 1/12 de 011736667 de 064139660 du 062500000 •011718750 •002441406 7/12 du 010979463 •002307357 6/12 de 057388117 du 049382716 •009602195 •002032211 5/12 du 007690430 •001636505 4/12 de 039062500 du 005363726 •027006173 •001145822 3/12 du 000589623 2/12 de 002753699 de 013792438 8/12 •061728395 '010973937 003855178 du 001387048 11/12 de 007014103 de 042438272 du 001888275 10/12 du 054687500 •009399414 du 002235432 9/12 •024402006 •000748981 7. La dérivation de la formule d'avancer-différence de Formulae.-The (i) peut être écrite, dans la notation symbolical des différences finies, ue=(1+A)°uo=E°uo (13); et c'est une See also:prolongation du théorème qui si n est un nombre entier positif ua=uo+nAuo+nl Zi I)~ùo+... (14), la série étant continuée jusqu'à ce que les limites disparaissent. La formule (14) est identiquement vraie: la formule (13) ou (i) est seulement formellement vraie, mais son applicabilité aux cas concrets est due au fait que la série en (i), une fois prise pour un nombre défini de limites, diffère de la valeur vraie de l'u° par un "See also:reste" qui est dans la plupart des cas très petit quand ce nombre défini de limites est correctement choisi. La formule d'Everett (9), et la formule de central-différence obtenue par la substitution de (4) en (2), sont des modifications d'une formule See also:standard 1B=uo+0üliOr 21 I)bùo+(0+113'0-1)5úI+ (0+I)O(07I)(O-2)SquO+... (î de I. où (8). (qui peut pareillement être considéré comme une prolongation du théorème seulement de x-=-õ° à x=8o°, nous pourrions alors accomplir la table de cela, si n est un nombre entier positif, des différences en faisant les entrées montrées dans les italiques ci-dessous. nnZtO+nSnz~-n(n-I)SZUO-I-(n-l-I)n(n-I)Súl+... (16). 21 3t a là sont d'autres formules de central-différence sans compter que ceux mentionnés ci-dessus; l'expression symbolical générale est u9 = (cosh OhD+sinh 0hD)u, 5 cosh ZhD=µ, sinh 2hD=28 8. Les formules comparatives d'Accuracy.-Central-difference sont habituellement plus précises que des formules d'avancer-différence, si nous considérons l'inexactitude due à l'omission du l'"reste" mentionné dans le dernier paragraphe ou l'erreur due au caractère mative d'approxi• des valeurs sous forme de tableaux. Le dernier est le plus important. Si chaque valeur sous forme de tableaux de u est dans Zp de la valeur vraie correspondante, et si les différences utilisées dans les formules sont les différences tabulaires, c.-à-d. les différences successives réelles des valeurs sous forme de tableaux de u, puis le rapport de la limite de l'erreur d'u5, comme calculée à partir des premières limites de r de la série en (i), à AP est la See also:somme des premières limites de r de la série I+o+0(I -0)+0(1-0)(2-0)+hO(I -0)(2-0)(3-0)+ '-, 0(1-0)(2-0)(3-0)(4-0)+s'sae(I -0)... (5-8)~ -., tandis que le rapport correspondant pour l'See also:usage des différences jusqu'à 52puo inclus en (4) ou jusqu'à 82pu1 et o'puo dans (9) (c.-à-d. en effet, jusqu'à 629+'u;) est la somme des premières limites de p+t de la série 1+0(I -0)+(1+0)0(1-0)(2-0)+. (21)2 (2+0)(1+0)0(1 i 0)(2 -- 0)(3-0)+...; (3•) il - étant supposé dans chaque cas que 0 se trouve entre o et 1. La table suivante donne une comparaison des limites respectives de l'erreur; les See also:lignes I. et II. donnent les erreurs dues l'avancer-différence et les formules de central-différence, et le coefficient p est omis partout au. Erreur due à l'utilisation des différences jusques et y compris le 1er 2ème. 3ème 4ème. 5ème 6ème. 7ème. I. 813 I•o86 1,497 Du 500 •625 2,132 3'147 '5 II. 696 •745 •745 I. '500 Du 625 •696 Du 500 •625. 1 3,042 1 II. 58o 624 De 5 •58o 1,624 6S353 6 ~3 5 5 553 2,265 Du 812 I•I04 1 Du 620 •500 Du 624 I. De 624 3,422 '4 II. Le 788 1,024 du 620 •500 du 734 I. de 734 du 620 •688 •688 d'I •500 •6ò 1,366 1,886 2,700 6 le 734 1 de 734 du 6ò •688 •688 d'cIi. •500 •6ò 8 le 653 •653 du 580 •624 '624 de 580 de 500 du 969 I.213 I.582 II. du 676 •800 de 580 de 500 de I. dans certains cas les différences sous forme de tableaux ne sont pas les les différences tabulaires, mais les différences corrigées; c.-à-d. chaque différence, comme chaque valeur de u, est correcte dans Zp. Elle ne suit pas que ces différences devraient être employées pour l'interpolation. Quelque formule soit utilisée, la première différence devrait toujours être la première différence tabulaire, pas la première différence corrigée; et, de plus, si une formule de central-différence est employée, chaque différence d'ordre impair devrait être la différence tabulaire des différences corrigées du prochain ordre inférieur. (ce dernier résultat est indirectement réalisé si la formule d'Everett est employée.) Avec ces précautions (I.) la formule de central-différence est légèrement améliorée en employant corrigé au lieu des différences tabulaires, et (ii.) la formule d'avancer-différence est considérablement améliorée, étant meilleure que la formule de central-différence avec des différences tabulaires, mais toujours pas aussi bonne en tant que dernier avec des différences corrigées. Pour e = 5, par exemple, à supposer que nous devons aller aux cinquièmes différences, aux limites 1,497 et à •696, comme donné ci-dessus, deviennent t •627 et $ '575 respectivement. 9. L'accomplissement du Tableau de Differences.-If qu'aucune valeur de u en dehors de la See also:gamme dans laquelle nous devons interpoler ne sont donnés, la série de différences sera inachevé aux deux extrémités. Il peut être continué dans chaque direction par le traitement comme constante que la différence extrême de l'ordre le plus supérieur a impliquée; et des formules de central-différence peuvent alors être utilisées uniformément dans tout la gamme entière. Supposez, par exemple, que les valeurs de tan X dans l'extendedExample 7 du § 6. X. ü de u = de tan X.. Stu. Sú. 6û. Sbu. S6u. + + - F entre + + + 6775 34 õ° 1,73205 425 9 7200 43 61° 1,80405 468 9 7668 52 62° 1,88073 520 9 8188 61 71 64° 2,05030 de 63° 1,96261 581 à 8769 652 9 75° 3'73205 3409 187 18 27873 788 73 76° 4,01078 4197 2õ 51 32070 1048 124 77° 4'33148 5245 384 64 37315 1432 188 78° 4,70463 6677 572 64 43992 2004 252 79° 5,14455 8681 824 64 52673 2828 316 8o° 5,67128 11509 1146 64 64182 3968 38o pour interpoler x=60° et x=61° nous devrions obtenir le même résultat en s'appliquant la formule d'Everett à cette table comme en employant la formule d'avancer-différence; et pareillement à l'autre extrémité pour les différences de recul. Interpolation par la tabulation substituée. à. La relation de u à x peut être telle que les différences successives de u augmentent rapidement, de sorte que des interpolation-formules ne puissent pas être utilisées directement. D'autres méthodes ont alors pour être employées. La meilleure méthode est de remplacer u par une certaine expression v qui est une fonction de u tels que (I.) la valeur de v ou de u peut être déterminée pour n'importe quelle valeur indiquée de u ou de v, et (ii.) quand v est tabulé en termes de x les différences diminuez rapidement. Nous pouvons alors calculer v, et de là u, pour n'importe quelle valeur intermédiaire de x. Si, par exemple, nous exigez tan X pour une valeur de x qui est presque 9o°, on le constatera que la table des tangentes n'est pas appropriée à l'interpolation. Nous pouvons, cependant, le convertir en table des cotangents en nombre à peu près identique des figures significatives; à partir de ceci nous pouvons facilement calculer le cot X, et bronzons de là x. I. Cette méthode est particulièrement appropriée aux données statistiques, où les valeurs successives de u représentent le See also:secteur d'une figure de la fréquence jusqu'aux ordonnées successives. Nous avons d'abord pour déterminer, par inspection, une courbe qui soutient une similitude générale à la courbe inconnue de la fréquence, et dont le secteur et l'See also:abscisse sont ainsi reliées que l'un ou l'autre peut être aisément calculé avec l'autre est connue. Ceci peut s'appeler la courbe See also:auxiliaire. Dénotant par See also: 2ème Diff . 3ème Diff . 4ème Diff . (- I, o) (-2, - I, o, I) uo de xa (-1, O, I) (-2, - I, 0, I, 2) (o, I) (- I, 0, I, 2) x1 u1 (0, I, 2) (- I, 0, I, 2, 3) (I, 2) (0, I, 2, 3) X2 U2 (I, 2, 3) (0, I, 2, 3, 4) (2, 3) (I, 2, 3, 4) là où (17), (18). Les formules (0 et (15) pourraient alors être écrits le hx°(o d'u=uo+x, 1)+x Fx° le '-'(o de I, 1, 2) + le xxl xx2(o, 1, 2, 3)+ de xxo... (19), h '3h See also:SH %°uo x x0(C, le • 2h I(-1, o, le x-xo xxi x de 1)x x0 X d'I)-1- il 2h. 3h (- I, 0, 1, 2) +. . . (ò). Le principe général sur lequel ces formules sont construites, et lequel peut être employé pour construire d'autres formules, est que (I.) nous commençons par n'importe quelle valeur sous forme de tableaux de u, (ii.) nous passons aux différences successives par les étapes, dont chacune peut être en See also:bas ou vers le haut, et (iii.) le nouveau suffixe qui est présenté à chaque étape détermine le nouveau See also:facteur (impliquant x) pour l'usage dans la prochaine limite. Pour toute valeur particulière de x, cependant, toutes les formules qui finissent avec la même différence de l'élasticité d'ordre de rth le même résultat, si des différences tabulaires sont employées. Si, par exemple, nous allez seulement aux premières différences, nous avons le hx-(o du xto-~ X, 1) = l'ui-I-x hx'(0, i) identiquement. 13, Les ordonnées pas Equidistant.When les ordonnées successives dans le graphique de u ne sont pas équidistantes, c.-à-d. quand les différences des valeurs successives de x ne sont pas égales, le principe ci-dessus s'applique toujours, si les différences sont ajustées d'une manière particulière. Laissez les valeurs de x pour lesquelles u est tabulé soit a=xo+ah, b=xo+Gh, yh de c=xo+. . . Alors la table devient des différences ajustées. X. u. 1er Diff. 2ème &c de Diff _. u° d'a=x° (, de a/3) b=xp vers le haut (a, l3, y) uy c=xy de 7) dans cette table, cependant, (, de a/3) ne signifie pas vers le haut - u°, mais (vers le haut de - l'u°) (/á); (, de a/3, y) moyens { ((3, y)-•(a,/3)1=(7a); et, généralement toute quantité ('q. . . ¢) dans la colonne dirige le "diff de rth." est obtenu en divisant la différence des quantités contiguës dans la colonne précédente près (4 --,i)jr. si la table est formée de cette façon, nous pouvons appliquer le principe du § I2 afin d'obtenir des formules telles qu'u=u°+x See also:ha. (a, (3)+x h un • de x2b (a, /3, y)+... (21), u=uy+ h x cc. (R, y)+xh c. xzhb (a, Q, y)+... (22). L'exemple suivant illustre la méthode, h étant pris pour être 1 exemple 8. X. a=sin X. 1er Diff. 2ème Diff . 3ème See also:Cadran '. (ajusté). (ajusté). (ajusté). 20° •3420201 162932 50 22° '3746066 1125 00 161245 00 48 75 23° 3907311 1222 50 158800 00 48 30 26° •4383711 1303 00 156194 00 47 49 27° 4539905 1445 47 151857 õ 46 00 32° 5299193 1583 48 145523 67 35° 5735764 pour trouver u pour x=31°, nous employons les valeurs pour 26°, 27°, 32° et 35°, et obtenons le • 2(-144547)+ 5 d'u='4383711004156194 00)+I 4 1. 2. -4600)•5150380, 1 3 qui est seulement mal dans la dernière figure. (l a) (l ua de b) (LC) (23). Ceci est connu comme formule de See also:Lagrange, mais elle serait due à Euler. Il n'est pas commode pour l'usage pratique, puisqu'elle ne montre pas combien de limites doivent être prises dans n'importe quel cas See also:particulier. 14, L'interpolation des Tableaux de See also:double Entry.When u est une fonction de x et de y, et est tabulée en termes de x et de y conjointement, son calcul pour une paire de valeurs non données dans la table peut être effectuée directement ou en formant d'abord une table des valeurs de u en termes de y pour la valeur particulière de x et en déterminant ensuite u de cette table pour la valeur particulière du y. pour l'interpolation directe, considèrent qu'A représente differencing en changeant x en x+i, et A 'differencing en changeant y en y+I. Alors la formule est l'uz, y = (1+o)s(i+. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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