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À l'origine apparaissant en volume V08, page 113 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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CAUSE DÉTER MINANTE, dans See also:

les mathématiques, une fonction qui se présente dans la See also:solution d'un système See also:des équations simples. 1. Vu les équations ax+by+cz = d, l'a'x +b'y +c'z = d ', l'a"x+b"y+c"z = See also:le d ", et procédant les résoudre par la prétendue méthode de multiplication en See also:travers, nous multiplions les équations par des facteurs choisis de façon que lors d'ajouter les résultats le coefficient entier de y devienne = o, et le coefficient entier de z devienne = o; les facteurs en question sont le ''de b'c - b c, b "c soyez, soyez - b'c. (valeurs qui, comme immédiatement See also:vues, ont la propriété désirée); nous obtenons ainsi une équation qui contient du côté à gauche seulement un multiple de x, et du côté droit une See also:limite See also:constante; le coefficient de x a l'a(b'c de valeur "- le b"c ') +a'(b"c-be")+a"(bc'b'c), et See also:cette fonction, représentée sous la See also:forme a, b, c ', b ', c 'a" c "'serait une cause déterminante; ou, le nombre d'éléments étant 32, ce s'appelle une cause déterminante du troisième See also:ordre. Il doit être noté que l'équation résultante soit a, b, c X = d, b, c I un 'b ', c 'I d 'b 'c 'a ", b "c" d ", b ", c "où l'expression du côté droit est semblables fonctionnent avec d, d ', d" au See also:lieu de a, ', "respectivement, et sont naturellement également une cause déterminante. D'ailleurs, b'c de b'c de fonctions le "- b"c ', avant Jésus Christ '- utilisé dans le See also:processus sont eux-mêmes les causes déterminantes du deuxième ordre b 'c 'I, See also:Bi, le ''1b c I de c. b ", c "b, c b ', c 'nous avons ci-dessus la See also:suggestion de la règle pour la dérivation des causes déterminantes des ordres r, 2, 3, 4, &See also:amp;c., chacun de précédant, à savoir nous avons 1:41 l See also:Al = a, = See also:alb'l - a'lbl. et ainsi de See also:suite, les See also:limites étant tous + pour une cause déterminante d'une commande impaire, mais alternativement + et - pour une cause déterminante d'un ordre égal. 2. Il est facile, par See also:induction, pour arriver à la cause déterminante générale de results:A de l'ordre n est la See also:somme des 1,2,3... produits de n qui peuvent être formés avec les éléments de n hors des éléments de N2 disposés sous forme de See also:place, le non deux des éléments de n étant dans la même See also:ligne ou dans la même See also:colonne, et de chaque un tel produit ayant l'unité de coefficient. Les produits en question peuvent être obtenus en permutant de chaque façon possible les colonnes (ou les See also:lignes) de la cause déterminante, et puis en prenant pour les facteurs les éléments de n dans la diagonale droite. Et nous dérivons de là la règle pour les signes, à savoir vu l'See also:arrangement See also:primitif des colonnes aussi positives, puis un arrangement obtenu de là par un échange See also:simple (See also:inversion, ou dérangement) de deux colonnes est considéré comme le négatif; et ainsi en général un arrangement est positif ou négatif selon qu'il est dérivé de l'arrangement primitif par un égal ou un nombre See also:impair d'échanges.

les ]This implique le théorème qu'un arrangement donné peut être dérivé de l'arrangement primitif seulement par un nombre impair, ou bien seulement par un evennumber d'interchanges, -- un théorème dont la vérification peut être facilement obtenue à partir du théorème (en fait un See also:

cas See also:particulier de le général), un arrangement peut être dérivé de lui-même seulement par un See also:chiffre See also:pair des échanges. ] Et ce être ainsi, chaque produit a le signe appartenir à l'arrangement correspondant des colonnes; en particulier, une cause déterminante contient avec le signe + le produit des éléments dans sa diagonale droite. Il doit être observé que la règle donne autant de positif comme arrangements négatifs, le nombre de chacun qui est = z 1,2... n. La règle des signes peut être exprimée sous une forme différente. Donnant aux colonnes dans l'arrangement primitif les numéros I, 2, 3... n, pour obtenir le signe appartenant à tout autre arrangement que nous prenons, aussi souvent qu'un nombre inférieur réussit plus haut, le signe -, et, en composant ensemble tous See also:ces signes moindres, obtenez le signe approprié, + ou - selon les circonstances. Ainsi, pour trois colonnes, il s'avère par l'une ou l'autre règle que 123, 231, 312 sont positifs; 213, 321, 132 sont négatifs; et l'expression développée de la cause déterminante antérieure du troisième ordre est = a"b'c d'a'bc"a"bc d'See also:ab'c "- l'ab"c '+a'b"c - '. 3. Il s'avère plus loin qu'une cause déterminante est un function1 linéaire des éléments de chaque colonne en, et également une fonction linéaire des éléments de chaque ligne en; d'ailleurs, See also:cela la cause déterminante maintient la même valeur, seulement son signe étant changé, quand deux colonnes quelconques sont échangées, ou quand deux lignes quelconques sont échangées; plus généralement, quand les colonnes sont permutées de n'importe quelle 'façon, ou quand les lignes sont permutées de n'importe quelle façon, la cause déterminante maintient son valeur originale, avec le signe + ou - selon que le nouvel arrangement (considéré comme dérivé de l'arrangement primitif) est positif ou négatif selon la règle des signes antérieure. Elle suit immédiatement que, si deux colonnes sont identiques, ou si deux lignes sont identiques, la valeur de la cause déterminante est = o. qu'il peut s'ajouter, que si les lignes sont converties en colonnes, et colonnes en lignes, de façon à laisser le See also:diagonal droit, inchangé, la valeur de la cause déterminante est inchangée; on dit que la cause déterminante dans ce cas-ci est transposée. 4. Par ce qui précède il s'avère que là existe une fonction des éléments de N2, linéaire en ce qui concerne les limites de chaque colonne (ou de parole, pour le shortness, linéaire quant à chaque colonne), et tel que seulement le signe est changé quand deux colonnes quelconques sont échangées; ces propriétés déterminent complètement la fonction, excepté quant à un See also:facteur See also:commun qui peut multiplier toutes les limites. Si, pour obtenir débarrasser ce arbitraire commun facteur, supposer que produit élément dans droit diagonale avoir coefficient + 1, avoir un complet définition cause, et être intéressant pour montrer comment ces propriété, supposer pour définition, cause, immédiatement apparaître que cause être un fonction portion pour solution un système linéaire équation, observer que propriété montrer immédiatement que si tout colonne être = o (c'est-à-dire, si élément dans colonne être chacun = o), alors cause être = o; et promouvez, cela si deux colonnes quelconques mangeaient identique, alors la cause déterminante est = o. - 5., retournant au système des équations linéaires notées au début de cet See also:article, considèrent la See also:hache déterminante +by +cz - d b,c; a'x+b'y+c'z-d ', b ', c 'a"x+b"y+c"zd ", b ", c "il s'avère que c'est = le xla, b, c I+y b, b, I+zlc, b, c, d, b, c I; r r ''r '.

r r r r r linéaire 'a, b, c b, b, c c, b, c d, b, c ", b ", c "b", b ", c "c", b ", c ", d ", b ", c "à savoir le deuxième et nomme troisièmement chacun qui disparaît, il est a, b, c - d, b, c ', b ', c 'd ', b ', c 'a", b "e" d "b" c "mais si les équations jugent bon, puis le See also:

premier 'une fonction linéaire, est ici employée dans son See also:sens plus étroit, une fonction linéaire sans limite constante; ce qui est signifié est que la cause déterminante est en vue de les éléments a, ', ", de n'importe quelle colonne ou rayez en, une fonction de la forme Aa+A'a'+A`a"d-.... sans n'importe quelle limite indépendante de a, ', a -,b c = ab, c +aqbr, +a b,c,c "1b I,c, b", le c"J b c1 b 'a ", b "c., 11I,b,c,d = See also:aube ',c ',d '- a'b" c ",d ", le c"r d"a/"b,c,d de +a"b"r un b'"de",c ",d "de ',d 'b de ',b ',c, c'", b '"c/" d '" b,c,d b ',c ',d 'b" See also:cr/drr un "b" c d "r" Br "DANS le drr -, cause déterminante originale est = o, et donc la cause déterminante elle-même cassée vers le haut en somme (33 =) de 27 causes déterminantes, dont chacune est est o; c'est-à-dire, les équations linéaires donnent l'une ou l'autre d'une certaine une telle forme comme t xa aiSy, b, c d, b, c = o; l un 'b 'c 'd 'b, c 'a ', b "c 'd", b ', c 'qui est le résultat a obtenu en haut. Nous pourrions dans une trouvaille semblable de manière les valeurs de y et de z, mais il y a un processus plus symétrique. Joignez aux équations originales la See also:nouvelle équation ax+/By + 7z = S; a comme le processus See also:montre que, les équations étant satisfaites, nous ont a, $, 7, = 0; a, b, c, d ''de b ', de b ', c ', d 'a ", c ', d "ou, en tant que ceci peut être écrit, a, i4, le -ä de y, b, c = o: a, b, c, a'de d, b', c 'a ', b ', c ', d 'a ", b ", c "a ', b" c ", d 'qui, considérant b en tant que position ci-dessus pour sa valeur ax+/y+yz, est une conséquence des équations originales seulement: nous avons ainsi une expression pour ax+lay+yz, une fonction linéaire arbitraire des quantités inconnues X, y, z; et en comparant les coefficients du, de a/3, y des deux côtés respectivement, nous avons les valeurs de x, y, z; en fait, ces quantités, chacune se sont multipliées par a, b., l'a` b "c" a "de c, b", c "sont en premier lieu obtenu See also:sous les formes a, b, c, d '. b ', c ', d 'a ", le b"I c ", EL "mais ceux-ci sont b, c, d, See also:ic, d, Al, LD a,b I, b ', c ', d 'c ', d ', un 'd 'a ', b 'b ', c" d 'c ", d ", un "d 'a", b 'ou, ce qui est la même chose, Ib, c, d LC, a, d, la La, b, d b ', c ', d 'c ', ', d ' respectivement. 6. La multiplication de deux causes déterminantes du même théorème d'Order.The est obtenue très facilement à partir de la dernière définition précédente d'une cause déterminante. Elle le plus simplement est exprimée ainsi (a, ',"), (R, Floride ', R"), ('Y, y', y") (a, b, c) "a, b, l'a" de c, R, Y, (', b ', c')` l ', b ', c '1,1 ', Q ', Y '(", b ', c '),,", b ", c 'a ", l3 ', Y "où l'expression du côté gauche représente un déterminant (a, ',"), c.-à-d., aa+See also:ba'+ ca ", (a, b, c)(/3,/3 ',/3"), c.-à-d., a13+bs'+c/3 ", (a, b, c)('y, 'Y', 'y"), qui est ay+by'+cy "; et pareillement les limites dans les deuxièmes et troisième lignes sont les fonctions de la vie avec (', b ', c ') et (", b ", c") respectivement. Il y a une transposition apparent arbitraire des lignes et des colonnes; le résultat jugerait bon si du côté à gauche que nous avions écrit (a, S, y), (',/3 ', y '), (", 13 ", y"), ou ce qui est la même chose, si du côté droit nous avions transposé la deuxième cause déterminante; et l'une ou l'autre de ces derniers change , il pourrait être pensée, augmentent l'élégance de la forme, mais, pour une See also:raison qui n'ont pas besoin d'être expliqués, 'la forme réellement adoptée est la préférable. Pour indiquer la méthode de See also:preuve, observez que la cause déterminante du côté à gauche, fonction linéaire de qua de ses colonnes, peut être I que la raison est le raccordement avec le théorème correspondant pour la multiplication de deux See also:matrices.a, a, b, un 'r 'de r b 'de I a"r ', b "où d'asy de du limite 'n'est pas une limite de l'a/By-determinant, et ses coefficient(as une cause déterminante avec deux columns)vanishes identiques; ou bien c'est d'une forme telle que ta3'7 "un,b,c un 'b 'c 'a", b ", c "c'est-à-dire, chaque limite qui ne disparaît pas contient comme facteur le See also:bout See also:ABC-déterminant noté; la somme de tous autres facteurs t a$'y "est l'a#7-determinant de la See also:formule; et le résultat final est alors, cela que la cause déterminante du côté à gauche est égale au produit du côté droit de la formule. 7. La décomposition d'une cause déterminante dans Determinants.Consider complémentaire, pour la simplicité, d'une cause déterminante du cinquième ordre, 5 = z+3, et a laissé les deux lignes See also:principales soit a, b, c, d, e ', b ', c ', d ', e 'alors, si nous considérons comment ces éléments entrent dans la cause déterminante, il immédiatement est vus qu'elles entrent seulement par les causes déterminantes du deuxième ordre I e ', I, &c., qui peut être constitué en choisissant deux colonnes quelconques au See also:plaisir. D'ailleurs, représentant les trois lignes restantes par un 'b ", c ", d "e" a ", b "" c", d "", e" elle est encore vue que le facteur qui multiplie la cause déterminante formée avec deux colonnes quelconques du premier ensemble est la cause déterminante du troisième ordre formé avec les trois colonnes complémentaires du deuxième ensemble; et il s'avère ainsi que la cause déterminante du cinquième ordre est une somme de tous les produits du }a de forme, c"de b, e réel composant diagonal", I un 'b "c", d ", ", c"d ", "" le signe t étant dans chaque cas tel que le signe de la limite ab'.c"d"'e" obtenue à partir des éléments des causes déterminantes peut être le signe de cette limite, dans la cause déterminante du cinquième ordre; pour le produit noté le signe est évidemment +. observent cela pour une cause déterminante du nième ordre, la prise de la décomposition pour être I + (n I), nous tombons en arrière sur les équations données au commencement, afin de montrer la genèse d'une cause déterminante.

Phoenix-squares

8. cause déterminante ', b 'que j'ai formé hors des éléments de la cause déterminante originale, en choisissant les lignes et des colonnes au plaisir, se nomme un See also:

mineur de la cause déterminante originale; et quand le nombre de lignes et de colonnes, ou l'ordre de la cause déterminante, est n I, puis une telle cause déterminante s'appelle un premier mineur; le nombre des premiers mineurs est = N2, les premiers mineurs, en fait, correspondant aux multiples éléments de la cause déterminante -- c'est-à-dire, le coefficient là-dedans de n'importe quelle limite celui qui soit le premier mineur correspondant. Les premiers mineurs, chacun se sont divisés par la cause déterminante elle-même, forment un système des éléments inverses aux éléments de la cause déterminante. Une cause déterminante est symétrique quand chaque deux éléments symétriquement situés en vue de la diagonale droite sont égaux entre eux; s'ils sont égaux et opposé (c'est-à-dire, si la somme des deux éléments soit = o), cette relation ne se prolongeant pas aux éléments diagonaux eux-mêmes, qui demeurent arbitraires, alors la cause déterminante est oblique; mais si la relation se prolonge aux limites de diagonale (c'est-à-dire, si ce sont chacun = o), alors la cause déterminante est symétrique oblique; ainsi les causes déterminantes a, h, See also:g a, v,µ o, v,u h, b, f v, h, X ", o, X g, f, c l X, le µ de c, X, o sont symétriques respectivement symétrique, oblique et oblique: a, b, c, d ', b ', c ', d 'a ', d "r a, b, c, d ''a"r b" de b un ', de c 'd, c"r, d "que la théorie admet des développements algébriques très étendus, et applications dans la géométrie algébrique et d'autres parties de mathématiques. Pour des développements ultérieurs de la théorie de causes déterminantes voir le FORMS ALGÉBRIQUE. (A. Ca.) 9. Des fonctions de History.These ont été à l'origine connues en tant que "résultantes," un nom appliqué à elles par See also:Pierre See also:Simon See also:Laplace, mais maintenant remplacé par le See also:titre "causes déterminantes," un nom d'abord appliqué à certaines formes d'elles par See also:gauss de Carl See also:Friedrich. Le germe de la théorie de causes déterminantes doit être trouvé dans les écritures de Gottfried Wilhelm See also:Leibnitz (1693), qui par ailleurs aiscovered certaines propriétés en réduisant l'eliminant d'un système des équations linéaires. See also:Gabriel See also:Cramer, dans une See also:note au sien analysent les algebriques de courbes de lignes de DES (1750), a donné la règle plus laquelle établit le signe d'un produit comme ou sans selon que le nombre de déplacements de la forme typique a été égal ou impair. Des causes déterminantes ont été également utilisées par See also:Etienne Bezout en 1764, mais le See also:compte d'abord relié de ces fonctions a été édité en 1772 par See also:Charles Auguste Vander-monde. Laplace a développé un théorème de Vandermonde pour l'expansion d'une cause déterminante, et en See also:Joseph 1773 See also:Louis See also:Lagrange, dans son mémoire sur des pyramides, a employé des causes déterminantes du troisième ordre, et a montré que la place d'une cause déterminante était également une cause déterminante.

Bien qu'il ait obtenu des résultats maintenant identifiés avec des causes déterminantes, Lagrange n'a pas discuté ces fonctions systématiquement. Dans i8oi le gauss a édité ses arithmeticae de Disquisitions, qui, bien qu'écrit sous une forme obscure, ont donné une nouvelle See also:

impulsion aux investigations sur le ce et les sujets analogues. Du gauss est dû l'établissement du théorème important, celui le produit de deux causes déterminantes de la deuxième et les troisième ordres est une cause déterminante. La formulation de la théorie générale est due à Augustin Louis See also:Cauchy, dont le travail était le précurseur des découvertes brillantes faites dans les décennies suivantes par Hoene-Wronski et J. Binet en France, Carl Gustav See also:Jacobi en l'Allemagne, et le See also:James Joseph See also:Sylvester et See also:Arthur See also:Cayley en Angleterre. Jacobi See also:recherche ont été publiés au See also:journal de Crelle (1826-1841). En ces journal le sujet a été remanié et enrichi par les nouveaux et importants théorèmes par lesquels le nom de Jacobi est indissolublement associé à cette See also:branche de la science. Les découvertes de grande See also:envergure du See also:rang d'See also:and'Cayley de Sylvester en tant qu'un des développements les plus importants des mathématiques pures. De nouveaux See also:champs nombreux ont été ouverts, et ont été diligemment explorés par beaucoup de mathématiciens. des Biaiser-causes déterminantes ont été étudiées par Cayley; axisymmetric-causes déterminantes par Jacobi, V. A. Lebesque, Sylvester et O.

See also:

Hesse, et causes déterminantes centro-symétriques par W. R. F. See also:Scott et G. Zehfuss. Continuants ont été discutés par Sylvester; alternants par Cauchy, Jacobi, N. Trudi, H. Nagelbach et G. Garbieri; circulants par E. Catalan, W. See also:Spottiswoode et J. W.

L. See also:

Glaisher, et Wronskians par E. B..Christoffel et G. Frobenius. Des causes déterminantes composées de coefficients binomiaux ont été étudiées par V. von Zeipel; l'expression des intégrales définies comme causes déterminantes par A. See also:Tissot et A. Enneper, et l'expression des fractions continues comme causes déterminantes par Jacobi, V. Nachreiner, S. See also:Gunther et E. Fiirstenau. (voir le T.

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