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ANALYSE HARMONIQUE

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À l'origine apparaissant en volume V12, page 957 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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See also:

ANALYSE See also:HARMONIQUE , dans See also:les mathématiques, See also:le nom donné par See also:monsieur William See also:Thomson (See also:seigneur See also:Kelvin) et P. See also:G. See also:Tait dans leur traité sur la See also:philosophie normale à une méthode générale d'étudier les questions physiques, dont les applications les plus tôt semblent avoir été suggérées par l'étude See also:des vibrations des See also:cordes et l'analyse de See also:ces vibrations dans leur tonalité fondamentale et ses harmoniques ou traits. Le See also:mouvement d'une See also:corde étirée uniforme fixée aux deux extrémités est un mouvement périodique; c'est-à-dire, après un See also:certain See also:intervalle de See also:temps, appelé la période fondamentale du mouvement, la See also:forme de la corde et la See also:vitesse de chaque See also:partie d'eux sont les mêmes qu'avant, à condition que l'énergie du mouvement n'ait pas été raisonnablement absorbée pendant la période. Il y a deux méthodes distinctes d'étudier le mouvement d'une corde étirée uniforme. Un de ces derniers peut s'appeler la méthode de See also:vague, et l'autre la méthode harmonique. La méthode de vague est fondée sur le théorème que dans une corde étirée de longueur infinie une vague de n'importe quelle forme peut être propagé dans l'une ou l'autre direction avec une certaine vitesse, V, que nous pouvons définir comme "vitesse de la See also:propagation." Si une vague de n'importe quelle forme voyageant dans la direction positive rencontre des autres qui voyagent dans la direction opposée, dont la forme est telle que les See also:lignes joignant les See also:points correspondants des deux See also:vagues sont toutes a bissecté dans un See also:point fixe dans la See also:ligne de la corde, alors le point de la corde correspondant à ce point demeurera fixe, alors que les deux vagues le passent dans des directions opposées. Si nous supposons maintenant que la forme des vagues voyageant dans la direction positive est périodique, c'est-à-dire, qu'après que la vague ait voyagé en avant une distance 1, la position de chaque particule de la corde est identique comme elle était au début, alors 1 s'appelle la longueur d'onde, et la période du déplacement une longueur d'onde s'appelle le temps périodique, que nous dénoterons par T, de sorte que 1 = VT. Si nous supposons maintenant un ensemble de vagues semblables à ces derniers, mais renversé en position, voyager dans la direction opposée, il y See also:aura des séries de points, Zl éloigné de l'un l'autre, auquel il n'y aura aucun mouvement de la corde; il ne fera donc aucune différence au mouvement de la corde si nous supposons la corde attachée aux appuis fixes à n'importe quels deux de ces points, et nous pouvons alors supposer les parties de la corde au delà de ces points pour être enlevés, car elle ne peut pas affecter le mouvement de la pièce qui est entre eux. Nous sommes ainsi arrivés au See also:cas d'une corde See also:uniforme étirée entre deux appuis fixés, et nous concluons que le mouvement de la corde peut être complètement représenté comme résultante de deux ensembles de vagues périodiques voyageant dans des directions opposées, leurs longueurs d'onde étant deux fois la distance entre les points fixes ou un submultiple de See also:cette longueur d'onde, et la forme de ces derniers ondule, sujet à cette See also:condition, étant parfaitement arbitraire. Pour faire au problème défini, nous pouvons supposer le déplacement et la vitesse initiaux de chaque particule de la corde donnée en termes de sa distance d'une extrémité de la corde, et de ces données il est facile de calculer la forme qui est See also:commune à toutes les vagues de déplacement. La forme de la corde à n'importe quelle See also:heure suivante peut alors être déduite en calculant les positions des deux ensembles de vagues à ce moment-là, et en composant leurs déplacements.

Ainsi dans la méthode de vague le mouvement réel de la corde est considéré pendant que la résultante de deux mouvements de vague, dont ni l'un ni l'autre n'est de lui-même, et sans autre, conformé dans la condition que les extrémités de la corde sont fixes. Chacun des mouvements de vague est périodique avec une longueur d'onde égale deux fois à la distance entre les points fixes, et l'un ensemble de vagues est l'See also:

inverse de l'autre en ce qui concerne le déplacement et la vitesse et la direction de la propagation; mais, à des ces conditions, la forme de la vague est sujette parfaitement arbitraire. Le mouvement d'une particule de la corde, étant déterminé par les deux ondule qui passent au-dessus d'elle dans des directions opposées, est d'un See also:type également arbitraire. Dans la méthode harmonique, d'autre See also:part, le mouvement de la corde est considéré comme composé d'une série de mouvements vibratoires ("copies normale"de vibration), qui peut être See also:infini en nombre, mais de chacun desquels est parfaitement défini dans le type, et est en fait une See also:solution particulière du problème du mouvement d'une corde avec ses extrémités fixées. Un mouvement harmonique See also:simple est ainsi défini par Thomson et Tait (§ 53):When que par point Q se déplace uniformément en See also:cercle, le QP perpendiculaire, tiré de sa position à l'instant à un diamètre fixe aa 'du cercle, intersecte le diamètre dans un point P dont la position change par un mouvement harmonique simple. L'See also:amplitude d'un mouvement harmonique simple est la See also:gamme sur un côté ou l'autre du point See also:moyen du cours. La période d'un mouvement harmonique simple est le temps qui s'écoule de l'instant jusqu'à ce que le déplacer-point se déplace encore la même direction par la même position. La phase d'un mouvement harmonique simple à l'instant est la fraction de toute la période qui s'est écoulée depuis que le déplacer-point a pour la dernière fois traversé sa position See also:moyenne dans la direction positive. Dans le cas de la corde étirée, c'est seulement dans certains cas particuliers que le mouvement d'une particule de la corde est un mouvement harmonique simple. Dans ces cas de détail la forme de §See also:tring à l'instant est See also:celle d'une courbe des sinus ayant la ligne joindre les points fixes pour son See also:axe, et passer par ces deux points, et donc avoir pour sa longueur d'onde deux fois la longueur de la corde ou un certain submultiple de cette longueur d'onde. L'amplitude de la courbe des sinus est une fonction harmonique simple du temps, la période étant la période fondamentale ou un certain submultiple de la période fondamentale. Chaque un de ces modes de vibration est dynamiquement possible par lui-même, et tout nombre d'eux peut coexister indépendamment les uns des autres.

Par un See also:

ajustement approprié de l'amplitude et de la phase initiales de chacun de ces modes de vibration, de sorte que leur résultante représente l'état initial de la corde, nous obtenons une See also:nouvelle représentation du mouvement entier de la corde, dans laquelle on le See also:voit pour être la résultante d'une série de vibrations harmoniques simples dont les périodes sont la période fondamentale et ses submultiples. La détermination des amplitudes et des phases des multiples vibrations harmoniques simples afin de satisfaire les conditions initiales soit un exemple d'analyse harmonique. Nous avons ainsi deux méthodes de résoudre l'équation partielle du mouvement d'une corde. Le See also:premier, que nous avons appelé la méthode de vague, See also:montre la solution See also:sous la forme contenant une fonction arbitraire, dont la nature doit être déterminée à partir des conditions initiales. La seconde, ou la méthode harmonique, mène à une série de See also:limites impliquant les sinus et les cosinus, dont les coefficients doivent être déterminés. La méthode harmonique peut être définie d'une façon plus générale comme méthode par laquelle la solution de n'importe quel problème réel peut être obtenue comme See also:somme ou résultante d'un certain nombre de limites, dont chacune est une solution d'un cas See also:particulier du problème. La nature de ces cas particuliers est définie par la condition que n'importe quel un d'eux doit être conjugué à tout autre. L'essai mathématique du conjugacy est que l'énergie du système résultant de deux des harmoniques existants-ensemble est égale à la somme de l'énergie résultant des deux harmoniques pris séparément. En d'autres termes, aucune partie de l'énergie ne dépend du produit des amplitudes de deux harmoniques différents. Quand deux modes du mouvement du même système sont conjugués entre eux, l'existence d'un d'eux n'affecte pas l'autre. Le cas le plus simple dont de l'analyse harmonique, See also:cela le traitement de la corde vibrante est un exemple, est complètement étudié dans ce qui est connu comme théorème de See also:Fourier. Le théorème de Fourier affirme que n'importe quelle fonction périodique d'une seule période variable p, qui ne devient pas infinie à aucune phase, peut être augmentée sous forme de série se composant d'une See also:limite See also:constante, ainsi qu'une See also:double série des cosinus de limites, d'un impliquants réglés et les autres sinus des multiples de la phase. Ainsi si '(e) est une fonction périodique de t-variable ayant une période p, alors il peut être augmenté comme suit: le ¢(i) = le ìlrt d'See also:Ao+l A;cos2p Bism (i) la partie du théorème qui le plus fréquemment est exigé, et il est également le plus facile étudier que, est la détermination des valeurs des coefficients ao, AI, See also:Bi.

Ce sont h 2 f? 21ir 2 ~? Zia ao = - f 4, (E)dt; See also:

Op(S)See also:cos A de fo d'Ai=p; de See also:gyp(de Bi=i -- A. La présente partie du théorème peut être vérifiée immédiatement en multipliant les deux côtés de (i) par A, par cos (ìa/p)/dE ou par péché (ì7ri;/p))/dE, et dans chaque cas d'o à p d'intégration. La série simple-est évidemment évaluée pour n'importe quelle valeur indiquée de. Elle ne peut pas donc représenter une fonction dont a plus d'une valeur, ou dont devient imaginaire pour n'importe quelle valeur. C'est convergent, s'approchant à la valeur vraie de 4() pour toutes les valeurs de tels que si t change infinitesimally la fonction change également infinitesimally. Seigneur Kelvin, se servant de la See also:machine d'intégration de See also:disque, de globe et de See also:cylindre inventée par son frère, See also:professeur See also:James Thomson, a construit une machine par laquelle huit des intégrales exigées pour l'expression de la série de Fourier Peuvent être obtenus simultanément à partir de la trace enregistrée de n'importe quelle quantité, telle que la See also:taille de la marée, température ou See also:pression périodiquement variable de l'atmosphère, ou l'intensité avec des différents composants du magnétisme terrestre. S'il n'étaient pas à cause de la See also:perte de temps, au See also:lieu d'avoir une courbe dessinée par l'See also:action de la marée, et la courbe après a agi dessus par la machine, l'axe de temps de la machine lui-même pourrait être conduit par une horloge, et de la marée elle-même pourrait fonctionner la deuxième variable de la machine, mais ceci impliquerait la présence constante d'une machine chère à chaque station de marée. (J. C. M.) Pour une discussion des restrictions sous lesquelles l'expansion d'un oft périodique de fonction sous la forme (i) est valide, voir la SÉRIE DE FOURIER. Un See also:compte des adaptations pour le calcul mécanique des coefficients AI, Bi.

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