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VAGUE
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ONDUL EZ See also:le l qu'il n'est pas tout à fait facile d'encadrer une définition qui sera précise et en même See also: Eng.; il est apparenté avec See also:Ger. Woge, et est allié "remuent," pour se déplacer de l'un côté à l'autre, et doivent être mentionnés le wegh de See also: Les expressions pour les énergies cinétiques et potentielles de n'importe quelle partie de la corde sont T=ipfy2dx, V=aPJy, 2dx. . . (5) où les intégrations se prolongent au-dessus de la partie considérée. La relation (4) See also:montre que cela dans une vague progressive simple toute l'énergie est potentiel à moitié cinétique et See also:demi. \Vhen un point de la corde (dites l'origine 0) est fixe, les prises de solution la forme y = - f(ctx)f(ct-hx). (6) en tant qu'appliqué (par exemple) à la partie de la corde à la See also:gauche de 0, ceci indique la superposition d'une vague reflétée représentée par la deuxième limite sur la vague directe représentée par la première. La vague reflétée a les mêmes amplitudes aux See also:points correspondants que la vague d'incident, comme est en effet exigé par le principe de l'énergie, mais son signe est renversé. La réflexion d'une vague à la jonction de deux See also:cordes des densités inégales p, p 'est d'intérêt à cause de l'See also:analogie See also:optique. Si A, B soit les rapports des amplitudes dans reflété et les vagues transmises, respectivement, aux amplitudes correspondantes dans la vague d'incident, on le constate qu'A=-(p-I)I(.+1), B=2p/(p+I). (7) où p, = (p'/p), est le rapport des onduler-vitesses. C'est sur l'hypothèse d'un changement brusque de densité; si la transition soit progressive il peut y avoir peu ou pas de réflexion. La théorie de vagues de vibration longitudinale dans une See also:tige droite uniforme suit exactement les mêmes See also:lignes. Si dénotez le déplacement d'une particule dont la position calme est x, la longueur d'un élément de la ligne centrale est changée de Sx à Sx+SE, et l'élongation est donc mesurée par::'. que la tension à travers n'importe quelle See also:section est en conséquence See also:brebis ', où W est le See also:secteur sectionnel, et E dénote le See also:module de Young pour le matériel de la tige (voir l'cÉlasticité). Le See also:taux de changement. de l'élan de la partie incluse entre deux sections transversales consécutives est pwax.E, où p représente maintenant la See also:volume-densité. Égalisant ceci à la différence des tensions sur ces sections nous obtenons c = (E/p). . (9) la solution et l'interprétation sont la même que dans le cas de (i). Il peut noter que dans une tige de See also:fer ou d'See also:acier l'onduler-vitesse donnée par (9) des See also:montants rudement à environ cinq kilomètres par seconde. La théorie d'élastique See also:plat ondule dans un milieu illimité, si fluide ou le solide, mène aux équations exactement du même See also:type. Ainsi dans le cas d'un milieu liquide, si la normale de déplacement aux fronts des ondes soit une fonction de t et de x, seulement, l'équation du mouvement d'une strate mince au commencement liée en les avions X et x+bx est pZ=a d'aÈ. (RO) où p est la See also:pression, et See also:PO la densité calme. Si p dépend seulement de la densité, nous pouvons écrire, pour de See also:petites perturbations, p=po+ks, (si) où s, = (le ppu)po, est la "condensation," et k est le coefficient de l'élasticité cubique. Depuis s=aE/ax, ceci mène à la See also:hache de 0È:a È a12 avec c = d (kip). . (13) la dernière See also:formule donne pour la vitesse du See also:bruit dans l'eau une valeur (environ 1490 mètres par seconde à 15° C.) ce qui est en bon See also:accord avec l'observation directe. Dans le cas d'un See also:gaz, si nous négligeons des See also:variations de la température, nous avons le k=po par Law de See also:Boyle's, et donc = d (pulpes). Ce résultat, qui est dû sensiblement de See also: S. See also:Laplace (about425 1806?). La température n'est pas vraiment constante, mais s'élève et des See also:chutes car le gaz est alternativement comprimé et rarefied. Quand ceci est See also:permis pour nous ayez le k=ypo, où 7 est le rapport des deux que le détail chauffe du gaz, et donc c = d (ypo/po)• pour l'See also:air, y = 1,41, et la valeur conséquente de c est See also:conforme bien aux meilleures déterminations directes (332 mètres par seconde à o° C.). L'énergie potentielle d'un système des vagues saines est iks2 par volume unitaire. Comme dans tous les cas de la propagation dans une dimension, l'énergie d'un système progressif simple est potentiel à moitié cinétique et demi. Dans le cas des types élastiques isotropes illimités d'un milieu plein deux d'ondes planes soyez possible, à savoir le déplacement peut être normal ou tangentiel aux fronts des ondes. L'axe de x étant pris dans la direction de la propagation, alors dans le cas d'un déplacement normal E la normale de See also:traction au front des ondes est (X+2p)af/ax, où X, p sont les constantes élastiques du milieu, viz.µ est la "rigidité," et X=k-3p, où k est l'élasticité cubique. Ceci mène à l'équation E=(14) a = { (X+à)/al = d { (k+, p)/p }. . (15) l'onduler-vitesse est plus grande que dans le cas des vibrations longitudinales d'une tige, dû au rendement latéral qui a See also:lieu dans le dernier cas. Dans le cas d'un déplacement n parallèle à l'axe de y, et donc tangentiel aux fronts des ondes, nous avons une See also:contrainte de cisaillement a, /ax, et un effort de cisaillement correspondant pap/ax. Ceci mène à = b2, n "(16) avec b = SL (a/a). . (17) dans le cas de l'acier (k=1.841. Io12, p=8.19. 1o ", p=7.849 C.g.s.) les onduler-vitesses a, b sortent pour être de 6,1 et 3,2 kilomètres par seconde, respectivement. Si le See also:moyen soit cristallin la vitesse de la propagation des ondes planes dépendra également de l'See also:aspect du front des ondes. Pour n'importe quelle direction donnée du l'onduler-normal il y a dans les vitesses distinctes de l'See also:affaire trois les plus généraux de l'onduler-propagation, chacune avec sa propre direction de particule-vibration. Ces dernières directions sont perpendiculaires entre eux, mais en général oblique au front des ondes. Pour certains types de structure cristalline les résultats simplifient, mais il est inutile d'entrer dans d'autres détails, car la matière est principalement d'intérêt par rapport au abandohed maintenant des théories élastique-pleines de See also:double-réfraction. Pour la théorie électrique See also:moderne de lumière voir la LUMIÈRE, et les VAGUES ÉLECTRIQUES. En conclusion, il peut noter que les conditions de l'onduler-propagation sans changement de type peuvent être étudiés d'une autre façon. Si nous impressionnons sur le milieu entier une égale de vitesse et See also:vis-à-vis See also:celle de la vague nous obtenons un état "régulier" ou "stationnaire" dans lequel les circonstances à n'importe quel point particulier d'See also:espace sont constantes. Ainsi dans le cas des vibrations d'une corde inextensible nous pouvons, en See also:premier lieu, imaginer la corde pour See also:courir par un See also:tube See also:lisse fixe ayant la forme de la vague. La vitesse c étant constante là n'est aucune accélération tangentielle, et la tension P est en conséquence uniforme. La résultante des tensions sur les deux extrémités d'un élément solides solubles est PSs/R, dans la direction de la normale, où R dénote le See also:rayon de courbure. Ce sera exactement suffisant pour produire l'accélération normale c2/R dans les pas de masse, si le C2 = le P/p. Under cette See also:condition le tube, qui n'exerce maintenant aucune pression sur la corde, peuvent être supprimés, et nous avons une vague stationnaire libre sur une corde See also:mobile. Cet See also:argument est dû à P. G. See also:Tait. La méthode a été appliquée au cas des ondes hertziennes par W. J. M. See also:Rankine dans 187o. Quand un gaz See also:passe de façon constante par un tube droit de section d'unité, la masse m qui croise n'importe quelle section dans le temps d'unité doit être identique; par conséquent si u soit la vitesse que nous avons le pu=m (18) encore, la masse qu'au temps t occupe l'espace entre deux sections fixées (que nous distinguerons par des suffixes) a son élan augmenté dans le temps 61 (mugmug) de 61, d'où pi-P2 = m (uùt). (19) combiné avec (18) ceci donne See also: . . . (Ì) et donc près (18), si c dénotent la vitesse générale du See also:courant, c2=dp/dp=k/p. . . (22) en accord avec (13). Le fait que la condition (20) peut seulement être approximativement satisfaites des expositions dans lesquelles un See also:certain changement progressif de type doit inévitablement intervenir bruit-ondule de l'See also:amplitude finie. Cette question a été examinée par S. D. See also:Poisson (1807), monsieur G. G. Stokes (1848), B. See also:Riemann (1858), S. Earnshaw (1858), W. J. M. Rankine (187o), See also:seigneur See also:Rayleigh (1878) et d'autres. Il s'avère que là où (8) Ec22;", (12) où § 2. Onduler-Propagation en général. Nous avons à côté de considérons les processus de l'onduler-propagation dans deux ou trois dimensions. Le cas le plus simple est celui des ondes hertziennes. Quand des See also:limites du deuxième ordre dans les vitesses sont négligées, les équations dynamiques sont l'Au AP See also:poids du See also:commerce AP aw P°at=P°at=ay 'P°a=az; l''• (i) et l'"équation de la continuité" (voir le See also:HYDROMECHANICS) est See also:ac+Po (az d'az+aav aw y+) = 0. Si nous écrivons p=po(I+s), p=po+ks, ceux-ci peut être écrit l'Au en tant que poids du commerce = Zas aw ZOs à = le x'C2 à c -- à _ - - aZ de ` 'où c est donné par le § i (13), et comme fau poids du commerce aw à = ax+ay+az (4) la dernière équation exprimant que la condensation s diminue à un taux égal à la "divergence" du vecteur (u, v, w) (voient l'cAnalyse de VECTEUR). Éliminant u, v, W, nous obtenons a2s = c2v2s at2 où v2 représente l'opérateur See also:a2/ax2+a2/ay2+a2/az2 de Laplace. Ceci, l'équation générale de bruit-ondule, semble être dû à L. See also:Euler (1759). Dans le cas particulier où la perturbation est symétrique en ce qui concerne un centre 0, il prend la forme plus simple 02(rs) = CZa2(rs) (6) à, art d''où r dénote la distance de O. It est facilement déduit (1) qui dans le cas d'un milieu au commencement au See also:repos la vitesse (u, v, w) est maintenant complètement radial. La solution de (6) est s f(ctr)F(ct+r) 'r r que ceci représente deux vagues sphériques voyageant à l'extérieur et vers l'intérieur, respectivement, avec la vitesse c, mais il y a maintenant un changement progressif d'amplitude. Ainsi dans le cas de la vague de divergence représentée par la première limite, la condensation dans n'importe quelle partie particulière de la vague diminue continuellement pendant qu'I/r pendant que la vague écarte. L'énergie potentielle par volume unitaire [ § r (5)1 change comme s2, et ainsi diminue dans la proportion See also:inverse avec la See also:place de la distance de 0. Il peut montrer que comme dans le cas des ondes planes toute l'énergie d'une vague de divergence (ou convergeant) est demi de potentiel et demi de cinétique 'la solution de l'équation générale (5), d'abord donnée par S. D. Poisson en 1819, exprime la valeur de s à n'importe quelle See also:heure donnée t de tapotement de point, en termes de valeurs moyennes de s et I'au t=o instantané au-dessus d'une surface sphérique de ct de rayon décrite avec P comme centre, à savoir. See also:sp=4- f f F(ct)dui +~i[ - J Jf(ct)cko ], (8) où les intégrations se prolongent au-dessus de la surface de la sphère susmentionnée, See also:dw est l'See also:angle plein subtended à P par un élément de sa surface, et le f(ct), F(ct) dénotent respectivement les valeurs originales des ands de s à la position de l'élément. Par conséquent, si la perturbation soit à l'origine confinée à une région limitée, l'See also:agitation à un point quelconque P See also:externe à cette région commencera après un moment rI/c et cessera après qu'un moment See also:r2/c, où r1, ri sont les mineurs et les plus grandes distances du P. de la frontière de la région en question. La région occupée par la perturbation à n'importe quel t instantané est donc délimitée par l'enveloppe d'une See also:famille des sphères du ct de rayon décrites avec les points de la frontière originale comme centres. Un point remarquable au sujet des vagues divergeant dans trois restes de dimensions à noter. Il apparaît facilement de (3) que la valeur 'du fsdt intégral à un point quelconque P, assurée le temps plein du passage d'une vague, est indépendante de la position de P, et égale donc à zéro, comme est vu en prenant P à une distance infinie du siège See also:original de la perturbation. Ceci prouve qu'une vague de divergence contient nécessairement condensé et rarefied des parties. Si au commencement nous avons la vitesse nulle partout, mais une condensation uniforme ainsi dans tout un espace sphérique du rayon a, on le constate que nous avons finalement une vague de divergence See also:sous forme de See also:coquille sphérique de à d'épaisseur, et que la valeur de s dans cette coquille change d'isoa/r au See also:visage antérieur à isoa/r au visage intérieur, r dénotant le rayon moyen de la coquille. Le processus de l'onduler-propagation dans deux dimensions See also:offre quelques particularités qui sont exemplifiées dans les vagues cylindrique du bruit, dans les vagues sur une membrane See also:plate tendue uniforme, et dans le waveson See also:annulaire une See also:feuille horizontale de l'eau (relativement) de la petite See also:profondeur. L'équation du mouvement est dans toutes ces See also:caisses de la forme a2s - czvl2s, at2 (9) où v12 = a2/ax2-1-a2/ay2. Dans le cas de la membrane s dénote la normale de déplacement à son See also:avion; dans l'application à eau-l'ondule représente l'See also:altitude de la surface au-dessus du niveau calme. La solution de (9), même dans le cas de la symétrie au sujet de l'origine, est analytiquement A beaucoup moins simple que celui de (6). Il s'avère que la vague due à une perturbation locale passagère, même du type le plus simple, brusquement n'est pas maintenant définie à l'arrière, pendant qu'elle est dans l'avant, mais a queue indéfiniment prolongée de B une "." Ceci est illustré par les figures annexées qui représentent graphiquement les temps-variations dans la condensation s à un point particulier, car une vague provenant d'une condensation locale passe au-dessus de ce point. La courbe A représente (dans un cas typique) l'effet d'une onde plane, B qui d'une vague cylindrique, et C qui d'une vague sphérique. Les changements du type de A à B et de B à C sont comptés pour par le degré croissant de mobilité du milieu. Les équations régissant les déplacements u, v, W d'un milieu plein élastique isotrope uniforme sont atz de l'aù aa P = (A+µ)ax +µvù, a2v aa (E/S) Patz = (X+µ)ay +µv"-v, atz d'a2w aa p = (X+a) az+µv2w, où l'az ay de hache de A au+av +aw de ces derniers nous dérivent par la différentiation at2=a2vÀ. (12) des 2 = 6219,È, 92, 7 b2vì1, ~t2 = b2v23 ', (13) où Au E de l'Au aw poids du commerce d'aw poids du commerce, az du?b 8ya. 8 '(14) axay et a2=(X+2µ)/p, 1.2=Alp. . (15) comme dans le § 1. Il s'avère alors que la "See also:dilatation" A et les "rotations", r -, sont propagés avec les vitesses a, b, respectivement. Par des formules analogues (8) à nous pouvons calculer les valeurs de A, E, I, à l'instant en termes de conditions initiales. La détermination suivante de u, v, W est un problème simplement See also:analytique lequel nous n'entamons pas; elle est claire, cependant, que si la perturbation originale soit confinée à une région limitée nous avons finalement deux vagues de divergence sphériques concentriques. Dans l'un externe de ces derniers, qui See also:voyage avec la vitesse a, les rotations l;, n, disparaissent, et la vague est en conséquence décrite comme irrotationnelle, "ou" condensational." Dans la vague intérieure, qui voyage avec la vitesse plus petite b, la dilatation A disparaît, et la vague est donc caractérisée en tant que l'"equivoluminal" ou "distortional." Dans l'ancienne vague les directions de la vibration des particules tendent à devenir normales, et dans le dernier tangentiel, au front des ondes, comme dans le cas des vagues élastiques plates (le § I) les problèmes de la réflexion et de la See also:transmission qui surgissent quand une vague rencontre la frontière d'un milieu élastique-plein, ou l'interface de deux tels médias, sont d'intérêt principalement par rapport aux théories plus anciennes de systeme optique. Il peut, cependant, être intéressant de remarquer qu'une vague irrotationnelle ou d'equivoluminal en général ne provoque pas (ou transmis) une vague reflétée de caractère simple; ainsi une vague d'equivoluminal provoque un irrotationnel comme une vague reflétée par equivoluminal, et ainsi de See also:suite. En conclusion, dans un solide élastique limité nous pouvons également avoir des systèmes des vagues d'un type différent. Celles-ci voyagent au-dessus de la surface avec une vitesse définie légèrement moins que cela des vagues d'equivoluminal au-dessus du te référé; ainsi dans un solide incompressible la vitesse est •9554b; dans un solide tels que 71=µ il est 91941.. L'agitation due à ces vagues est confinée au voisinage immédiat de la surface, diminuant exponentiellement avec l'See also:augmentation de la profondeur. La théorie de ces derniers les vagues extérieures a été donnée par seigneur Rayleigh en 1885. Dans la théorie moderne de tremblements de See also:terre trois phases des figures de la perturbation i 1, 2, 4, 6, 7 et 8 sont d'Hydrodynamics de See also:professeur See also:Horace Lamb's, par la permission de la pression d'université de See also:Cambridge. les parties plus condensées de la vague gagnent continuellement sur moins condensée, la tendance étant apparemment vers la See also:production d'une discontinuité; quelque peu analogue à un "alésage dans eau-ondule. Avant que cette étape puisse être atteinte, cependant, les forces dispersives (jusqu'ici ignorées), comme la viscosité et la See also:conduction thermique, héritez le See also:jeu. Dans l'See also:acoustique See also:pratique les résultats sont également modifiés par la diminution de l'amplitude due à la divergence sphérique. (2). (3) (5) le • (7) à une station éloignée de l'origine sont identifiés; le premier correspond à l'arrivée des vagues de condensational, la seconde à cela des vagues de distortional, et le tiers à celui du Rayleigh ondule (voir l'cÉlasticité). La théorie de vagues divergeant d'un centre dans un milieu cristallin illimité a été étudiée en vue de la théorie optique par G. Green (1839), A. L. See also:Cauchy (18ó), E. B. Christoffel (1877) et d'autres. La surface qui représente le front des ondes se compose de trois feuilles, dont chacune est propagée avec sa propre vitesse spéciale. Il est à peine intéressant d'essayer un See also:compte ici des singularités de cette surface, ou des simplifications qui se produisent pour différents types de symétrie cristalline, car le sujet a perdu beaucoup de son intérêt physique maintenant que la théorie élastique-pleine de lumière est pratiquement abandonnée. § 3. Eau-Ondule. Théorie de "longues" vagues. Le type le plus simple de eau-ondule est celui dans lequel le mouvement des particules est principalement See also:horizontal, et donc (comme apparaîtra) raisonnablement les mêmes pour toutes les particules dans une ligne verticale. L'exemple le plus remarquable est celui des oscillations obligatoires produites par l'See also:action du See also:soleil et de la See also: . . (7) où k est une constante tels qu'à/k est prétention de X. The de longueur d'onde la première, à savoir cela l'accélération verticale peut être négligé en comparaison de l'horizontal, est accompli si le kh soit petit, c.-à-d. si la longueur d'onde soit grande comparée à la profondeur. C'est dans ce sens que la théorie est considérée comme applicable seulement à "See also:longtemps." vagues. La deuxième prétention, qui néglige des limites du deuxième ordre en formant l'équation (i), implique que le rapport n/h de the.surfaceelevation à la profondeur du fluide doit être petit. Les formules (7) indiquent qu'aussi cela dans une vague progressive que les mouvements des particules expédie ou vers l'arrière selon que l'eau-surface au-dessus d'elle est élevée ou diminuée relativement au niveau moyen. Il peut également montrer que les expressions T = îphf u2dx, V = §gpf s, 2dx. . . (8) pour les énergies cinétiques et potentielles par largeur d'unité sont égal dans le cas d'une vague progressive. On le notera qu'il y a une See also:correspondance très étroite entre la théorie de "See also:long" eau-ondule et cela des ondes planes du bruit, par exemple le rapport n/h correspond exactement à la "condensation dans le cas des ondes hertziennes. La théorie peut être adaptée, avec l'See also:ajustement très léger, à la caisse de vagues propagées le long d'un See also:canal de n'importe quelle section uniforme, si la largeur, aussi bien que la profondeur, soit petite comparée à la longueur d'onde. On doit comprendre que le changement See also: 
La théorie a été encore prolongée par G. Green (1837) et par seigneur Rayleigh au cas où les dimensions de la section transversale sont variables. Si la variation soit suffisamment progressive là n'est aucune réflexion sensible, une vague progressive voyageant toujours avec la vitesse appropriée à la profondeur moyenne locale. Il y a, cependant, une variation d'amplitude; la See also:constance de l'énergie, combinée avec l'équation de la continuité, exigent que l'altitude n dans n'importe quel détail, une partie de la vague devrait changer en tant que h-§ de § de b, où b est la largeur de la surface de l'eau et du h est la profondeur moyenne. En See also:raison de sa simplicité mathématique la théorie de longues vagues dans des canaux a été en grande partie employée pour illustrer la théorie See also:dynamique des marées. Dans le cas des vagues obligatoires dans un canal uniforme, l'équation (i) est remplacée près à = gax+X '. • (9) où X représente la force étrangère. Dans le cas d'un canal équatorial entourant la terre, l'action inquiétante de la lune, censée (pour la simplicité) pour tourner dans une See also:orbite circulaire dans le See also:plan de l'équateur, est représentée par X = un S. 2 (of+Q+s). . . . (E/S) où a est le rayon de la terre, H est toute la See also:gamme de la marée sur l'"théorie d'équilibre," et o est la vitesse angulaire de la lune relativement à la terre tournante. La solution correspondante des équations (4) et (9) est Ni 2 H = 2c2 c (7à2 cos 2 (âne d'ot+-a); u - - est gHoa2 cos 2 (at+a-i-e). Le coefficient dans l'ancien de ces équations est négatif à moins que le rapport h/a excèdent aà/g, qui est environ 1/311. Par conséquent à moins que la profondeur de notre canal imaginé soit beaucoup plus grande que des profondeurs telles que sont rencontrés réellement en See also:mer que les marées dans elle seraient inversées, c.-à-d. il y aurait la See also:basse eau sous la lune et au point antipodal, et à la haute eau sur les 900 éloignés méridiens de la lune. C'est un exemple d'un résultat familier dans la théorie de vibrations, à savoir ce dans une oscillation obligatoire d'un See also:corps sous une force périodique la phase est vis-à-vis celui de la force si la fréquence imposée excèdent cela de la vibration libre correspondante (voir la MÉCANIQUE). Dans le cas actuel la période de l'oscillation libre dans un canal équatorial 11.250 pi de profond seraient environ 30 See also:heures. Quand le rapport n/h de l'altitude à la profondeur n'est plus traité comme infiniment petit, on le constate qu'un onduler-système progressif doit subir un changement continuel de type pendant qu'il procède, même dans un canal uniforme. Il a été montré par monsieur G. B. Airy (1845) que les parties plus élevées de la vague voyagent avec les vitesses plus grandes, l'expression pour la vitesse de la propagation étant c(1+In/h) approximativement. Par conséquent les pentes deviendront continuellement plus raides dans l'avant et derrière plus progressif, jusqu'à ce qu'on atteigne une étape à laquelle l'accélération verticale n'est plus négligeable, et la théorie cesse de s'appliquer. Le processus est exemplifié par mer-ondule le fonctionnement vers l'intérieur dans l'eau peu profonde près du See also:rivage. La théorie de vagues périodiques obligatoires de fini (comme distingué infiniment de petit). l'amplitude a été également discutée par Airy. Elle a une application dans la théorie de marée, dans l'explication des "overtides" et des marées composées "(voir la MARÉE). § 4. Surface-Ondule. C'est le type le plus familier de eau-ondule, mais la théorie n'est pas tout à fait élémentaire. Nous supposerons en premier lieu que le mouvement est dans deux dimensions X, y, horizontal et verticale respectivement. Le vitesse-potentiel (voir le HYDROMECHANICS) doit satisfaire l'aZop a2~ d'équation dx2+aye = o '. (i) et doit faire a¢/ay=o au fond, qui est censé être plat et horizontal. L'pression-équation est, si nous négligeons la place de la vitesse, P = à gy+ (2) à suivre par conséquent, si l'origine soit prise dans la surface calme, nous peut écrire, pour l'surface-altitude, le n=gL-Jy=o (3) avec la même approximation. Nous avons également l'état géométrique une souffrance _ au y=o ay1. La solution générale de ces équations est légèrement compliquée. (i) • de (4). (ii) (4) et lui est donc habituel pour fixer l'See also:attention en premier lieu sur le cas d'un onduler-système infiniment prolongé de See also:profil simple-harmonique, le péché k(xct).. de n=f de parole. (5) que la valeur correspondante du TTT) est, (6) k(xci) de cos h h), = kh de k cos s h où h dénote la profondeur; on le vérifie facilement en fait que ceci satisfait (i), et fait a¢/ay=o, pour y = h, et qu'il accomplit la pression-condition (3) sur la surface libre. La condition cinématique (4) sera également satisfaite, le ct=k fourni tan hkh=2tan h2h, X. . (7) X dénotant la longueur d'onde à/k. Il apparaît, sur calculer les vitesses composantes de (6), que le mouvement de chaque particule est elliptique-harmonique, les semi-haches de l'orbite, horizontal et See also:vertical, étant le sinhkh 13 'sinhkh. du péché de cos h k(y+h) h k(y+h) (8).''où y se rapporte au niveau moyen de la particule. Les dimensions des orbites diminuent de la surface en See also:bas. La direction du mouvement d'une surface-particule est expédie quand elle coïncide avec une crête, et vers l'arrière quand elle coïncide avec une cuvette, des vagues. Quand la longueur d'onde est quelque chose moins que la double la profondeur nous avons tan h kh=1, pratiquement, et la formule (6) ramène au k(xct) de ¢=kcekkos avec cz=k=2w '() la même chose comme si la profondeur étaient infinie. Les orbites des particules sont maintenant des cercles des rayons Sek 1. Quand, d'autre part, X est modérément See also:grand comparé à h, nous avons le kh=kh de tan h, et le c=J(gh), en accord avec la théorie précédente de "longues" vagues. Ces résultats datent de G. Green (1839) et monsieur G. B. Airy (1845). L'énergie de notre simple-harmonique onduler-forment est, en tant que de potentiel cinétique et demi habituel et demi, le See also:montant See also:total par unité de superficie de la surface libre étant tgpp '. C'est égal au travail qui serait exigé pour soulever une strate du fluide, de l'épaisseur égal à l'surface-amplitude R, par une See also:taille 28. On l'a supposé jusqu'ici que l'See also:extrados est libre, la pression étant là uniforme. Nous pourrions également considérer la caisse de vagues sur la surface See also:commune de deux liquides de différentes densités. Pour les longueurs d'onde qui sont moins que la double la profondeur de l'un ou l'autre liquide la formule () est remplacée par c==2'r.p, +p "(II) où p, p 'sont les densités des fluides inférieurs et supérieurs respectivement. La diminution dans l'onduler-vitesse c a, car la formule indique, une cause double; l'énergie potentielle d'une déformation donnée de la surface commune est diminuée par la présence du fluide supérieur dans le rapport (pp')/p, tandis que l'inertie est augmentée dans le rapport (p+p')/p. quand les deux densités sont presque tout à fait égale les vagues ont peu d'énergie, et les oscillations de la surface commune sont très lents. Ceci est facilement observé dans le cas d'See also:huile de pétrole au-dessus de l'eau. - il serait nécessaire d'See also:examiner le progrès, au-dessus de la surface de l'eau profonde, d'une perturbation dont le caractère initial l'est donné tout à fait arbitrairement de la résoudre par le théorème de Founer's en systèmes des trains simple-harmoniques. Puisque chacune de ces derniers est propagée avec la vitesse appropriée à sa propre longueur d'onde, comme donné près (à), l'onduler-profil résultant changera continuellement sa forme. Le cas d'une première See also:impulsion locale a été étudié en détail par S. D. Poisson (1816), A. Cauchy (1815) et d'autres. À n'importe quel instant suivant la surface est occupée de chaque côté en un train des vagues de la taille et la longueur variable, la longueur d'onde augmentant, et la taille diminuant, avec l'augmentation de la distance (x) de l'origine de la perturbation. Le voyage de plus longues vagues plus rapidement que plus sont court, de sorte que chaque vague continuellement soit dessinée dehors dans la longueur, et sa vitesse de la propagation donc augmente continuellement pendant qu'elle avance. Si nous fixons notre attention sur un point particulier de la surface, le niveau là montera et tombera avec l'augmentation de la rapidité et de l'amplitude croissante. Ces rapports tous sont impliqués en ouïe gt1 r p c - le ¢Y¢ de cos de ` C) approximative de la formule II de Poisson. (12) qui, cependant, est seulement valide dans la condition que x est grand comparé à 4gtr. Ceci montre que d'ailleurs que l'occurrence d'une longueur d'onde particulière X est conditionnée par la relation _ 1/gX t V 2w 'la description antérieure s'applique en premier lieu seulement au cas d'une première impulsion concentrée sur infiniment un à bande étroite de la surface. Les résultats correspondants pour le cas plus pratique d'une See also:bande de largeur finie doivent être impliqués par la superposition. Les étapes initiales de la perturbation à une distance X, qui est grande comparée à la largeur b de la bande, auront le même caractère qu'avant, mais quand, dû à la diminution continuelle de la longueur des vagues émises, X devient comparable ou plus petit qu'à b, les parties de la perturbation qui sont dues aux diverses parties de la bande ne seront plus approximativement dans la même phase, et nous ont un cas d''interférence "dans le sens optique. Le résultat est en général qu'aux étapes finales que la surface sera marquée par une série de groupes de vagues d'amplitude diminuante a séparé par des bandes de l'eau comparativement lisse. Le fait que l'onduler-vitesse d'un train simple-harmonique change avec la longueur d'onde a une analogie dans le systeme optique, dans la propagation de la lumière dans un milieu dispersif. Dans les deux cas nous avons un contraste avec les phénomènes plus simples des vagues sur une corde tendue ou des ondes lumineuses sous vide, et la notion de la "See also:groupe-vitesse," comme distinguée de l'onduler-vitesse, vient pour être importante. Si dans l'See also:analyse ci-dessus de la perturbation due à une impulsion locale nous dénotons par U la vitesse avec laquelle le lieu de toutes les longueurs d'onde particulières des voyages, nous voient dont (13) U=c. Le fait réel que quand un groupe limité de vagues de l'eau relativement profonde approximativement égale d'excédent de voyages de longueur d'onde la vitesse de l'avance du groupe dans l'ensemble est inférieur cela des différentes vagues composant ce semble avoir été premier explicitement remarqué par J. See also:Scott See also: La condition pour la phase stationnaire est donc z=2x/t.. . (17) FIG. 3. Dans cette différentiation, 0 et P sont. être considéré comme fixé; par conséquent x=c; et donc OQ-=ct=2PQ. Nous avons déjà vu que la longueur d'onde à P est - tels que PQ = Ut, où U est la groupe-vitesse correspondante. Par conséquent le • (9). (13) la longueur d'onde X de P aux points à la droite de 0 est uniforme, étant celle appropriée à une onduler-vitesse c, à savoir. X=22rc2/g. La perturbation est donc suivie en un train des vagues du profil approximativement simple-harmonique, de la longueur indiquée. Un calcul approximatif prouve que, excepté dans le voisinage immédiat de la source de perturbation, l'surface-altitude est donnée par 2PosinR, le • (18) = le PC c où x est maintenant mesuré à partir de 0, et le PO (= pdx de f) représente l'intégrale de l'excédent extérieur inquiétant de pression la largeur (infiniment petite) de la bande sur laquelle elle agit. Le cas d'une pression diffuse peut être dedans ferred par l'intégration. La figure annexée donne une représentation d'un cas particulier, obtenue par plus de pression 4• est ici See also:sup- posé uniformément réparti sur une bande de la largeur See also:ab. Un argument semblable peut être appliqué au cas de la profondeur finie (h), mais puisque l'onduler-vitesse ne peut pas excéder i1 (2gh) les résultats sont modifiés si la vitesse e de la pression de déplacement dépasse cette limite. Il n'y a alors aucun train des vagues produites, la perturbation du niveau étant purement local. Il à peine les besoins déclarant que la recherche s'applique également au cas d'une perturbation extérieure stationnaire sur un See also:jet courant, et que les résultats semblables suivent quand la perturbation consiste en égalité du fond. Dans les deux cas nous avons un train des vagues se tenantes du côté en aval, de la longueur correspondant à une onduler-vitesse égale à celle du jet. L'effet d'une perturbation confinée au voisinage d'un point de la surface (de l'eau profonde) a été également inclus dans les investigations sur Cauchy et Poisson déjà visés. La formule analogue à (12), dans le cas d'une impulsion locale, est t 'g12 1 "~4sin4, (19) où r dénote la distance de la source. L'interprétation est semblable à celle du cas bidimensionnel, sauf que l'amplitude des vagues annulaires diminue à l'extérieur, de même qu'être prévu, dans un rapport plus élevé. L'effet d'un pression-point voyageant dans une ligne droite au-dessus de la surface de l'eau profonde est intéressant, comme nous aidant à rendre compte en un certain degré du système particulier des vagues qui est vu pour accompagner un bateau. La configuration du l'onduler-système est montrée au moyen des lignes de la phase égale dans le See also:diagramme annexé, dues à V. W. Ekman (1906), qui diffère de l'allié de See also:dessin d'origine donné par seigneur See also:Kelvin (1887) parce qu'il indique l'ence de différer de la phase entre les vagues transversales et divergeantes à la frontière commune des deux séries. Les deux systèmes des vagues sont dus au fait qui à n'importe quel instant donné là sont deux positions précédentes du pression-point mobile qui ont transmis des vibrations de phase stationnaire à n'importe quelle figure 5. donnée. Quand la profondeur est finie la configuration est modifiée, et si elle soit moins que c2/g, où c est la vitesse de la perturbation, les vagues transversales disparaissent. Les investigations visées concernent l'onduler-résistance des See also:bateaux. Ceci est expliqué par l'énergie des nouveaux onduler-groupes qui continuellement sont commencés et derrière gauche. Quelques expériences sur des bateaux de See also:torpille se déplaçant dans l'eau peu profonde ont indiqué tomber au loin dans la résistance due à l'See also:absence des vagues transversales juste visées. Pour l'effet de la surface-tension et la théorie d'"ondulation" voir l'cAction CAPILLAIRE. § 5. Surface-Ondule de la taille finie. Les résultats antérieurs sont fondés sur l'hypothèse que l'amplitude peut être traitée comme infiniment petite. De diverses investigations intéressantes ont été faites dans lesquelles cette restriction est, plus ou moins, abandonné, mais nous sommes loin de posséder une théorie complète. Un système des équations exactes donnant un type possible d'onduler-mouvement sur l'eau profonde a été obtenu par F. J. v. Gerstner en 1802, et redécouvert par W. J. M. Rankine en 1863. Les orbites des particules, dans ce type, sont exactement circulaire, étant défini par les équations x=a+k-tekbsink(a-et), y=b-k-lekbcosk(a-ct). (i) où (a, b) est la position moyenne de la particule, k = 2x/X; et l'onduler-vitesse est l'cI de c = d'ig/k) _ (gA/22r)). . (les lignes 2)The de la pression égale, parmi lesquelles est inclus naturellement le surface-profil, sont les courbes trochoidal. La forme extrême d'onduler-profil est la cycloïde, avec les cusps tournés ascendants. L'élégance II II II II de mathe- bonjour et la simplicité matical des formules (i) sont malheureusement équilibrées par le fait que le mouvement conséquent des éléments liquides s'avère être "de rotation" (voir le HYDROMECHANICS), et donc pas comme pourrait être produit dans un liquide précédemment tranquille par n'importe quel système des forces appliquées à la surface. Monsieur G. Stokes, dans a, séries de papiers, s'est appliqué à la détermination des formes d'onde "irrotationnelles" possibles de la taille finie qui satisfont les conditions de la propagation uniforme sans changement de type. L'équation du profil, dans le cas de la profondeur infinie, est obtenue sous forme de série de See also:Fourier, ainsi de y = un cos kx+1ka2 cos 2kx + kà 'cos 3kx +..., l'onduler-vitesse correspondante étant approximativement le c-'V (2~\i+4x6 '. . . là où A = à/k. L'équation (3), autant que nous avons donné le développement, est conforme à celle d'un trochoid (fig. 7). Comme dans le cas des vagues de Gerstner le contour est proche plus pointu les crêtes et le paroir dans les See also:cuvettes que dans le case'of fig. simple 7. la courbe harmonique, et ces dispositifs deviennent accentués comme rapport de l'amplitude aux augmentations de longueur d'onde. On lui a montré près charge que la forme extrême de vagues irrotationnelles diffère de celle des vagues de rotation de Gerstner parce que la forme de crêtes un angle émoussé de 120°. S'accordant aux calculs de J. H. See also:Michell (1893), la taille est alors environ un septième de la longueur d'onde, et l'onduler-vitesse excède cela des vagues très basses de la même longueur dans le rapport 6:5. Il doit être noté plus loin que dans ces vagues de type permanent le mouvement des eau-particules n'est pas purement oscillant, il y a dans l'ensemble une dérive progressive sur la surface dans la direction de la propagation. Ces diverses conclusions semblent être d'accord d'une manière générale avec de ce qu'est observé dans le cas mer-ondule. Dans le cas de la profondeur finie les calculs sont plus difficiles, et nous pouvons seulement ici noter le type limiteur qui est obtenu quand la longueur d'onde est très grande supposé comparée à la profondeur (h). Nous avons alors pratiquement "la vague See also:solitaire" à quelle attention a été dirigée la première fois par J. Scott Russell (1844) d'observation. La théorie a été établie par J. Boussinesq (1871) et seigneur Rayleigh. L'surface-altitude est donnée par n = sec 112 z (x/b). . . . (5) b2 = h2(h+a)/á. (6) et la vitesse de la propagation est c = I g(h+a) } (7) dans l'a=h extrême de forme et la crête forme un angle de 1ò°. Il s'avère qu'une vague solitaire de dépression, de type permanent, est impossible. Ondes de DES de theorie de La de sur de Mem., "See also:Sc de DES de Mem. De l'See also:acad. See also:roy. i (1827); Monsieur G. B. Airy, "marées et vagues," Encycl. Metrop. (1845). Beaucoup d'investigations See also:classiques sont maintenant le plus commodément des W accessibles V. Walfrid Ekman d'See also: • (3). (4) Y 0 s ont fourni dans les collections suivantes: G. See also:Vert, Maths. Papiers (Cambridge, 1871); H. v. See also:Helmholtz, Gesammelte Abhandlungen (See also:Leipzig, 1882 -- 1895); Seigneur Rayleigh, Papiers Scientifiques (Cambridge, 18991903); W. J. M. Rankine, Divers. Papiers Scientifiques (Londres, 1881); Monsieur G. G. Stokes, maths et Phys. Papers (Cambridge, 18801905). Des références nombreuses à d'autres auteurs seront trouvées dans les articles par P. Forchheimer ("Hydraulik"), H. Lamb ("elastischer Korper, insb de Schwingungen. Akustik"), et A. E. H. Love ("Hydrodynamik") dans diverses divisions du quatrième volume de l'Encykl. maths de d.. Wiss.; et en Hydrodynamics de H. Lamb's (3ème ED, Cambridge, 1906). (H. 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