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VARIATIONS, CALCUL

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À l'origine apparaissant en volume V27, page 919 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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See also:

Les See also:VARIATIONS, CA LCUL DE See also:des See also:points comme (xo, yo) et (õ, 11o) se sont après appelées des points de jugate de See also:con- par Weierstrass. La See also:preuve qui See also:le See also:po. CoaJutegral ne peut pas être un extremum si l'See also:arc du te de courbe entre les points finals fixes contient une paire de gapaints conjugués. des points ont été édités la première fois par See also:G. See also:Erdmann (1878). Des exemples des points conjugués sont eus les moyens par les points antipodaux sur une sphère, les centres conjugués du systeme See also:optique géométrique, les centres cinétiques de la See also:dynamique See also:analytique. Si les points terminaux sont une paire de points conjugués, l'intégrale n'est pas en général un extremum; mais il y a un See also:cas exceptionnel, dont un arc convenablement choisi de l'équateur d'un sphéroïde aplati aux pôles peut servir comme exemple. Dans le problème du catenoid par paire de points conjugués sur n'importe laquelle des caténaires, qui sont les courbes stationnaires du problème, est tel que les tangentes à la caténaire aux deux points de A et A 'se réunissent sur l'See also:axe de la révolution (fig. 2). Quand les les deux les points finals de la courbe exigée déplacent fig. 2. sur le guidage fixe courbe Co, See also:Cl, une courbe stationnaire C, joignant un See also:point See also:ao de Coto par point AI de Cl, ne peut pas rapporter un extremum à moins qu'il soit coupé transversalement par Co au ao et par CI à Al. Le velope d'en des courbes stationnaires qui visent de la Co vers le Cl, et sont coupés transversalement par Co aux points près du ao, rassemblements que C à un point ; et l'enveloppe des courbes stationnaires qui procèdent à partir de la Co au Cl, et sont coupées transversalement par Cl aux points près d'See also:Al, les rassemblements C à un See also:Di de point.

La courbe C, tirée du ao à Al, ne peut pas rapporter un extremum si faites ou le Di se trouve entre le ao et l'Al, ou si les mensonges entre la AI et les Di. See also:

Ces résultats sont dus à G. A. Bliss (1903). Un exemple See also:simple est eu les moyens par la See also:ligne la plus courte sur une sphère tirée d'une petite fig. 3 de See also:cercle. à l'autre. Dans fig. 3 est ce See also:poteau du See also:petit cercle AoBo qui se produit d'abord sur de grands cercles coupant AoBo perpendiculairement, et marche à suivre vers AiBi; Le Di est ce poteau du petit cercle A, b1 qui se produit d'abord sur de grands cercles coupant perpendiculairement, et tiré des points d'AoBo vers A, See also:Bi. L'arc AoAi est la ligne la plus courte exigée, et il est distingué de BoBI par le critère ci-dessus. L'introduction de See also:Jacobi des points conjugués est un des germes desquels la théorie See also:moderne du calcul des variations a jailli. Une autre est une remarque faite par See also:Legendre (1786) en vue de la See also:solution du problème de See also:newton du solide de See also:sources de moindre résistance.

Ce problème exige qu'on trouve a otWeien la courbe pour laquelle la théorie du fYY"(I +y")1dy des strass intégraux. si soyez un minimum. Les courbes stationnaires sont données par le yy'd'équation, (1+y'2)_'=eonst., un résultat équivalent à la solution de newton du problème; mais Legendre a observé cela, si l'intégrale est prise le See also:

long d'un Une cassé, se composant de deux See also:lignes droites également inclinées à l'axe de x dans des See also:sens opposés, l'intégrale peut être rendu aussi petit que nous svp en diminuant suffisamment l'See also:angle de la inclination. La remarque de Legendre s'élève à admettre une variation de la courbe de newton, qui n'est pas une variation faible. Les variations qui ne sont pas faibles sont telles que, alors que les points d'une courbe sont mais légèrement déplacé, les tangentes subissent de grands changements de la direction. Elles sont distinguées en tant que variations fortes. Une théorie générale de variations fortes en liaison avec le See also:premier problème, et des conditions il est suffisante fixer que que l'intégrale prise le long d'une courbe stationnaire peut être un extremum, a été donnée par Weierstrass dans les conférences. Il a fourni des cours des conférences sur le calcul des variations de plusieurs années entre 1865 et 1889, et ses découvertes en See also:chef dans le sujet semblent avoir été incluses dans le cours pour 1879. Par ces conférences sa théorie est devenue notoire à quelques étudiants et professeurs en Europe et Amérique, et il y a eu de quelque édités traité * et mémoires consacrés à l'See also:exposition de ses idées. Dans le premier problème les conditions suivantes sont connues pour être nécessaires pour un extremum. I. Le See also:chemin de l'intégration doit être une courbe stationnaire.

Phoenix-squares

II. L'expression 02F/ay "ou l'expression dénotée par See also:

fi dans l'application du sacesmethod paramétrique, signe de changement de nécessité pas à un point quelconque de See also:cette courbe ditioas. entre les points finals. III. L'arc de la courbe entre les points finals ne doit pas contenir une paire de points conjugués. Tous ces résultats sont obtenus en employant des variations faibles. Additionnel (See also:cos'(x, v) au'ds a-See also:ar de See also:poids du See also:commerce +) [ cos(x de Z, s)cos(y, v) un cos(x, ]wds de v)-:7c (af) '. En formant la première See also:limite dans les crochets nous employons alors les relations,as Cos(x, v) _ --, cos(y, v), S cos(y, v) = cos(x de P ', v), comme a = confortable, v)ax un -+cos(x, ar de v)a-, où p 'dénote le See also:rayon de See also:courbure de la courbe s '. La nécessité de libérer le calcul des variations de la dépendance sur la notion des quantités infiniment See also:petites a été réalisée par See also:Lagrange, et le See also:processus de jeter de telles quantités a été partiellement suivi par lui dans ses analytiques de fonctions de DES de Theorie (1797). Selon l'interprétation des différentiels qu'il a faits du fait le traité, il a interprété la variation d'une intégrale, comme exprimé au See also:moyen de son See also:symbole S, comme la première limite, ou la See also:somme des See also:limites du premier See also:ordre, en développement en série de l'expression complète pour le changement qui est fait en valeur de l'intégrale quand de petits changements finis sont faits des variables. La quantité qui avait été considérée pendant que la la variation de l'intégrale venait pour être considérée comme la première deuxième variation, et la discrimination entre les maximum et les minimum de variation sont venues pour être considérées comme exiger la See also:recherche sur la deuxième variation. La première See also:mesure dans cette théorie avait été prise par A. M. Legendre en 1786.

Dans le cas d'une intégrale de la See also:

forme f 'F(x, y, y')dx Legendre a défini la deuxième variation en tant que Cx intégral, le xo sy20Y)'+2sy - i6yay~+See also:sy, de t a2F a2F a2F le dx 2(Sy)2. À cette expression il a ajouté la limite [ 1a(by)2t, qui disparaît identiquement parce que Sy disparaît au x=xo et au x=xi. Il a pris a pour satisfaire le da a2F 2.2 aye+dx ay de l'équation a2F 1a2F) = +a ayay) et a ainsi transformé l'expression pour la deuxième variation au fx, à l'a2F xoay2(5Y '+may) 2dx, où a2F a2F m, un yayay de cette recherche Legendre a déduit un nouvel état pour l'existence d'un extremum. Il est nécessaire, non seulement See also:cela que le tion de See also:varia- devrait disparaître, mais également cela la deuxième variation le devrait un-être signé. Dans le cas du premier ccoond du nnot h de problème tion. a la même chose gn de I ds aux points d'aall du Cu unaire e de See also:statut entre les points finals, et ce le signe doit être +See also:for par minimum et pour un maximum. Dans l'application de la méthode perametric la fonction qui a été dénotée par fi remplace a2F/ay'2. La transformation des deuxièmes variations des intégrales de See also:divers types dans les formes dans lesquelles leurs signes peuvent être déterminés par inspection est plus See also:tard devenue un des principaux problèmes du calcul des variations. Ce résultat est venu environ principalement par le publica-Jacobl, tion dans 1837 d'un mémoire par C. G. J. Jacobi. Il See also:transport a façonné l'équation de Legendre pour la fonction See also:auxiliaire a en une équation linéaire du deuxième ordre par le dx ay ay du See also:dw y +a 2 W du __ _ a2F I de la substitution a2F et il a précisé que la transformation de Legendre de la deuxième variation ne peut pas être effectuée si la fonction W disparaît entre les limites de l'intégration. Il a précisé plus loin, cela si les courbes stationnaires de l'intégrale sont données par une équation de la forme y=4(x, a, b), où a, b sont des constantes arbitraires, le See also:primitif complet de l'équation pour W est de la forme W = Aa-+Bad comme See also:ab 'où A, B sont de See also:nouvelles constantes arbitraires.

Jacobi a énoncé ces propositions sans preuve, et la preuve d'elles, et la See also:

prolongation des résultats à des problèmes plus généraux, est devenue l'See also:objet de nombreuses investigations. Ces investigations étaient, pour la plupart, et pendant See also:longtemps, occupé presque exclusivement avec des développements analytiques; et l'interprétation géométrique que Jacobi avait donnée, et qu'il a après soulignée dans sa See also:fibre Dynamik de Vorlesungen, a été négligée jusqu'aux périodes plutôt récentes. Selon cette interprétation, les courbes stationnaires qui commencent à partir d'un point (xo, yo) ont une enveloppe; et l'intégrale de F, prise le long d'une telle courbe, ne peut pas être un extremum si le point (E/S, aucun) où la courbe touche l'enveloppe se trouve sur l'arc entre les points finals. Appareille des résultats, concernant fort aussi bien que des variations faibles, sont obtenus par une méthode qui des autorisations de l'expression de la variation d'une intégrale comme intégrale de ligne prise le long de la courbe diverse. Laissez A, B soit les points finals, et a laissé la courbe stationnaire ab être dessinée. Si les points finals A, B ne sont pas une paire de points conjugués, et si le conjugé de point à A ne se trouve pas sur l'arc ab, alors nous pouvons tellement presque trouver un point A ', sur la See also:suite en arrière du See also:BA stationnaire de courbe au delà de A, à A que le conjugé de point à A 'se trouve sur la suite vers l'avant de l'arc ab au delà de B. This étant le cas, il est possible pour délimiter un See also:secteur de largeur finie, de sorte que l'arc ab de la courbe stationnaire joignant A, B se trouve entièrement en dessous du secteur, et n'a jugé aucune deux courbes stationnaires dessinées par A 'intersectons dans otsta- le secteur. Par n'importe quel point d'un tel secteur il est possible de dessiner un, et seulement un, la courbe stationnaire qui See also:passe des courbes par A '. Cette See also:famille des courbes stationnaires est dite au stitute de con- un See also:champ des courbes stationnaires au sujet de la courbe ab. Nous supposons qu'un tel champ existe, et que la courbe diverse AQPB se trouve entièrement en dessous du secteur délimité. La variation du f intégral F(x, y, y')dx est identique à l'intégrale de ligne de F prise autour d'une découpe comprenant la courbe diverse AQPB et la courbe stationnaire ab, dans le sens AQPBA. L'intégrale de ligne peut, comme d'See also:habitude, être remplacé par la somme d'intégrales de ligne prises autour d'une série de cellules, des frontières externes de l'ensemble de cellules étant identiques avec le Q P donné la découpe, et des frontières internes des cellules jacent d'See also:annonce-B étant traversées deux fois dans des sens opposés. Nous pouvons choisir un approprié laissons Q, P soit des points sur la courbe diverse, et laissez A'Q, A'P soit les courbes stationnaires du champ qui traversent Q, P.

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