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À l'origine apparaissant en volume V11, page 699 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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Lig nes de S1S respectivement qui traversent un u et ont descendu respectivement. Car A est n'importe quel See also:

point donné sur la courbe, et UL n'importe quelle See also:ligne par lui, nous avons résolu See also:les problèmes: Trouvaille de Problem.To la deuxième trouvaille de Problem.To See also:le deuxième point dans lequel n'importe quelle ligne par une tangente qui peut être dessinée point connu sur la courbe See also:coupe de n'importe quel point dans une tangente donnée la courbe. à la courbe. Si nous déterminons dans SI (fig. 16) le See also:rayon correspondant au rayon S2SI dans S2, nous obtenons la tangente au SI de même, nous pouvons déterminer le point de See also:contact de l'cUl ou de l'u2 de tangentes dans fig. 17. § 51. Si cinq See also:points dont sont indiqués, non trois sont alignés en, alors nous pouvons, comme a été juste montré, dessinez toujours une courbe du deuxième See also:ordre par eux; nous choisissons deux See also:des points comme centres des crayons projectifs, et alors une telle courbe est déterminée. On lui montrera actuellement que nous obtenons toujours la même courbe si deux autres points sont pris comme centres des crayons, que donc cinq points déterminent une courbe du deuxième ordre, et réciproquement, que cinq tangentes déterminent une courbe de la deuxième See also:classe. Six points pris au hasard ne se trouveront donc pas sur une courbe du deuxième ordre. Pour que ceci puisse être le See also:cas que une certaine See also:condition doit être satisfaite, et See also:cette condition soit facilement See also:ob- tained de la construction dans le § 49, fig. 16. Si nous considérons le déterminé conique par les cinq points de A, SI, S2, K, L, alors le point D sera sur la courbe si, s, et seulement si, les points sur des See also:DI, S, D2 soient alignés en.

Ceci peut être énoncé différemment si nous prenons AKSIDS2L (figs. 16 et 18) comme hexagone inscrit dans le conique, alors AK et DS2 seront See also:

vis-à-vis des côtés, ainsi seront KS'et S2L, aussi bien que SID et LA. See also:Premier See also:rassemblement le deux en D2, les autres dans S et DI respectivement. Nous pouvons donc énoncer l'état prié, ainsi que le réciproque, comme suit: L'enveloppe de Theorem.The de la deuxième classe qui est produite par deux rangées projectives contient les See also:bases de See also:ces rangées en tant qu'enveloppement des See also:lignes ou des tangentes. Proof.See also:If s et s sont les deux rangées, puis au point solides solubles ou P 'car un point dans les s correspond dans s par point P, qui n'est pas coïncidente avec P ', parce que aux rangées ne sont pas la See also:perspective. Mais P et P 'sont See also:joints par s, de sorte que s soit un des lignes d'enveloppement, et pareillement s '. nous le Theorem.If ] du See also:Pascal PROJECTIF le Theorem.If d'un Brianchon d'hexagone que un être inscrit dans une courbe de l'hexagone soit entouré au sujet du deuxième ordre, puis l'intersec- une courbe de la deuxième classe, alors tions des côtés opposés ont trois ans les lignes se joignant vis-à-vis de la La de points de sommets une ligne sont trois lignes se réunissant dans un point. Ces théorèmes célébrés, qui sont connus par les noms de leurs découvreurs, sont peut-être les plus fructueux dans la théorie entière de conics. Avant que nous fassions un saut à leurs applications que nous devons prouver que nous obtenons la même courbe si nous prenons, au See also:lieu de S1, S2, deux autres points quelconques sur la courbe comme centres des crayons projectifs. §52. Nous savons que la courbe dépend seulement de la See also:correspondance entre les crayons S1 et S2, et pas sur la construction spéciale utilisée pour trouver de nouveaux points sur la courbe. Le point A (fig.

16 ou 18), par lequel les deux rangées auxiliaires u1, u2 ont été dessinées, peut donc être changé en n'importe quel autre point sur la courbe. Maintenant supposons la courbe dessinée, et gardez les points S1, S2, K, L et D, et par conséquent aussi le point S fixé, tandis que nous déplaçons A le See also:

long de la courbe. Alors See also:AL de ligne décrira un See also:crayon au sujet de L comme centre, et le point D1 une rangée sur la perspective de S1D au crayon L. en même See also:temps AK décrit un crayon au sujet de K et de D2 une perspective de rangée à lui sur S2D. Mais par Pascal's le théorème D1 et D2 se situera toujours dans une ligne avec S, de sorte que les rangées décrites par D1 et D2 soient perspective. Il suit que les crayons K et L la volonté elles-mêmes soient projectifs, correspondant rayonne la réunion sur la courbe. Ceci See also:montre que nous obtenons la même courbe quelque paire des cinq points donnés nous prennions comme centres des crayons projectifs. Par conséquent on peut dessiner seulement une courbe de la seconde seulement une courbe du deuxième ordre qui See also:passe la classe peut être dessiné qui touche par cinq points donnés cinq lignes données. Nous avons vu que si sur une courbe du deuxième ordre deux points coïncident à A, la ligne les joignant devient la tangente chez A. If, donc, un point sur la courbe et sa tangente sont donnés, ceci serons équivalents à avoir donné deux points sur la courbe. De même, si sur la courbe de la deuxième classe une tangente et son point de contact sont donnés, ce sera équivalent à deux tangentes données. Nous pouvons donc prolonger le dernier théorème: Seulement une courbe de la seconde seulement une courbe du deuxième ordre peut être dessinée, duquel la classe peut dont être dessinée, quatre quatre points et la tangente aux tangentes une et au point de contact d'eux, ou trois points et à un d'eux, ou trois tangentes de tangentes à deux d'entre eux, sont et les points de contact à deux donnés. d'elles, sont donnés. le § 53• en même temps on l'a prouvé: Si tous les points sur une courbe des toutes les tangentes à une courbe du deuxième deuxième ordre soient joints à n'importe quelle classe sont coupés par n'importe quels deux de deux d'entre eux, puis les deux crayons ils dans des rangées projectives, ceux formées ainsi sont projectifs, ceux qui sont des points correspondants qui les rayons correspondant qui se trouvent sur la même tangente. Hencemeet sur la courbe.

Par conséquent le See also:

croix-rapport de quatre rayons que le croix-rapport des quatre joignant un point S sur une courbe des points dans lesquels n'importe quelle tangente u est le deuxième ordre à quatre points fixes a coupé par quatre tangentes fixées a, b, c, d A, B, C, D dans la courbe est est dedans indépendant de la position de la personne à charge de la position de S, u, et s'appelle le croix-rapport de et s'appelle le croix-rapport les des quatre tangentes a, b, c, d. quatre points de A, B, C, D. Si ce croix-rapport equals1 si ce croix-rapport equals1 les quatre points seraient les quatre tangentes seraient quatre points harmoniques quatre tangentes harmoniques. Nous avons vu qu'une courbe du deuxième ordre, comme produite par les crayons projectifs, a au centre de chaque tangente du crayon un; et promouvez, ce n'importe quel point sur la courbe peut être pris comme centre d'un tel crayon. Par conséquent la courbe de A du deuxième ordre a à la courbe de A de la deuxième classe a sur chaque tangente du point un chaque tangente par point de contact. § 54. Nous revenons au Pascal et aux théorèmes et à leurs applications de Brianchon, et , comme avant, énoncer les résultats pour des courbes du deuxième ordre et des courbes de la deuxième classe, mais les prouver seulement pour l'ancien. Le théorème du Pascal peut être employé quand cinq points sont indiqués à la trouvaille plus de points sur la courbe, à savoir elle nous permet de trouver le point où n'importe quelle ligne par un des points donnés coupe la courbe encore. Il est commode, en se servant du théorème du Pascal, pour numéroter les points, pour indiquer l'ordre dans lequel ils doivent être pris en formant un hexagone, qui, d'ailleurs, peut être fait des différentes manières õ. On le verra que 12 (partants hors 3) de 4 5 sont vis-à-vis des côtés, sont ainsi 2 3 et (partant hors 4) de 5 6, et également 3 4 et (partant hors 5) de 6 1. Si les points 12 3 4 5 sont indiqués, et nous voulons un 6ème point sur une ligne tracée par 1, nous connaissons tous les côtés de l'hexagone excepté 5 6, et ceci est trouvé par le théorème de Pascal's. Si cette ligne arrive au passage par r, puis 6 et 1 coïncident, ou la ligne 6 est la tangente au i. et toujours si deux sommets consécutifs de l'hexagone s'approchent plus près et plus près, alors le côté les joignant deviendra finalement une tangente. Nous pouvons donc considérer un pentagone inscrit dans une courbe du deuxième ordre et de la tangente à un de ses sommets comme hexagone, et obtenons ainsi le théorème: 697 chaque pentagone entouré au sujet d'une courbe de la deuxième classe a la propriété que les lignes qui se joignent deux paires de sommets non-consécutifs rencontrent sur cette ligne qui See also:joint le cinquième See also:sommet au point de contact du côté opposé. Ceci nous permet également de résoudre les problèmes suivants.

Donné cinq points sur une courbe de donné cinq tangentes à un ordre de courbe deuxièmes à construire de la deuxième classe pour construire la tangente à tout un d'eux point de contact de tout un d'eux. Si deux paires de sommets adjacents coïncident, l'hexagone devient un quadrilatère, avec des tangentes à deux sommets. Ceux-ci que nous prenons pour être vis-à-vis de, et obtiennent les théorèmes suivants: Si un quadrilatéral soit entouré au sujet d'une courbe de la deuxième classe, des lignes se joignant vis-à-vis des sommets, et également des lignes joignant des points de contact des côtés opposés, rassemblement dans un point. Si nous considérons l'hexagone composé d'une triangle et des tangentes à ses sommets, nous obtenons si une triangle est inscrite dans si une triangle soit courbe entourée du deuxième ordre, environ de la courbe de la deuxième classe, les points dans lesquels les côtés sont coupés les lignes qui joignent les sommets par les tangentes au vis-à-vis les points de contact des sommets se réunissent dans un point vis-à-vis des côtés se réunissent dans un point (fig. 20). § 55. De ces théorèmes, ceux au sujet du quadrilatère provoquent un See also:

certain nombre d'autres. Quatre points de A, B, C, D peuvent de trois manières différentes être façonnés en un quadrilatère, parce que nous pouvons prendre elles dans l'ordre ABCD, ou ACBD, ou See also:ACDB, de sorte que l'un ou l'autre des points B, C, D puisse être pris comme sommet vis-à-vis A. Accordingly nous peut appliquer le théorème de trois manières différentes. Laissez A, B, C, D soit quatre points sur une courbe du deuxième ordre (fig. 21), et laissez-nous les prennent en tant que formation d'un quadrilatère en prenant les points dans l'ordre ABCD, de sorte qu'A, C et également B, D soient des paires de sommets opposés. Puis P, Q sera les points où vis-à-vis des côtés se réunissent, chaque pentagone inscrits dans une courbe du deuxième ordre a la propriété que les intersections de deux paires de côtés non-consécutifs se situent dans une ligne avec le point où le cinquième côté coupe la tangente au sommet opposé. Si un quadrilatéral soit inscrit dans une courbe du deuxième ordre, des intersections des côtés opposés, et également des intersections des tangentes aux sommets opposés, See also:mensonge dans une ligne (fig. 19).

Phoenix-squares

et E, F les intersections des tangentes aux sommets opposés. Les quatre points de P, Q, E, mensonge de F donc dans une ligne. Le quadrilatère ACBD nous donne de la même manière les quatre points de Q, R, See also:

G, H dans une ligne, et le quadrilatère ABDC une ligne contenant les quatre points de R, P, I, See also:forme de lignes de K. These trois une triangle PQR. La relation entre les points et les lignes dans cette figure peut il a exprimé plus clair si nous considérons ABCD comme quatre-point inscrit dans un conique, et les tangentes à ces points en tant que quatre-côté entouré à son sujet, à savoir. on le verra que P, Q, R sont les points diagonaux du quatre-point ABCD, tandis que les côtés de la triangle PQR sont les diagonales du quatre-côté d'entourage. Par conséquent le théorème n'importe quel quatre-point sur une courbe du deuxième ordre et du quatre-côté a formé par les tangentes à ces points se tiennent dans cette relation que les points diagonaux du quatre-point se situent dans les diagonales du quatre-côté. Et réciproquement, si un quatre-point et un quatre-côté entouré se tiennent dans la relation ci-dessus, alors on peut décrire une courbe du deuxième ordre qui traverse les quatre points et touche là les quatre côtés de ces figures. Que la dernière See also:partie du théorème est vraie suit du fait que les quatre points de A, B, C, D et la ligne a, comme tangente à A, découragent le mien une courbe du deuxième ordre, et les tangentes à cette courbe aux autres points B, C, D sont données par la construction qui mène à fig. 21. Le théorème réciproque au See also:bout est n'importe quel quatre-côté entouré au sujet d'une courbe de la deuxième classe et du quatre-point constitué par les points de stand de contact dans cette relation qui les diagonales du passage de quatre-côté par les points diagonaux du quatre-point. Et réciproquement, si un quatre-côté et un quatre-point inscrit se tiennent dans la relation ci-dessus, alors on peut décrire une courbe de la deuxième classe qui touche les côtés du quatre-côté aux points du quatre-point. § 56. Le quatre-point et le quatre-côté dans les deux théorèmes réciproques sont semblables.

Par conséquent si nous avons un quatre-point ABCD et un quatre-côté abed connexe de la façon décrite, puis non seulement mdy une courbe du deuxième ordre soit dessinée, mais également une courbe de la deuxième classe, que toutes les deux touchent les lignes a, b, c, d aux points A, B, C, D. La courbe du deuxième ordre est déjà davantage que déterminé par les points A, B, C et les tangentes a, b, c à A, B et point D de C. The peut donc être n'importe quel point sur cette courbe; et d toute tangente à la courbe. D'autre See also:

part la courbe de la deuxième classe est davantage que déterminée par les trois tangentes a, b, c et leurs points de contact A, B, C, de sorte que d soit n'importe quelle tangente à cette courbe. Elle suit que le that chaque tangente à la courbe du deuxième ordre est une tangente de l'acurve de la deuxième classe ayant le même point de contact. En d'autres termes, la courbe du deuxième ordre est une courbe de la deuxième classe. et See also:vice versa. Par conséquent les théorèmes importants chaque courbe du deuxième ordre est chaque courbe de la deuxième classe est une courbe de la deuxième classe, courbe du deuxième ordre. Les courbes du deuxième ordre et de la deuxième classe, après avoir été avéré ainsi identiques, dorénavant s'appelleront par le nom See also:commun de Conics. Pour ces courbes tenez, donc, toutes les propriétés qui ont été prouvées pour des courbes du deuxième ordre ou de la deuxième classe. Nous pouvons donc maintenant le théorème du Pascal énoncer ainsi du Pascal et du Brianchon théorème -- si un hexagone soit inscrit dans un conique, alors les intersections des côtés opposés se situent dans une ligne. Les Theorem.If de Brianchon que un hexagone soit entouré au sujet d'un conique, alors les diagonales formant vis-à-vis des centres se réunissent dans un point. § 57.

Si nous supposons dans fig. 21 que le point D ainsi que la tangente d se déplace le long de la courbe, tandis qu'A, B, C et leurs tangentes a, b, c restent fixes, alors le rayon DA décrira un crayon environ A, le point Q une rangée projective sur la ligne fixe AVANT JÉSUS CHRIST, le point F la rangée b, et le rayon EF que un crayon au sujet de E. See also:

But EF passe toujours par Q. Hence le crayon décrit par See also:AD est projectif au crayon décrit par EF, et donc à la rangée décrite par F sur le b. en même temps la ligne BD décrit un crayon environ 13 projectifs See also:cela décrit par AD (§ 53). Par conséquent le crayon BD et la rangée F sur b sont projectif. Par conséquent si sur un conique un point A soit pris et la tangente en ce moment, alors le croix-rapport des quatre rayons qui joignent A à quatre points quelconques sur la courbe est égal au croix-rapport des points dans lesquels les tangentes à ces points coupent la tangente à A. § 58. Il y a des théorèmes au sujet des cônes du deuxième ordre et de la deuxième classe dans un crayon qui sont réciproques à ce qui précède, selon le § 43. Nous mentionnons seulement quelques uns de les plus importants. Le lieu des intersections de la correspondance See also:surface dans deux crayons axiaux projectifs dont le rassemblement de haches est un cône du deuxième ordre. L'enveloppe des avions qui joignent les lignes correspondantes dans deux crayons plats projectifs, pas dans le même See also:avion, est un cône de la deuxième classe. Les cônes du deuxième ordre et les cônes de la deuxième classe sont identiques.

Chaque avion coupe un cône du deuxième ordre dans un conique. Un cône du deuxième ordre est uniquement déterminé par cinq de ses bords ou par cinq de ses avions de tangente, ou par quatre bords et la tangente surfacez à un d'eux, &See also:

amp;c de &c.. Les Theorem.If du Pascal que un See also:angle plein de six visages soit inscrit dans un cône du deuxième ordre, alors les intersections des visages opposés sont trois lignes dans un avion. Les Theorem.If de Brianchon que un angle plein de six bords soit entouré au sujet d'un cône du deuxième ordre, alors les avions par les bords opposés se réunissent dans une ligne. Chacun des autres théorèmes au sujet du conics peut être énoncé pour des cônes du deuxième ordre. § 59. Les définitions projectives du Conics.We considèrent maintenant la forme du conics. Nous savons que n'importe quelle ligne dans le See also:plan du conique, et par conséquent duquel la ligne à l'See also:infini, l'un ou l'autre n'a aucun point en commun avec la courbe, ou d'un (comptant pour deux points coïncidents) ou deux points distincts. Si la ligne à l'infini a aucun point sur la courbe le dernier n'est tout à fait fini, et s'appelle une See also:ellipse (fig. 21). Si la ligne à l'infini a seulement un point en commun avec le conique, le dernier se prolonge à l'infini, et a la ligne à l'infini une tangente. Ce s'appelle une parabole (fig.

22). Si, pour finir, la ligne à l'infini coupe la courbe dans deux points, elle se compose de deux parts séparées que chacune See also:

sort dans deux branches aux points à l'infini où ils se réunissent. La courbe dans ce cas-ci s'appelle une See also:hyperbole (voir la fig. 20). Les tangentes aux deux points à l'infini sont finies parce que la ligne à l'infini n'est pas une tangente. Elles s'appellent Asymptotes. Les branches de l'hyperbole approchent ces lignes indéfiniment pendant qu'un point sur les courbes se déplace à l'infini. § õ. Que le See also:cercle appartient aux courbes du deuxième ordre est ''N vu P par forme légèrement différente le théorème qui en cercle tous les angles à la circonférence se tenant sur le même See also:arc sont égaux. Si deux points de See also:silicium, S2 sur un cercle soient joints à n'importe quels deux autres points de A et B sur le cercle, alors l'angle inclus par les rayons See also:S1A et S1B est égal à celui entre les rayons SÀ et S2B, de sorte que comme mouvements de A le long de la circonférence les rayons S1A et SÀ décrivent l'égale et donc les crayons projectifs. Le cercle peut être produit ainsi par deux crayons projectifs, et est une courbe du deuxième ordre. Si nous joignons un point dans l'See also:espace à tous les points sur un cercle, nous obtenons le cône (circulaire) de a du deuxième ordre (§ 43). Chaque See also:section See also:plate de ce cône est une conique.

Ce conique sera une ellipse, une parabole, ou une hyperbole, selon que la ligne à l'infini dans l'avion a le non, un ou deux points en commun avec le conique dans ce que l'avion à l'infini coupe le cône. Il suit que nos courbes du deuxième ordre peuvent être obtenues comme sections d'un cône circulaire, et qu'elles sont identiques "aux sections coniques" des mathématiciens grecs. le § 6r. deux tangentes quelconques à une parabole sont coupés par tous les autres dans des rangées projectives; mais la ligne à l'infini étant un des tangentes, les points à l'infini sur les rangées sont les points correspondants, et les rangées donc semblables.

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