Encyclopédie En ligne
Recherchez plus de 40.000 articles de l'encyclopédie originale et classique Britannica, la 11ème édition.
LIVRE I
Encyclopédie En ligneEncyclopédie À la maison :: BLA-BOS
del.icio.us it!
|
ÉLÉMENT S De I. OF See also:EUCLID'S de See also:LIVRE "." § 6. Selon See also:le troisième postulat il est possible de dessiner dans n'importe quel See also:avion un See also:cercle qui a son centre à n'importe quel See also:point donné, et son See also:rayon égal à la distance de ce point de n'importe quel autre point donné dans l'avion. Ceci le rend possible (appui See also:vertical I) pour construire sur une See also:ligne donnée ab une triangle equilateral, en traçant d'abord un cercle avec A comme centre et See also:ab comme rayon, et puis un cercle avec B comme centre et See also:BA comme rayon. Le point où l'intersectthat de See also:ces cercles ils intersectent l'assumesis d'Euclid tranquillement le See also:sommet de la triangle exigée. Euclid ne suppose pas, cependant, qu'on peut tracer un cercle qui a son rayon égal à la distance entre deux See also:points quelconques à moins qu'un See also:des points soit le centre. Ceci implique également que nous ne sommes pas censés pouvoir ne rendre aucune ligne droite égale à aucune autre ligne droite, ou pour porter une distance environ dans l'See also:espace. Euclid donc résout après le problème: On l'exige suivant une ligne droite donnée d'un point dans lui pour placer outre d'une distance égale à la longueur d'une autre ligne droite donnée n'importe où dans l'avion. Ceci est fait dans deux étapes. On lui See also:montre dans l'appui vertical. 2 comment une ligne droite peut être tracée d'un point donné égal dans la longueur à une autre ligne droite donnée non tracée de ce point. Et alors le problème lui-même est résolu dans l'appui vertical. 3, en traçant d'abord par le point donné une certaine ligne droite de la longueur requise, et puis point à peu près identique comme centre un cercle ayant See also:cette longueur comme rayon. Ce cercle découpera de la ligne droite donnée une longueur égale à exigée. De nos See also:jours, au See also:lieu de passer par ce See also:long See also:processus, nous prenons une paire de boussoles et plaçons outre de la longueur donnée par son aide. Ceci suppose que nous pouvons déplacer une longueur environ sans la changer. Mais Euclid ne l'a pas assumé, et cette démarche serait entièrement justifiée par son désir de ne pas prendre pour a accordé plus que n'était nécessaire, s'il n'étaient pas obligés réellement à sa étape très prochaine de faire cette prétention, cependant sans l'énoncer. § 7. Nous venons maintenant (dans l'appui vertical. 4) au See also:premier théorème. C'est le théorème fondamental du système entier d'Euclid, là étant seulement très peu de propositions (comme des appui verticaux. 13, 14, 15, I.), à moins que ceux dans le 5ème livre et la première moitié des 11èmes, qui ne dépend pas d'elle. On lui énonce très exactement, bien que légèrement maladroitement, comme suit: Si deux triangles ont deux côtés de l'une égale à deux côtés de l'autre, de chacune à chacun, et ont également See also:les angles contenus par ces côtés égaux à un un autre, elles auront également leurs See also:bases ou troisième côtés égaux; et les deux triangles seront égales; et leurs autres angles seront l'égale, chacune à chacun, à savoir, ceux See also:vis-à-vis derrière le auquel les côtés égaux sont. C'est-à-dire, les triangles sont "identiquement" égale, et on peut être considéré comme See also:copie de l'autre. La See also:preuve est très simple. La première triangle est prise et placée la seconde, de sorte que les parties des triangles qui sont connues pour être chute égale sur l'un l'autre. On le See also:voit alors facilement qu'également les parties restantes d'une coïncident avec ceux de l'autre, et qu'elles sont donc égales. Ce processus d'appliquer une figure à un autre Euclid n'emploie à peine encore, bien que beaucoup de preuves soient simplifiées en faisant ainsi. Le processus présente le See also:mouvement dans la géométrie, et l'inclut, comme déjà indiqué, l'See also:axiome que des figures peuvent être déplacées sans changement de See also:forme ou de See also:taille. Si la dernière proposition soit appliquée à une triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, nous obtenons le théorème (l'appui vertical 5), si deux côtés d'une triangle sont égaux, alors les angles vis-à-vis de ces côtés sont égal. La preuve d'Euclid est légèrement compliquée, et trébucher-bloquez à beaucoup d'écoliers. La preuve devient beaucoup plus See also:simple si nous considérons le See also:ABC isocèle de triangle (ab = C.a.) deux fois plus de, une fois comme triangle See also:BAC, et une fois comme See also:CABINE de triangle; et rappelez-vous maintenant qu'ab, C.a. dans le premier sont respectivement to.See also:AC égal, ab dans l'en second lieu, et les angles inclus par ces côtés sont égaux. Par conséquent les triangles sont égales, et les angles dans celui sont égaux à ceux dans l'autre, à savoir à ceux qui sont vis-à-vis des côtés égaux, c.-à-d. le ABC d'See also:angle dans le premier angle ACB d'égales dans la seconde, pendant qu'ils sont, vis-à-vis de l'égale dégrossit C.a. et ab dans les deux triangles. Là suit le théorème See also:inverse (appui vertical 6). Si deux angles dedans, une triangle sont égaux, alors les côtés vis-à-vis d'eux sont égaux, c.-à-d. la triangle est isocèle. La preuve donnée consiste en ce qui s'appelle 'un absurdum d'See also:annonce de reductio, un genre de preuve souvent utilisé par Euclid, et principalement en prouvant l'inverse d'un théorème précédent. Elle suppose que le théorème à avérer est erroné, et puis des expositions que cette prétention mène à une absurdité, c.-à-d. à une conclusion ce qui est en See also:contradiction à une proposition s'est avérée que le beforethat donc la prétention faite ne peut pas être vrai, et par conséquent que le théorème est vrai. On affirme souvent qu'Euclid a inventé ce genre de preuve, mais la méthode est beaucoup plus vieille le plus susceptible. § 8. On le montre après que deux triangles ce qui ont les trois côtés de l'une égale respectivement à ceux de l'autre sont identiquement égales, par conséquent qui les angles de celui sont égaux respectivement à ceux de l'autre, ceux étant égale ce qui sont vis-à-vis des côtés égaux. C'est appui vertical. 8, appui vertical. 7 contenant seulement une première étape vers sa preuve. Ces théorèmes permettent maintenant de la See also:solution d'un See also:certain nombre de problèmes, à savoir: Pour bissecter un angle donné (appui vertical 9). Pour bissecter une ligne droite finie donnée (Prop. Io). Pour tracer une ligne droite perpendiculairement à une ligne droite donnée par un point donné dans lui (appui vertical II), et également par un point donné pas dans lui (appui vertical 12). Toutes les solutions dépendent des propriétés des triangles isocèles. § 9. Les trois prochains théorèmes se relient aux angles seulement, et pourraient avoir été avérés avant appui vertical. 4, ou même à commencer très. Le premier (appui vertical 13) indique, les angles que les marques d'une ligne droite avec une autre ligne droite d'un côté de lui sont deux angles droits ou sont, égale ensemble à deux angles droits. Ce théorème aurait été inutile si Euclid avait admis la notion d'un angle tels que ses deux See also:limites sont alignées en même droit, et ont eu sans compter qu'ont défini la See also:somme de deux angles. Son inverse (appui vertical 14) est utile See also:grand, puisqu'elle nous permet dans beaucoup de See also:cas de montrer que deux See also:lignes droites tracées du même point sont un la See also:suite de l'autre. Est tellement également l'appui vertical. 15. Si deux lignes droites coupent un un autre, les angles verticaux ou opposés seront égaux. § 10. Euclid revient maintenant aux propriétés des triangles. De grande importance pour les prochaines étapes (cependant après remplacées par un théorème plus complet) est l'appui vertical. 16. Si un côté d'une triangle soit produit, l'angle extérieur sera plus grand que l'une ou l'autre de l'intérieur vis-à-vis des angles. Appui vertical. 17, Deux angles quelconques d'une triangle sont ensemble moins de deux angles droits, est une conséquence immédiate d'elle. Par l'aide de ces deux, les propriétés fondamentales suivantes des triangles sont facilement prouvées: Appui vertical. 18, Le côté plus grand de chaque triangle a l'angle plus grand vis-à-vis lui; Son inverse, appui vertical. 19. L'angle plus grand de chaque triangle secondaire-est tendu par le côté plus grand, ou a le côté plus grand vis-à-vis lui; Appui vertical. 20, Deux côtés quelconques d'une triangle sont ensemble plus grands que le troisième côté; Et étayez également. 21. Si des extrémités du côté d'une triangle on tire deux lignes droites à un point dans la triangle, ce seront moins que les deux autres côtés de la triangle, mais contiendront un plus grand angle. le § I r. ayant résolu deux problèmes (appui verticaux 22, 23), il revient à deux triangles qui ont deux côtés de l'une égale respectivement à deux côtés de l'autre. On le connaît (appui vertical 4) que si les angles inclus sont égaux puis les troisième côtés sont égaux; et réciproquement (l'appui vertical 8), si les troisième côtés sont égaux, puis les angles inclus par les premiers côtés sont égaux. De ceci il suit que si les angles inclus ne sont pas égaux, les troisième côtés ne sont pas égaux; et réciproquement, ce si les troisième côtés ne sont pas égaux, les angles inclus ne sont pas égal. Euclid accomplit maintenant cette See also:connaissance en s'avérant, celui "si les angles inclus ne sont pas égaux, puis le troisième côté du fait la triangle est la plus grande ce qui contient l'angle plus grand"; et réciproquement, See also:cela "si les troisième côtés sont inégaux, cette triangle contient l'angle plus grand qui contient le côté plus grand." Ce sont appui vertical. 24 et appui vertical. 25. § 12. Le prochain théorème (appui vertical 26) indique que si deux triangles ont un côté et deux angles de l'une égale respectivement avec un côté et deux angles de l'autre, à savoir dans les deux triangles les angles à côté du côté égal, ou un angle adjacent et un angle vis-à-vis lui, puis des deux triangles sont identiquement égal. Ce théorème appartient à un See also:groupe avec l'appui vertical. 4 et appui vertical. 8. Son premier cas pourrait avoir été donné juste après l'appui vertical. 4, mais le deuxième cas exige l'appui vertical. 16 pour sa preuve. § 13. 
Nous venons maintenant à la See also:recherche sur les lignes droites parallèles, c.-à-d. des lignes droites qui se situent dans le même avion, et ne peut pas être faite pour les rencontrer cependant loin soit produite l'une ou l'autre manière. La recherche qui commence à partir de l'appui vertical. 16, deviendront plus clairs si on explique quelques noms qui ne sont pas tous employés par Euclid. Si deux lignes droites soient coupées par un tiers, le dernier s'appelle maintenant généralement un "transversal" de la figure. Il forme aux deux points où il coupe les lignes données quatre angles avec chacun. Ceux des angles qui se trouvent entre les lignes données s'appellent les angles intérieurs, et de ces derniers, encore, n'importe quels deux qui se trouvent des côtés opposés du transversal mais un à chacun des deux points s'appellent "les angles alternatifs." Nous pouvons maintenant énoncer l'appui vertical. 16 thus:See also:If que deux les lignes droites qui se réunissent sont coupés par un transversal, leurs angles alternatifs sont inégaux. Pour les lignes formera une triangle, et un des angles alternatifs sera un angle extérieur avec la triangle, l'autre intérieur et vis-à-vis lui. De ceci suit immédiatement le théorème contenu dans l'appui vertical. 27. Si deux lignes droites qui sont coupées par un transversal rendent des angles alternatifs égaux, les lignes ne peuvent pas se réunir, toutefois loin elles soient produites, par conséquent elles sont parallèles. Ceci prouve l'existence des lignes parallèles. Appui vertical. 28 états le même fait dans différentes formes. Si une ligne droite, tombant sur deux autres lignes droites, rendent l'angle extérieur égal à l'angle intérieur et opposé du même côté de la ligne, ou font EUCLIDIEN ] les angles intérieurs du même 'côté ensemble égal à deux angles droits, les deux lignes droites seront parallèles à une une autre. Par conséquent nous savons que, "si deux lignes droites qui sont coupées par un See also:rassemblement transversal, leurs angles alternatifs ne sont pas égales"; et par conséquent ce, "si les angles alternatifs sont égaux, alors les lignes sont parallèles." Est-ce que la question maintenant, l'inverse de propositions surgit est à ces vrais ou pas? C'est-à-dire, "si les angles alternatifs sont inégaux, faites les lignes se réunissent?" Et "si les lignes sont parallèles, sont les angles alternatifs nécessairement égaux?" La réponse à l'une ou l'autre de ces deux questions implique la réponse à l'autre. Mais on l'a trouvé impossible de montrer que la négation ou l'See also:affirmation de l'un ou l'autre est vraie. La difficulté qui surgit ainsi est surmontée par Euclid supposant que la première question doit être répondue dans l'affirmatif. Ceci donne son dernier axiome (12), que nous citons dans ses propres mots. Axiome 12.-If lignes droites d'un rassemblement deux de ligne droite, afin de faire à l'on intérieur de deux angles l''même côté de lui pris ensemble moins de deux angles droits, ces lignes droites, étant continuellement produit, se réunissent longuement de ce côté sur lequel sont les angles qui sont moins de deux angles droits. La réponse à la seconde des questions ci-dessus suit de ceci, et donne l'appui vertical de théorème. 29:If par chute de ligne droite sur deux lignes droites parallèles, elle rend les angles alternatifs égal à un un autre, et l'angle extérieur égal à l'angle intérieur et opposé sur le même côté, et également les deux angles intérieurs du même côté ensemble égal à deux angles droits. § 14. Par ceci par See also:nouvelle See also:partie de la géométrie élémentaire commence. Les propositions plus tôt sont indépendantes de cet axiome, et seraient vraies même si un mal, prétention avait été fait dans lui. Elles toutes se relient aux figures dans un avion. Mais un avion est seulement un-parmi un nombre See also:infini de surfaces imaginables. Nous pouvons dessiner des figures sur n'importe quel un d'elles et étudier leurs propriétés. Nous pouvons, par exemple, prendre une sphère à la See also:place, de l'avion, et obtenir "sphérique" au lieu de la géométrie "See also:plate". Si sur un de ces surfaces raye et des figures pourraient être dessinées, la réponse à toutes les définitions de nos figures plates, et si tous les axiomes excepté le See also:bout se tiennent, alors de toutes les propositions jusqu'à la 28ème sera vraie pour ces figures. C'est le cas dans la géométrie sphérique si nous substituons "la ligne la plus courte" ou le "grand cercle" "à la ligne droite," "See also:petit cercle" pour le "cercle," et si, en outre, nous limitons toutes les figures à une partie de la sphère qui est moins qu'un hémisphère, de sorte que deux points là-dessus ne puissent pas être vis-à-vis des extrémités d'un diamètre, et détermine donc toujours un et seulement un grand cercle. Pour les triangles sphériques, donc, toutes les propositions importantes 4, 8, 26; 5 et 6; et i8, 19 et 20 jugeront bon. Cette remarque sera suffisante pour montrer l'impossibilité de prouver le dernier axiome d'Euclid, qui signifierait montrer que cet axiome est une conséquence des autres, et par conséquent de que la théorie de parallèles tiendrait sur une See also:surface sphérique, où les autres axiomes se tiennent, tandis que les parallèles n'existent pas même. Elle suit que l'axjqm en question énonce une différence inhérente entre l'avion et autre, des surfaces, et que l'avion seulement est entièrement caractérisé quand cet axiome est ajouté à l'autre § 15 de tonXs de l'assump- i. L'introduction, le nouvel axiome et des lignes parallèles mène à une nouvelle See also:classe des propositions. Après s'être avéré (appui vertical 30) que "deux lignes ce qui sont chacune parallèle à un tiers sont parallèles," nous obtenons les See also:nouvelles propriétés des triangles contenues dans l'appui vertical. 32. De ces derniers la deuxième partie est la plus importante, à savoir le théorème, les trois angles intérieurs de chaque triangle sont ensemble égal à deux angles droits. En tant que déductions faciles non données par Euclid mais supplémentaires par See also:Simson suivez les propositions au sujet des angles dans les polygones; ils sont donnés dans les éditions en See also:anglais comme corollaires à l'appui vertical. 32. Ces théorèmes ne se tiennent pas pour les figures sphériques. La somme des angles intérieurs d'une triangle sphérique est toujours des deux angles droits plus grands que, et augmente avec le See also:secteur. § 16. On peut dire que la théorie de parallèles en tant que tels est finie avec des appui verticaux. 33 et J4, qui énonce des propriétés du parallélogramme, c.-à-d. d'un quadrilatère ont formé par deux paires de parallèles. Ils sont appui vertical. 33, les lignes droites qui joignent les extrémités de deux égaux et de lignes droites parallèles vers les mêmes pièces sont elles-mêmes égale et parallèle; et appui vertical. 34. Les côtés d'opposé et les angles d'un parallélogramme sont égaux à, un un autre, et le diamètre (See also:diagonal) bissecte le parallélogramme, c.-à-d., le divise en deux parts égales. § 17. Le See also:reste du premier livre se relie aux secteurs des figures. La théorie est faite pour dépendre de l'appui vertical de théorèmes. 35. Les parallélogrammes sur la même See also:base et entre les mêmes parallèles sont égaux à un un autre; et appui vertical. 36. Les parallélogrammes sur les bases égales et entre les mêmes parallèles sont égaux à un un autre. Pendant que chaque parallélogramme est bissecté par une diagonale, les derniers théorèmes tiennent également si le parallélogramme de mot soit remplacé par la "triangle," comme est fait dans les appui verticaux. 37 et 38. Il doit être remarqué qu'Euclid prouve ces propositions seulement dans le cas quand les parallélogrammes ou les triangles ont leurs bases dans la même ligne droite. Les théorèmes conversent à la dernière forme les teneurs des trois prochaines propositions, à savoir: Les appui verticaux, 40 et les î.Equal les triangles, on679 le même ou sur les bases égales, dans la même ligne droite, et du même côté de lui, sont entre les mêmes parallèles. Que les deux cas ici indiqués sont donnés par Euclid dans deux propositions séparées prouvées séparément est caractéristique de sa méthode. §.18. Pour comparer des secteurs d'autres figures, Euclid montre d'abord, dans l'appui vertical. 42, comment dessiner un parallélogramme qui est égal dans le secteur à une triangle donnée, et a un de ses angles égaux à un angle donné. Si l'angle donné est exact, alors le problème est résolu pour dessiner un "rectangle" égal dans le secteur à une triangle donnée. Prochain ce parallélogramme est transformé en un autre parallélogramme, qui a un de ses côtés égaux à une ligne droite donnée, tandis que ses angles demeurent inchangés. Ceci peut être fait par l'aide du théorème dans l'appui vertical. 43. Les compléments des parallélogrammes qui sont au sujet du diamètre de n'importe quel parallélogramme sont égaux à un un autre. Ainsi le problème (appui vertical 44) est résolu pour construire un parallélogramme sur une ligne donnée, qui est égale dans le secteur à une triangle donnée, et qui a un angle égal à un angle donné (généralement un angle droit). Pendant que chaque See also:polygone peut être divisé en un certain nombre de triangles, nous pouvons maintenant construire un parallélogramme ayant un angle donné, disons un angle droit, et être égaux dans le secteur à un polygone donné. Pour chacune des triangles en lesquelles le polygone a été divisé, un parallélogramme peut être construit, ayant un côté égal à une ligne droite donnée et à un angle égaux à un angle donné. Si ces parallélogrammes soient placés côte à côte, ils peuvent être ajoutés ensemble pour former un parallélogramme simple, ayant toujours un côté de la longueur donnée. Ceci est fait dans l'appui vertical. 43. See also:Sous ce See also:pli le See also:moyen est trouvé de comparer des secteurs de différents polygones. Nous devons seulement construire deux rectangles égaux dans le secteur aux polygones donnés, et à avoir chacun côté de longueur donnée. En comparant les côtés inégaux nous sommes See also:permis de juger si les secteurs sont égaux, ou qui est le plus grand. Euclid n'énonce pas le thisconsequence, mais le problème est pris encore à la See also:fin du deuxième livre, où on lui montre comment construire une place égale dans le secteur à un polygone donné. Appui vertical. 46 est: Pour décrire une place sur une ligne droite donnée. §19. Le premier livre conclut avec un des théorèmes les plus importants dans la totalité de la géométrie, et un qui ont été célébrés depuis les See also: L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
» Ajoutez l'information ou les commentaires à cet article.
Svp lien directement à cet article:
Accentuez le code ci-dessous, le bon déclic, et choisissez la "copie." Collez-alors la dans votre website, email, ou tout autre HTML. Situez le contenu, les images, et le copyright de disposition © 2006 - Produisez net les industries, copie de worldwide. |
|
|
[back] LIVRE DE NAHUM |
[next] LIVRE II |