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LIVRE II
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See also:LIVRE II . § 20. See also:Les propositions dans See also:le deuxième livre sont très différentes le character de ceux dans la première; elles toutes se relient aux secteurs See also:des rectangles et des places. Leur signification vraie est meilleure vue en les énonçant See also:sous une See also:forme algébrique. Ceci est souvent fait en exprimant les longueurs des See also:lignes par l'aide des See also:nombres, qui indiquent combien de fois une unité choisie est contenu dans les lignes. S'il y a une unité à trouver qui est contenue un nombre de fois exact dans chaque côté d'un rectangle, on le See also:voit facilement, et est généralement montré dans l'enseignement de l'arithmétique, que le rectangle contient un See also:certain nombre de places d'unité égales au produit des nombres quelle See also:mesure les côtés, une See also:place d'unité étant à angle droit sur la See also:ligne d'unité. Si, cependant, aucune une telle unité ne peut être trouvée, ce See also:processus exige ce raccordement entre les lignes et les nombres qui est seulement établi par l'aide des rapports des lignes, et qui est donc à ce See also:stade tout à fait inadmissible. Mais là existe une autre manière de relier See also:ces propositions à l'algèbre, basée sur les notions modernes qui semblent destinées considérablement changer et simplifier des mathématiques. Nous présenterons ici autant comme est exigé pour notre See also:but actuel. Au début du deuxième livre nous trouvons une définition selon laquelle "un rectangle serait 'contenu 'par les deux côtés qui contiennent un de ses angles droits"; dans le See also:texte See also:cette phraséologie est See also:sortie en parlant des rectangles contenus par deux lignes droites quelconques, signifiant le rectangle qui a deux côtés adjacents égaux aux deux lignes droites. Nous dénoterons une ligne droite finie par une minuscule See also:simple, a, b, c. x, et le See also:secteur du rectangle ont contenu les lignes a et b de by.two par See also:ab, et ceci nous appellerons le produit des deux lignes a et b. on le comprendra que cette définition n'a rien à faire avec la définition d'un produit des nombres. Nous définissons comme suit: La See also:somme de deux lignes droites a et b signifie que une ligne droite c qui peut être divisée dans deux parts égales respectivement à a et à b. cette somme est dénotée par a+b. La différence de deux lignes a et b (dans les symboles, le ab) signifie une ligne c qui une fois supplémentaire à b donne a; c'est-à-dire, a-b=c si b+c=a. Le produit de deux lignes a et b (dans les symboles, le ab) signifie le secteur du rectangle contenu par les lignes a et b. pour aa, qui signifie la place sur la ligne a, nous écrivent See also:a2. § 21. Les dizaines premières des quatorze propositions du deuxième livre peuvent alors être écrites sous forme de formules comme suit: I. a(b+c+d+. . 2. ab+See also:ac=a2 si b+c=a. 3. a(a+b) = a2+-ab. 4. (a+b)2=a2+àb+b2. 5. (a+b) (a-b)+b2=a2. 6. (a+b) (a-b)+b2=a2. 7. a2+(a-b)2=à(a- b) +P. 8. 4(a+b)a+b2 = (à+b)2. 9. (a+b)2+(a - b)2=à2+2b2. À (a+b)2+(a - b)2=à2+2b2. On le verra que 5 et 6, et également 9 et à, sont identiques. Dans le rapport d'See also:Euclid ils ne regardent pas la même chose, les figures étant arrangées différemment. Si les lettres a, b, c. des nombres dénotés, il découle de l'algèbre que chacune de ces formules est vraie. Mais ceci ne les prouve pas dans notre See also:cas, où les lettres dénotent des lignes, et leurs secteurs de produits sans aucune référence aux nombres. Pour les prouver nous devons découvrir les See also:lois quelle règle les opérations ont présentée, à savoir addition et multiplication des segments. Ceci que nous ferons maintenant; et nous constaterons que ces lois sont les mêmes avec ceux qui se tiennent dans l'addition et la multiplication algébriques. § 22. Dans une somme de nombres nous pouvons changer l'See also:ordre dans lequel les nombres sont ajoutés, et nous pouvons également ajouter les nombres ensemble dans les groupes et alors ajouter ces groupes. Mais ceci se tient également pour la somme de segments et pour la somme de rectangles, axa que peu de considération See also:montre. Que la somme de rectangles a toujours une signification suit des appui verticaux. 43-45 dans le See also:premier livre. Ces lois au sujet d'addition sont réductibles aux deux a+b=b+a (i), a+(b+c) = a+b+c. . (2); ou, une fois exprimé pour des rectangles, ab+ed=ed+ab. (3), ab+(cd+ef) = ab+cd+ef. . (4). Le See also:moyen de parenthèses que les See also:limites dans la parenthèse ont été ajoutées ensemble avant qu'elles soient ajoutées à une autre See also:limite. Les See also:points de droit plus généraux pour plus de limites peuvent être déduits le d'après ce qui précède. Pour le produit de deux nombres nous prenons la See also:loi qu'elle See also:demeure inchangée si les facteurs soient échangés. Ceci se tient également pour notre produit géométrique. Pour si le ab dénote le secteur du rectangle qui a la See also:base de a aussi et le b que l'See also:altitude, puis le See also:Ba dénotera le secteur du rectangle qui a b comme base et a comme altitude. Mais dans un rectangle nous pouvons prendre l'une ou l'autre des deux lignes qui le contiennent comme base, et alors l'autre sera l'altitude. Ceci donne l'ab=ba. . (5). Dans l'ordre plus loin pour multiplier une somme par un nombre, nous avons dans l'algèbre le rule:Multiply chaque limite de la somme, et pour ajouter les produits obtenus ainsi. Que ceci se tient pour nos produits géométriques est montré par Euclid dans sa première proposition du deuxième livre, où il montre que le secteur d'un rectangle dont la base est la somme d'un certain nombre de segments est égal à la somme de rectangles ce qui ont ces segments séparément comme See also:bases. Dans les symboles ceci donne, dans le cas le plus simple, a(b+c) = ab+ac (6) et (b+c)a=ba+ca 'à ces lois, qui ont été étudiées par See also: Les deux prochaines propositions sont seulement des cas spéciaux du premier. Des autres nous prouverons un, à savoir le See also:quart: (a+b)2 = (a+b) (a+b) = (a+b)a+(a+b)b par (6). (a+b)a=aa+ba par (6), = aa+ab par (5); et (a+b)b=ab+bb par (6). Par conséquent (a+b)2 = as+ab+(ab+bb)) = aa+(ab+ab)+bb r par (4)r = aa+àb+bb) ceci donne le théorème en question. De la même manière chaque un des See also:dix premières propositions est prouvé. On le verra que les opérations effectuées sont exactement identiques comme si les lettres ont dénoté des nombres. Appui verticaux. 5 et 6 peuvent également être écrits ainsi (a+b) (a-b)=a=-b2.Prop. 7, qui est une conséquence facile d'appui See also:vertical. 4, peuvent être transformés. Si nous dénotons par c la ligne a+b, de sorte que c=a+b, l'a=c-b, c2+(c - b)2=2c(c - b)+b2 = 2c2 - 2bc+b2. Soustrayant le C2 des deux côtés, et écrivant a pour c, nous obtenons (a - b)2 = a2- àb+b2. Dans les éléments d'Euclid cette forme 'du théorème n'apparaît pas, toutes les propositions étant ainsi ont déclaré que la notion de la soustraction n'entre pas dans eux. § 24. Les deux théorèmes restants (Props. I2 et 13) relient la place d'un côté d'une triangle à la somme des places des autres côtés, au cas où ce l'See also:angle entre le dernier serait aigu ou obtus. Ils sont des théorèmes importants en trigonométrie, où il est possible de les inclure dans un théorème simple. § 25. Il y a dans les deuxièmes problèmes du livre deux, appui verticaux. 11 et 14. Si écrit dans la See also:langue symbolique ci-dessus, l'ancien exige pour trouver une ligne X tels qu'a(a-x) = appui vertical de x2.. 11 contient, donc, la See also:solution d'une équation quadratique, que nous pouvons écrire x2+ax = a2. La solution est exigée plus See also:tard dans la construction d'un decagon régulier. Plus important est le problème dans la dernière proposition (appui vertical 14). Il exige la construction d'une place égale dans le secteur à un rectangle donné, par conséquent à une solution de l'équation x2 = ab. En livre I., 42-45, on lui a montré que rectangle de howa peut être égale construite dans le secteur à une figure donnée liée par les lignes droites. Par l'aide de la See also:nouvelle proposition nous pouvons donc maintenant déterminer une ligne tels que la place sur cette ligne est égale dans le secteur à n'importe quelle _ figure rectiligne donnée, ou nous pouvons ajuster une telle figure. En date de deux places qui est le plus See also:grand qui a le côté plus grand, elle suit que maintenant la comparaison de deux secteurs a été réduite à la comparaison de deux lignes. Le problem•of ramenant d'autres secteurs aux places est fréquemment rencontré parmi les mathématiciens grecs. Nous devons seulement mentionner le problème d'ajuster le See also:cercle (voir le CERCLE). Dans aujourd'hui la comparaison des secteurs est exécuté dans une manière plus simple en ramenant tous les secteurs aux rectangles ayant une base See also:commune. Leurs altitudes donnent alors une mesure de leurs secteurs. La construction d'un rectangle ayant la base u, et étant égal dans le secteur à un rectangle donné, dépend de l'appui vertical. 43, I. This donne donc une solution de l'équation ab = ux, où x dénote l'altitude inconnue. Livre III. § 26. Le troisième livre des éléments se relie exclusivement aux propriétés du cercle. Un cercle et sa circonférence ont été définis en livre I., Def. 15. Nous le redisons ici dans des mots légèrement différents: La circonférence de Definition.The d'un cercle est une courbe See also:plate tels que tous les points dans elle ont la même distance d'un See also:point fixe dans l'See also:avion. Ce point s'appelle l'"centre" du cercle. Des See also:nouvelles définitions, desquelles onze sont indiqués au début du troisième livre, quelques uns exigent seulement la mention spéciale. Le premier, qui indique que les cercles avec les rayons égaux sont égaux, est en See also:partie un théorème, mais facilement avéré en appliquant l'un cercle à l'autre. Ou il peut considérer prouvé par l'aide de l'appui vertical. 24, les cercles égaux n'étant pas employé labourent après ce théorème. Dans la deuxième définition est expliqué ce qui est signifié par une ligne qui des "contacts" un cercle. Une telle ligne s'appelle maintenant généralement une tangente au cercle. L'introduction de ce nom nous permet d'énoncer plusieurs des propositions d'Euclid sous une forme beaucoup plus courte. La même See also:raison nous réclamerons une ligne droite joignant deux points sur la circonférence d'un cercle une "See also:corde." Les définitions 4 et 5 peuvent être remplacées par une légère généralisation par ce qui suit: - - Definition.By la distance d'un point d'une ligne est signifié la longueur de la perpendiculaire tirée du point à la ligne. 
§ 27. De la définition d'un cercle il découle que chaque cercle a un centre. Appui vertical. 1 exige pour le trouver quand le cercle est donné, c.-à-d. quand sa circonférence est dessinée. Pour résoudre ce problème une corde est dessinée (c'est-à-dire, deux points quelconques dans la circonférence sont See also:joints), et par le point où ceci est bissecté une perpendiculaire à lui est érigé. Euclid s'avère alors, premier, qu'aucun point outre de cette perpendiculaire ne peut être le centre, par conséquent que le centre doit se situer dans cette ligne; et, deuxièmement, ce des points sur les perpendiculaires seulement peut être le centre, à savoir celui qui bissectent les parties de la perpendiculaire liée par le cercle. Dans la deuxième partie Euclid suppose silencieusement que la perpendiculaire là utilisée coupe la circonférence dans deux, et seulement dans deux points. La See also:preuve est donc inachevée. La preuve de la première partie, cependant, est exacte. En dessinant deux See also:cordes non-parallèles, et les perpendiculaires qui les bissectent, le centre sera trouvé comme point où ces perpendiculaires intersectent. § 28. Dans L'Appui vertical. 2 on le montre qu'une corde d'un cercle se trouve tout à fait en dessous du cercle. Appui vertical. Mais obtenons nous ce que nous avons appelé la première partie de la solution d'Euclid de l'appui vertical. t peut être énoncé comme théorème: Chaque ligne droite qui bissecte une corde, et est perpendiculaire à elle, traverse le centre du cercle. L'See also:inverse à ceci donne l'appui vertical. 3, qui peuvent être énoncés ainsi si une ligne droite par le centre d'un cercle bissectent une corde, alors elle est perpendiculaire à la corde, et si elle soit perpendiculaire à la corde il le bissecte. Une conséquence facile de ceci est le théorème suivant, qui est essentiellement identique à l'appui vertical. 4: Deux cordes d'un cercle, duquel ni l'un ni l'autre passage par le centre, ne peut se bissecter. Ces trois derniers théorèmes sont fondamentaux pour la théorie du cercle. Il doit être remarqué qu'Euclid ne montre jamais qu'une ligne droite ne peut pas avoir plus de deux points en See also:commun avec une circonférence. § 29. Les deux prochaines propositions (5 et 6) pourraient être remplacés par un théorème simple et plus simple, à savoir: Deux cercles qui ont un centre commun, et dont les circonférences ont un point en commun, coïncident. Ou, plus en See also:accord avec la forme d'Euclid: Deux cercles différents, dont les circonférences ont un point en commun, ne peuvent pas avoir le même centre. Que les festins d'Euclid de deux cas est caractéristique des mathématiques grecques. Les deux prochaines propositions (7 et 8) appartiennent encore ensemble. Elles peuvent être combinées ainsi: - - Si d'un point dans un See also:plan d'un cercle, qui n'est pas le centre, des lignes droites soient tracées aux différents points de la circonférence, alors de toutes ces lignes une est le plus court, et une le plus See also:long, et ceux-ci See also:mensonge tous les deux dans cette ligne droite qui See also:joint le point donné au centre. De toutes les lignes restantes chacune est égale à un et seulement un autre, et ces lignes égales se trouvent des côtés opposés du plus court ou le plus long, et font des angles égaux avec eux. Euclid distingue les deux cas dans où le point indiqué se trouve ou sans cercle, omettant le cas où il se situe dans la circonférence. De la dernière proposition il découle que si d'un point plus de deux lignes droites égales peuvent être tracées à la circonférence, ce point doit être le centre. C'est appui vertical. 9. Par See also:suite de ceci nous obtenons si les circonférences des deux cercles ont trois points en commun qu'elles coïncident. Pour dans ce cas-ci les deux cercles ayez un centre commun, parce que du centre de celui trois lignes égales peuvent être tracées aux points sur la circonférence de l'autre. Mais deux cercles qui ont un centre commun, et dont les circonférences ont un point en commun, coïncident. (comparez au-dessus du rapport des appui verticaux. 5 et 6.) Ce théorème peut également être énoncé ainsi: Par trois points seulement une circonférence peut être dessinée; ou, trois points déterminent un cercle. Euclid ne donne pas le théorème sous cette forme. Il s'avère, cependant, que les deux cercles ne peuvent pas couper des autres dans plus de deux points (appui vertical), et que deux cercles ne peuvent pas toucher un un autre dans plus de points qu'un (appui vertical 13). § 30. Les propositions 11 et 12 affirment que si See also:contact de deux cercles, puis le point de contact se trouve sur la ligne joignant leurs centres. Ceci donne deux propositions, parce que les cercles peuvent toucher intérieurement ou extérieurement. § 31. Les propositions 14 et 15 se relient à la longueur des cordes. Le premier indique que les cordes égales sont équidistantes du centre, et que les cordes qui sont équidistantes du centre sont égales; Tandis qu'Appui vertical. 15 compare les cordes inégales, à savoir. De toutes les cordes le diamètre est le plus grand, et d'autres cordes qui est le plus grand qui est plus proche du centre; et réciproquement, la corde plus grande est plus proche du centre. § 32. Dans L'Appui vertical. I6 la tangente à un cercle est pour la première fois présenté. La proposition est censée pour prouver que la ligne droite au point final du diamètre et perpendiculairement à elle est une tangente. La proposition elle-même n'énonce pas ceci. Elle fonctionne ainsi: Appui vertical. 16, La ligne droite tracée perpendiculairement au diamètre d'un cercle, de l'extrémité d'elle, See also:tombe sans cercle; et aucune ligne droite ne peut être tracée de l'extrémité, entre cette ligne droite et la circonférence, pour pour ne pas couper le cercle. La ligne droite de Cbrollary.The perpendiculairement à un diamètre dessiné par le point final d'elle touche le cercle. Le rapport de la proposition et de son traitement entier montrent aux difficultés ce que les tangentes ont présenté à Euclid. Appui vertical. 17 résout le problème par un point donné, dans la circonférence ou sans elle, pour dessiner une tangente à un cercle donné. Étroitement lié à l'appui vertical. 16 sont des appui verticaux. 18 et 19, que 'énoncez (appui vertical 18), que la ligne joignant le centre d'un cercle au point 'du contact d'une tangente est perpendiculaire à la tangente; et réciproquement (appui vertical 19), See also:cela la ligne droite par le point de contact, et perpendiculaire, derrière une tangente à un cercle traverse le centre du cercle. § 33. Le See also:reste du livre se relie aux angles liés à un cercle, à savoir aux angles qui ont le See also:sommet au centre ou sur la circonférence, et qui s'appellent respectivement des angles au centre et les angles à la circonférence. Entre le thesetwo les genres d'angles existe la relation importante exprimée comme suit: Appui vertical. non. L'angle au centre d'un cercle est See also:double de l'angle à la circonférence sur la même base, c.-à-d., sur le même See also:arc. C'est de grande importance pour ses conséquences, desquelles les deux suivant sont le See also: t, III., dans le § 27. le § 34• là suivent quatre théorèmes reliant les angles au centre, les arcs dans lequel ils divisent la circonférence, et aux cordes subtending ces arcs. Ils sont exprimés pour des angles, des arcs et des cordes en cercles égaux, mais ils se tiennent également pour des angles, des arcs et des cordes en même cercle. Les théorèmes sont: Appui vertical. 26, Dans le stand égal d'angles de cercles d'égale sur les arcs égaux, s'ils soient aux centres ou aux circonférences; Appui vertical. 27, (inverse à l'appui vertical. 26). En cercles d'égale les angles qui se tiennent sur les arcs égaux sont égaux à un un autre, s'ils soient aux centres ou aux circonférences; Appui vertical. 28, Dans les lignes droites égales de cercles égaux (cordes égales) découpez les arcs égaux, l'égale plus grande au plus grand, et moins l'égal au moins; Appui vertical. 29 (inverse à l'appui vertical. 28). En cercles d'égale les arcs qu'égaux sont subtended par les lignes droites égales. § 35. D'autres conséquences importantes des appui verticaux. 20-22 soyez: Appui vertical. 31, En cercle l'angle dans un See also:demi-cercle est un angle droit; mais l'angle dans un segment plus grand qu'un demi-cercle est moins qu'un angle droit; et l'angle dans un segment moins qu'un demi-cercle est plus grand qu'un angle droit; Appui vertical. 32, Si un contact de ligne droite un cercle, et du point de contact une ligne droite soit découpage tiré le cercle, les angles que cette ligne fait avec la ligne touchant le cercle seront égaux aux angles qui sont dans les segments alternatifs du cercle. 36. Propose 30, 33, 34, contient les problèmes qui sont résolus par l'aide des propositions les précédant: Appui vertical. 30, Pour bissecter un arc donné, c.-à-d., pour le diviser en deux parts égales; Appui vertical. 33, Sur une ligne droite donnée pour décrire un segment d'un cercle contenant un angle égal à un angle rectilineal donné; Appui vertical. 34,, D'un cercle donné pour découper contenir de segment une égale de le à un angle rectilineal donné. 37, Si nous dessinons des cordes par un point A dans un cercle, elles veulent chacune soient divisées par A en deux segments. Entre ces segments la loi soutient que le rectangle contenu par eux a le même secteur sur quelque corde par A les segments soient pris. La valeur de ce rectangle change, naturellement, avec la position de A. Un théorème semblable tient si le point A soit pris sans cercle. Sur chaque ligne droite par A, qui See also:coupe le cercle dans deux points de B et C, nous avons deux segments ab et C.a., et les rectangles contenus par eux sont encore égaux à un un autre, et égalent à la place sur une tangente tirée de A au cercle. Le premier de ces théorèmes donne l'appui vertical. 35, et le deuxième appui vertical. 36, avec son corollaire, tandis qu'appui vertical. 37, le See also:bout du livre III., donne l'inverse à l'appui vertical. 36. Les deux premiers théorèmes peuvent être combinés dans un: Si par un point A dans le plan d'un cercle une ligne droite soit découpage tiré le cercle en B et C, alors le rectangle AB.ac a une valeur See also:constante à condition que le point A soit fixe; et si de A une See also:ANNONCE de tangente peut être dessinée au cercle, touchant à D, alors le rectangle ci-dessus égale la place sur l'cAnnonce. Appui vertical. 37 peuvent être énoncés ainsi: Si d'un point A sans cercle une ligne soit un découpage tiré le cercle en B et C, et une ligne différente à un point D sur le cercle, et AB.ac = AD2, alors l'cAnnonce de ligne touche le cercle à D. Il n'est pas difficile de prouver également l'inverse à la proposition générale comme au-dessus d'indiqué. Cette proposition et son inverse peuvent être exprimées comme suit: Si quatre points d'cAbcd soient pris sur la circonférence d'un cercle, et si les lignes ab, le CD, a produit au besoin, se réunissent à E, puis See also:EA.eb = EC.ed; et réciproquement, si cette relation se tient alors les quatre points se trouvent sur un cercle, c.-à-d., le cercle tracé par trois d'entre eux des passages par le quart. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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