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EINWICKLUNG FESTGESTELLT DURCH Ein KO...

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V11, Seite 704 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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EINWICKLUNG FESTGESTELLT DURCH Ein KONISCHES AUF § 82 A LINE .FocI. Die polars, hinsichtlich eines konischen, See also:

der See also:Punkte in einer See also:Form der See also:Reihe p ein See also:Bleistift P projektiv See also:zur Reihe (§ 66). Dieser Bleistift schneidet die See also:Unterseite der Reihe p in einer projektiven Reihe. Wenn A ein See also:Punkt in der gegebenen Reihe ist, ist A ' der Punkt, in dem das polare von A p schneidet, dann A und A entsprechende Punkte. Wenn wir A ' einen Punkt in der ersten Reihe nehmen, dann überschreitet das polare von A ' durch A, damit A A'in andere Wörter entspricht, die Reihen See also:sind in der Einwicklung. Die verbundenen Punkte in dieser Einwicklung sind verbundene Punkte hinsichtlich See also:des konischen. Verbundene Punkte stimmen überein, nur wenn das polare ein der Durchläufe des Punktes A durch Athat ist, wenn A auf dem konischen liegt. Folglich stellt konisches A auf jeder See also:Linie in seiner Fläche eine Einwicklung fest, in der jene Punkte Paronym sind, die auch hinsichtlich des konischen verbunden sind. Wenn die Linie das konische schneidet, ist die Einwicklung hyperbolisch, die Koinzidenzpunkte seiend die Foki. Wenn die Linie das konische berührt, ist die Einwicklung, die zwei Foki Parabolisch, die im Augenblick des Kontaktes übereinstimmen. Wenn die Linie nicht das konische schneidet, ist die Einwicklung elliptisch und hat keine Foki. von welchen zwei Paare einer Vierseite sechs Punkte in der Einwicklung sind, die Projektionen der gegenüberliegenden See also:Gipfel, die verbundene Punkte sind.

Diese See also:

Eigenschaft gibt einfache Mittel, durch Hilfsmittel nur des geraden Randes, in von dem einer Einwicklung zwei Paare der verbundenen Punkte gegeben werden, zu irgendeinem Punkt zu konstruieren sein Paronym. § 79. Bleistifte in der Involution.The-Theorie der Einwicklung können von der Reihe zur See also:Ebene und zum axialen pencilviz ausgedehnt sofort sein. wir sagen, daß es eine Einwicklung in einer Ebene oder in einem axialen Bleistift gibt, wenn irgendeine Linie den Bleistift in einer Einwicklung der Punkte schneidet. Eine Einwicklung in einem Bleistift besteht aus Paaren der verbundenen Strahlen oder der Flächen; sie hat zwei, eine oder keine fokale Strahlen (doppelte Linien) oder Flächen, aber nichts, die einer Mitte entspricht. Eine Einwicklung in einem flachen Bleistift enthält immer ein und in General nur einer, Paar verbundene Strahlen, die bis einen anderen senkrecht sind. Für innen zwei projektive flache Bleistifte bestehen immer zwei entsprechende rechte See also:Winkel (§ 40). Jede Einwicklung in einem axialen Bleistift enthält auf die gleiche Weise ein Paar verbundene Flächen senkrecht bis eine andere. Als Regel, besteht aber ein Paar verbundene Linien oder Flächen senkrecht miteinander. Aber es ist möglich, daß es mehr gibt, und dann gibt es eine endlose Anzahl von solchen Paaren. Eine Einwicklung in einem flachen Bleistift, in dem jeder See also:Strahl zu seinem verbundenen Strahl senkrecht ist, soll kreisförmig. Daß solche Einwicklung möglich ist, wird leicht folglich gesehen: wenn in zwei konzentrischen flachen Bleistiften jeder Strahl auf einem gebildet wird, um diesem Strahl auf dem anderen zu entsprechen, der zu ihm senkrecht ist, dann sind die zwei Bleistifte projektiv, denn, wenn wir den einen Bleistift durch einen rechten Winkel See also:drehen, stimmt jeder Strahl in einem mit seinem entsprechenden Strahl im anderen überein.

Aber diese zwei projektiven Bleistifte sind in der Einwicklung. Eine kreisförmige Einwicklung hat keine fokalen Strahlen, weil kein Strahl in einem Bleistift mit dem Strahlsenkrechten zu ihm übereinstimmt. § 80. Jede elliptische ' Einwicklung in einer Reihe kann als See also:

Abschnitt einer kreisförmigen Einwicklung betrachtet werden. In einer elliptischen Einwicklung irgendeine zwei Lüge der Segmente AA ' und BB ', teils innen und teils ohne einander (fig. 32). Folglich schneiden zwei Kreise, die auf AA und BB ' als Durchmessern beschrieben werden, in zwei Punkten See also:E und E '. Die Linie EE ' schneidet die Unterseite der Einwicklung an einem Punkt 0, der die Eigenschaft hat, die OA.OA'=OB.OB ', für jede ist gleich OE.OE '. Der Punkt 0 ist folglich die Mitte der Einwicklung. Wenn wir zu irgendeinem Punkt See also:C den verbundenen Punkt C konstruieren möchten ', können wir den Kreis durch CEE zeichnen '. This.will schnitt, wenn andererseits wir einen Punkt P in der Fläche von einem konischem nehmen, wir gelangen an jede Linie a durch verbundene Linie P eins, die P zum See also:Pfosten von a. diese Paare der verbundenen Linien durch p-Form eine Einwicklung im Bleistift bei P. The verbindet, das, fokale Strahlen dieser Einwicklung die Tangenten sind, die von P zum konischen See also:gezeichnet werden.

Dieses gibt das Theorem, das zu wechselseitig ist, dauern, nämlich: Ein konisches stellt in jedem Bleistift in seiner Fläche eine Einwicklung, die entsprechenden Linien fest, die verbundene Linien hinsichtlich des konischen teing sind. Wenn der Punkt ohne das konische ist, ist die Einwicklung, die Tangenten von den Punkten hyperbolisch, die die fokalen Strahlen sind. Wenn der Punkt auf dem konischen liegt, ist die Einwicklung, die Tangente See also:

am Punkt Parabolisch, der für zusammentreffende fokale Strahlen zählt. Wenn der Punkt innerhalb des konischen ist, ist die Einwicklung elliptisch und hat keine fokalen Strahlen. Es wird See also:weiter gesehen, daß die Einwicklung, die durch ein konisches auf jeder möglicher Linie p festgestellt wird, ein Abschnitt der Einwicklung ist, die durch das konische am Pfosten P von p festgestellt wird. § 83. Foci.The-Mitte eines Bleistifts, in dem das konische eine kreisförmige Einwicklung feststellt, wird einen "See also:Fokus" vom konischen genannt. Das heißt, ist ein Fokus solch ein Punkt, daß jede Linie durch sie zu seiner verbundenen Linie senkrecht ist. Das polare zu einem Fokus wird einen Directrix vom konischen genannt. Von der See also:Definition, die es, daß jeder Fokus auf einer See also:Mittellinie liegt, für die Linie folgt, die einen Fokus zur Mitte vom konischen verbindet, ist ein See also:Durchmesser, zu dem die verbundenen Linien senkrecht sind; und jede Linie, die zwei Foki verbindet, ist eine Mittellinie, denn die Senkrechten zu dieser Linie durch die Foki sind zu ihr verbunden. Diese verbundenen Linien überschreiten durch den Pfosten der Linie, liegt der Pfosten folglich an der Unbegrenztheit, und die Linie ist ein Durchmesser, folglich durch die letzte Eigenschaft eine Mittellinie. Sie folgt, daß alle Foki auf einer Mittellinie liegen, für keine Linie, die einen Punkt in einer Mittellinie zu einem Punkt in der anderen verbindet, kann eine Mittellinie sein.

Während das konische im Bleistift feststellt, der seine Mitte an einem Fokus eine kreisförmige Einwicklung hat, können keine Tangenten vom Fokus zum konischen gezeichnet werden. Folglich liegt jeder Fokus innerhalb eines konischen; und ein Directrix schneidet nicht das konische. Weitere Eigenschaften werden durch die folgenden Betrachtungen gefunden: § 84. Durch eine Linie des Punktes P eins kann p gezeichnet werden, das hinsichtlich eines gegebenen konischen Paronyms zu einer gegebenen Linie q ist, nämlich beschreibt diese Linie, die den Punkt P zum Pfosten der Linie q. verbindet, wenn die Linie q gebildet wird, um einen Bleistift zu beschreiben ein ungefähr Punkt Q, dann die Linie p einen Bleistift über P. These zwei, die Bleistifte projektiv sind, denn die Durchläufe der Linie p durch den Pfosten von q, und während q den Bleistift Q beschreibt, beschreibt sein Pfosten a, projektive Reihe, und diese Reihe ist See also:

Perspektive zum Bleistift P. Wir nehmen jetzt den Punkt P auf einer Mittellinie vom konischen, zeichnen jedes mögliches Linientthrough es, und vom Pfosten des p-abgehobenen Betrages schnitten ein ein Senkrechtq bis ein P. und q die Mittellinie in Q. Then, in den Bleistiften der verbundenen Linien, die ihre See also:Mitten an P und an Q haben, die Linien p und q sind verbundene Linien senkrecht bis eine andere. Außerdem der Mittellinie als Strahl in jedem Bleistift im anderen entspricht das Senkrechte der Mittellinie (§ 72). Das konische erzeugt durch den See also:Durchschnitt der entsprechenden Linien in den zwei Bleistiften ist folglich der Kreis auf PQ als Durchmesser, damit jede Linie in P zu seiner entsprechenden Linie in Q senkrecht ist. jedem Punkt entspricht P auf einer Mittellinie von einem konischem folglich ein Punkt Q, so, daß verbundene Linien durch P und Q senkrecht sind. Wir zeigen diese diese Punkt-Paare P, q-Form eine Einwicklung. um dies zu tun See also:lassen Sie uns P entlang der Mittellinie und mit ihr verschieben die Linie p und die letzte Ähnlichkeit halten auf sich.

Dann beschreibt P eine Reihe, p ein Perspektivebleistift (von Ähnlichkeiten) und den Pfosten von p eine projektive Reihe. Gleichzeitig beschreibt die Linie q einen Bleistift der Ähnlichkeiten, die zu p senkrecht sind, und Perspektive zur Reihe, die durch den Pfosten von P. der Punkt Q gebildet wird, folglich wo q die Mittellinie schneidet, beschreibt eine Reihe, die zur Reihe der Punkte P. The zwei Punkte P und Q projektiv ist, beschreiben folglich zwei projektive Reihen auf der Mittellinie; und nicht nur P, während ein Punkt in der ersten Reihe Q entsprechen, aber auch Q als Punkt im ersten entspricht Reihenfolglich Form P. The zwei eine Einwicklung. Die Mitte dieser Einwicklung, wird es leicht gesehen, ist die Mitte vom konischen. Ein Fokus dieser Einwicklung hat die Eigenschaft, daß alle zwei verbundenen Linien durch sie senkrecht sind; folglich ist es ein Fokus zum konischen. Solche Einwicklung besteht von jeder Mittellinie. Aber nur ein von diesen kann Foki haben, weil alle Foki auf der See also:

gleichen Mittellinie liegen. Die Einwicklung auf einer der Äxte ist elliptisch und erscheint (§ 8o) folglich als der Abschnitt von zwei kreisförmigen Einwicklungen in zwei Bleistiften deren Mitten in der anderen Mittellinie liegen. Diese Mitten sind Foki, folglich enthält die eine Mittellinie zwei Foki, die andere Mittellinie keine; oder jedes zentrale konische hat zwei Foki, die auf einer Mittellinie liegen, die von der Mitte äquidistant ist. Die Mittellinie, die die Foki enthält, wird die Hauptmittellinie genannt; falls einer See also:Hyperbel es die Mittellinie ist, die die Kurve schneidet, weil die Foki innerhalb des konischen liegen. Falls von der Parabel es aber eine Mittellinie gibt.

Die Einwicklung auf dieser Mittellinie hat seine Mitte an der Unbegrenztheit. Ein Fokus ist folglich an der Unbegrenztheit, nur der ein Fokus ist begrenzt. Eine Parabel hat nur einen Fokus. § 85. Wenn durch irgendeinen Punkt P (fig. 34) auf einem konischem die Tangente See also:

Pint und der normale PN (See also:d.See also:h. das Senkrechte zur Tangente durch den Punkt des Kontaktes) gezeichnet wird, sind diese verbundene Linien hinsichtlich des konischen und senkrecht miteinander. Sie schneiden folglich die Hauptmittellinie in zwei Punkten, die in der Einwicklung verbunden sind, die in § 84 betrachtet wird; folglich sind sie harmonicconjugates hinsichtlich der Foki. Wenn folglich die FI und See also:F2 mit zwei Foki zu P verbunden werden, sind diese Linien hinsichtlich des Tangentehilfsmittelnormal See also:harmonisch. Da die letzten senkrecht sind, halbieren sie die Winkel zwischen dem anderen Paar. Folglich sind die Linien, die irgendeinen Punkt auf einem konischem zu den zwei Foki verbinden, zur Tangente und zum Normal an diesem Punkt gleichmäßig geneigt. Falls der Parabel dieses die Linie wird, die irgendeinen Punkt auf c-Parabel zum Fokus und zum Durchmesser durch den Punkt verbindet, seien Sie zur Tangente und zum Normal an diesem Punkt gleichmäßig geneigt. Von der Definition eines Fokus folgt es, daß das Segment einer Tangente zwischen dem Directrix und dem Punkt des Kontaktes vom Fokus gesehen wird, der dem Directrix unter einem rechten Winkel gehört, weil die Linien, die den Fokus zu den Enden dieses Segments verbinden, hinsichtlich des konischen verbunden sind, und folglich Senkrechtem.

Genauso leicht wird das folgende Theorem nachgewiesen: Die zwei Linien, die die Punkte des Kontaktes von zwei Tangenten jeden zu einem Fokus verbinden, aber nicht beide zumselben, werden vom Durchschnitt der Tangenten unter gleichen Winkeln gesehen. § 86. Andere fokale Eigenschaften von einem konischem werden durch die folgenden Betrachtungen erreicht: Lassen Sie See also:

F (fig. 35) ist ein Fokus zu einem konischem, zu einem f der entsprechende Directrix, zu einem A und zu einem B die Punkte des Kontaktes von zwei Tangenten, die an T See also:treffen, und zu einem P der Punkt, wo die Linie AB den Directrix schneidet. Dann ist TF von P das polare (weil KI-polars des f- und t-Treffens an P). Folglich TF und Leistungsfaktor sind verbundene Linien durch einen Fokus und folglich Senkrechtes. Sie sind weiter harmonische Paronyme hinsichtlich Fas und FB (§§ 64 und 13), damit sie die Winkel halbieren, die durch diese Linien gebildet werden. Dieses prüft übrigens, daß die Segmente zwischen dem Koinzidenzpunkt von zwei Tangenten zu einem konischem und zu ihren Punkten des Kontaktes von einem Fokus unter gleichen Winkeln gesehen werden. Wenn wir zunächst durch A und die b-Linien zeichnen, die zu TF parallel sind, dann sind die Punkte KI, Bi, in der diese den Directrix schneiden, harmonische Paronyme hinsichtlich P und des Punktes, in dem FT den Directrix schneidet. Die Linien FT und FP halbieren folglich auch die Winkel zwischen Fa ' und FBI. Von diesem folgt er leicht, daß die Dreiecke FAA ' und FBB1 equiangular sind, und folglich ähnlich, damit Fa: AAI=FB: BB1. Die Dreiecke AA'See also:A2 und BB'B2, das gebildet wird, indem sie Senkrechte von A und von B zum Directrix zeichnen, sind auch ähnlich, damit AA ': AA2 = BBI: BB2.

Dieses, kombiniert mit dem oben genannten See also:

Anteil, gibt Fa: AA2=FB: BB2. Folglich das Theorem: Das Verhältnis der Abstände irgendeines Punktes auf einem konischem von einem Fokus und vom entsprechenden Directrix ist konstant. um dieses Verhältnis festzustellen betrachten wir seinen Wert für einen Gipfel auf der Hauptmittellinie. In einem See also:Ellipse liegt der Fokus zwischen den zwei Gipfeln auf dieser Mittellinie, folglich ist der Fokus zu einem Gipfel als zum entsprechenden Directrix näher.

End of Article: EINWICKLUNG FESTGESTELLT DURCH Ein KONISCHES AUF Einer LINIE

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