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avion, alors la projection serait orthographique. Si dans ce cas-ci l'avion un être tourné jusqu'à ce qu'il coïncide avec 'de sorte que les figures demeurent See also:

PERSPECTIVE (peespicere de Lat., pour voir à travers)

perspective, alors les rayons de projection sera perpendiculaire à l'axe de la projection, parce que n'importe quel un de See also:

ces rayons est, et See also:

RESTE, RETOUR

reste pendant la rotation, perpendiculaire à l'axe. Le rapport constant du See also:

domaine de la projection de sorte que de la figure originale soit, dans ce cas-ci, le cosinus de l'See also:

ANGLE (de l'angulus de Lat., un coin, un diminutif, dont la forme primitive, angus, ne se produit pas dans le latin; apparenté sont de Lat. angere, pour se comprimer dans de du courbure ou pour étrangler, et les ayKOS de gr., une courbure; tous les deux

angle entre les deux avions W et ', comme sera vu en projetant un rectangle qui a sa See also:

base à l'axe. La projection orthographique est utile constant dans le schéma géométrique. Shear.If le centre de la projection soit pris à l'See also:

INFINI (de Lat. dedans, pas, de finis, d'extrémité ou de limite; cf. findere, au deave)

infini sur l'axe, puis les rayons de projection sont parallèles à l'axe; par conséquent les points correspondants seront équidistants de l'axe. Dans ce cas-ci, donc, les secteurs des chiffres de See also:

correspondance seront égaux. Si A, A 'et B, B '(fig. 7) sont deux paires de points correspondants sur la même See also:

LIGNE

ligne, parallèle à l'axe, alors, car les segments correspondants parallèles à l'axe sont égaux, elle suit le ce ab = A'B ', par conséquent aussi AA'=bb '.

Si ces points soient See also:

JOINTS

joints à n'importe quel See also:

POINT de LÉZARD, ou LE LÉZARD

point 0 sur l'axe, alors le See also:

ao et l'cA'o seront les See also:

LIGNES d'cIsabnormal (ou ISANOMALOUS)

lignes correspondantes; ils seront donc coupés par n'importe quelle ligne parallèle à l'axe dans les points correspondants. Dans la figure donc C, C 'et également D, D 'sera paires correspondantes les de points et le cc '= densité double '. De car le rapport CC'/aa 'égale le rapport des distances C et A de l'axe, donc deux chiffres de correspondance peuvent être faits sortir un de l'autre en déplaçant tous les points dans l'un parallèle à une ligne fixe, l'axe, par les distances qui sont proportionnelles à leurs propres distances de l'axe. Les points dans une ligne demeurent par ceci dans une ligne. Une telle transformation d'une figure See also:

PLATE-forme

plate est produite par un effort de cisaillement dans n'importe quelle See also:

section d'un solide élastique homogène. Pour See also:

CETTE

cette See also:

RAISON (rapport de Lat., par le raison français)

raison See also:

seigneur See also:

KELVIN, WILLIAM THOMSON, BARON (1824-1907)

Kelvin lui a donné le nom du cisaillement. Un cisaillement d'une figure plate est déterminé si nous sommes donnés l'axe et la distance par laquelle un point a été déplacé; pour dans ce cas-ci l'axe, le centre, et une paire de points correspondants sont donnés. § 19. La symétrie et le Skew-Symmetry.If le centre n'est pas sur l'axe, et si les points correspondants sont aux distances égales de lui, elles doivent être des côtés opposés de lui. Les figures seront dans l'involution (§ Ii). Dans ce cas-ci la direction des rayons de projection serait conjuguée à l'axe. La direction conjuguée peut être perpendiculaire à l'axe. Si la ligne joignant deux correspondant dirige A, A 'See also:

COUPE (français pour "découpé")

coupe l'axe à B, puis ab = BA '.

Par conséquent, si le See also:

plat soit replié le See also:

LONGÉVITÉ

long de l'axe, A tombera sur A '. Par conséquent par ceci replier chaque point coïncidera avec son point correspondant. Les figures sont donc identiquement égales ou conformes, et en leur position originale elles sont symétriques en ce qui concerne l'axe, que lui-même s'appelle un axe de symétrie. Si les deux chiffres sont considérés de pendant qu'on dit qu'on que celui-ci serait symétrique en ce qui concerne un axe, et a un axe symétrie ou simplement un axe. Chaque diamètre d'un See also:

CERCLE de PASSAGE, ou CERCLE MÉRIDIEN

cercle est ainsi un axe; également la ligne médiane isocèle une triangle et les diagonales d'un rhombus sont des haches des figures auxquelles ils appartiennent. Dans le cas plus général où les rayons de projection ne sont pas perpendiculaires à l'axe nous avons un genre de symétrie tordue qui peut s'appeler la biaiser-symétrie. Il peut être obtenu de la symétrie en donnant à la figure entière un cisaillement. On le verra facilement également que nous obtenons la biaiser-symétrie si nous formons d'abord un cisaillement à une figure donnée et le séparons ensuite de son cisaillement en le pliant plus de le long de l'axe du cisaillement, qui devient de ce fait un axe de biaiser-symétrie. Biaiser-symétrique et donc également les figures symétriques ont les propriétés suivantes: Les secteurs correspondants sont égaux, mais du See also:

SENS

sens opposé. Deux lignes correspondantes quelconques sont les conjugés harmoniques en ce qui concerne l'axe et une ligne dans la direction conjuguée. Si les deux chiffres soient de nouveau considérés en tant qu'un entier, ceci serait biaiser-symétrique et pour avoir un axe de biaiser-symétrie. Ainsi la ligne médiane de n'importe quelle triangle est un axe de biaiser-symétrie, le côté sur lequel elle se tient ayante la direction conjuguée, les autres côtés étant les lignes conjuguées. De ceci elle suit, pour l'exemple, que les trois lignes médianes d'une triangle se réunissent dans un point. Pour deux lignes médianes soyez les lignes correspondantes en ce qui concerne le tiers comme axe, et devez donc se réunir sur l'axe.

Un axe de biaiser-symétrie s'appelle généralement un diamètre. Ainsi chaque diamètre d'un conique est un axe de biaiser-symétrie, la direction conjuguée étant la direction des See also:

cordes qu'elle bissecte. § 20. Nous énonçons quelques propriétés de ces figures utiles en mécanique, mais nous omettons les preuves faciles: Si un See also:

SECTEUR

secteur plat a un axe de biaiser-symétrie, alors le masse-centre (centre des distances moyennes ou centre de l'inertie) se trouve là-dessus. Si une figure subit un cisaillement, le masse-centre de lui *. le secteur See also:

DEMEURE (de "demeurez," pour demeurer, correctement "pour attendre," au bide)

demeure le masse-centre; et généralement dans la projection parallèle les masse-centres des secteurs correspondants (ou des groupes de points, mais pas de courbes) sont les points correspondants. Le moment de l'inertie d'une figure plate ne change pas si la figure subit un cisaillement dans la direction de l'axe en ce qui concerne lequel le moment a été pris. Si une figure a un axe de biaiser-symétrie, alors cette direction de conjugé d'andthe d'axe sont les diamètres conjugués de l'See also:

ELLIPSE (adaptée comité technique de gr. d'EXkei ', une insuffisance, iXXeirely, pour tomber derrière)

ellipse momental pour chaque point à l'axe. Si une figure a un axe de symétrie, alors c'est un axe de l'ellipse momental pour chaque point dans lui. La vérité des dernières propositions suit immédiatement du fait que le produit de l'inertie pour les lignes en question disparaît. Elle est d'intérêt de noter comment un See also:

GRAND

grand beaucoup de propositions d'See also:

Euclid est seulement des cas spéciaux de projection. Les théorèmes Euc. I. 3541 au sujet des parallélogrammes ou des triangles sur les See also:

BASES

bases égales et entre les mêmes parallèles sont des exemples du cisaillement, de tandis qu'I.

43 donne un cas pareillement d'cE'f'See also:

g'h '= biaiser-symétrie de K'L'M'N, par conséquent de l'involution. Les figures qui sont identiquement égales sont naturellement projectives, et elles sont perspective une fois placées de sorte qu'elles aient un axe ou un centre de la symétrie (See also:

CFtc

cf. Henrici, une géométrie élémentaire, des figures conformes). Dans ce cas-ci encore la relation est See also:

CELLE

celle de l'involution. L'importance de traiter les figures semblables quand dans la perspective la position a été See also:

longtemps identifiée; nous devons seulement mentionner la proposition bien connue au sujet des centres du similitude des cercles. Applications à Conics. § 21. conique peut être projeté dans tout autre conique. Ceci peut être fait sur à de façon que trois points un conique et les tangentes à deux d'entre eux soient projetés trois points arbitrairement choisis et les tangentes à deux d'entre eux de l'autre. Si u et u 'sont n'importe quel conics deux, alors nous devons montrer que nous pouvons projet II de façon que cinq points là-dessus soient projetés aux points sur u '. Pendant que la projection est déterminée de dès que les projections quatre points quelconques ou quatre lignes seront choisies, nous ne pouvons projeter aucun cinq points d'u à cinq points arbitrairement choisis quelconques sur u '. Mais si A, B, C soit trois points quelconques sur u, et si les tangentes B et C se réunissent à D, si plus loin A ', B ', C 'sont trois points quelconques sur u ', et si les tangentes See also:

rassemblement à de B au 'et à C 'à D ', puis le See also:

plan de u peuvent être projetées au plan de u 'de façon que les points A, B, C, D soient projetés à A ', B ', C ', D '.

Ceci détermine la correspondance (§ i4). Le u conique sera projeté dans un conique, les points A, un B, un C et les tangentes BD et CD aux points A ', B ', C 'et les lignes B'D 'et C'D ', qui sont des tangentes à u 'B au 'et C '. La projection de u doit donc (§ 52 de G.) coïncident avec u ', parce que c'est un conique qui a trois points et les tangentes à deux d'entre eux en See also:

COMMUN

commun avec u '. De même nous pourrions avoir pris trois tangentes et les points de See also:

CONTACT (de dérivé par le toucher de vue un Teutonic commun et racine indo-germanique, cf. "traction subite," "repli," O. H. Ger. zucchen, à mouvement convulsif ou aspiration)

contact de deux d'entre eux comme correspondant aux éléments semblables de l'autre. Si celui conique soit un cercle qui coupe la ligne j, la projection coupera la ligne à l'infini dans deux points; par conséquent ce sera une See also:

hyperbole. De même, si le cercle touche j, la projection sera une parabole; et, si le cercle n'a aucun point en commun avec j, la projection sera une ellipse. Ces courbes apparaissent ainsi comme sections d'un cône circulaire, pour au cas où cela les deux plans de la projection seraient séparés les rayons projetant la See also:

FORME (forma de Lat.)

forme de cercle un tel cône. conique peut être projeté dans lui-même. En ce qui concerne si nous prenons n'importe quel point S dans le plan d'un conique comme centre, polaire de ce point comme axe de projection, et deux points quelconques dans lesquels une ligne par S coupe le conique en tant que points correspondants, alors ce seront les conjugés harmoniques le centre et l'axe. Nous avons donc l'involution (le § ii), et chaque point est projeté dans son conjugé harmonique en ce qui concerne le centre et l'axishence chaque point A sur le conique dans ce point A 'sur le conique dans ce que ligne SA 'coupe le conique encore, comme suit des propriétés harmoniques du See also:

POTEAU

poteau et polaire (§ 62 de G. seq.). Le conics deux qui a coupé la ligne à l'infini dans les mêmes deux points sont les figures et pareillement le centre semblables de situatedthe du similitude étant en général un See also:

CERTAIN

certain point fini. Pour prouver ceci, nous prenons la ligne à l'infini et aux asymptotes d'un comme correspondant à la ligne à l'infini et aux asymptotes de l'autre, et sans compter qu'une tangente au See also:

PREMIER, ou BONNE

premier comme correspondant à une tangente parallèle à l'autre. La ligne à l'infini correspondra alors à elle-même point pour le point; par conséquent les figures seront semblables et ont pareillement situé. § 22.

Des secteurs de la parabole parabolique de Segments.One peuvent toujours être considérés comme projection parallèle des autres de façon que deux points quelconques de A, B sur celui correspondent à deux points quelconques de A ', B 'de l'autre; c'est-à-dire, les remarques A, B et le point à l'infini sur celui peuvent être faites pour correspondre respectivement aux points A ', B 'et le point à l'infini de l'autre, tandis que les tangentes à A et à l'infini de celui correspondent aux tangentes à B 'et à l'infini de l'autre. Ceci détermine complètement la correspondance, et c'est projection parallèle parce que la ligne à l'infini correspond à la ligne à l'infini. Laissez les tangentes A et B se réunir à C, au et ceux à A ', B 'à C '; puis C, C correspondra, et ainsi voulez le ABC de triangles et A'B'C 'aussi bien que les segments paraboliques découpent par les cordes ab et A'B '. Si (ab) dénote le secteur du segment découpé par la See also:

corde ab nous avons donc (AB)/abc = (A'B')/a'b'c '; de l'ou le secteur d'un segment d'une parabole se tient dans un rapport constant au secteur de la triangle constituée par la corde le segment et les tangentes aux points finals de la corde. Si puis (fig. 8) nous joignons le point C au point médian M du ab, alors cette ligne l sera bissectée à D par la parabole (§ 74 de G.), et la tangente à D sera parallèle au ab laissez cette tangente couper le C.a. dans E et CB dans F, alors par le dernier théorème (ab) _ (See also:

ANNONCE

ANNONCE) (BD) ABCADE _ BFD = dans 'où m est un certain nombre à déterminer. La figure donne (ab) = ABD+(See also:

ADÉNINE

ad) +(bd). Combinant les deux équations, nous avons ABD=m (ABCADEBFD). Mais nous avons également ABD = ABC de z, et ADE = BFD = ABC 4; par conséquent ABC = ABC de m, ou m = g. Le secteur d'un segment parabolique égale deux-tiers par du secteur de la triangle constituée la corde et les tangentes aux points finals de la corde. § 23. Areas.To elliptiques considèrent une ellipse une projection parallèle des autres que nous pouvons établir la correspondance comme suit.

Si C.a., BD sont n'importe quelle paire de diamètres conjugués de celui et A'C ', B'D '. n'importe quelle paire de diamètres conjugués de l'autre, alors ceux-ci peut être faite pour correspondre entre eux, et la correspondance sera complètement déterminée si le parallélogramme formait par les tangentes à A, B, C, D est faite pour correspondre à cela constitué par les tangentes à A ', B ', C ', D '(§ 17 et 21 de §). À car la projection du premier conique a les quatre points de A ', B ', C ', D 'et les tangentes ces points en commun avec l'en second See also:

LIEU (Lat. pour l'"endroit"; dans des rinros de gr.)

lieu, les deux ellipses projet une dans l'autre. Leurs secteurs correspondront, et ainsi faites ceux des parallélogrammes ABCD et A'B'C'D '. Par conséquent le secteur d'une ellipse a un rapport constant au secteur de n'importe quel parallélogramme inscrit dont les diagonales sont les diamètres conjugués, et également à chaque parallélogramme entouré dont les côtés sont parallèles aux diamètres conjugués. Il suit immédiatement que tous les parallélogrammes inscrits dans une ellipse dont les diagonales sont les diamètres conjugués sont égaux dans le secteur; et tous les parallélogrammes ont entouré au sujet d'une ellipse dont les côtés sont parallèles aux diamètres conjugués sont égaux dans le secteur. Si a, b sont la longueur des semi-haches de l'ellipse, alors le secteur du parallélogramme entouré sera âb et de l'une étiquette inscrite. Pour le cercle du See also:

rayon r le parallélogramme inscrit devient la See also:

PLACE (par la place de vue de nicchia d'Ital., nicchio, coquille; probablement du mitulus de Lat., une mer-moule; cf. "serviette" de mappa)

place du secteur 2r2 et le cercle a l'arrière de secteur; le rapport constant d'une ellipse au parallélogramme inscrit a donc également la valeur IRE par conséquent le secteur d'un ABS d'égales d'ellipse -. le § 24. Les propriétés projectives de Properties.The de la projection d'une figure dépendent en See also:

PARTIE

partie de la position relative du planes•of les figures et le centre de la projection, mais principalement des propriétés de la figure donnée. Des points dans une ligne sont projetés dans les points dans une ligne, les points harmoniques dans les points harmoniques, un conique dans un conique; mais See also:

mettez en parallèle les lignes ne sont pas projetés dans les lignes parallèles ni les angles droits dans des angles droits, ni l'un ni l'autre sont les projections des segments ou de l'égale égaux d'angles encore. Il y a alors quelques propriétés qui demeurent inchangées par la projection, tandis que d'autres changent. Les anciens s'appellent projectifs, ou descriptifs, les dernières propriétés métriques des figures, parce que tous les derniers dépendent de la See also:

mesure. Une triangle et ses lignes médianes correspondent à une triangle et à trois lignes qui se réunissent dans un point, mais qui ne sont pas en règle générale les lignes médianes. Dans ce cas-ci, en tant que si nous prenons la triangle ainsi que la ligne à l'infini, nous obtenons la projection un ABC de triangle, et une autre ligne j qui coupe les côtés a, b, c de la triangle dans See also:

Al de points, B1, See also:

Cl.

Si nous prenons maintenant sur AVANT JÉSUS CHRIST le conjugé harmonique See also:

A2(z)

A2 à la AI et pareillement sur le CA et le ab l'See also:

HARMONIQUE

harmonique conjugue au See also:

Bi et ci respectivement, alors les lignes AA2, BB2, CC2 seront les projections des lignes médianes dans la figure donnée. Par conséquent ces lignes doivent se réunir dans un point. Pendant que la triangle et la quatrième ligne nous peuvent prendre quatre lignes données quelconques, parce que quatre lignes quelconques peuvent être projetées dans quatre lignes données quelconques (§ 14). Ceci donne un théorème: Si chaque See also:

SOMMET

sommet d'une triangle soit See also:

joint à ce point dans le côté opposé qui est, en ce qui concerne les sommets, le conjugé harmonique du point dans lequel le côté est coupé par une ligne donnée, alors les trois lignes ont ainsi obtenu le rassemblement dans un point. Nous faisons sortir ainsi du théorème spécial au sujet des lignes médianes d'une triangle plus général. Mais avant que ceci pourrait être fait nous avons dû ajouter la ligne à l'infini aux lignes dans la figure donnée. À d'une façon semblable un grand beaucoup de théorèmes concernant les propriétés métriques peut être généralisé en prenant la ligne l'infini ou les points à l'infini en tant que faire partie de la figure originale. Réciproquement des cas spéciaux concernant la mesure sont obtenus en projetant une certaine ligne dans une figure des propriétés connues à l'infini. See also:

Cela vaut pour toutes les propriétés concernant les lignes parallèles ou au bisection des segments, mais pas immédiatement pour des angles. Il est, cependant, possible d'établir pour chaque relation métrique la propriété projective correspondante. Pour faire ceci il est nécessaire de considérer les éléments imaginaires. Ceux-ci ont été à l'origine présentés dans la géométrie par l'aide de coordonnent la géométrie, où les quantités imaginaires se produisent constamment comme racines des équations. Leur introduction dans la géométrie pure est due principalement de See also:

PONCELET, VAINQUEUR DE JEAN (1788-1867)

Poncelet, qui par la publication de ses grandes figures de DES de DES Proprittes Projectives de Traite de travail est allé bien au fondateur de la géométrie projective dans son sens plus large. See also:

MONGE, GASPARD (1746-1818)

Monge avait considéré la projection parallèle et avait déjà distingué les propriétés permanentes et accidentelles des figures, dernier être ceux qui a dépendu simplement de la position accidentelle d'une See also:

PART (scearu de O. Eng., principalement dans composés, par exemple terre-scearu, une part de terre, du sceran à couper; cf. "cisaillement")

part à l'autre.

Ainsi dans le projet de deux cercles qui se situent dans différents avions il dépend de la position accidentelle du centre de la projection si les projections soient le conics deux qui font ou ne se réunissent pas. Poncelet a présenté le principe de la continuité afin de rendre des théorèmes généraux et indépendants de ces positions accidentelles qui dépendent analytiquement du fait que les équations utilisées ont de vraies ou imaginaires racines. Mais l'exactitude de ce principe est demeurée sans See also:

PREUVE (dans preove de M. Eng., proeve, preve, &°c., de O. Fr. prueve, proeve, &c., preuve de mod, tard. Proba, validation de Lat., pour prouver, examiner la qualité de n'importe quoi, le probus, bons)

preuve. Von Staudt a, cependant, montré comment il est possible de présenter les éléments imaginaires par le raisonnement purement géométrique, et nous essayerons maintenant de donner au lecteur une certaine idée de sa théorie. § 25. Elements.If imaginaire une ligne coupe une courbe et si la ligne soit déplacée, tourné par exemple environ un point dans lui, il peuvent se produire que deux des points d'approche d'intersection jusqu'à ce qu'ils coïncident. La ligne devient alors une tangente. Si la ligne lui est encore plus déplacée de la même manière sépare de la courbe et deux points d'intersection sont perdus. Ainsi en nous considérant la relation d'une ligne à un conique devons distinguer trois coupes de ligne de casesthe le conique dans deux points, contacts il, ou n'avons aucun point en commun avec lui. C'est tout à fait analogue le fait à qu'une équation quadratique avec une quantité inconnue a deux, un, ou aucunes racines. Mais dans l'algèbre il a été longtemps trouvé commode pour exprimer ceci différemment par le sayipg que une équation quadratique a toujours deux racines, mais ceux-ci peuvent être vraies et différentes, ou égale, ou elles peuvent être imaginaires. Dans la géométrie un See also:

MODE (adaptée du facere le facon de vue, l'agon, le factio de Lat., faisant, pour faire ou faire)

mode semblable d'exprimer le fait au-dessus d'indiqué n'est pas moins commode.

Nous disons que donc une ligne a toujours deux points en commun avec un conique, mais ce sont distinctes, ou coïncidentes, ou invisibles. Le mot imaginaire est généralement employé au lieu d'invisible; mais, car les points n'ont rien à faire avec l'See also:

IMAGINATION

imagination, nous préférons le mot "invisible" recommandé à l'origine par See also:

Clifford. Les points invisibles se produisent dans les paires de points conjugués, parce que une ligne perd toujours deux points d'intersection évidents avec une courbe simultanément. C'est analogue au fait qu'une équation algébrique avec de vrais coefficients a les racines imaginaires dans les paires. Seulement une vraie ligne peut être tracée par un point invisible, pour deux vraies lignes réunissez-vous dans un vrai ou évident point. La vraie ligne par un point invisible contient également son conjugé. De même il y a les linestangents invisibles, par exemple, d'un point dans un conicwhich produisez-vous dans les paires de conjugés, deux ugates de See also:

con ayant un vrai point en commun. L'introduction des points invisibles ne serait rien mais un See also:

jeu sur des mots à moins qu'il y ait une vraie propriété géométrique indiquée que puisse être employé dans le constructionsthat géométrique qu'il a une signification définie, par exemple, pour indiquer que le conics deux a coupé une ligne dans les mêmes deux points invisibles, ou que nous pouvons dessiner un trois vrais points traversants coniques et deux les invisibles qu'un autre conique a en commun avec une ligne qui ne la coupe pas réellement. Nous avons en fait pour donner une définition géométrique des points invisibles. Ceci est fait par l'aide de la théorie d'involution (§ 76 de G. seq.). Une involution des points sur une ligne a (selon le § 77 [ 2 ] de G.) deux ou un ou aucun foyers. Au lieu de ceci nous disons maintenant qu'il a toujours deux foyers qui peuvent être distincts, coïncidents ou invisibles. Ces foyers sont déterminés par l'involution, mais ils déterminent également l'involution.

Si les foyers sont vrais ceci suit du fait que les points conjugués sont les conjugés harmoniques en ce qui concerne les foyers. Que c'est également la caisse pour les foyers invisibles apparaîtra actuellement. Si nous prenons ceci actuellement pour accordé nous pouvons remplacer une paire de vrais, coïncidents ou invisibles points par l'involution de laquelle ils sont les centres. Maintenant deux paires quelconques de points conjugués déterminent une involution (§ 77 [ 61) de G.. Par conséquent n'importe quelle point-paire, si vrai ou invisible, est complètement déterminée par deux paires quelconques de points conjugués de l'involution qui a donné la point-paire comme foyers et peut donc être remplacée par eux. On dit qu'ainsi deux paires de points invisibles sont identiques si, et seulement si, elles sont les centres de la même involution. Nous savons que (§ 82 de G.) qu'un conique détermine sur chaque ligne une involution dans laquelle les points conjugués sont les poteaux conjugués en ce qui concerne le conicthat est, ce l'un ou l'autre se trouve sur le polaire de l'autre. Ceci tient si la ligne coupe le conique ou pas. En outre, à dans l'ancien cas les points communs la ligne et le conique sont les centres de l'involution. Par conséquent nous disons maintenant à que c'est toujours le cas, et à que les points invisibles communs une ligne et un conique sont les centres invisibles de l'involution en question. Si alors nous énonçons le problème de dessiner un conique qui traverse deux points donnés comme intersection d'un conique et une ligne comme qui de dessiner un conique qui détermine une involution donnée sur la ligne, nous l'avons See also:

sous une forme dans laquelle il est indépendant de la circonstance accidentelle des intersections étant vraies ou invisibles. Est ainsi la See also:

SOLUTION (du solvere de Lat., pour se desserrer, dissolvez)

solution du problème, car nous montrerons maintenant.

§ 26. Nous avons vu (§ 21) qu'un conique peut toujours être projeté dans lui-même en prenant n'importe quel point S comme centre et son s polaire comme axe de projection, les points correspondants étant ceux dans lesquels une ligne par S coupe le conique. Si puis (fig. 9) A, A 'et B, B 'sont des paires de points correspondants à de sorte que les lignes aa 'et BB 'passage par S, alors les lignes ab et A'B ', en tant que lignes correspondantes, se réuniront un point R sur l'axe, et les lignes ab 'et A'B se réunira à un autre point R 'sur l'axe. Ces points R, R 'sont les points conjugués dans l'involution que le conique détermine sur la ligne s, 433 parce que la triangle RSR 'est une triangle polaire (§ 62 de G.), de sorte que R 'se trouve sur le polaire de R. Ceci donne des moyens simples de déterminer pour n'importe quel point Q sur la ligne s son point conjugué Q '. Nous prenons deux points quelconques de A, A 'sur les coniques qui se trouvent sur une ligne par S, joignent Q à A par une ligne coupant le conique 'encore en C, et joignent C à A '. Cette ligne coupera s dans le point Q 'exigé. Pour dessiner un certain conique qui déterminera sur une ligne s une involution donnée. Nous avons ici pour reconstruire fig. 9, ayant donné sur la ligne s une involution. Laissez Q, Q '_ et _ R, R '(fig. 9) soit deux paires de points conjugués dans cette involution de C. Nous prenons n'importe quel point B et joignons lui R et R ', et un point différent à C à à Q et à Q '.

Laissez le BR et la QC se réunir à A, et le BR 'et la QC 'à A '. Si maintenant un point P soit déplacé le long de s que son point conjugué P 'déplacera également et les deux points décriront des rangées projectives les deux rayons AP et A'P 'décrira donc les crayons projectifs, et l'intersection des rayons correspondants se trouvera sur un conique que les perches par A, A ', B et C. This conique détermine sur s l'involution donnée. De ces quatre points non seulement de B et C mais également le point A peut être pris arbitrairement, pour si A, B, C sont donnés, la ligne ab coupera s dans un certain point R. As l'involution est supposé connu, nous pouvons trouver le point R 'conjugé à R, que nous joignons au B. de la même manière que la ligne CA coupera s dans un certain point conjugué Q de Q. Its de point 'nous nous joignons à la QC de ligne de C. The 'couperons le BR 'dans un point A ', et alors le aa 'traversera le poteau S (cf. fig. 9). Nous pouvons maintenant échanger A et B et trouver le point B '. Alors BB 'traversera également S, qui est ainsi trouvé. En même See also:

temps cinq points de A, B, C, A ', B 'sur le conique ont été trouvés, de sorte que le conique soit complètement connu ce qui détermine sur la ligne s l'involution donnée. Par conséquent par trois points nous pouvons toujours dessiner un conique, et seulement un, qui déterminent sur une ligne donnée une involution donnée, tout le même si l'involution a de vrais, coïncidents ou invisibles foyers. Dans le dernier cas le théorème peut être maintenant également énoncé ainsi: Il est toujours possible de dessiner un conique qui traverse trois vrais points donnés et à travers deux points invisibles que tout autre conique a en commun avec à travers une ligne. § 27. La théorie ci-dessus de points invisibles provoque un grand nombre de conséquences intéressantes, dont nous énonçons quelques uns.

Le théorème à l'extrémité du § 21 peut maintenant être énoncé que n'importe quel conics deux sont semblable et pareillement situé si elles coupent la ligne à l'infini dans les mêmes deux pointsreal, coïncidents ou invisibles. Il suit que deux paraboles quelconques sont semblables; et elles sont pareillement situées dès que leurs haches seront parallèles. L'involution qu'un cercle détermine à son centre est circulaire (§ 79 de G.); c'est-à-dire, chaque ligne est perpendiculaire à sa ligne conjuguée. Ceci sera coupé par la ligne à l'infini dans une involution qui a la propriété suivante: Les lignes qui joignent n'importe quel point fini à deux points conjugués dans l'involution sont perpendiculaires entre eux. Par conséquent toutes les involutions circulaires dans un avion déterminent la même involution sur la ligne à l'infini. Le dernier s'appelle donc l'involution circulaire sur la ligne à l'infini; et l'involution qu'un cercle détermine à son centre s'appelle l'involution circulaire à ce point. Tous les cercles déterminent ainsi sur la ligne à l'infini la même involution; en d'autres termes, ils ont les mêmes deux points invisibles en commun avec la ligne à l'infini. Des cercles de ml peuvent être considérés comme passant par les mêmes deux points à l'infini. Ces points s'appellent les points circulaires à l'infini, et par See also:

PROFESSEUR (le nom latin a formé du profiteri de verbe, pour déclarer publiquement, pour reconnaître, professent)

professeur See also:

CAYLEY, ARTHUR (1821-1895)

Cayley l'See also:

ABSOLU (absolvere de Lat., pour desserrer, placer librement)

absolu dans l'avion. Ils sont les centres de l'involution circulaire dans la ligne à l'infini. ConverselyEvery conique qui traverse les points circulaires est un cercle; parce que l'involution à son centre est circulaire, par conséquent les diamètres conjugués sont perpendiculaires, et les cercles de cette propriété seulement possèdent. Nous voyons maintenant pourquoi nous pouvons tracer toujours un et seulement un cercle par trois points quelconques; ces trois points ainsi que les points circulaires à l'infini sont cinq points par lesquels un conique seulement peut être dessiné. Deux cercles quelconques sont semblables et pareillement situés parce qu'ils ont les mêmes points à l'infini (§ 21). Deux cercles concentriques quelconques peuvent être considérés en tant qu'ayant le See also:

double contact à l'infini, parce que les lignes joignant le centre commun aux points circulaires à l'infini sont des tangentes aux deux cercles aux points circulaires, car la ligne à l'infini est la polaire du centre.

Deux lignes quelconques perpendiculairement à une une autre sont les conjugés harmoniques en ce qui concerne les rayons joignant leur intersection aux points circulaires, parce que ces raies sont les raies focaux de l'involution circulaire à l'intersection des lignes données. Pour bissecter un angle avec les moyens du sommet A (§ 23 de G.) de trouver deux rayons par A qui sont les conjugés harmoniques en ce qui concerne les See also:

LIMITES, BATTRE

limites l'desangle et perpendiculaire entre eux. Ces rayons sont donc harmonique en ce qui concerne les limites de l'angle donné et en ce qui concerne les rayons par les points circulaires. Ainsi le perpendicularity et le bisection d'un angle ont été énoncés sous une forme projective. Il ne doit pas oublier que les points circulaires n'existent pas du tout; mais les présenter nous donnent un See also:

chemin court de faire un rapport qui serait autrement long et cumbrous. Nous pouvons maintenant généraliser n'importe quel théorème concernant les propriétés métriques. Par exemple, le fait See also:

SIMPLE

simple que la corde d'un cercle est touchée par un cercle concentrique à son See also:

mi point prouve le théorème si le conics deux ont le double contact, alors les points où n'importe quelle tangente à un d'elles des coupes l'autre sont harmonique en ce qui concerne le point de contact et le point où la tangente coupe la corde du contact. (0.

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