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CALCUL DE

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À l'origine apparaissant en volume V08, page 764 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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CALCUL DE . Avant de laisser à cette matière See also:

le raccordement du principe de l'See also:action stationnaire avec un théorème bien connu de systeme See also:optique peut être noté. Pour le See also:mouvement d'une particule dans un See also:domaine See also:conservateur de la force le principe prend la See also:forme S f vds=0.. (à) sur la théorie corpusculaire de lumière v est proportionnel à l'See also:indexµ réfringent du See also:milieu, d'où S f ADS = 0.. . . (ii) Dans la See also:formule (2) l'énergie dans le mouvement hypothétique est prescrite, tandis que la période du passage de l'initiale au figuration final de See also:con- est variable. Dans See also:des autres et généralement plus de théorème commode de See also:Hamilton, dû à Hamilton, la période du prin- d'Ian de passage est prescrite pour être identique que dans le mouvement réel, tandis que ciple. l'énergie peut être différent et n'a pas besoin (en effet) soyez constant. Dans See also:ces conditions nous avons le t'(T V)dt de s f = 0. . (12) C où t, t 'sont See also:les See also:temps prescrits du dépassement par les See also:configurations initiales et finales indiquées. La See also:preuve de (12) est See also:simple; nous avons le t(TV)dt de SJ = le f: (STSV)dt = f i (Mm(±U ySj/+ibi)SV}dt = [ Em(isx+ioy+zoz) ] "t f: ' décollement de 12m (lax+pay+2Sz) +sv }. Les See also:limites intégrées disparaissent aux deux limites, puisque par hypothèse les configurations à ces instants sont fixes; et les limites See also:sous le signe intégral disparaissent par le principe des d'See also:Alembert. Le fait qui dans (12) la variation n'affecte pas la période du passage rend la formule facile de l'application dans n'importe quel système de coordonne. Ainsi, pour déduire les équations de See also:Lagrange, nous avons f (STSV)dt = aq SQL de f/aq Sq+a4... décollement = [ p1Sq+p2Sg2+...

] o '_ il "1 (P1_aq +aq) Eqi+ (1~àQz+aQ2 Eq2+... dt.(14) que les limites intégrées disparaissent aux deux limites; et pour que le See also:

reste du See also:membre droit puisse disparaître il est nécessaire que les coefficients de SQ1, Sq2... sous le signe intégral devraient disparaître pour toutes les valeurs t, de puisque les See also:variations de la question sont indépendantes. et sujet seulement à l'état de l'disparaition aux limites de l'intégration. Nous sommes ainsi menés à l'équation de Lagrange du mouvement pour un système conservateur. Il s'avère que la formule (12) est une commode aussi bien qu'une See also:incorporation compacte de la totalité de See also:dynamique See also:ordinaire. La modification du principe hamiltonien approprié à la caisse de systèmes cycliques a été donnée par J. Larmor. See also:Prolongation si nous écrivons, comme dans le § 1 (25), aux systèmes cycliques. R=tkx-k'x'-k"x "..., . (15) nous aurons de (RV)dt=0. c à condition que la variation n'affecte pas les élans cycliques s, K ', K ",..., et ce les configurations parfois t et t 'sont inchangés, autant qu'ils dépendent du palpable coordonne le qi, gm• de gz... l'initial et les valeurs finales du ignoré coordonne en général seront affectées. Pour nous prouver (16) avons, sur les understandings ci-dessus, S f: (R V)dt = f (STKEX... SV)dt t 'à OT = f (a-Eq~+... +ag-Oa'+...

- EV) DL. (les limites 17)where ont été décommandées dans la vertu du § 5 (2). Le dernier membre de (17) représente une variation du t'(TV)dt intégral de f sur la supposition qui SX=o, 3X'= o, SX"=o... partout, tandis que Sqi, Sq2, Sqm disparaissent parfois t et t '; c.-à-d. c'est une variation dans laquelle les configurations initiales et finales sont absolument inchangées. Il disparaît donc par See also:

suite du principe hamiltonien sous son forme originale. Larmor a également donné la forme correspondante du principe de moindre action. Il See also:montre See also:cela si nous écrivons A = f (...)dt 2TKXKX'. (18) puis à = 0. . (19) a fourni le mouvement See also:divers a See also:lieu avec la même valeur See also:constante de l'énergie, et avec les mêmes élans cycliques constants, entre les mêmes deux configurations, ces being considéré comme défini par le palpable See also:seul coordonne. § 8. Les See also:principales et caractéristiques fonctions de Hamilton. Dans les investigations à côté de soyez décrit une signification plus prolongée est donné au See also:symbole S. We que la volonté, en See also:premier lieu, dénotent par lui une variation infinitesimal de la sorte générale la plus principale, affectant pas simplement les valeurs des ordonnées de fonction de Co à l'instant, mais les configurations également initiales et finales et les temps du dépassement par eux.

Si nous mettions t'(TV)dt de s = de f. (1) nous avons, puis, le ` de SS=(T'V')See also:

St'(TV)St+ f (STSV)dt _ (T'V ') à '(T V) St+ [ See also:fin de See also:support (AEx+See also:DEy+zOz) ]. (2) laissez-nous dénotent maintenant par x'+Sx ', y'+See also:Sy ', z'+Ez ', la See also:finale coordonne (c.-à-d. à temps t'+St ') d'un m. de particules dans les limites dans (2) qui se relient à la See also:limite supérieure que nous devons donc écrire Ox'x'St ', la 6z'2'St 'pour Sx, Sy, Sz. Avec une modification semblable à la limite inférieure, nous obtenons des solides solubles = HSr+gym (x'Sx'+y'Sy'+t'Sz ') Em(tOx+iOy+zEz). . (3) où H(=t+v) est la valeur constante de l'énergie dans le mouvement See also:libre du système, et le r(=t't) est la période du passage. Dans généralisé coordonne ceci prend la forme des solides solubles = HSr+p'lOq'i+p'23q'2+... piEgipÈg2..... (4) maintenant si nous choisissons deux configurations arbitraires quelconques comme initiales et finales, il est évident que nous bidon en général (par des vitesses initiales appropriées ou des impulsions) le début le système de sorte qu'il de lui-même passage dès le début à la seconde dans n'importe quelle See also:heure prescrite r. sur See also:cette vue de la matière, S sera une fonction de l'initial et la finale coordonne (qi, q2... et q'l, q'2...) et le temps r, en tant que variables indépendantes. Et nous obtenons immédiatement à partir de (4), comme à mesure que P _, l'aq, y'2 = + See also:a2..., See also:OS comme See also:pi = - l'agl, le p2=-age..., et le H = ou le S s'appelle par Hamilton la fonction principale; si sa forme générale pour n'importe quel système peut être trouvée, les équations précédentes suffisent pour déterminer le mouvement résultant de toutes les conditions données. Si nous substituons les valeurs de p, p2... et H (5) et (6) dans l'expression pour l'énergie cinétique sous la forme T '(voir le § I), l'équation TI+v=h (7) devient une équation partielle à satisfaire par S. It a été montré par See also:Jacobi de que le problème dynamique se résout en obtention "accomplissent" la See also:solution de cette équation, impliquant des constantes arbitraires de n+I. Cet See also:aspect du sujet, comme problème dans des équations partielles, a suscité la grande See also:attention aux mains des mathématiciens, mais doit être passé ici.

Il y a une théorie semblable pour la caractéristique de la fonction (8) qu'elle suit de (4) qui fonction. SA = rSH+p'iOq'i+p'2Sq'z+... le piOgi pÈ42 (9) cette formule (il peut remarquer) contient le principe de "moins. (13). (16) • (5). (6) A = 2 fTdt=S+Hr.. . action "comme See also:

cas See also:particulier. Choix, comme avant, deux configurations arbitraires quelconques, il est en général possible de commencer le système d'un de ces derniers, avec une valeur prescrite de toute l'énergie H, de sorte qu'il traverse l'autre. Par conséquent, concernant A en fonction en fonction l'initial et finale coordonne et l'énergie, nous trouvons le pi=aq de aa aa, r p2=aq,..., aa aa pi = - dql; Pi = - h,... A s'appelle par Hamilton la fonction caractéristique; il représente, naturellement, l'"action" du système dans le mouvement libre (avec de l'énergie prescrite) entre les deux configurations. Comme S, il satisfait une équation partielle, obtenue par la substitution de (I o) en (7). Les théorèmes précédents sont facilement adaptés à la caisse de systèmes cycliques.

Nous avons écrire seulement S = f: (R-V)dt = f: (-V)dt de T-KX-K',y''-.... (12) au lieu de (i), et A = f (...)dt 2T-KXK'X'-. . . (3) au lieu de (8); See also:

cf. aileron d'See also:annonce du § 7. On le comprend, naturellement, que dans (12) S est considéré en fonction de l'initial et les valeurs finales du palpable coordonne q2... q,, et de la période du passage r, les élans cycliques étant invariables. De même dedans (13), A est considéré en fonction des valeurs initiales et finales du qi, Q2... GM, et de toute l'énergie H, avec les élans cycliques invariables. On constatera on comprenne que que les formes de (4) et de (9) seront conservées, fourni les variations 6q1, Sq2... à se rapporte au palpable seul coordonne. Il suit que les équations (5), (6) et (E/S), (ii) prise immobile sous les See also:nouvelles significations des symboles. 9. Propriétés réciproques des mouvements directs et renversés. Nous pouvons utiliser la fonction principale de Hamilton pour prouver très une formule remarquable de La reliant mouvements normaux deux de See also:grange légèrement dérangés quelconques du système.

Phoenix-squares

Si nous employons les symboles forma/a. S et I pour dénoter les variations correspondantes, le théorème est See also:

dtZ(bpr.See also:Agr opr.bgr) = 0; . ou de t d'intégration à t ', Aq'r-Aq'r.bq'r) = Z(Spr.Agr-Apr•Sq). si pour le shortness nous écrivons un â. (r, s) = s ') = le qr See also:g,e, agraq de aa, nous avons bQr=s)Sq.-E, le (r, s')5g '. . . (4) avec une expression semblable pour avr. par conséquent le côté droit de (2) devient le s)Sq, +E, (r, s')Sq', }~qr Er}£. r, s).q., +E, (r, s')Oq', 15gr = 2r2, (r, s')(Sgr..7q', -ogr.bq ', }. . (5) la valeur de •same est obtenue de manière semblable pour l'expression sur la See also:main See also:gauche de (2); par conséquent le théorème, qui, sous la forme (i), est dû à Lagrange, et a été utilisé par lui comme See also:base de sa méthode de traiter la théorie dynamique de variation des constantes arbitraires. La formule (2) mène immédiatement à quelques relations réciproques remarquables qui ont été exprimées la première fois, sous leur forme complète, par See also:Helmholtz. Considérez n'importe quel mouvement normal d'un système conservateur entre deux configurations 0 et 0'par lequel il See also:passe parfois t et t 'respectivement, et laissez I'-t=r. Comme le système traverse 0 laissez un See also:petit See also:point d'ébullition d'See also:impulsion, soyez- donnélui, et laissez le changement conséquent de la coordination q, après le temps r soit carré '. considèrent après le mouvement renversé du système, dans lequel il , si See also:calme, passage de 0 'à 0 du même temps r. a laissé un petit PS d'impulsion ', soit appliqué comme le système traverse 0 ', et a laissé le changement conséquent du qr de coordination après un moment r être le premier théorème de Sqr. Helmholtz's est de sorte que Sqr: point d'ébullition ', = bq ',: Spr• (6) pour prouver ceci, supposent, en (2), que tous les carrés disparaissent, et de même tout le PS excepté le point d'ébullition. de plus, supposent tout l'Aq 'pour disparaître, et de même tout le 'à moins qu'See also:op '"la formule donne alors le bpr•Ogr = - Ap'op, '" (7) Carré ce qui est équivalent au résultat de Helmholtz, puisque nous pouvons supposer le symbole A pour se rapporter au mouvement renversé, si nous 763 changeons les signes de l'op. Dans le mouvement le plus général d'un dessus (MÉCANIQUE, § 22), supposez qu'un petit See also:couple impulsif au sujet de la verticale produit après qu'un moment r un changement S8 de la inclination de l'See also:axe, le théorème affirme cela dans le mouvement renversé que un couple impulsif égal dans le See also:plan de 8 produira après qu'un moment r un changement SIP, de l'See also:azimut de l'axe, qui est égal à M.

It soit compris, naturellement, que les couples n'ont aucun composant (dans le See also:

sens généralisé) à moins que des types ait indiqué; par exemple, ils peuvent consister en chaque cas d'une force appliquée au dessus à un point de l'axe, et de la réaction associée au See also:pivot. Encore, dans la théorie corpusculaire de lumière laissez 0, de soyez deux See also:points quelconques sur l'axe d'une See also:combinaison optique symétrique, et laissez V, V'soit les vitesses correspondantes de la lumière. À 0 laissez une petite impulsion être perpendiculaire appliquée à l'axe afin de produire un débattement angulaire AINSI, et laissez être la déviation latérale correspondante à 0'. De manière semblable dans le mouvement renversé, laissez un petit débattement AINSI 'à 0 'produits une déviation de See also:partie latérale (3 au théorème de O. The (6) affirme que R V~-=Vbe ou, en See also:langue optique, "la distance apparente" de 0 de 0 'est à celui de 0 'de 0 dans le rapport des indices de réfraction derrière 0 'et derrière 0 respectivement. Dans le deuxième théorème réciproque de Helmholtz la See also:configuration O est légèrement changée par un changement carré, - dans un des See also:Barre-ordonnées de Co, les élans étant tou'inchangés, et carrés '. est ho/tz's la variation conséquente d'un des élans après que la deuxième fois T. Similarly dans le 'mouvement renversé un PS de changement ', réciproque produise après le temps r un changement d'élan Spr. Le théorème de théorème affirme ce See also:Sp',:Sgr=Spr:Sq '. . (9) ceci suit immédiatement de (2) si nous imaginons tout le PS pour disparaître, et de même tout le carré économiser Sqr, et si (plus loin) nous imaginons tout l'op 'pour disparaître, et tout l'Oq See also:principal 'économiser Aq '. retournant à l'See also:illustration optique, si F, F ', soit des foyers, nous pouvons impliquer que la convergence à F 'd'un See also:faisceau parallèle de F est à la convergence à F d'un faisceau parallèle de F 'dans le rapport See also:inverse des indices de réfraction à F 'et F. This est équivalent à la relation du See also:gauss entre les deux principales longueurs focales d'un optique See also:instrument. Il peut être obtenu autrement comme cas particulier de (8).

Nous avons nullement épuisé les inférences à tirer de la formule de Lagrange. Il peut noter que (6) inclut en tant que diverses relations réciproques importantes de cas particuliers dans le systeme optique et See also:

acoustique formulée par R. J. E. See also:Clausius, Helmholtz, See also:Thomson (See also:seigneur See also:Kelvin) et See also:Tait, et seigneur See also:Rayleigh. Dans l'application le soin de théorème doit être pris cela dans le mouvement renversé que l'See also:inversion est complète, et se prolonge à chaque See also:vitesse dans le système; en particulier, dans un système cyclique les mouvements cycliques doivent être imaginés pour être renversés avec le See also:repos. Des exemples remarquables de l'échec du théorème par l'inversion inachevée sont eus les moyens par la See also:propagation du See also:bruit dans un See also:vent et la propagation de la lumière dans un milieu magnétique. Il peut être intéressant de préciser, cependant, qu'il n'y a aucune une telle See also:limitation à l'utilisation de la formule de Lagrange (1). En s'appliquant l'aux systèmes cycliques, il est commode de présenter les conditions déjà établies, à savoir que coordonne q, sont les palpables coordonnent et qui les élans cycliques sont invariables. L'inférence spéciale peut alors être dessinée comme avant, mais l'interprétation ne peut pas être exprimée tellement d'une manière ordonnée dû à la non-réversibilité du mouvement. Le der de DES Prinzips de Bedeutung de physikalische de See also:matrice d'Uber kleinsten l'action, "Crelle, See also:vol. c., 1886, réimprimé (avec d'autres papiers apparentés) dans Wiss. Abh. vol.

III. (See also:

Leipzig, 1895); J. Larmor, "Sur Moindre Action," Proc. Lond. Maths. Soc. vol. xv (1884); E. T. Whittaker, Dynamique See also:Analytique (See also:Cambridge, 1904). Quant à la question de la stabilité, la référence peut être faite à H. See also:Poincare, "Sur les maths vol. vii. (1885) d'acta de d'un mouvement de animee fluide masse le d'une 1'equilibre rotation"; F. See also:Klein et A.

See also:

Sommerfeld, DES Kreisels, spécialiste de Theorie. I, 2 (Leipzig, 1897-1898); A. Lioupanoff et J. Hadamard, Liouville, 5me serge, vol. iii. (1897); T. J. I. Bromwich, Proc. See also:Terre. Maths. Soc. vol. xxxiii. (1901).

Une interprétation remarquable de divers principes dynamiques est donnée par H. See also:

Hertz dans son der See also:posthumous Mechanik (Leipzig, dont 1894) de Prinzipien de matrice de travail, une See also:traduction en See also:anglais est apparue en 1900. (H. Ls.) et aa r-oh. (E/S). (ii) Les théorèmes réciproques de Helmholtz.

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