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MAXIMUM ET MINIMUM

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À l'origine apparaissant en volume V17, page 920 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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MAXIMUM ET MINIMUM , dans See also:

les mathématiques. Par la valeur maximum ou minimum d'une expression ou d'une quantité est signifié principalement l'"plus See also:grand" ou "moindre" valeur qu'elle peut recevoir. En général, cependant, il y a See also:des See also:points auxquels sa valeur cesse d'augmenter et commence à diminuer; sa valeur à un tel See also:point s'appelle un maximum. Donc il y a des points auxquels sa valeur cesse de diminuer et commence à augmenter; une telle valeur s'appelle un minimum. Il peut y avoir plusieurs maximum ou minimum, et un minimum n'est pas nécessairement moins qu'un maximum. Par exemple, l'expression (x2+x+ 2)/(x I) peut prendre toutes les valeurs de 00 à 1 et + de 7 à +, mais a, à condition que x soit vrai, aucune valeur entre -1 et + 7. Ici -1 est une valeur maximum, et + 7 est une valeur minimum de l'expression, bien qu'elle puisse être rendue plus grande ou moins que n'importe quelle quantité assignable. La première méthode générale d'étudier des maximum et des minimum semble avoir été éditée dans A.d. 1629 par See also:Pierre See also:Fermat. Des See also:cas particuliers avaient été discutés. Ainsi See also:Euclid en See also:livre III. des éléments trouve les plus grandes et moindres droites See also:lignes qui peuvent être tracées d'un point à la circonférence d'un See also:cercle, et en livre VI. (dans une proposition généralement omise des éditions de ses travaux) trouve See also:le parallélogramme du plus grand See also:secteur avec un périmètre donné. See also:Apollonius a étudié le plus grand et moindres distances d'un point du périmètre d'une See also:section conique, et les a découvertes pour être les normals, et que leurs pieds étaient les intersections du conique avec une See also:hyperbole rectangulaire. Quelques théorèmes remarquables sur des secteurs maximum sont attribués à Zenodorus, et préservés par Pappus et See also:Theon d'See also:Alexandrie.

Les plus remarquables d'eux sont les suivants: I. Des polygones de n dégrossit avec un périmètre donné que le See also:

polygone régulier enferme le plus grand secteur. 2. De deux polygones réguliers du même périmètre, See also:cela avec le nombre plus grand de côtés enferme le secteur plus grand. 3. Le cercle enferme un plus grand secteur que n'importe quel polygone du même périmètre. 4. La See also:somme des secteurs de deux triangles isocèles sur les See also:bases indiquées, la somme laquelle des périmètres est donné, est la plus grande quand les triangles sont semblables. 5. Des segments d'un cercle de périmètre donné, le See also:demi-cercle enferme le plus grand secteur. 6 la sphère est la See also:surface du secteur donné qui See also:joint le plus grand See also:volume. See also:Serenus d'Antissa a étudié le problème trifling légèrement de trouver la triangle du plus grand secteur dont les côtés sont constitués par les intersections avec la See also:base et la surface incurvée d'un cône circulaire droit d'un See also:avion dessiné par son See also:sommet.

Le prochain problème sur les maximum et les minimum desquels il semble y avoir n'importe quel See also:

disque se produit dans une See also:lettre de See also:Regiomontanus à Roder (See also:juillet 4, 1471), et est un exemple numérique See also:particulier du problème de trouver le point sur une See also:ligne droite donnée à laquelle deux donnés subtend de points un See also:angle maximum. N. See also:Tartaglia dans son trattato de général numeri et mesuri (c. 1556) donne, sans See also:preuve, une règle pour diviser un nombre en deux parts tels que le produit continu des See also:nombres et de leur différence est un maximum. Fermat a étudié des maximum et des minimum au See also:moyen du principe qui à proximité d'un maximum ou d'un minimum les différences des valeurs d'une fonction sont insensibles, d'une méthode pratiquement les mêmes que cela du calcul différentiel, et d'une grande utilité en faisant face aux maximum et aux minimum géométriques. Sa méthode a été développée par See also:Huygens, See also:Leibnitz, See also:newton et d'autres, et en particulier par See also:John Hudde, qui a étudié des maximum et des minimum de fonctions de plus que celles variable indépendante, et a fait une certaine See also:tentative de distinguer entre les maximum et les minimum, une question d'abord certainement réglée, autant qu'une variable est concernée, par See also:Colin See also:Maclaurin dans son traité sur Fluxions (1742). La méthode de calcul différentiel s'est perfectionnée par See also:Euler et See also:Lagrange. Le problème célèbre de John See also:Bernoulli du "See also:brachistochrone," ou de la courbe de la descente la plus See also:rapide d'un point à l'autre See also:sous l'See also:action de la pesanteur, proposée en 1696, a provoqué un nouveau genre de problème maximum et minimum dans lequel nous devons trouver une courbe et pas des points sur une courbe donnée. De See also:ces problèmes a résulté le "calcul des See also:variations." (Voir des VARIATIONS, le CALCUL DE.) Les seules méthodes d'attaque générales des problèmes sur des maximum et des minimum sont ceux du calcul différentiel ou, dans des problèmes géométriques, ce qui est pratiquement la méthode de Fermat. Quelques problèmes peuvent être résolus par algèbre; ainsi si le y=f (x) = 4) (x), où f (x) et 4) (x) sont des polynômex dans x, les See also:limites aux valeurs de y peut être trouvé de la considération que l'équation y4) (le x)f (x) = le o doivent avoir de vraies racines. C'est une méthode utile dans le cas dans lequel 4) (x) et f (x) sont des équations quadratiques, mais à peine jamais dans n'importe quel autre cas. Le problème de trouver le produit maximum des quantités positives de n dont la somme est indiquée peut également être trouvé, algébriquement, ainsi. Si a et b sont deux vraies quantités inégales quelconques quoi que { 2(a+b)}2&See also:amp;gt;See also:ab, de sorte que nous puissions augmenter le produit laissant la somme inchangée en remplaçant deux limites quelconques par moitié de leur somme, et à condition que n'importe quels deux des quantités sont inégaux nous peut augmenter le produit.

Maintenant, les quantités étant tout positives, le produit ne peuvent pas être augmentées sans See also:

limite et ne doivent quelque See also:part atteindre un maximum, et aucune autre See also:forme du produit que ce dans lequel ils sont tous égaux peut être le maximum, de sorte que le produit soit un maximum quand ils sont tous égale. Sa valeur minimum est évidemment zéro. Si la restriction que toutes les quantités seront positives est enlevée, le produit peut être rendu égal à n'importe quel quantité, positif ou négatif. De tellement autres théorèmes d'algèbre, qui sont énoncés comme théorèmes sur des inégalités, peuvent être considérés comme les solutions algébriques des problèmes sur des maximum et des minimum. Pour des questions purement géométriques la seule méthode générale disponible est pratiquement cela utilisée par Fermat. Si une quantité dépend de la position d'un See also:certain point P sur une courbe, et si sa valeur est égale à deux points voisins P et P ', puis à une certaine position entre P et P 'elle atteint un maximum ou un minimum, et See also:cette position peut être trouvée en faisant approche de P et de P l''indéfiniment. Prenez par exemple le problème de Regiomontanus "pour trouver un point sur une ligne droite donnée qui des subtends un angle maximum à deux points donnés A et B." Laissez P et P 'être deux points proches sur la ligne droite donnée tels que les angles APB et AP'B sont égaux. Puis See also:mensonge d'cAbpp 'sur un cercle. En faisant approche de P et de P l''nous voyons que pour une valeur maximum ou minimum de l'angle APB, P est un point dans lequel un cercle tracé par le ab touche la ligne droite donnée. There+are deux de tels points, et à moins que la ligne droite donnée soit perpendiculaire au ab les deux angles obtenus ne sont pas identiques. On le See also:voit facilement que les deux angles sont des maximum, un pour des points sur la ligne droite donnée d'un côté de son intersection avec le ab, l'autre pour des points de l'autre côté. Pour d'autres exemples de cette méthode ainsi que la plupart des autres problèmes géométriques sur des maximum et des minimum de n'importe quel intérêt ou importance le lecteur peut consulter un livre tel que la See also:suite de A de J. W. See also:Russell's à la géométrie élémentaire (See also:Oxford, 1907).

La méthode de calcul différentiel est théoriquement très simple. Laissez u être une fonction de plusieurs variables x1, x2, x3... x, supposé pour le présent indépendant; si u est un maximum ou un minimum pour l'ensemble de valeurs x1, x2, x3... x,, et u devient u+See also:

Su, quand XI, x2, x3. . le x"reçoivent des 'petits incréments Soh, 8x2. . . 6x,; alors Su doit avoir le même signe pour toutes les valeurs possibles de 8x1, 8x2. &e. 2 z maintenant Su=1bz1Sxi+ Ebzi20x12+ÈSxIbx2Sx18x2. . +. . Le signe de cette expression en général est celui d'E(Su/Sxi)Sxi, qui ne peut pas un-être signé quand XI, x2... le x"peut prendre toutes les valeurs possibles, pour un ensemble d'incréments 8x1, 8x2... Le U. donnera un signe opposé au setSxi, 0x2... Sx. par conséquent E(See also:bu/oxi)Sxi doit disparaître pour tous les ensembles d'incréments Sxi. . .

Phoenix-squares

Sx ", et puisque ce sont indépendants, nous devons avoir bu/0x1=o, Su/0x2=o, Su/Sx"=o. Une valeur de u indiquée par un ensemble de solutions de ces équations s'appelle "une valeur See also:

critique" de u. que la valeur des Bu devient maintenant 3 Eaz 22 8x32+2 Z; pour qu'u soit un maximum ou un minimum ceci doit avoir toujours le samesign. Pour le cas d'une variable See also:simple X, correspondant à une valeur de x donnée par l'équation du/dx=o, u est un maximum ou un minimum car dù/dx2 est négatif ou positif. Si dù/dx2 disparaît, alors il n'y a aucun maximum ou minimun à moins que dú/dx3 disparaisse, et il y a un maximum ou un minimum selon que dû/dx4 est négatif ou positif. D'une façon générale, si le See also:premier coefficient différentiel qui ne disparaît pas est égal, il y a un maximum ou un minimum selon que c'est négatif ou positif. S'il est See also:impair, il n'y a aucun maximum ou minimum. Dans le cas de plusieurs variables, le bxibxz quadratique de z ESx 2bxi2+2 3xi3x2 +... doit un-être signé. La See also:condition pour ceci est que la série de discriminants, un I tout un a13 a21 a22 a21 a22 a23 où l'apq dénote Stu/SapSaq devrait être tout positive, si l'équation quadratique est toujours positive, et alternativement négatif et positif, si l'équation quadratique est toujours négative. Si la première condition est satisfaite la valeur critique est un minimum, si la seconde c'est un maximum. Pour le cas de deux variables les conditions sont 6ù 8ù/02ù)2 6x128x22 > 8xi6x2 pour un maximum ou un minimum du tout et Sù/8x12 et 6ù/8x22 les deux négatif pour un maximum, et les deux positif pour un minimum. Il est important de noter que cela par le quadratique un-étant signé est signifié excepté lequel il ne peut pas être fait pour disparaître quand 8x1, 8x2... See also:boeuf "tout disparaissent. Si, dans le cas de deux variables, Sù Sù 82, 2 8x12 8x22 = (Sxlax '') alors l'équation quadratique un-est signé à moins qu'il disparaisse, mais la valeur de u n'est pas nécessairement un maximum ou un minimum, et les limites de la troisième et probablement le quatrième See also:ordre doivent être tenues See also:compte.

Prise par exemple la fonction u x2xy2+y3. Ici le x=o de valeurs, y=o satisfont les équations Su/Sx=o, Su/See also:

Sy=o, de sorte que zéro soit une valeur critique de u, mais ce ne soit ni un maximum ni un minimum bien que les limites du deuxième ordre soient (8x)2, et ne sont jamais négatifs. Ici Su=8x2SxOy2+0y3, et par la See also:mise 6x = o ou un infinitesimal du même ordre que 0y2, nous pouvons faire le signe de Su dépendre de cela de 0y3, et veuillez sommes ainsi positifs ou négatif en tant que nous. D'autre part, si nous prenons la fonction u.=x2 xy2+y4, le x=o, y=o font zéro une valeur critique de u, et ici Su=0x2SxOy2+Sy4, qui est toujours positif, parce que nous pouvons l'écrire comme somme de deux places, à savoir (6x4Sy2)2+4 6y4; de sorte que dans ce cas-ci zéro soit une valeur minimum de u. Une valeur critique donne habituellement un maximum ou un minimum dans le cas d'une fonction d'une variable, et souvent dans le cas de plusieurs variables indépendantes, mais tous les maximum et minimum, particulièrement absolument plus grands et moindres valeurs, ne sont pas nécessairement des valeurs critiques. Si, par exemple, x est limité pour se trouver entre les valeurs a et b et '(x) = o n'a aucune See also:racine dans cet See also:intervalle, il suit que l'o'(x) un-est signé à See also:mesure que x augmente d'a à b, de sorte que le cti(x) soit augmentant ou diminuant toute l'See also:heure, et les plus grands et moindres valeurs de 0(x) sont (ti(a) et ¢(b), bien que ni l'un ni l'autre d'eux ne soit une valeur critique. Considérez l'exemple suivant: Une personne dans un bateau que des See also:milles du point le plus proche de la See also:plage souhaite atteindre aussi rapidement que possible des milles du point un b de ce point le See also:long du See also:rivage. Le rapport de son See also:taux de marche à son taux de ramer est le cosec a. où devrait il débarquent? Laissez ici le ab être la direction de la plage, du A le point le plus proche au bateau 0, et du B le point qu'il souhaite atteindre. Clairement il doit débarquer, le cas échéant, entre A et B. Suppose il débarque chez P. Let que l'angle AOP soit B, de sorte qu'See also:OP=a sec 0, et PB=See also:ba tan B.

See also:

If son taux de ramer est des milles à l'heure de V son See also:temps soient sec O/v+ (See also:heures de péché a/V de tan de Ba B). Appelez ce T. Puis à la première See also:puissance de 80, 0T = le secÒ (a/V) (a)SB de Bsin de péché, de sorte que si AOB>a, See also:rue et SB ont See also:vis-à-vis des signes de 0=o à 0=a, et des mêmes signes de 0 = a à B = AOB. De sorte que quand AOB est > a, T diminue de B = 0 à 0=a, et puis augmentations, de sorte qu'il devrait débarquer à un point éloigné un tan a de A, à moins qu'un a>b de tan. Quand c'est le cas, la rue et 00 ont vis-à-vis des signes dans tout la See also:gamme entière de 0, de sorte que T diminue en tant qu'augmentations 0, et il devrait ramer directement à B. In la première caisse que la valeur minimum de T est également une valeur critique; dans le deuxième cas elle n'est pas. Les plus grands et moindres valeurs des moments de flexion des tiges chargées sont souvent aux extrémités des divisions des tiges et pas aux points donnés par des valeurs critiques. Dans le cas d'une fonction de plusieurs variables, x1, x2... x., non indépendant mais relié par l'ui=o fonctionnel de relations de m, U 2 0 u,, =o, nous pourrions procéder éliminer m des variables; mais méthode de Lagrange la "de multiplicateurs indéterminés" est plus élégante et généralement plus utile. Nous avons Sul = o, 6 1 1 2 = o..., somme = o. considérons au See also:lieu de Su, ce qui est la même chose, à savoir, • + XmOum de • de Su+X1Su1+X2ü2 + de •, où X2. Xm, sont des multiplicateurs arbitraires. Les limites du premier ordre dans cette expression sont Su Su,, le bxl 0x1 ex1 que nous pouvons choisir a1... A,, pour faire les coefficients de 6x1, 6x2, bxm, disparaissent, et le bxm+1 restant à diminuer peut être considéré comme indépendant, de sorte que, quand u a une valeur critique, leurs coefficients doivent également disparaître. De sorte que nous mettions le bx, + X15 +...

+ x"`bxm pour toutes les valeurs de r. ces équations avec les équations u, =o,.. UM = o doivent See also:

assez exactement déterminer A. x,, de sorte que nous trouvions des valeurs critiques de u, et examinent les limites du deuxième ordre pour décider si nous obtenons un maximum ou un minimum. Pour prendre une See also:illustration très simple; considérez le problème de déterminer les vecteurs de rayons de maximum et de minimum de l'ellipsoïde x2, 'See also:a2+y2lb2+z2/C2 = 1, où a2 > b2 > O. Here nous exigent les valeurs maximum et minimum de x2 +y2 +z2 où x2la2+y2lb2+z2ç2 = r. Nous avons Su=2x0x (I ¢2) + 2yby (I + b2/+ 2111 (I + +Sx2 (1 + ~) + by2 (1 +)-O + bZ2 (I + -)c;). Pour faire les limites du premier ordre disparaître, nous avons les trois équations: x(1 +X/a2) = o, y(1 +N/b2) = o, z(1 +X/c2) = o. Ceux-ci ont trois ensembles de solutions conformées aux conditions x2/a2+y2/b2+z2/c2=1, a2 > b2 > C2, à savoir: (') y=o, z=o, A=a2; (2) z=o, x=o, X = b2; (3) x=o, y=o, A=c2. Dans le cas (i) de bu=0y2 (1a2/b2) + Sze (Ia2/c2), qui est toujours négatif, de sorte qu'u = a2 donne un maximum. Dans le cas (3) de Su=0x2 (ç2/a2)+Sy2 (ç2/b2), qui est toujours positif, de sorte qu'u=c2 donne un minimum. Dans le cas (2) de Su=Sx'(I-b2/a2)Sz2(b2/c2r), qui peut être rendu positif ou négatif, ou même de zéro si nous nous déplaçons dans les avions x2(1b2/a2)=z2(b2/c2-1), qui sont bien connus pour être les plans centraux de la section circulaire. De sorte qu'u = b2, bien qu'une valeur critique, ne soit ni un maximum ni le minimum, et les plans centraux de la section circulaire divisent l'ellipsoïde en quatre parties dans deux desquels un 2> r 2> b2, et dans les autres deux b 2> r 2> O.

(A. E.

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