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PLACE MAGIQUE
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La See also:PLACE MAGI QUE, une place s'est divisée dans See also:les places égales, comme un échiquier, dans dont chacun est placé un d'une série de See also:nombres consécutifs de 1 jusqu'à la place du nombre de cellules dans un côté, de façon que la See also:somme See also:des nombres dans chaque rangée ou See also:colonne et dans chaque diagonale soit See also:constante. D'une période très tôt ces places ont engagé l'See also:attention des mathématiciens, particulièrement comme a possédé un amour du merveilleux, ou cherché à gagner pour lui-même un respect superstitieux. Ils ont été alors censés posséder les propriétés magiques, et ont été portés, comme en Inde à aujourd'hui, engraven dans See also:le métal ou la See also: 16 places le See also:long d'un See also:montant, dans lequel sont placés les nombres de 1 à 256. Les propriétés en See also:chef de See also:cette place sont (1) la somme des 16 nombres dans n'importe quelle rangée ou la colonne est 2056; (2) la somme des 8 nombres dans la moitié de n'importe quelle rangée ou colonne est 1028, c.-à-d. une moitié de 2056; (3) la somme des nombres dans deux moitié-diagonales égale 2056; (4) la somme des quatre nombres faisants le coin de grande place et de quatre égales centrales Io28 de nombres; (5) la somme des nombres en 16 cellules quelconques de la grande place qu'elles-mêmes sont disposé dans une place est 2056. Cette place a d'autres propriétés curieuses. "le cercle magique des cercles" (fig. 2) se compose de huit anneaux annulaires et d'un cercle central, chaque See also:anneau étant divisé en huit cellules par des rayons tirés du centre; il y a donc 65 cellules. Le numéro 12 est placé au centre, et les numéros consécutifs 13 à 75 sont placés dans les autres cellules. Les propriétés de cette figure incluent ce qui suit: (1) la somme des huit nombres en n'importe quel anneau ainsi que le numéro central 12 est 360, le nombre de degrés en cercle; (2) la somme des huit nombres dans réglé des cellules radiales ainsi que le nombre central est 3õ; (3) la somme des nombres en quatre cellules contiguës quelconques, ou annulaires, radiales, ou radial et deux annulaires, ainsi que la moitié du nombre central, est 180. Construction de la place magique de Squares.A de 5 (fig. 3) a la toucher un des huit places égales par lesquelles n'importe quelle place peut dont être conçue pour être entourée, chacune a deux côtés se reposer sur les places contiguës, alors que quatre ont des côtés se reposer sur la place entourée, et quatre la rencontrent seulement à ses quatre angles. 1, 2, 3 sont placés le long du See also:chemin d'un See also:chevalier dans les échecs; 4, le long du même chemin, tomberait dans une See also:cellule de la place See also:externe, et est placé à la place dans la cellule correspondante de la place originale; 5 fait See also:partie alors de la place. a, b, c, d sont placés diagonalement dans la place; mais e écrit la place externe, et est enlevé de là à la même cellule de la place qu'elle était partie. a, (3, y, 5, e suivent un autre cours régulier; et les expositions de See also:diagramme comment ce cours est enregistré dans la place elles sont deux fois parties. Lesquelles des huit places environnantes peuvent être entrées, la cellule correspondante de la place centrale est prise à la place. On dit que le I, 2, 3, a, b, c, de a/3, y.... se situe dans des "chemins." Les places dont les racines sont Odd.Figs 4, 5, et 6 montrent un des méthodes les plus tôt de construire les places magiques. Ici les places dont les racines sont Even..These ont été construites dans diverses manières, semblables à celle de 4 dans les figues. 14, 15 et 16. Les nombres dans fig. 15 multiplié par 4, et les places des figues. 14 et 15 étant superposés, fig. i6 d'élasticité. L'application d'a4 20 en tant que cette méthode aux places la moitié laquelle des racines soyez See also:impair exige un See also:ajustement compliqué. Places dont See also:demi de la See also: 16. 4 s 5 3 I des 6 4 I: des 4 des 3 3 des 0 0 4 3 0 3 4 0 des 4 3 dans fig. 4 et 2 dans fig. 5 sont placés dans les diagonales opposées pour fixer les deux additions diagonales; chaque nombre dans fig. 5 est multiplié par 5 et alors ajouté à celui dans la place correspondante dans fig. 4, qui donne la place de fig. 6. Figues. méthode de De la Hire's d'élasticité de 7, 8 et de See also: G. Bachet a arrangé les nombres comme dans fig. RO, où il y a trois nombres dans chacune de quatre places environnantes; celles-ci qui sont placées dans les cellules correspondantes de la place centrale, la place de fig. 11 est formées. Il également See also:con- structed des places tels que si une ou plusieurs bandes externes des nombres sont enlevées les places centrales restantes sont magiques. Sa méthode de les former peut être comprise d'une place de 5. Ici chaque addition est 5X13; si donc 13 est subtractedfrom chaque nombre, les additions seront zéro, et les vingt-cinq cellules contiendront la série t 1, t 2, 3.... t 12, la cellule impaire ayant le o. la place centrale de 3 est formée avec quatre des douze nombres avec + et de signes et zéro au See also:milieu; la See also:bande est remplie de See also:repos, comme dans fig. 12; puis, 13 beingadded en chaque cellule, la place magique de fig. 13 est obtenus. et soustrayant 17; et, See also:vice versa, en additionnant 17 à chacune du dernier, et la See also:division par 2. Les additions diagonales d'une place, complétées comme fig. 17, font zéro; et, pour obtenir la même chose dans les rangées, et des colonnes, nous devons assigner de telles valeurs aux p et aux q comme satisfaisons les équations pi + p2 + Al + See also:a2 = 0, See also:PA + p4 + a3 + a4 = o, p, + Al p3 a3 = o, et P2 + p4 a2 la See also:solution d'a4 = d'o,a dont 'est aisément obtenu par inspection, comme dans fig. 18; ceci mène à la place, fig. 19. Quand la racine est 8, les quatre rangées subsidiaires supérieures peuvent immédiatement être écrites, comme dans la figue, 20; puis, si 65 soient additionnés à chacun, et les sommes divisées en deux, la place est accomplie. Dans des places telles que ces derniers, la diagonale à peu près identique de deux places opposées (sauf que de 4) peut être tourné par tout nombre d'angles droits, dans la même direction, sans changer les additions. See also:Nasik Squares.Squares qui ont beaucoup plus d'additions que dans les rangées, des colonnes et les diagonales ont été étudiées par A. H. Frost (maths de See also:Cambridge _ lour., 1857), et a appelé des places de Nasik, de la See also: 
p normal "dans le même See also:ordre, débutant de pi dans cette rangée, le p2's, p3's et See also:mensonge de la volonté des p" chacun dans un chemin semblable à celui de p, et chacun des chemins normaux de n contiendra un, dont la somme sera p. de même, si le qi soit placé le long d'un quelconque de ces chemins, différent de See also:cela des p, et de chaque rangée remplie comme ci-dessus de lettres q2, q3. . q,, la somme des q le long de n'importe quel chemin normal différent de celui du qi sera q. que les cellules 5t de la place maintenant s'avéreront pour contenir toutes les combinaisons des p et des q; et si les q soient multipliés par n, les p rendus égaux à I, 2... Lui, et les q à 0, I, 2... (n I) dans n'importe quel ordre, la place de Nasik de n sera obtenu, et les additions le long de tous les chemins normaux, à moins que ceux traversés par les p et des q, seront l'Enq + le PE constants. Quand la racine est un nombre composé impair, comme 9, 15, &See also:amp;c., on le constatera que dans des quelques chemins, différents des deux le long desquels pi et les q1 ont été placés, au See also:lieu d'avoir chacun des p et des q, certains voudront, alors que les autres sont répétés. Ainsi, dans le See also:cas de 9, les triplets, p, p4p7, p, p1p8, p3p,;p9, et q, g4g7, g2q, q, g3q, g9 se produisent, chaque triplet trois fois, le long des chemins dont l'addition devrait faire bip-bip 45 et heu 36. Mais si nous faisons p "122... 129, = I, 3, 6, 5, 7, 9, 8, 2, et le r1, See also:r2... r9 = o, 2, 5, 4, 3, 6, 8, 7, I, trois fois chacun des ensembles ci-dessus de triplets égaleront le PE et l'Eq respectivement. Si maintenant les q sont multipliés par 9, et ajoutés aux p en leurs plusieurs cellules, nous aurons une place de Nasik, avec une addition constante le long de huit de ses See also:dix chemins normaux. Dans fig. 22 les nombres sont dans la See also:balance nonary; qu'au centre est le See also:moyen de I à 92, et la somme de la paire de nombres équidistants et See also:vis-à-vis des 45 centraux est deux fois 45; et la somme de tout nombre et des 8 numéros 3 d'elle, diagonalement, et dans sa rangée et colonne, est l'addition constante de Nasical, par exemple 72 et 32, 22, 76, 77, 26, 37, 36, 27. Les nombres dans fig. 22 étant maintenue dans la balance nonary, il n'est pas nécessaire de n'ajouter aucun neuf d'entre eux ensemble afin d'See also:examiner l'addition de Nasical; pour, prenant la première colonne, les figures au lieu des unités sont See also:vues immédiatement pour former la série, le 1, les 2, le 3...,9, et les ceux dans l'autre des triplets de l'See also:endroit trois de 6, 1, 5. Pour les places de 15 les p et les q peuvent être respectivement I, de 2, ainsi, de 8, de 6, de 14, de 15, de II, de 4, de 13, de 9, de 7, de 3, de 12, de 5, et de o, 1, 9, 7, 5, 13, 14, 10, 3, 12, 8, 6, 2, II, où cinq fois la somme de chaque troisième nombre et trois fois la somme de chaque cinquième nombre fait le PE et le 2q; puis, si les q sont multipliés par 15, et ajoutés aux p, la place de Nasik de 15 est obtenue. Quand la racine est le multiple de 4, le même See also:processus nous donne, pour la place de 4, fig. 23. Ici les colonnes donnent le PE, mais alternativement le 2q "2q3, et le 2q2, 2q4; et les rangées donnent Eq, mais alternativement 2121, 2123, et 2p2, 2p4; les diagonales donnant le PE et l'Eq. Si p "p2, p3, p4 et q" q2, q3, q4 soit 1, 2, 4, 3, et o, 1, 3, 2, nous avons la place de Nasik de fig. 24. Une place comme ceci est gravée dans le caractère de Sanskrit sur la See also: Every alors s'avérera pour contenir une See also:combinaison différente des p, des q et des r. Si donc p être rendre égal I, 2, 7, et q et être o, I, 2... 6, dans n'importe quel ordre, et q multiplier par 7, et r par 72, puis, comme dans cas place, 73 cubelets contenir nombre I 73, et Nasical addition être E72r+-E7q + p. si 2, 4, 5 être valeur r, p, q, nombre pour ce cubelet être écrire 245 dans septénaire balance, et si tout cubelet nombre être garder ainsi, chemin le long qui addition être trouver car les See also:sept nombres contiendraient 1, 2, 3... 7 dans l'endroit d'unité, et o, 1, 2. . . 6 dans chacun des autres endroits. En tous les cubes en Nasik, si de telles valeurs sont indiquées aux lettres sur le cubelet central que le nombre est l'un moyen de la série I à n3, la somme de toutes les paires de nombres vis-à-vis de s 8 29 28 II 14 23 18 30 27 des 7 Ì 20 9 16 4 5 32 25 10 15 22 19 31 26 3 6 24 17 12 13 et équidistants derrière le nombre moyen est le See also:double d'elle. En outre, si autour d'un cube en Nasik les vingt-six cubes égaux environnants soient placés avec leurs cellules remplies de mêmes nombres, et leurs visages correspondants regardant la même manière, et si l'See also:espace environnant soit conçu ainsi a rempli de cubes semblables, et de See also:ligne droite de longueur illimitée soit dessiné par deux centres quelconques de cubelet, on dans chacun de deux cubes quelconques, les nombres suivant cette ligne s'avérera pour se reproduire dans les groupes de sept, que (excepté dans les trois cas où le mêmes p, q ou r se reproduisent dans le See also:groupe) faites ensemble à l'addition de Nasical du cube. De plus, si nous prenons il a pareillement rempli cubes en Nasik de n, les See also:nouvelles lettres de n, s différent "s2... s,, peut être ainsi placé, on dans chacun des cubelets n4 de ce groupe de cubes en n, que chacun contiendra une combinaison des p, des q, est et des s. Ceci est fait en plaçant s1 sur chacun de l'o£ de cubelets de N2 le premier cube que 30 21 6 15 28 19 7 16 29 20 5 14 22 31 8 35 18 27 9 36 17 26 13 4 32 23 2 11 34 25 1 10 33 24 3 12 contiennent le See also:pl, et sur l'oI de cubelets de N2 le 2d, les 3d... et le nième cube qui contiennent PLC p3... p, respectivement. Ce processus est répété avec s2, commençant par le cube auquel nous avons fini, et ainsi de See also:suite par les autres s; les cubelets n4, après la multiplication des q, les r, et les s est près, N2, et n3 respectivement, seront maintenant remplis de nombres à partir de I à n4, et l'addition constante sera n3s + n2r + Enq + p. que ce processus peut être mené sans See also:limite; pour, si est des cubes sont placés dans une rangée avec leurs visages se reposant sur l'un l'autre, et les visages correspondants regardant la même manière, est de tels parallélépipèdes pourraient être mis côte à côte, et les cubelets n5 de cette place pleine soient Nasically rempli par l'introduction d'une See also:nouvelle lettre t; tandis que, en présentant une autre lettre, les cubelets de non du cube composé de n3 Nasik B C 23 10 19 14 6 II 28 5 24 17 4 22 13 2 Ì 9 8 20 15 25 12 7 16 3 cubes pourraient être remplis par les nombres à partir de I à n6, et tellement à n'en plus finir. Quand la racine est un nombre composé impair que les valeurs des trois groupes de lettres doivent être ajustées comme dans les places, aussi en cubes d'une racine égale. Un processus semblable nous permet de placer des nombres successifs dans les cellules de plusieurs places égales dans lesquelles les additions de Nasical sont les mêmes dans chacun, comme dans fig. 26. Parmi les nombreuses places ingénieuses données par de See also:divers auteurs, cet See also:article peut juste se fermer avec deux par L. See also:Euler, en See also:sciences de DES de royale de See also:Histoire de l'academie (See also:Berlin, 1759). Dans fig. 27 les nombres normaux montrent le chemin d'un chevalier qui se déplace dans une place impaire de façon que la somme de paires de nombres vis-à-vis et d'équidistant de la figure See also:moyenne soit son double. Dans fig. 28 le chevalier revient à sa cellule commençante dans une place de 6, et la différence entre les paires de nombres vis-à-vis et d'équidistant du See also:point moyen est 18. Un modèle se composant de sept cubes en Nasik, construits par A. H. Frost, est dans le musée de SouthKensington. Les centres des cubes sont placés aux distances égales dans une ligne droite, les visages semblables regardant la même manière dans un See also:avion parallèle à cette ligne. Chacun des cubes a sept glaces parallèles, auxquelles, d'un côté, les sept nombres dans la balance septénaire sont fixes, et derrière chacun, de l'autre côté, sa valeur dans la balance See also:commune. 1201, le nombre moyen de 1 à 74, occupe le cubelet central du cube moyen. Sans compter que chaque cube ayant séparément la même addition de Nasical, ceci est également obtenu en ajoutant les nombres dans sept cubelets pareillement situés quelconques, un en chaque cube. En outre, la somme de toutes les paires de nombres, dans une ligne droite, par le cube central du système, équidistant d'elle, dans quelque cubes ils soient, est deux fois 1201. (A. H. F.) On a noté la magie Ring.It de Fennell que les nombres de places magiques, dont la See also:prolongation en répétant les rangées et les colonnes de n numérote afin de former une place de 211-1 côtés rapporte N2 aux places magiques des côtés de n, sont arrangées comme si elles toutes ont été inscrites autour d'un See also:cylindre et également toute sont inscrites sur un autre cylindre perpendiculairement à la première. C. A. M. Fennell explique cette See also:anomalie apparente en décrivant de telles places de magie que les projections de See also:Mercator, ainsi pour dire, "des anneaux magiques" la See also:surface de ces anneaux magiques est symétriquement divisé en compartiments ou cellules quadrangular de N2 par les cercles zonaux équidistants de n parallèles à l'See also:axe circulaire de l'anneau et par les cercles transversaux de n qui divisent chacune des zones de n entre deux cercles zonaux voisins quelconques en cellules quadrangular égales de n, alors que les cercles zonaux divisent les sections entre deux cercles transversaux voisins en cellules quadrangular inégales de n. Les diagonales des cellules qui se suivent passant une fois seulement par chaque See also:zone et section, See also:forme semblable et courbes fermées égales passant une fois tout à fait autour de l'axe circulaire de l'anneau et une fois tout à fait autour du centre de l'anneau. La position de chaque nombre est considérée comme l'intersection de deux diagonales de sa cellule. Les nombres le plus facilement sont vus si le plus See also:petit cercle sur la surface de l'anneau, qui le cercle est concentrique avec l'axe, il un des cercles zonaux. Dans un anneau magique parfait que la somme des nombres de cellules dont les diagonales forment n'importe quel un des courbes 2n diagonales susmentionnées est in(n2 + I) avec ou sans l'incrément, c.-à-d. est la même somme que See also:celle des nombres dans chaque zone et chaque section transversale. Mais si n soit 3 ou un multiple de 3, seulement de 2 tonnes des courbes diagonales portez la somme en question, de sorte que les anneaux magiques soient imparfaits; et en placent des nombres qui peuvent être arrangés pour faire un anneau magique parfait ou place de magie peut également faire un anneau magique imparfait, par exemple l'ensemble i à 16 si les numéros 1, 6, 11, 16 se trouvent ainsi sur une courbe diagonale au lieu de dans l'ordre 1, 6, 16 I t. d'un anneau magique parfait des cellules de N2 contenant un nombre chacun, N2 les places magiques que distinctes peuvent il a lu au loin; comme les quatre nombres autour de chaque intersection d'un cercle zonal et d'un cercle transversal constituent les nombres faisants le coin d'une place magique. La forme d'un anneau magique lui donne la fonction d'une prolongation indéfinie dans toutes les directions de chacune des places susmentionnées de magie de N2. (C. A. M. F.) Voir le F. E. A. See also:Lucas, les hematiques de natte de récréations (1891-1894); W.w.r. See also: L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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