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À l'origine apparaissant en volume V17, page 974 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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BCD : zCDA: ADAB: LABC, See also:

G est au centre de la sphère inscrite. Si nous avons une See also:distribution continue de matière, au See also:lieu d'un système See also:des particules discrètes, See also:les See also:additions en (6) devons être remplacés par des intégrations. Des exemples seront trouvés dans les manuels du calcul et du See also:statics See also:analytique. En tant que See also:cas particuliers: See also:le masse-centre d'un See also:plat triangulaire mince See also:uniforme coïncide avec celui de trois particules égales aux See also:coins; et See also:cela d'un tétraèdre plein uniforme coïncide avec celui de quatre particules égales aux sommets. Encore, le masse-centre d'un cône circulaire droit plein uniforme divise l'See also:axe dans le rapport 3: I; cela d'un hémisphère plein uniforme divise le See also:rayon axial dans le rapport 3: 5. On le See also:voit facilement de (6) que si la See also:configuration d'un système des particules soit changée par 'See also:contrainte homogène "(voyez que l'cÉlasticité) la See also:nouvelle position du masse-centre sera à ce See also:point de la figure tendue qui correspond au masse-centre See also:original. La See also:formule (2) prouve qu'un système des forces concourantes représentées par m. OP1, m2 OP2,... m°.See also:OP "See also:aura une résultante représentée par E(m).OG. Si nous imaginons 0 pour reculer à l'See also:infini dans n'importe quelle direction nous apprenons qu'un système des forces parallèles proportionnelles au m2. . . dans., agissant à P, P2.

. . . P° ont une résultante proportionnelle à E(m) qui agit toujours par un point G fixé relativement au masse-système donné. Ceci contient la théorie du "centre de la gravité" (§ de § 4, 9). Nous pouvons noter également cela si P2. . . P°, et P, ', P2 '. . . P° 'représente deux See also:

configurations de la série de particules, puis Z(m. PP')=E(m).GG ', (8) où G,g 'sont les deux positions du masse-centre. Les forces m.P, See also:pi ', m2•P2P2 '. m°.P°P° ', considérés comme en tant que vecteurs localisés, cependant, en règle générale réduisant à une résultante See also:simple. Nous procédons à la théorie des moments quadratiques d'See also:avion, axiaux et polaires du système. Les moments axiaux de Thy See also:seul ont une signification See also:dynamique, mais les autres sont utiles en tant que conceptions subsidiaires.

Si h,/12. . . le h° soit les distances perpendiculaires des particules de n'importe quel avion fixe, la See also:

somme Z(mh2) est le moment quadratique en ce qui concerne l'avion. Si p, p2... La See also:PA soit les distances perpendiculaires de n'importe quel axe donné, la somme 2;(mp2) est le moment quadratique en ce qui concerne l'axe; elle s'appelle également le moment de l'inertie autour de l'axe. Si r, r. . . le Ra soit les distances d'un point fixe, la somme E(mr2) est le moment quadratique en ce qui concerne ce point (ou See also:poteau). Si nous divisons un quelconque des moments quadratiques ci-dessus nous notons ce == d'Iv h+L, Izn = Iz+h, I.0 = Is+Iv, et Io=Is+Iy+I. = 2(Is.+Izs+Isb)• (13) dans le cas des distributions continues de matière les additions en (9), (à), (ii) doivent naturellement être remplacés par des intégrations. Pour un plat circulaire mince uniforme, nous trouvons, prenant l'origine à son centre, et l'axe de la normale de z à son avion, l, = IMa2, où M est la masse et le rayon. Depuis est = Ig, IX = o, nous déduisent les iss = le 1M See also:a2, Isv=IMa2; par conséquent la valeur du rayon carré de la giration est pour un diamètre et pour l'axe de la symétrie Za2.

Again, pour une sphère pleine uniforme ayant son centre à l'origine nous trouvons Io=lMa2, Is=I"=Iz=IMa2, Iy, =Iss=Isv=IMa2; c.-à-d. la See also:

place du rayon de la giration en ce qui concerne un diamètre est ia2. La méthode de contrainte homogène peut être appliquée pour déduire les résultats correspondants pour un ellipsoïde des semi-haches a, b, c. si les haches de coordination coïncident avec les See also:principales haches, nous trouvent est = IMO, I9=IMb2, est = Mc2, d'où Irz=(b'+c2), &See also:amp;c. Si 4(x, y, z) soit n'importe quelle fonction quadratique homogène de x, y, z, nous avons E{md, (x, y, z) } = E}mb(z+E, y+n, z+3 ') } = z1m4, (7, y, z)}+z{m(, j, 3) }, _ (14) puisque les See also:limites qui sont bilinéaires en ce qui concerne x, y, z, et t, rI, disparaissent, dans la vertu des relations (7). Est Ainsi = I+I(m)x2, (15) Iv: = I78-+I(m)•(y2-{-z2), (16) avec les relations semblables, et See also:bas = lc+ 1(m). OG2. (17) que la formule (16) exprime que le rayon carré de la giration autour de n'importe quel axe (See also:boeuf) excède le rayon carré de la giration autour d'un axe parallèle par G par la place de la distance entre les deux haches. La formule (17) est due à J. L. See also:Lagrange; il peut écrire I(m. OP2) = 1(m. GP2)+og2, (18) 1(m) (m) et exprime que la place See also:moyenne des distances des particules de 0 excède la place moyenne des distances de G par OG2. Le masse-centre est en conséquence ce point la place moyenne laquelle des distances des multiples particules est See also:mineur.

Si dans (18) nous faites 0 coïncider avec P2. . . P "en See also:

succession, nous obtenons o +m2. P1P22+... +See also:mn. P, p"2 = $(m. GP2) +1(m). Généraliste, 2, m. P21'12+ o +... +mn.P2P"2=a.(m.GP2)+1(m).GP22, (19) m. PnP, 2-f-m2. PnPz2+...

Phoenix-squares

+ o = x(m. GP2) +1(m). GPn2. Si nous multiplions See also:

ces équations par m, m2. . . le m°, respectivement, et s'ajoutent, nous trouvent EE (mrm.. P, p.2) = I (m). E(m. On comprenne que GP2), (20) a fourni l'addition E1 sur la See also:main See also:gauche inclut chaque paire de particules une fois seulement. Ceci, théorème, aussi dû à Lagrange, nous permet d'exprimer la place moyenne des distances des particules du centre de la masse en termes de masses et distances mutuelles. Par exemple, vu quatre particules égales aux sommets d'un tétraèdre régulier, nous pouvons impliquer que le rayon R de la sphère d'entourage est indiqué par See also:R2=i a2, si un être la longueur d'un See also:bord. Un autre See also:type de moment quadratique est assuré par les déviation-moments, ou des produits de l'inertie d'une distribution de matière.

Ainsi la somme M(m.yz) s'appelle le "produit de l'inertie" en ce qui concerne le y=o d'avions, z=o. Ceci peut être exprimé en termes de produit de l'inertie en ce qui concerne les avions parallèles par G au See also:

moyen de la formule (14); À savoir: ) = E(m., l')+Z(m). 3j-2 (21) (6) (It) (12) les moments quadratiques en ce qui concerne différents avions par un point fixe 0 sont liés à un un autre comme suit. Le moment en ce qui concerne l'avion ax+µy+vz = o, (22) où X, v sont des direction-cosinus, est Etm(xx-1-, Y+vz)2}=E(mx2) X2+See also:Fi(my2). µ2+2(mz2) v2 +È(myz). µv-FÈ(mzx). vX+21(mxy). Xµ, (23) et change donc comme place de la perpendiculaire tirée de 0 à un See also:plan de tangente d'une certaine See also:surface See also:quadrique, l'avion de tangente en question étant parallèle à (22). Si les haches de coordination coïncident avec les principales haches de See also:cette quadrique, nous aurons E(myz)=o, (mzx)=o, (mxy)=o; (24) et si nous écrivons (mx2)=Mat, I(my2)=Mb2, m(mz2) = Mc2, (25) où M=1(m), le moment quadratique devient M(a2X2+b2µ2.. c2v2), ou Mp2, où p est la distance d'origine de ce plan de tangente de l'ellipsoïde a2+b2+c2 = 1, (26) au lequel est parallèle (22). Il apparaît de (24) que par n'importe quel point assigné 0 trois haches rectangulaires peuvent être dessiné tels que le produit de l'inertie en ce qui concerne chaque paire de coordonnent des avions disparaît; ceux-ci s'appellent les principales haches de l'inertie chez O. The que l'ellipsoïde (26) a été utilisé la première fois par J. Binet (1811), et peuvent s'appeler l'"ellipsoïde de Binet" pour le point O.

Evidently le moment quadratique pour un avion variable par 0 aura une "valeur stationnaire quand, et seulement quand, l'avion coïncide avec un plan See also:

principal de (26). Il peut plus loin montrer que si l'ellipsoïde de Binet soit mentionné n'importe quel système des diamètres conjugués comme coordonnent des haches, son équation sera x'2 y'2 z'2 a'2 b'2 c'2 _ I'k2- a2+k2 _ y2 z2 b2 - r k2- c2=1, et les quadriques correspondant à différentes valeurs de k2 seront confocal. Si nous écrivons k2 = a2+b2+c2+0, b24 e2 = a2, C2 +a2 = FN, a2+ b2 = y2 l'équation (31) devient a2+0 6'2y+B+72zz_0=1 'pour différentes valeurs de 0 que ceci représente un système des quadriques confocal avec l'ellipsoïde x2 y2 z2 See also:ail+YR2+y2 = 1 que nous rencontrerons actuellement comme "ellipsoïde de la giration" chez G. Now considérons l'avion W de tangente à un point quelconque P d'un confocal, l'avion W de tangente 'à un point adjacent N ', et un avion W "par P parallèle à W '. La distance entre les avions W 'et Co "sera du deuxième See also:ordre de See also:petites quantités, et les moments quadratiques en ce qui concerne W 'et Co" donc seront égaux, au See also:premier ordre. Depuis les moments quadratiques en ce qui concerne la Co et la Co 'soyez égal, elle suit que la Co est un plan du moment quadratique stationnaire à P, et donc un plan principal de l'inertie au P. en d'autres termes, les principales haches de l'inertie à P sont les normals aux trois confocals du système (33) qui traversent P. Moreover si x, y, z soit coordonne de P, (33) est une équation pour trouver les valeurs correspondantes de 0; et si le See also:BI, 02, 03 soit les racines nous trouvons 91 +B2 +Oa = r2 - a2 _ 02 y2, (35) où r2=x2+y2+z2. Les places des rayons de la giration au sujet des principales haches à P peuvent être dénotées par k22+k32, k32+ k,2, k, 2+ k22; par conséquent par (32) et (35) elles sont r20I, r2B2, r203, respectivement. Pour trouver les relations entre les moments de l'inertie au sujet de différentes haches par n'importe quel point assigné 0, nous prenons 0 comme origine. Depuis la place de la distance d'un point (x, y, z) de l'axe = (36) x que x_Y est x2+y2+z2(Xx - } - py+vz)2, le moment de l'inertie autour de cet axe est I = E[m{ (X2+µ2+v2) (x2+y2+z2) - (Xx+ µy+vz)21 ] = Aa2+Bµ2+Cv22Fµv-2Gv?2H]µ, si A=f.{m(y2+z2) }, B=Z{m(z2+x2) }, C=z{m(x2+y2) }, F=E(myz), G=Z(mzx), H=Z(mxy); c.-à-d. A, B, C sont les moments de l'inertie au sujet des haches de coordination, et F, G, H sont les produits de l'inertie en ce qui concerne les paires de coordonnent des avions. Si nous construisons l'Ax2+By2+Cz22Fyz2Gzx-2Hxy=Met quadrique, (39) où a est une grandeur linéaire arbitraire, l'interception r qu'elle fait sur un rayon dessiné dans la direction X, le µ, v est trouvée en mettant x, y, z=See also:Ar, le µr, vr. par conséquent, par comparaison avec (37), I = M e4/r2• (40) que le moment de l'inertie au sujet de n'importe quel rayon du (39) quadrique donc change inversement comme place de la longueur de ce rayon.

Une fois visé son principal diminue, l'équation de la quadrique prend la See also:

forme Axe+By2+Cz2=Me. (41) les directions de ces haches sont déterminées par la propriété (24), et coïncident donc avec ceux des principales haches de l'inertie à 0, comme déjà défini en liaison avec la théorie de moments quadratiques plats. Nouveau A, B, C s'appellent les principaux moments de l'inertie chez O. Sinc'elles sont essentiellement positif que la quadrique est un ellipsoïde; ce s'appelle l'ellipsoïde momental chez O. Since, près (12), B+c>a, &c., la somme des deux peu de principaux moments doit excéder le plus See also:grand moment principal. Une See also:limitation est ainsi imposée aux formes possibles de l'ellipsoïde momental; par exemple dans le cas de la symétrie autour d'un axe il s'avère que le rapport du polaire au diamètre équatorial de l'ellipsoïde ne peut pas être moins que le I, 12. Si nous écrivons A=Ma2, B=m(32, C=My2, la formule (37), une fois visée le principal diminue à 0, devient I M (a2X2+xµ2+72v2 = Mpg, si p dénote la perpendiculaire tirée de 0 dans la direction (X, v) à un plan de tangente de l'ellipsoïde x2 y2 z2 a2+132 +72 = (27) fourni (mx'2)=See also:Ma'2, Z(my'2)Mb'2, (mz'2)=Mc'2; également qu'E(my'z')=o, 2(mz'x')=o, (mx'y')=o. (28) nous laissent maintenant prendre comme coordonnent des haches les principales haches de l'inertie au masse-centre G. I'a, b, c soit les semi-haches de l'ellipsoïde du Binet de G, le moment quadratique en ce qui concerne l'avion Xx + µy + le vz = le o seront M(a2X2 + b2µ2 + c2v2), et qu'en ce qui concerne un avion parallèle ax+µy+vz = p seront M(a2X2+b2µ2+c2v2+p2), près (15). Ceci valeur donnée par volonté Mkt, si p2 = (k2 - a2)X2+ (k2 - b2)122+(k2 - c2)v2. Par conséquent les plans du moment quadratique constant Mkt envelopperont le (29) quadrique ont (30) (31) (32) (34) (37) (38) (42) (43) (33) ceci s'appelle l'ellipsoïde de la giration à 0; elle a été présentée dans la théorie par J. See also:MacCullagh.

Les ellipsoïdes (41) et (43) sont les polars réciproques en ce qui concerne une sphère ayant 0 comme centre. Si A = B = C, l'ellipsoïde momental devient sphère de a.; toutes les haches par 0 sont alors de principales haches, et le moment de l'inertie est le même pour chacun. On dit qu'alors le masse-système possède la symétrie cinétique au sujet de O. Si toutes les masses se situent dans un avion (z=o) nous avons, dans la See also:

notation de (25), c2=o, et donc A = MB2, B=Ma2, C=M(a2+b2), de sorte que l'équation de l'ellipsoïde momental prenne à la forme b2x2+a2 y2+(a2+b2) z2=e4• (44) la See also:section de ceci par le z=o plat est semblable à x2 a2 +by2 2 = 1, (45) qui peut s'appeler l'See also:ellipse momental chez O. It possède la propriété que le rayon de la giration au sujet de n'importe quel diamètre est moitié de la distance entre les deux tangentes qui sont parallèles à ce diamètre. Dans le cas d'un plat triangulaire uniforme il peut montrer que l'ellipse momental à G est concentrique, semblable et pareillement située à l'ellipse ce qui touche les côtés de la triangle à leurs See also:points moyens. Les méthodes graphiques de déterminer le moment de l'inertie d'un système plat des particules en ce qui concerne n'importe quelle See also:ligne dans son avion peuvent être brièvement notées. Il apparaît du § 5 (fig. 31) que le moment linéaire de chaque particule au sujet de la ligne peut être trouvé au moyen d'un See also:polygone funiculaire. Si nous remplaçons la masse de chaque particule par son moment, comme trouvé ainsi, nous pouvons de manière semblable obtenir le moment quadratique du système en ce qui concerne la ligne. Pour si la ligne en question soit l'axe de y, le premier See also:processus donne nous les valeurs du MX, et à la seconde la valeur de 2 (MX. x) ou E (mx2).

La construction d'un deuxième funiculaire peut être distribuée avec par l'emploi d'un planimètre, comme suit. Dans fig. 59 p est la ligne en ce qui concerne laquelle des moments doivent être pris, et les masses des particules respectives sont indiquées par les segments correspondants d'une ligne dans le force-See also:

diagramme, parallèle dessiné au p. Le ZABCD funiculaire. . la See also:correspondance à n'importe quel poteau 0 est construite pour un système du parallèle temporaire de forces à p par les positions des particules et proportionnel aux masses respectives; et ses côtés successifs sont produits pour rencontrer p dans les points H, K, L, M,.. comme expliqué dans le § 5, P le moment du premier ticle de See also:pair est représenté sur une échelle de See also:tain de CER par HK, lequel de la seconde par KL, et ainsi de See also:suite.

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