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OBTE
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OBTE AATD = IBTG AATD = ah2 tan GTB * h2 tan DAT. Hence, si l'See also:angle que la tangente à l'extrémité de l'uo d'ordonnée fait avec l'See also:axe de x est dénoté par Ike, nous avons See also:le See also:secteur de l'uo à l'ul=ah(uo + 141) 12h2(tan ''I,l tan # o), u1 à u2=ah(u1 + le ri 142) h2(tan y'2 tan &See also:amp;gt; See also: ]x=x "'x-xo. 77, Si nous ne savons pas des valeurs de u en dehors de la figure, nous devons employer des différences à l'avance ou de recul. Les formules habituellement utilisées sont A=C1+h - AAuostÂùo+ Aùo-1hAûo+... t +11EA'um A'ùm+720A'aumThA'Ûm +..., A=T1+h - Aui+21Âùi - > &ui+ Aûi -.., - esaA'See also:aum-a de E. + e so68iA'ûm-i... là où A, A2. . . ayez la signification habituelle (Auo=u1-uo, Aùo = Au1 - Auo), et A ', A'2... dénotent les salles en arrière lues par différences, de sorte qu'A'um = um1 l'cUm, UM d'A'ùm = de 14m2 -ùm_S+, le calcul des expressions entre parenthèses puissent être simplifiés en prenant les paires en termes de l'extérieur; c.-à-d. en trouvant les différences successives de l'uo + de l'cUm, u1 + ou de l'ui + la méthode alternative See also:ulAn, qui est par certains côtés préférable, doit accomplir la table des différences en répétant les différences de l'See also:ordre le plus supérieur qui sera pris en considération (voir l'cInterpolation), et puis employer des formules de central-différence. 78, Afin de trouver les corrections en ce qui concerne les See also:limites montrées entre crochets dans les formules du § 75, certaines ordonnées autres que ces derniers utilisés pour C1 ou Tl s'avèrent parfois particulièrement. La règle de Parmentier, par exemple, assume See also:cela en plus de l'ui, ui.... u,, _i, nous savons l'uo et l'cUm; et l'ui - uo et UM - um_i sont pris pour être égal au l''shu'o et à l'ahu'm respectivement. Ces méthodes ne sont pas comité technique soient recommandées excepté dans des See also:cas spéciaux. 79, En remplaçant h dans le § 75 par 2h, 3h. et éliminant le hù ', h'u "'..., nous obtenons des formules exactes correspondant aux formules approximatives du § 70. Ce qui suit sont les résultats (pour les formules impliquant des secteurs en accords), donnés en termes de coefficients différentiels et des différences centrales. Il n'est pas aussi commode comme formules du § 76, mais ils servent à indiquer le degré d'exactitude des formules approximatives. Les expressions entre crochets sont dans chaque cas à prendre comme concernant le x=xo et le x=xm de valeurs d'extrémité, comme dans le §§ 75 et 76. (i) A=i(4CÇ2)+[ hhû"+Ts1rsh0u à b-ohsuvII+... ] _ (4CÇO +1t[T bµ6ú+Tdi T 4 u1d'.P2jojsb&u+... ]. (ii) A=i(9CÇa)+ [ -- hhû '"s~bhau~ de h _ 1 21-5h8u~ - I. . . ] _ I L(9c1- CA) +h[ - wµbau z i so27bSµb7u+ du fib µban+a$... ]. (iii) A=46(64Ci-20C2+C4)+[-wf h6u'+Thhsuvii-... ] =; (f14C1-òC2+C4)+h[-s sµbsutsah-wub1u-. • de • ]. (iv) A=A(15C-6C2+Ca)+[-xshhsuv droite owhsuvi+ _. . =;of15C1-6C2+Ca)+h[-aawµbsu i-s1a4 esub7u-... ]. (v) A=ris(56C128C2+8Ca-C4)+[-wlsa-ahs.uvli4 .... ] = h[-wi'si 7u+ de s4C(56Ci-28C2+8Cs-C4)+... ]. L'expression générale, si p, q, r. . . sont k des facteurs de m, sont A = PC, + QCs + RC +... + [ ()kbkh2kdx2klu + 2k+1 k+1 2k+2 74 + x xm (bk 1 dx2k+1 X de I = x0 où P, Q, R. . . ayez les valeurs données par les équations dans le § 71, et le bk de coefficients, bk4.1. . . sont trouvés des coefficients correspondants dans '- la formule d'uler-Maclaurin (§ 75) en les multipliant par Pp2k+Qq'+Rr21'+..., Pp2k+s+Qg2x+2+Rr2k+2+..., 80. Des moments d'un Trapezette.The au-dessus des méthodes peuvent être appliqués, comme dans le §§ 59 et õ, à trouver les moments d'un trapezette, quand le thedata sont une série d'ordonnées. Pour trouver le moment de pth, quand uo, UL, u•1. sont donnés, nous ont trouver seulement le secteur d'un trapezette dont les ordonnées sont xoPuo, le x1Pui, x2PU2, 81. Il y a, cependant, un See also:certain ensemble de cas, se produisant dans les See also:statistiques, dans lesquelles les données ne sont pas des séries d'ordonnées, mais dans les secteurs AI, AI. . . Am_i des bandes a bondi par l'uo consécutif d'ates d'ordin-, ui... UM. La détermination des moments dans ces See also:caisses implique les méthodes spéciales, qui sont considérées dans les deux prochaines sections. 82, Le cas le plus See also:simple est celui dans lequel le trapezette effile dehors de telle manière que la courbe formant son dessus ait le See also:contact très étroit, à ses extrémités, avec la See also:base; en d'autres termes, les coefficients différentiels u ', u ", u "'. soyez pratiquement négligeable pour le x=xo et pour le x=xm. La méthode adoptée dans ces caisses est de traiter les secteurs AI. comme si ils étaient des ordonnées placées aux See also:points pour lesquels x=xi, x=xi. pour calculer les moments sur See also:cette prétention, et puis appliquer certaines corrections. Si le See also:premier, en second See also:lieu. . . moments, ainsi calculés, avant que la correction soient dénotées par p1, P2. nous avons xiAi de See also:Pl = de xiAi+ +... + xm_Ám_b P2 =. xìAi + x2Âi +... + le xPiAi +xPiAi+ de x2m_Âm_if pp _... + • du xPm_IAm _ I que ceux-ci s'appellent les moments crus. Puis, si les moments vrais sont dénotés par le vl, v2..., leurs valeurs sont donnés par la See also:PA h2ps+3hh4Po v6=2P6 de See also:fourgon-PA 1¢h2p1 v4r 22 du viîPl V2-1-l-p2 AMA h2Pa + h4P1 où le PO (ou la See also:Vo) est la See also:surface totale AI + AI +. . . + Ar_i; l'expression générale étant vp=appX1 p1 ih2Pp_2+X2 p!h4PP où _ 2 • (p-2) 4! (p -4)! = 111g, X2=h, '3=TSggh, 14 =, ~~q a6 = Se dans le ~ de pp { ~ 1. . . L'établissement de ces formules comporte l'utilisation du calcul intégral. La position de l'ordonnée centrale est donnée par x=si/po, et donc est donnée approximativement par x-See also: 
Ces résultats peuvent être sortis au calcul d'une expression de l'u¢(x)dx de fxo de See also:forme, où 0(x) est une fonction définie de x, et les conditions en ce qui concerne u sont les mêmes que dans le § 82. (i) Si le ¢(x) est une fonction explicite de x, nous avons l'u¢(x)IX de dxo -- See also: La formule généralisée est fx0"'u4b(x)dx = A¢(xm) T, où T est le secteur d'un trapezette dont les ordonnées aux distances successives h sont o, See also:ao '(xi), (AI +A4)() '(x2). (AI +As +. . . + xa); les accents dénotant le coefficient de différentiel de frst. 85, volumes et moments d'une application de See also:Briquette.The des méthodes de §§ 75-79 au calcul du See also:volume d'une briquette mènent aux formules compliquées. Si les conditions sont telles que les méthodes de § 61 ne peuvent pas être employées..•r sont indésirables en tant que donner trop de See also:poids aux ordonnées particulières, il sont les meilleurs pour procéder de la façon indiquée à l'extrémité du § 48; c.-à-d. trouver les secteurs d'un ensemble de sections parallèles, et traiter ces derniers comme ordonnées d'un trapezette dont le secteur sera le volume de la briquette. 86, Les formules du § 82 peuvent être prolongées au cas d'une briquette dont le dessus a le contact étroit avec la base tout le See also:long de sa frontière; les données étant les volumes des briquettes mineures ont formé en les avions X = le xo, x = x1. et le y=-yo, y = yi, la méthode de construire les formules est expliqué dans le § 62. Si nous écrivons le dx de ypx'ysu du zu f de SPF dy, nous calculons d'abord les valeurs crues ao, I, Al, o, a1,1, •. d'ainsi, 1, S1, o, 51.1. sur la prétention que le volume de chaque briquette mineure est concentré le long de son See also:mi-ordonnée (§ 44), et nous obtenez alors les formules de la correction en multipliant les formules du § 82 dans les paires. Ainsi nous trouvons (par exemple.) S1,141a1a S2, I 02,1Ahòo,1 S1,2ò1,2 kàl, o kà2, hòo de o A, 2-I 1}4 h2kào, o 53.11 - a3r1 4hà1,1 S3,2-n-as,àhà1 -- j1kàs,o+ h2kòl, o où ao, o est tout le volume de la briquette. 87, Si les données de la briquette sont, comme dans le § 86, les volumes des briquettes mineures, mais la See also:condition quant au contact étroit n'est pas satisfaite, nous ont le dx de x'yqu de 7o f dy = K + L + R x+r,, le ynao, 0 où le moment de Kmx Xgth en ce qui concerne le y=o, le L=y, le l moment de Xpth en ce qui concerne le x=o See also:plat, et le R plats est le volume d'une briquette à la dont l'ordonnée (x., y) est trouvé en se multipliant par le pQ x,P 'y.q - 'le volume de cette See also:partie de la briquette originale qui se trouve entre le x=xo d'avions, x=x., y = See also:nouvelle briquette aux points d'intersection du x=xo, x=x1. . . avec le y=yo, y=yi. sont obtenus à partir des données par addition et multiplication; et les méthodes ordinaires s'appliquent alors pour le calcul de son volume. L'une ou l'autre ou toutes les deux expressions K et L devra être calculée au moyen de la formule du § 84; si ceci est appliqué aux deux expressions, nous avons une formule qui peut être écrite dans un u¢(x plus général de la forme f f, y)dx dy = dx de l'See also:installation u dy. 4(b, q) _ do(xx f'fqudxdy,O d'Ib do(b dy de dx de u d'un fbf de d f q "Y) dy un dx dY d dy du ° f q f T u de p..h f (xdy, y) dx dy. le dx les deuxièmes et troisième expressions du côté droit représente des secteurs des trapezettes, qui peuvent être calculés à partir des données; et la quatrième expression représente le volume d'une briquette, pour être calculée comme R ci-dessus. 88 Des cas de Failure.When l'ordre des différences ne doit comme permettre à aucune des méthodes antérieures d'être appliqués, il est parfois possible d'amplifier les données par la See also:mesure des ordonnées intermédiaires, et puis s'applique une méthode appropriée à la série amplifiée. Il y a, cependant, une certaine See also:classe des cas dans lesquels aucune subdivision des intervalles ne produira un bon résultat; à savoir cas dans lesquels le dessus de la figure est, à une extrémité (ou à une See also:part de sa frontière), perpendiculairement à la base. La formule d'Euler-Maclaurin (§ 75) suppose que les valeurs de bondissement de u ', UM. . . ne soyez pas See also:infini; cette condition n'est pas satisfaite dans les caisses ici considérées. Il est également clairement impossible d'exprimer u comme fonction algébrique de x et de y si une certaine valeur de du/dx ou de du/dy doit être infinie. Aucune méthode complètement satisfaisante n'a été conçue pour traiter ces caisses. Une méthode est de construire une table pour le tion d'interpola- de x en termes d'u, et de cette table pour calculer des valeurs de x correspondant aux valeurs de E de u, procédant par des intervalles égaux; une quadrature-formule peut alors être appliquée. Supposez, par exemple, que nous avons besoin du secteur du trapezette ABL dans fig. j'I; la courbe étant perpendiculaire à AL See also:bas L chez A. See also:If QD est l'ordonnée de bondissement d'un des bandes composantes, nous pouvons calculer la région de QDBL normalement. Les données pour le secteur ADQ sont des séries de valeurs de u correspondant aux valeurs equidifferent de x; si nous dénotons par y la distance d'un See also:point sur l'cAnnonce d'See also:arc de QD, nous bidon de la série de valeurs de u construisons une série avec des valeurs de y correspondant aux valeurs equidifferent de u, et trouvons ainsi la région d'cAdq, traitant QD comme base. Le See also:processus, cependant, est ennuyeux. 89, Les exemples de suivre d'Applications.The sont quelques exemples des cas dans lesquels les méthodes ci-dessus peuvent être appliquées au calcul des secteurs et des intégrales. (i) Construction de Tables.Even mathématique où u est une fonction explicite de x, ainsi le thatfxudx peut être exprimé en termes de x, il est souvent plus commode, pour la construction d'une table des valeurs d'une telle intégrale, pour employer des formules de différence-finie. La formule du § 76 peut (voir des DIFFÉRENCES, le CALCUL DE) soit écrite f udx=h., uau+h_(AµSee also:bu+ 21 6µbú) = (hu12 Phu + 64hu. . sea(See also:hu+Ab2hus++'sabyhu+...). La seconde de ces derniers est ainsi habituellement la plus commode, pour construire une table avec des valeurs du f'udx par des intervalles de h dans x, nous forment d'abord une table des valeurs du hu pour les valeurs intermédiaires de x; de ceci obtenez une table des valeurs (1+2'4b2_sltao84+...) du See also:massif de See also:roche de hu ces valeurs de x, et puis construisez la table avec du fxudx par les See also:additions successives. L'See also:attention doit être donnée à l'See also:accumulation possible des erreurs dues aux See also:petites erreurs en valeurs de u. que chacune des formules ci-dessus implique un epnstant arbitraire; mais ceci disparaît quand nous commençons les additions à partir d'une valeur connue. de l'udx. Le processus peut être répété. Dx d'udx de f-ayez ainsi f l''(a+b s+sasS3+. . _ ()hù d'écrou b4sgMTbo+ d'See also:a2+ zTieb2+r... a2(hù + 112 b2hù 1h. b4hù + •..). Ici il y a deux constantes arbitraires, qui peuvent être ajustées dans diverses manières. Les formules peuvent être employées pour sortir l'exactitude des tables, dans les cas où, si v représente la quantité sous forme de tableaux, hdv/dx ou, h2d2v/dx2 peut être commodément exprimé en termes de v et x à un plus See also:grand degré d'exactitude qu'il pourrait trouver de la table. Le processus consiste pratiquement en employant la table sans modification pour améliorer les premières ou deuxièmes différences de v et accumuler alors la table à nouveau. (ii) L'utilisation de la vie Insurance.The des quadrature-formules est importante dans le travail actuariel, où les tables fondamentales sont basées sur l'expérience, et les formules appliquant ces tables comportent l'utilisation des valeurs See also:sous forme de tableaux et de leurs différences. 90, Ce qui suit sont des exemples de l'application des formules approximatives au calcul des the'volumes des solides. (i) La trouvaille du See also:bois de construction Measure.To la quantité de bois de construction dans un See also:tronc avec les extrémités parallèles, les secteurs de quelques sections doit être calculée aussi exactement que possible, et une formule appliquée. Car les See also:mesures peuvent seulement être rugueuses, la règle trapézoïdale est la plus appropriée dans des cas ordinaires. (ii) Mesure de Gauging.To le volume d'un tonneau, il peut supposer que l'intérieur est approximativement une partie d'une figure sphéroïdale. La formule appliquée peut alors être des fils de Sim règnent ou une règle basée sur le théorème du See also:gauss pour deux ordonnées (§56). Dans le dernier cas les deux sections sont prises aux distances = au 1H/s/3 = = •2887H de la See also:section centrale, où H est toute la longueur See also:interne; et leur See also:moyenne arithmétique est prise d'être la section moyenne du tonneau. L'See also:allocation doit naturellement être faite pour l'épaisseur du bois. 91, Certaines formules approximatives pour la longueur d'un arc d'un See also:cercle sont obtenues par des méthodes semblables à ceux du §§ 71 et 79. Laissez un être le See also:rayon d'un cercle, et B (mesure circulaire) que l'angle inconnu subtended par un arc. Puis, si nous divisons 8 en pièces égales de m, et L1 dénote la See also:somme des See also:cordes correspondantes, de sorte que le péché de L1=2ma (6/2m), la longueur vraie de l'arc soit L3 + ~ de ~ de ` de ao +. . . où ¢ = B/2m. Similarly, si de bas sents de repre-3• 5• la somme des cordes quand m (assumé même) est remplacé par im, nous avons une expression impliquer L2 et à. la méthode d'expositions du § 71 puis que, en prenant i(4L1L2) comme valeur de l'arc, nous nous débarassons des limites dans 02. Si nous employons le See also:Cl pour représenter la See also:corde 01 l'arc, le cz la corde de la moitié de l'arc, et le c4 entiers la corde de ceux See also:quart de l'arc, alors correspondant à (i) et (iii) du § 70 ou du § 79 nous avons (Cl 8c2) et A (256c4ôc2+ci) comme approximations à la longueur de l'arc. Le premier de ces derniers est la règle de See also:Huygens. f'udx = h.au+h(Sug7eFSú+.. ) (1903). Pour des exemples de la mesure des secteurs par la construction géométrique, voir le G. C. See also:Turner, graphiques appliqués à Arithmetic, à Mensuration et à Statics (1907). Des discussions du calcul approximatif des intégrales définies seront trouvées dans les travaux sur le calcul infinitesimal; voir par exemple le E. Goursat, un cours d'Analysis mathématique (1905; See also:transport. par E. R. Hedrick). Pour les méthodes comportant des différences finies, voir les références sous les DIFFÉRENCES, CALCUL DE; et See also:INTERPOLATION. Sur le calcul des moments des graphiques, voir le W. P. Elderton, Fréquence-Frequency-Curves et Correlation (1906); quant aux formules du § 82, voir également le Biomedrika, v. 450. Pour des méthodes mécaniques de calculer des secteurs et des moments voir les See also:MACHINES À CALCULER. (W. F. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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