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S22

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À l'origine apparaissant en volume V17, page 994 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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S22 = 1 See also:

cos a, (25) de même qu'autrement évident de la théorie élémentaire de See also:mouvement circulaire See also:uniforme. Pour étudier See also:les See also:petites oscillations au sujet de cet état de mouvement régulier nous écrivons o=a+x en (24) et See also:des See also:limites de négligence du deuxième See also:ordre dans See also:le x. nous trouvons, après quelques réductions, a) n2x=o de z+(1+3 cos; (z6) ceci prouve que la variation de x est See also:simple-See also:harmonique, avec la période 2rN (I +3 cos2 a). S2 en ce qui concerne le mouvement le plus général d'un pendule sphérique, il est évident qu'une particule se déplaçant See also:sous la pesanteur sur une sphère See also:lisse ne puisse pas passer par le See also:point le plus élevé ou plus See also:bas à moins qu'elle décrive un See also:cercle See also:vertical. Dans tous autres See also:cas il doit y a une See also:limite inférieure d'See also:and'a supérieur à l'See also:altitude. Encore, un See also:plan vertical passant par O et un point où le mouvement est See also:horizontal est évidemment un plan de symétrie en ce qui concerne le See also:chemin. Par conséquent le chemin sera confiné entre deux cercles horizontaux qu'il touche alternativement, et la direction du mouvement n'est jamais horizontale excepté à See also:ces cercles. Dans le cas du mouvement régulier dérangé, juste considéré, ces cercles sont presque coïncidents. Quand tous les deux sont près du plus bas point la See also:projection horizontale du chemin est approximativement une See also:ellipse, comme montré dans le § 13; une See also:recherche plus étroite prouve que l'ellipse doit être considérée comme See also:tournant au sujet de son centre avec la See also:vitesse angulaire labt21P, où a, b sont les semi-haches. Pour s'appliquer les équations (It) au cas du dessus nous commençons par l'expression (15) du § 21 pour l'énergie cinétique, la See also:forme simplifiée (1) du § 20 étant pour le See also:but inadmissible, puisqu'il est essentiel que généralisé coordonne utilisé devrait être compétent pour indiquer la position de chaque particule. Si X, le µ, v soit les composants de l'élan, nous avons l'a=-See also:g• = le aa, = • = A sinò1+C (¢+cos o,G) cos o, (27) v=ate = C (élan de q+cos). La signification de ces quantités est facilement identifiée; ainsi a est l'élan angulaire au sujet d'une normale horizontale d'See also:axe au plan de o, est l'élan angulaire au sujet de l'élan angulaire vertical d'isthe d'See also:once, et de v autour de l'axe du • de symétrie si M soit toute la masse, l'énergie potentielle est V=Mgh cos 0, si l'once soit dessinée verticalement vers le haut. Par conséquent les équations que (ii) deviennent AÃ chantent le péché 0, d/dt du péché 0=Mgh de coso+G2+C(c6+coso'G)+G.

(o;t de A sin2 ', +C ($+cos o%1%) cos de = o, (28) d/dt. (C (+cos B,g) } = o, dont les deux derniers exprès la See also:

constance du µ d'élans, de v. péché B¢ de cos 00+v du péché 0 par conséquent A8 A = péché de Mgh o, le péché de A C '+v cos B=µ. (29) S si nous éliminons 4, • nous obtiennent l'équation (7) du § 20. La théorie de mouvement dérangé de precessional là décrit ne donne pas un avis commode des oscillations de l'axe au sujet de la position verticale. Si 0 soit See also:petit les équations que (29) peut être écrit 6M doivent vz4 1 le ghe, 02 W = Const., (J à. "= ¢zAAt. av/aq.=o. (1) un état nécessaire et suffisant d'équilibre est donc que la valeur de l'énergie potentielle devrait être stationnaire pour des See also:variations infinitesimal de coordonne. Si, autre, V soit un minimum, l'équilibre est nécessairement See also:stable, comme a été montré par P. G. L. Dirichlet (1846). Dans le conséquent de mouvement sur n'importe quelle légère perturbation toute l'énergie T+v est See also:constante, et puisque T est essentiellement positif qu'il suit que V peut ne jamais dépasser son valeur d'équilibre par plus qu'une petite quantité, selon l'énergie de la perturbation, ceci implique, sur l'hypothèse actuelle, qu'il y a une limite supérieure à la déviation de chacun coordonnent de son valeur d'équilibre; d'ailleurs, See also:cette limite diminue indéfiniment avec de l'énergie de la perturbation originale.

Aucune une telle See also:

preuve simple n'est disponible pour prouver sans qualification que l'état ci-dessus est nécessaire. Si, cependant, nous identifions l'existence des forces dispersives mises en See also:jeu par n'importe quel mouvement lequel du système, la conclusion peut être dessiné comme suit. Toutefois léger ces forces peuvent être, toute l'énergie T+v doit continuellement diminuer à condition que les vitesses 4142... qn diffèrent de zéro. Par conséquent si le système soit commencé à partir du See also:repos dans une See also:configuration pour laquelle V est moins que dans la configuration d'équilibre considérée, cette quantité doit encore plus diminuer (puisque T ne peut pas être négatif), et il est évident qu'ou le système viendra finalement pour se reposer dans une autre configuration d'équilibre, ou V diminuera à la See also:longue indéfiniment. Cet See also:argument est dû à seigneur See also:Kelvin et P. G. See also:Tait (1879). En discutant les petites oscillations d'un système au sujet d'une configuration d'équilibre stable il est commode ainsi choisir généralisé coordonne q1, q2. . q, qu'elles disparaîtront dans la configuration en question. L'énergie potentielle est alors donnée avec l'approximation suffisante par une expression de la forme le •i de 2V = de c11g12+c2g22.+... +2c12gig2+ (2) une limite constante étant non pertinente, et les limites du See also:premier ordre étant See also:absent puisque la valeur d'équilibre de V est stationnaire. Les coefficients c "s'appellent les coefficients de la stabilité. Nous pouvons plus loin traiter les coefficients de l'inertie a,, See also:ar, du § 22 (r) comme constantes.

Les équations lagrangiennes du mouvement sont alors du See also:

type alr$1+a, els+. . • +cnrgR=Qr de • de • de +a"rgn+cirgl+C2rg2+, (3) où Q, représente maintenant un composant de la force étrangère. Dans une See also:oscillation See also:libre nous avons (21, Q2. . . Q, =o, et si nous assumons le qr = sont 'a0, (4) nous obtiennent des équations de n du type (Ctra'See also:air) See also:Al+(C2re See also:a2.) A2+. . +(cnraà"r) See also:An=o. (5) (23) où (30) (31) (22) le § 14 (15) (16) que le mouvement d'un tel point sera 8 elliptiques-harSince, e, sont le polaire coordonne (dans un plan horizontal) d'un point sur l'axe de la symétrie, relativement à une première See also:ligne qui tourne avec la vitesse angulaire constante v/À, nous voient par comparaison avec superposé monic sur une rotation uniforme v/À, si v2&See also:amp;gt;ÂMgh. Ceci donne (dans les See also:bases) la théorie "du pendule gyroscopique." § 23. Stabilité d'équilibre. La théorie de Vibrations.See also:If, dans un système See also:conservateur, la configuration (q1, q2... q) soit une d'équilibre, les équations que (14) de § 22 doit être satisfait par qi, q2. . . 4,t = o, d'où éliminant 'les rapports A 1:A 2 de n 1: Nous obtenons l'équation determinantal (012) = 0, où l'a'au de cll, C21 aà2l, le cnl?àn1 C12 Qà12, c22 020122,.., cn2 -- 03(1,4 disparaît. "copies normale"deux ou deviennent alors dans une certaine See also:mesure indéterminé, et les vibrations elliptiques des différentes particules sont possibles.

Un exemple est fourni par le pendule sphérique (§ 13). Comme exemple de la méthode de détermination de "copies normale"nous pouvons prendre le" See also:

double pendule." Une masse M pend d'un point fixe par une See also:corde de la longueur a, et une deuxième masse m pend de M par une corde de la longueur b. pour la simplicité que nous supposerons que le mouvement est confiné à un plan vertical. Si 0, 4, soit les inclinations des deux See also:cordes à la verticale, nous avons, approximativement, 2T=Ma292+m(a9+b)2, 2V = MgaO2+mg(a02+b¢2). Les équations (3) prennent les formes 0 +µb;+g8 = 0, (bas) See also:ab+b.+g4, =o. là où g = m/(M+m). Par conséquent)) (a"-a0+(a22_0)b~ _ = o. (1I) l'équation de fréquence est donc (a2 -- g/a) (contre-See also:clavette a2) µo4 = o. (12) les racines de cette équation quadratique dans a2 sont facilement vus à be'real et à positif. Si M soit See also:grand comparé à m, u est petit, et les racines sont g/a et contre-clavette, approximativement. En "See also:copie normale"correspondant à l'ancienne See also:racine, M See also:balance presque comme le plomb d'un pendule simple de la longueur a, étant uninfluenced comparativement par la présence de m, tandis que m exécute une vibration" obligatoire "(02) de la période correspondante. En le deuxième See also:mode, M est presque au repos [ comme apparaît de la seconde d'équations (ii) ], tandis que m balance presque comme le plomb d'un pendule simple de la longueur b. quoi que le rapport M/m, les deux valeurs de l'O2 peut jamais être exactement égal, mais ils sont approximativement égaux si a, b sont presque égal et p est très petit. Un phénomène curieux doit alors être observé; le mouvement de chaque particule, se composant (en général) de deux vibrations simples superposées de la période presque égale, est vu pour flotter considérablement dans l'ampleur, et si les amplitudes soient égale que nous avons des périodes du repos approximatif, comme dans le cas des "battements" dans l'See also:acoustique.

La vibration semble alors être alternativement transféré de m à M à intervalles réguliers. Si, d'autre See also:

part, M est petit comparé à m, p est presque égal à l'unité, et les racines de (12) sont a2=g/(a+b) et a2=mg/M.(a+b)/ab, approximativement. L'ancienne racine fait 0=¢, presque; en "copie normale"correspondante m oscille comme le plomb d'un pendule simple de la longueur a+b. En deuxième mode aB+bq, =o, presque, de sorte que m soit approximativement au repos. L'oscillation de M ressemble alors à cela d'une particule à une distance a d'une extrémité d'une corde de la longueur a+b fixée aux extrémités et sujet à un magnésium de tension. Le mouvement du conséquent de système sur des conditions initiales arbitraires peut être obtenu par la superposition de "copies normale"de n avec des amplitudes et des phases appropriées. Nous avons alors Qr = a, B+a; 9'+a, "B"+ (13) où 0=C cos(ot+E), 6'=C 'cos(e'1+E), 0"=C" cos(a"t+E). . . (14) a2 fourni, dessus, a"2.. . sont les racines de n de (6). Les coefficients de 0, 8', 0". . .

en (13) satisfaites les relations conjuguées ou orthogonales allalal'+a2àà2'+. . . +a12(a1a2'+aà1')+. . . = 0, (15) cll al+C2àà8 +.. +c12(al a2 '1 aia1')+. . . = 0, (16) a fourni les symboles a., a, 'correspondent à deux racines distinctes a2, dessus de (6). Pour montrer ces relations, nous remplaçons Al de symboles, A2....A, dans (5) par Al, as. . . respectivement, multipliez les équations résultantes par Al ', a'2. . .

',, dans l'ordre, et ajoutez. Le résultat, dû à sa symétrie, doit prise immobile si nous échangeons les lettres grecques accentuées et sans See also:

accent, et par comparaison nous déduisons (15) et (16), si a2 et 01'2 sont inégaux. La détermination réelle de C, C ', C ". . . et e, e ', ". . . en termes d'initiale les conditions est comme suit. Si nous écrivons l'e=H de C cos, e=K de péché de C, (17) nous devons avoir a,H+a,'H'+a, "H"+. . = [ Q, bas, aa, H+01'01, H'+a"as"H'+. . . [ Q, bas, (18) où le suffixe zéro indique des valeurs initiales. Ces équations peuvent être immédiatement résolues pour H, H ', H ".

. et K, K ', K ". . . au See also:

moyen des relations orthogonales (15). Par un choix approprié de généralisé le coordonne est possible pour ramener T et V simultanément aux sommes de places. La transformation en fait est effectuée par la prétention (13), dans la vertu des relations (15) (16), et nous pouvons écrire 2T = ¢92+¢'9'Z+a"Bn2+. . . (9) 2V=ce2+c'9'2+c"B"2+.. ..f 1 le nouveau coordonne 0, 0', 0". . . s'appellent la normale coordonne du système; en "copie normale"de la vibration un de ces derniers See also:seul change. Les caractéristiques physiques de "copie normale"sont qu'une See also:impulsion d'un type normal See also:particulier produit d'une première vitesse de ce type seulement, et qu'une force étrangère constante d'un type normal particulier maintient un déplacement de ce type seulement. "copies normale"sont encore distinguées par une propriété" stationnaire "importante, en ce qui concerne la fréquence.

Si nous imaginons le système réduit par des contraintes sans friction à un degré de liberté, de sorte que coordonne 0, 0', 0". . . ont prescrit des rapports à un des autres, nous ont, de (19), 2 = c92+c'8'2=c"B"2 - } -. (20) un 0101+a'8'2+a"B"2+. . Ceci prouve que la valeur d'a2 pour le mode contraint est intermédiaire au plus grand et See also:

mineur des valeurs c/a, c'/a ', c"/a ",... approprié à multiples "copies normale". En outre See also:cela si le mode contraint diffère peu de "copie normale"de vibration libre (par exemple si 0 ', 0". . . sont petits comparés à 0), le changement de la fréquence sont du deuxième ordre. Cette propriété peut souvent être utilisée pour estimer la fréquence la plus grave de "copie normale"d'un système, au moyen d'un type approximatif assumé, quand la détermination exacte serait difficile. Il s'avère également qu'une évaluation obtenue ainsi est nécessairement trop haute. D'un autre point de vue on l'identifie facilement que les équations (5) sont exactement ceux auxquelles nous sommes menés dans le See also:processus See also:ordinaire de trouver les valeurs stationnaires de la fonction V (ql, q2, T (gl, g2... q) où le dénominateur représente la même fonction quadratique homogène des q que T est pour les q.

Phoenix-squares

Il est facile de construire à cet égard une preuve qui et des valeurs d'az soyez toutes vrai et positif. (6) (7) Clnaea, C2, 0262,. . le cnnaànn l'expression quadratique pour T est essentiellement positif, et les mêmes prises en ce qui concerne V dans la vertu de la stabilité assumée. Il peut montrer algébriquement que dans ces conditions les racines de l'équation ci-dessus dans a2 sont toutes de n vraies et positives. Pour n'importe quelle racine particulière, les équations (5) déterminent les rapports d'Al de quantités, A2. . . les valeurs absolues seul étant arbitraires; ces quantités sont en fait proportionnelles aux mineurs de n'importe quelle une rangée en le 0(012) déterminé. En combinant les solutions correspondant à une paire de valeurs égales et opposées d'nous obtenons une See also:

solution en vraie forme: q. = See also:voiture cos (011+E), (8) où a, a2. . . a, sont une série déterminée de quantites doit un un autre les rapports mentionnés ci-dessus, tandis que les constantes C, e sont arbitraires. Cette solution, prise par elle-même, représente un mouvement de o dans lequel chaque particule du système (puisque ses déplacements parallèles à cartésien coordonnent des haches sont des fonctions linéaires des q) exécute une vibration simple de la période 21r/a. Les amplitudes d'oscillation des diverses particules ont des rapports définis à un des autres, et les phases sont d'See also:accord, l'See also:amplitude absolue (selon C) et le (e) phase-constant seul étant arbitraire. Une vibration de ce caractère s'appelle "copie normale"de la vibration du système; le nombre et de tels modes est égal à celui des degrés de liberté possédés par le système.

Ces rapports exigent une certaine modification quand deux ou plus des racines m de l'équation (6) sont égaux. Dans le cas d'une racine multiple de tous les mineurs A(a2) disparaissent, et I la See also:

base pour la détermination des quantités a. Flo. 85. (9) le cas de trois degrés de liberté est instructif à cause des analogies géométriques. En vue de ces derniers nous pouvons écrire 2T = ai2+by2+ci2-}-zfy2+2gz-}-2h± /; 2V = See also:hache +By2 +Cz2 +2Fyz +2Gzx+2 Hxy. Il est évident que le rapport V (x, y, z) (22) T (x, y, z) doit avoir une moindre valeur, qui est d'ailleurs positif, puisque le numérateur et le dénominateur sont deux essentiellement positif. Dénotant cette valeur par a12, nous avons Ax1+H)'1+Gz1=o, 2(axl+hYl+agzi), HxI+By'+Fzi = a12(hxl+by '+ fzi), (23) Gxl+Fyl+Czl = °12 (gxl+fyl + cz1), si XL: yl: le zi soit les valeurs correspondantes des rapports X: y: z. Encore, l'expression (22) See also:aura également une moindre valeur quand les rapports X: y: z sont sujets au xlax +Ylay de See also:condition +z1aV = o; (24) et si ceci soit dénoté par a22 nous avons un deuxième système des équations semblables (23). La valeur restante a32 est la valeur de (22) quand x: y: z sont choisis afin de satisfaire (24) et xàx +Yày +z = o. (25) - l'az le problème est identique à celui de trouver les diamètres conjugués communs des ellipsoïdes T(x, y, z) = const., V(x, y, z) = const. Si dans (21) nous imaginez que x, y, 'z dénotent des rotations infinitesimal d'un solide libre pour tourner autour d'un point fixe dans un See also:domaine donné de la force, il s'avère que trois "copies normale"consistent chacune d'une rotation environ un des trois diamètres susmentionnés, et que les valeurs de a sont proportionnelles aux rapports des longueurs des diamètres correspondants des deux quadriques.

Nous procédons aux vibrations obligatoires du système. Le cas typique est où les forces étrangères sont du type simple-harmonique cos (at+e); la See also:

loi la plus générale de la variation par rapport au See also:temps peut être dérivée de ceci par la superposition, dans la vertu du théorème de See also:Fourier. Analytiquement, il est commode de mettre Qr égal à l'ei°t multiplié par un coefficient complexe; en See also:raison des linéarités des équations l'el°t de See also:facteur fonctionnera par elles toutes, et n'a pas besoin toujours d'être exhibé. Pour un système d'un degré de liberté nous prenons a4 +cq = Q, (z6) et donc sur la supposition actuelle quant à la nature de l'a'a de Q q Q) c cette solution a été discutée dans une certaine mesure dans le § 12, en liaison avec les oscillations obligatoires d'un pendule. Nous pouvons noter plus loin que quand a est petit le déplacement q ait valeur "Q/c l'" d'équilibre, les mêmes que serait produit par une force régulière égale à la valeur instantanée de la force réelle, l'inertie du système étant inopérant. D'autre part, quand a2 est grand q tend à la valeur - Q/uà, le même comme si l'énergie potentielle ont été ignorées. Quand il y a des degrés de n de liberté nous avons de (3) (Clr ama2r)gl + (C2r aà2r)g2 +. . . eanr)gn de +(ens = Q., (28) et donc A (a2). Qr = Al, Q1 + a2rQ2 +... + anrQn, (29) où air, a2r. . . les See also:AM sont les mineurs de la rangée de rth du (7) déterminant.

Chaque particule du système exécute en général une vibration simple de la période imposée 27r/a, et toutes les particules passent simultanément par leurs positions d'équilibre. L'amplitude devient très grande quand a2 approche d'une racine de (6), c.-à-d. quand la période imposée coïncide presque avec un des périodes libres. Depuis l'ar, le =a, r, le coefficient de Q, dans l'expression pour le qr est identique à celui de Q. dans l'expression pour q. de See also:

divers "théorèmes réciproques" importants formulés par H. See also:Helmholtz et See also:seigneur See also:Rayleigh sont fondés sur cette relation. Les vibrations libres doivent naturellement être superposées sur les vibrations obligatoires données par (29) afin d'obtenir la solution complète des équations dynamiques. Dans la See also:pratique les vibrations d'un système plus ou moins sont affectées par les forces dispersives. Afin d'obtenir à tous les événements une représentation qualitative de ces derniers il est habituel pour présenter dans des équations les limites de friction proportionnelles aux vitesses. Ainsi dans le cas d'un degré de liberté nous avons, au See also:lieu de (26), aq+b4+cq = Q, (30) XV'II. 32where a, b, c sont positifs. La solution de ceci a été suffisamment discutée dans le § 12. Dans le cas de la liberté multiple, les équations du petit mouvement une fois modifiées par l'introduction des limites proportionnelles aux vitesses sont du type _ d au décollement aqr+BlrQ1+U2rQ2+ +BnrQn+See also:agr=Qr de See also:poids du See also:commerce d'i~. (31) si nous mettons le Br, =bsr=(Br.+Bar), ars = OBr=(Br.Bsr), ceci peut être écrit d au • du décollement aQr+aQr+N1rî+152qa42+ d'aF rr poids du commerce.

. +19nr4s+agr=Qr, (33) 2F=611412+622422+ fourni. . + le • de • du • 26124142+ (34) que les limites dues à l'aileron (33) sont comme résulterait des résistances de friction proportionnelles aux vitesses absolues des particules, ou aux forces mutuelles de la résistance proportionnelles aux vitesses relatives; elles sont donc classées en tant que forces de friction ou dispersives. Les limites affectées avec les coefficients qu'Ors d'autre part sont comme se produisent dans les systèmes "cycliques" avec le mouvement latent (See also:

DYNAMIQUE, § analytiques); elles s'appellent les limites gyrostatiques. Si nous multiplions (33) par année et See also:somme en ce qui concerne r de I à n, nous obtenons, en vertu des relations Ors = Osr, Orr=o, à (T + V) = 2F + Q141 + Q242 +... + Qn4n. (35) ceci prouve que de l'énergie mécanique est perdue au See also:taux 2 F par temps d'unité. La fonction F s'appelle donc par seigneur Rayleigh la fonction de dissipation. Si nous omettons les limites gyrostatiques, et écrivons q. = rampé, nous trouvons, pour une vibration libre, (air12 + b1rX + See also:Cl) C1 + (a2.X2 + b2rx + C2r) C2 + + (anrA '+ le mauvais. + C,,,.) Cn = o. (36) que ceci mène à une équation determinantal dans X dont les 211 racines sont ou vraies et négatives, ou complexe avec de vraies parties négatives, sur l'hypothèse actuelle que les fonctions T, V, F sont tout l'essentiellement positif. Si nous combinons les solutions correspondant à une paire de racines complexes conjuguées, nous obtenons, en vraie forme, le qr=Care t/r cos (at+eer), (37) où a, r, ar, heu sont déterminés par la constitution du système, tandis que C, e sont arbitraire, et indépendant du r. les formules de n de ce type représentent "copie normale"de vibration libre; les différentes particules tournent en règle générale dans les orbites elliptiques qui se contractent graduellement selon la loi indiquée par le facteur exponentiel. Si le See also:frottement soit relativement petit, toutes les "copies normale"sont de ce caractère, et à moins que deux valeurs ou plus de a soient presque égale les orbites elliptiques sont très ovales.

L'effet du frottement la période est d'ailleurs du deuxième ordre. Dans une vibration obligatoire d'e°t que la variation de chacune coordonnent est simple-harmonique, avec la période prescrite, mais il y a un retardement de phase par rapport à la force. Si le frottement soit petit l'amplitude devient relativement très grande si la période imposée approximative à une période libre. La validité "des théorèmes réciproques" de Helmholtz et de seigneur Rayleigh, déjà visés, n'est pas affectée par les forces de friction de la sorte ici considérée. Les applications les plus importantes de la théorie de vibrations sont à la caisse de systèmes continus tels que des cordes, barres, membranes, les plats, colonnes d'air, où le nombre de degrés de liberté est See also:

infini. La série d'équations du type (3) est alors remplacée par une équation partielle linéaire simple, ou par un ensemble de deux ou trois telles équations, selon le nombre de variables dépendentes. Ces variables représentent l'assemblage entier de généralisé coordonne le qr; elles sont des fonctions continues des variables indépendantes X, y, z dont la See also:gamme de la variation correspond à celle de l'See also:index r, et du t. par exemple, dans un système unidimensionnel tel qu'une corde ou une See also:barre, nous avons une variable dépendente, et deux variables indépendantes X et t. pour déterminer les oscillations libres que nous assumons un etat de facteur de temps; les équations deviennent alors des équations linéaires entre les variables dépendentes du problème et les variables indépendantes X, ou x, y, ou x, y, z selon les circonstances. Si la gamme de la variable ou les variables indépendante est illimitée, la valeur de a est à notre disposition, et la solution nous donne les See also:lois de l'onduler-See also:propagation (voir la See also:VAGUE). Si, d'autre part, le See also:corps est fini, certaines conditions terminales doivent être satisfaites. Celles-ci limitent les valeurs admissibles de a, qui sont en général ont déterminé II (Ì) (27) (32) par une équation transcendental correspondant à l'équation determinantal (6). Les exemples nombreux de ce procédé, et du traitement correspondant des oscillations obligatoires, se présentent dans des acoustiques théoriques. Il doit suffire ici pour considérer les petites oscillations d'une chaîne pendant verticalement d'une extrémité fixe.

Si x soit mesuré vers le haut à partir de l'extrémité inférieure, le composant horizontal de la tension P à un point quelconque sera Pay/ax, approximativement, si y dénotent le déplacement latéral. Par conséquent, formant l'équation du mouvement d'un masse-élément, pox, nous avons pSx.p = S(p. ay/ax). (38) négligeant l'accélération verticale nous avons P=gpx, d'où 82y une hache ay de bière anglaise = de hache de g) supposant que y change car l'e'See also:

ad nous ont la hache (x a) +ky=0. (40) a fourni k=oz/g. La solution de (40) qui est finie pour le x=o est aisément obtenue sous forme de série, ainsi de y=C de KX k2x2 (1 ---f 1 2...) = CJo(z), (41) dans la See also:notation des fonctions de See also:bessel's, si z2=4kx. Puisque y doit disparaître à l'extrémité supérieure (=l de x), les valeurs admissibles de a sont déterminées par a2 = gz2/4l, Jo(z) = o. (42) que la fonction Jo (z) a été tabulée; ses racines inférieures sont données par z/7 '= •7655, 1,7571, 2'7546..., approximativement, où les See also:nombres tendent au See also:silicium de forme. La fréquence du mode le plus grave est à celle d'une barre uniforme dans le 9815 de rapport. Que ce rapport devrait être moins que l'unité est See also:conforme à la théorie "de types contraints" déjà donnés. En plus élevées "copies normale"il y a des noeuds ou des See also:points de repos (y=o); ainsi en le deuxième mode il y a un See also:noeud à un 1901 de distance de l'extrémité inférieure. Des traités généraux plus récents nous pouvons mentionner See also:monsieur W. See also:Thomson (seigneur Kelvin) et P. G.

Tait, la See also:

philosophie normale (2ème ED, See also:Cambridge, 18791883); E. J. See also:Routh, See also:Statics See also:analytique (2ème ED, Cambridge, 1896), dynamique d'une particule (Cambridge, 1898), dynamique See also:rigide (6ème ED, Cambridge 1905); G. Minchin, Statics (4ème ED, See also:Oxford, 1888); A. E. H. Love, mécanique théorique (2ème ED, Cambridge, 1909); A. G. See also:Webster, dynamique des particules, &c. (1904); E. T. Whittaker, Dynamique Analytique (Cambridge, 1904); L.

See also:

Arnal, Traite de mecanique (18881898); P. Appell, rationelle de Mecanique (See also:Paris, vols. i. et ii., 2èmes ED, 1902 et 1904; See also:vol. iii., 1er ED, 1896); G. See also:Kirchhoff, See also:fibre Mechanik (See also:Leipzig, 1896) de Vorlesungen; H. Helmholtz, theoretische Physik, vol. i. (Leipzig, 1898) de caber de Vorlesungen; J. Somoff, Theoretische Mechanik (Leipzig, 18781879). La littérature du statics graphique et de ses applications techniques est très étendue. Nous pouvons mentionner K. Culmann, Graphische Statik (2ème ED, Ziirich, 1895); A. Foppl, Technische Mechanik, vol. II.

(Leipzig, 1900); L. Henneberg, DES de Statik starren des systèmes (See also:

Darmstadt, 1886); M. Prélèvement, graphique de statique de La (2ème ED, Paris, 8861888); II. Miiller-See also:Breslau, Graphische Statik (3ème ED, See also:Berlin, 1901). Des investigations très originales de monsieur R. S. Ball's dans la cinématique et la dynamique ont été éditées sous la forme rassemblée sous la théorie de See also:titre de See also:vis (Cambridge, 1900). - les See also:comptes détaillés des développements des diverses branches du sujet du début du 19ème siècle au r44, ont renvoyé le temps, avec de pleines références bibliographiques, sont donnés en See also:volume de f.)urth (édité par See also:professeur F. See also:Klein) du der nw.thematischen Wissenschaften (Leipzig) d'Encyclopddie. Il y a un tion français de transla- de ce travail. (voir également la DYNAMIQUE.) (H. Le.) L'application pratique de I.

The de § de MÉCANIQUE d'cIi.applied de la mécanique peut être divisée en deux classes, selon que les assemblages du matériel 1 en raison de la grande autorité de l'auteur, défunt professeur Macquorn See also:

Rankine, il a été souhaitable pensé pour maintenir la plupart de cet See also:article car elle est apparue dans la 9ème édition du paedia Britannica d'Encyclo-.

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