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S21 _ AI Oaol a2Ca01 a1á30+a21 la See also:formule donne réellement l'expression de () au See also:moyen de séparations de (1Op014), qui est un See also:des cloisons de q). C'est See also:le See also:point de vue vrai dont le théorème devrait être considéré. Il est mais un See also:cas See also:particulier d'une théorie générale d'expressibility. Pour inverser la formule nous pouvons écrire 1 +alox +a0ý +... +aP4xPy4 +... = See also:exp { (siox+soiy) sòx2+2Slixy+so2y2) +... }, et dérivons de là la formule (-)P+See also: +n 4 poxPy + le • 1 (1-aixthy) (1-a2x02y)... ' et maintenant augmenter droit côté RP,/j \ \ rpz+421 '''Plgl C2g2•••) See also: q! S55) 2ri! 7r2!... ''PlgihP2g2 '.. hD4 = E (Pi 1) '2! 'I S 2+ 21)! -1 * 1 * g l P.r.! q1! (p2! q2!... S "1ri! sr2!... SP1g15P2g2... Le différentiel Operations.See also:If, dans l'identité (l +See also:aix+Sly) (l +a2x+15'See also:sy)... (1+ un 'x+$, un.y) = 1 +alox +aoly +aòx2 +aaxy +a02y2 +..., nous multiplions chaque côté près (1+µx+vy), le côté droit devient 1+(aio+/3)x+(aol+v)y+... +(aP4+rta5_i,4+va5r4-i)xvy4+...; par conséquent tout raisonnable intégral fonction de coefficient See also:alo, aei...,. le • de • indiquent le f(aio, un See also:AM...) = f est converti en exp(Eidlo+sdoi)f où d10 = aP-1,5 -4, point = E AP, 4-1 P4 l'exp fini de règle serviront à dénoter que µdlo+Pdo1 doit être augmenté aux diverses See also:puissances symboliquement comme dans le théorème du See also: = See also:notation (1+µ&See also:amp;gt;;+vn) Mpg((p+a-1)! pvg; p,g! et le résultat est ainsi ou l'exp(ado +vdoi de d) = exp(µdie+vdot- 1 -(µ2dfo+àvdu+v2do2)+... } = 1+MD1o+pDo1+••.+µpv0Dpq+...; p+a-1 ((pl+51_1)! Ri (p2+q2-1)! See also:R2 Dpg- Ng1! p2!Q2! ... ir1!ir2!... See also: (multiplication symbolique) correspond à la cloison (p, g1n1 p2g2"2•••)• les cloisons étant prises de car dénotant des fonctions symétriques nous avons la correspondance complète entre les algèbres la quantité et l'opération, et de n'importe quelle formule algébrique nous pouvons immédiatement noter une formule d'opération. Ce fait est d'importance extrême dans la théorie de formes algébriques, et est facilement représentable celui qui soit le nombre de systèmes des quantités. Nous pouvons remarquer le résultat particulier (_)p+~'(P pIf 1)!dpgsp.2=Dpq(4 = 1; le dpg fait disparaître chaque autre fonction simple de partie, et doit faire disparaître n'importe quelle fonction de monôme qui ne comporte pas un des cloisons du pq de biweight parmi ses pièces. Depuis dpg=()"*'-1(p+q 1)! p!q de d! le dspg 'les solutions du dpg=o partiel d'équation sont les formes simples de bipart, omettant le spg, et nous avons vu de que les solutions D"g = o sont ces fonctions de monôme dans lesquelles le pq de pièce est See also:absent. Une plus de relation est facilement obtenue, à savoir. d p dpq-hlodp+1, q-tiennent p,g+1+... +(-)*+.lh.dp+*,g+•+.... Le mehrerer de Systemes d'eines de Resultante de See also:matrice d'Ueber algebraischen Gleichungen, les "transactions de See also:Vienne, t. iv. 1852; See also:MacMahon, "mémoires sur une See also:nouvelle théorie de fonctions symétriques, Phil" américain '. Trans., 1890, P. 490. See also:Journal des mathématiques, See also:Baltimore, Md. 1888-189o; Mémoire sur des fonctions symétriques des racines des systèmes des équations, "Phil. See also:Transport. 189o. Une forme binaire de l'ordre n est un polynôme homogène du nième degré dans deux variables. Il peut écrire dans l'axl +bxi x2 +See also:cx1 x2 +a. du N2 2 de Ni de la forme n; ou sous la forme ax"+ll)bxn 1x2+2)cxnsx2+..., 1 que See also:Cayley dénote par 1 z (a, b, c...)(x1, x2)n (1), (=)... étant une notation pour les coefficients binomiaux successifs n, in(n-I).... d'autres formes sont See also:hache du N2 2 de n n-1 +nbx x +n(n-I)cx X +..., 1 1 2 1 2 les coefficients binomiaux (') remplacé par s!(7), et n-1 cxl x2+ de l'axi +pbx x2+2 du N2 2..., la convenance spéciale dont apparaîtra plus tard. Pour les buts actuels la forme sera écrite See also:Cox, +(, le)aix, ix2-tA2)aix2-2x2+... +a x2, la notation adoptée par des auteurs d'German; les coefficients littéraux ont une règle placée au-dessus d'eux pour les distinguer des coefficients umbral qui sont présentés presque immédiatement. Les coefficients See also:ao, a1..., n+1 sont en nombre arbitraires. Si la forme, parfois nommée un quantic, soit égalisée à zéro que les coefficients n+1 sont équivalents à mais n, par puisqu'un peut être fait à unité division et l'équation doit être considéré en tant qu'une pour la détermination du rapport des variables. Si les variables du f quantic (x1, x2) soient soumises à la transformation linéaire t XL = See also:anti + anti, x2 = a21E1 + a2252, f;2 étant de nouvelles variables remplaçant XI, x2 et les coefficients, 902, a21, ont nommé les coefficients de la substitution (ou de la transformation), étant des constantes, nous arrivent à un '_ quantic transformé de R n/n1/R 'du N2 f(E1, 2) = un E - le)a h +12)a de RI h +... +a,.E2 où r = alla12 = aua1à1à21; I a21a22 r se nomme la cause déterminante de la substitution ou du See also:module de la transformation; nous assurons XI, x2 pour être des See also:independents, de sorte que r doive différer de zéro. Dans la théorie de formes nous cherchons des fonctions les coefficients et des variables des quantic originaux qui, économiser quant à une See also:puissance du module de la transformation, sont égaux aux fonctions de semblables de les du coefficients et des variables du quantic transformé. Nous pouvons avoir une telle fonction qui n'implique pas les variables, à savoir. On dit qu'alors F(ao, See also: (-)s+g-1(p+q1)!d '(-)1, r1(See also:Ea-11)!Dr1 Dp2g2.., p!q! 9'2 = ~ 2r1.2r2.... (_ E r-1,r1 d7r2 o f 1 1 2 2 1 2 dans les nouvelles variables qui est du même ordre que l'See also:original quantic; les nouveaux coefficients a, a... un a sont les fonctions linéaires 0 des coefficients originaux, et également le l fonctions linéaires des produits, des coefficients de la substitution, du nième degré. En résolvant les équations de la transformation nous obtenons rt1 = 0.22x1- a12x2, rf;2 = - a21x1+anx2, la fonction F, du côté droit qui multiplie r, serait un invariable simultané ou covariant du système du quantics. Cette notion est fondamentale dans la théorie actuelle parce que nous constaterons qu'un des artifices les plus valables pour trouver des invariants d'un quantic simple est See also:premier pour trouver les invariants simultanés des plusieurs quantics différent, et plus tard rendrons tout le quantics identique. D'ailleurs, au lieu d'avoir une paire de variables x1, x2 nous pouvons avoir le yl de plusieurs paires, y2; z1, z2;... en outre, et transformez chaque paire à une nouvelle paire par des substitutions du, en ayant les mêmes coefficients, 612, a21, a22 et arrivez aux fonctions les coefficients originaux et les variables (de l'un ou plusieurs quantics) qui possèdent la propriété invariable au-dessus-définie. Un détail quantic du système peut être la même chose ou différents degrés dans les paires de variables qu'il de de l'impliquer, et ces degrés peuvent changer de quantic à quantic du système. Un tel quantics se sont nommés par le multipartite de Cayley. Considération symbolique de Form.Restricting, pour le présent, aux formes binaires dans une seule paire de variables, nous devons présenter la forme symbolique d'Aronhold, de Clebsch et de Gordan; ils écrivent le Ni n n n de la forme n n n n-1 l'azxl x2+ d'alxl+a2x2)n = d'alxl+(l)al... I a2.x2=ay où a1, a2 sont des ombres, tels que n-1 n-1 il Al a1 a2... ala2, a2 sont les représentations symbolical des vrais coefficients ao, Al... an-1, et en général l'â-kaz est le See also:symbole pour l'ak. - si nous nous limitons à cet ensemble de symboles que nous pouvons uniquement passer d'un produit de vrais coefficients aux représentations symboliques d'un tel produit, mais nous ne pouvons pas, uniquement, du, des symboles récupérons la vraie forme. C'est clair parce que nous pouvons écrire - - au N2 n-1 2 2n-3 3 a1a2=a1 a2. a1 a2=a1 a2 tandis que le même produit des ombres surgit de aoa3 = ai.ai à2 = a2n-2 a2. Par conséquent il devient nécessaire d'avoir plus d'un ensemble d'ombres, de sorte que nous puissions avoir plus d'une représentation symbolical des mêmes vrais coefficients. Nous considérons le quantic avoir tout nombre des représentations équivalentes as=b:-c:=.... De sorte que ka2 = bl kb2 - Al du See also:Cl k C2 =... = ak; et si nous souhaitons dénoter, par des ombres, un produit des coefficients du degré s nous utilisons des ensembles de s d'ombres. Ex. See also:gr. Nous écrivons l'alaz=ai-laz•bl 2b2, 3 = le b1 n-3b28.c1n -3 d'a1 a2 n-3 8 aé2, et ainsi de See also:suite toutes les fois que nous exigeons pour représenter un produit de vrais coefficients symboliquement; nous avons alors une correspondance linéaire entre les produits real.coefficients et leurs formes symboliques. Si nous avons une fonction du degré s dans les coefficients, nous pouvons choisir n'importe quels ensembles de s d'ombres pour l'See also:usage, et après nous avoir faits à un choix pouvons quand seulement un quantic est à l'étude permutent à tout moment les ensembles d'ombres de n'importe quelle façon sans changer la vraie signification du symbolisme. Ex. gr. Pour exprimer la fonction aoa2-a;, ce qui est le discriminant de l'aoxi quadratique binaire +àix1x2+a2xa = â=bl, sous une forme symbolique nous avons 2(aoa2-ai) = aca2+alai-à1. a1 = aibi+az, See also:Bi -à1a2b1bz = (alb2 - a2b1)2. Une expression telle qu'aib2-a2bi, qui est ABS Oxi Ox2-Ox2 Oxi d'actes d'cAbs de See also:jour 'est habituellement écrite (See also:ab) pour la brièveté; dans la même notation la cause déterminante, dont les rangées sont Al, a2, a3; b1, b2, b3; c1, C2, c3 respectivement, est écrit (See also:ABC) et ainsi de suite. Il devrait noter que la vraie fonction dénotée près (ab)2 n'est pas à angle droit d'une vraie fonction dénotée près (¢b). Pour un quantic simple du premier ordre (ab) est le symbole d'une fonction des coefficients qui disparaît identiquement; ainsi (ab) = a1b2 - a2bl=anal - alao = 0 et, en effet, d'une remarque faite ci-dessus nous voyons de que (ab) See also:reste sans changement à côté d'échange a et b; mais (ab) = le -(ba), et ces deux faits rendent nécessaire (ab) = o. Pour trouver l'effet de la transformation linéaire sur la forme symbolique de quantic nous disuse de volonté les coefficients,, et utiliser X1, Al, X2, 132. Pour la substitution XI = X151 +µ1S2, x2 = X251 +µ2S2, du module a2 µ2 = (a1µ2-X2111) = (aµ), E l'asx quadratique de forme; +àlxlx2+a2x = y = f (x), devient Tot +ÀlEli:2+Aata = à = le ~(>), où Ao=aoXi+à1X1X2+a2X2, _ A1 = aoXi 1+a1(t11p1±X2p1) +a2Xz/i2, A2 = asp? • de +à1µ1µ2 +a2µ 2 que nous passons aux formes symboliques ay = ((slx'+a2x2)2, A = (A161+a2 2)z, par l'inscription pour Al, comme symboles a;, ala2, a; et puis ao, A1, A2, À, A1A2, aa à = +à1aà1~2+az)2 = (ads'+a2Xz)2 = Al, Al - = (See also:soie +a2X2) (aiµ1+a2to2) = aAaµ, A2 = (a1tL1+aisis)2=aµ; de sorte que - A~ -+àAaµEl6 +aµe = (axEl+aµ6)2; d'où Al, A2 deviennent aa, aµ respectivement et ~(f) = (aAf;l+aN, 2)2. le résultat See also:pratique de la transformation doit changer Al d'ombres, a2 dans les ombres aa = a1)1+a2X2, = Al du • a1µ1+a2tL2 = (Al XI +a2X2)"- 1(a1µ1 +azµ2) = See also:arcµ = Al -1 A2, n-k Ak de n k = (a1Xl+azaz)n k (a1µ1+azµ2)k = un aµk = A1 à 2, de sorte qu'Al d'ombres, A2 soient hache, aµ respectivement. Theorem.When la forme binaire ay = (alxl+a2x2)n A = (A151+A22)n est transformé à par les substitutions x1=X1 1+111E2, x2 = A2f;1+µ2t2, Al d'ombres, A2 est exprimé en termes d'Al d'ombres, a2 par pendant qu'Al de formules = Xlal+Xà2, A2 =/Alai +µà2• que nous recueillons cet Al, A2 est transformé à Al, a2 dans un tel See also:sage que la cause déterminante de la transformation See also:lit par des rangées la cause déterminante originale lit par des colonnes, et qui le module de la transformation est, comme avant, NON. Pour cette See also:raison Al d'ombres, A2 seraient contragredient à XI, x2. Si nous résolvons les équations reliant l'original et des unbrae transformés que nous trouvons (Xµ) (a2) = Al (A2) +µ1A1, (X ') Al = les a2(- A2) +µÀ1, et nous constatez que, excepté le See also:facteur (Aµ), - a2 et +al sont transformés - A2 et +Al par les mêmes substitutions que XI et x2 sont transformé à r et 2. Pour cette raison les ombres - a2, Al seraient cogredient XI et x2. Nous rencontrons fréquemment des quantités cogredient et contragedient, et nous avons en général le definitions:(i) suivant "si deux ensembles de quantités également nombreux X, y, z... le x', y ', z ',... sont tels que toutes les fois qu'un x réglé, y, z... est exprimé en termes de nouvelles quantités X, Y, Z... le deuxième ensemble X ', y ', z ',.. est exprimé en termes de d'autres nouvelles quantités X ', Y ', Z ', par le même See also:arrangement de la substitution linéaire que les deux ensembles seraient des quantités cogredient." (2) "deux ensembles de quantités X, y, z...; e... seraient contragredient quand les substitutions linéaires pour le premier ensemble sont x = > `1x+µ1y+piz+..., y = X2X+µ2Y+v2Z+..., z = A3X +tzÝ +v3Z +..., et ceux-ci sont associés aux formules suivantes appartenant au deuxième ensemble, _ X1E+X221+X3g-+•••, H = µSee also:li+µz+1+µ3~+..., Z=See also:st+v2n+Y3})+..., où il devrait noter que de nouvelles quantités sont exprimées en termes de vieux, en ce qui concerne le dernier ensemble, et pas See also:vice versa." Ex. gr. Le dx de symboles, dz de y... sont contragredient avec les variables X, y, z... pour quand (x, y, z...) _ (a1, a1, v1...) (X, Y, Z...), X2,/L2, V2, • I X3, µ3, v3 > respectivement. En transformant pareillement le n binaire "en formez que nous trouvons ao = (a1X1+aà2)n = as+ nous trouvons/See also:annonce d... > = (XI, X2, a3...) ~dx, a ay...) 112, µ3... vi, V2, v3, ••• observent la notation, qui est cela présentée par Cayley dans la théorie de See also:matrices qu'il a créées lui-même. À juste comme le cogrediency mène une théorie de covariants, ainsi contragrediency mène à une théorie de contravariants. Si u, un quantic dans x, y, z..., soit exprimé en termes de nouvelles variables X, Y, Z...; et si n, r. soyez des quantités contragredient à x, y, z...; là s'avèrent exister des fonctions de t, n..., et des coefficients dans u, qui ont besoin, tout au plus, soit multiplié par des puissances du module d'être rendu égal aux mêmes fonctions de Z, H, Z... des coefficients transformés de u; de telles fonctions s'appellent les contravariants du u. là existent également les fonctions, qui impliquent les deux ensembles de variables aussi bien que les coefficients de u, possédant a comme la propriété; tels se sont nommés les concomitants mélangés, et elles, comme des contravariants, peuvent appartenir aussi bien à un système des formes quant à une forme simple. Comme entre l'original et quantic transformé nous avons les relations umbral AI = le Xiai+Xà2, A2 = Alai +µà2, et pour une deuxième forme B, = l'aibi +)sbz: Bs = µibi +µ2b2• les formes originales sont a:, b:, et nous pouvons les considérer en tant que différentes formes ou comme les représentations équivalentes de la même forme. En d'autres termes, B, b peut être considéré comme les différents ou alternatifs symboles à A, a. dans l'un ou l'autre cas (ab) = AIBzA, Bi = (Xs)(ab); et, de la définition, (ab) possède la propriété invariable. Nous ne pouvons pas, cependant, dire qu'elle est une invariable à moins qu'elle soit exprimable en termes de vrais coefficients. Depuis (ab) = aibá2b, que ceci peut être le cas chaque forme doit être linéaire; et si les formes soient différent (ab) est un invariable (simultané) des deux formes, sa vraie expression étant agbiaibo. Ceci sera identifié comme résultante des deux formes linéaires. Si les deux formes linéaires soient identiques, Al umbral d'ensembles, a2; le Bi, b2 sont alternatif, sont finalement égal mis à un un autre et (ab) disparaît. Une forme linéaire simple n'a, en fait, aucun invariable. Quand l'une ou l'autre des formes est d'un ordre plus haut que le premier (ab), en tant que n'étant pas exprimable en termes de coefficients réels des formes, n'est pas un invariable et n'a aucune signification. Présentation maintenant d'autres ensembles de symboles C, D...; c, d... nous pouvons écrire (AB)'(AC)~(BC)k... _ NS) le t(bc)k d'i+i+k+... (ab)ac)..., de sorte que le produit symbolique (l'ab)'(ac)i(bc)k..., possède la propriété invariable. Si les formes soient toutes linéaires et différentes, la fonction est une invariable, à savoir la puissance d'ith de cela qui appartient à de comme et le bx multiplié par la puissance de:eh cela appartenant à en tant qu'et cx s'est multiplié par le &c. Si n'importe quels deux des formes linéaires, px de parole, qx, soient identiques supposé, n'importe quelle expression symbolique impliquant le facteur (pq) est zéro. See also:Notification, donc, que le produit symbolique (ab)`(ac)i(bc)... peut être toujours regardé comme un invariable simultané d'un certain nombre de hache linéaire différente de formes, le bx, cx.... Pour que (l'ab)i(ac)i(bc)k... peut être un invariable simultané d'un certain nombre de différentes formes a mangé ', b':2, 42..., où Ni, le N2, n3... peut être le même ou différent, il est nécessaire que chaque produit des ombres qui surgit dans l'expansion du produit symbolique soit de Ni de degré dans la AI, az; dans le cas de 6, b2 de N2 de degré; dans le cas du C2 du degré n3; et ainsi de suite. Pour ces derniers voulez seulement le produit symbolique soit remplaçable par une fonction linéaire des produits de vrais coefficients. Par conséquent la See also:condition est i+j +... = Ni, i+k+... = le N2, j+k+••• = n3, si les formes mangeaient, cs... soit identique les symboles sont alternative, et à condition que la forme ne disparaisse pas elle dénote un invariable de la forme simple a:. Il peut y avoir un certain nombre de formes AI, les bs, ci... et nous pouvons supposer de telles identités entre les symboles qui dans l'ensemble seulement deux, trois, ou plus des ensembles d'ombres ne sont pas équivalents; nous obtiendrons alors des invariants de deux, trois, ensembles ou plus de formes binaires. L'expression symbolique d'un covariant est également simple, parce que nous voyons immédiatement que depuis la AI;, B, CE... sont égal à comme, le Ba, cx... respectivement, la hache linéaire de formes, près, ca... possèdent la propriété invariable, et nous pouvons écrire (ABC d'AB)'(AC)'(BC)k...... = (x••• de x (d'aPb°c de bc)k de lab)"(ac) de • de ~µ):+;+k+..'... 'X, et affirment que le produit symbolique (ab) '(C.a.) '(avant Jésus Christ) k... amibien:... possède la propriété invariable. C'est toujours un invariable ou un covariant appartenant à un certain nombre de différentes formes linéaires, et comme avant qu'il puisse disparaître si deux telles formes linéaires soient identiques. En général ce sera covariant simultané du bz différent 'P, c de nl de formes... s'i+j +... +P=ni, i+k+... +a=ns, j+k+... +T = n3, il sera également un covariant si le produit symbolique soit factorizable dans les parties dont chacune satisfait ces conditions. Si les formes soient identiques les ensembles de symboles sont finalement égalisés, et la forme, si elle ne disparaît pas, est un covariant de la forme a:. L'expression (ab)4 appartient correctement à un quartic; pour une équation quadratique il peut également écrire (ab)2 (cd)2, et dénoterait la See also:place du discriminant aux pres d'un facteur. Pour le quartic (''d'ab)4=(albs a2bi)4=albsâia.sbibz+ãa2bib2 _ _ -âia2bibs+See also:alb = -â d'aaa4 -âiaa+ã ', a3+aoa4 = 2(aoa4â, aa+á2), un des invariants bien connus du quartic. Pour le cubique (l'ab)àxbx est un covariant parce que chaque symbole a, b se produit trois fois; nous bidon d'abord de toute la trouvaille sa vraie expression comme covariant simultané du cubics deux, et puis, supposant près le cubics deux pour fusionner dans l'identité, trouvons l'expression du covariant quadratique, du cubique simple, généralement connu sous le nom de See also:toile de See also:jute. Par la multiplication simple (albib2 -à?a2bib2+ala2ba)x? +(aib2 - ala2bibàia2b, -à de b2+aabi)xixs +(aiasb2, a2biba +a2bib2)xa; et transformant à la vraie forme, (les nobs àibi+a2bo)xi +(aob3 aib2 demandent +asbo)xixz + (aiba à3bs+a3b)x2, le covariant simultané; et maintenant, mettant le b=a, nous obtenons deux fois la toile de jute (aoaà?)x +(aoa3 aias)xix2+(alas a2)x8. On lui montrera plus tard que tous les invariants, simple ou simultané, sont exprimables en termes de produits symboliques. Le degré du covariant dans les coefficients est égal au nombre de différents symboles a, b, c... qui se produisent dans l'expression symbolique; le degré dans les variables (c.-à-d. l'ordre du covariant) est s+a+s+... et le See also:poids 'du coefficient de la principale limite xi+a+r+..• est égal à i+j+k+.... Ce sera évident qu'il y a quatre See also:nombres liés un covariant, à savoir les ordres le quantic et covariant, et derrière le degré et derrière le poids du principal coefficient; appelant ces derniers n, e, 6, W respectivement nous pouvons voir qu'elles ne sont pas des nombres entiers indépendants, mais qu'elles sont invariablement reliées par une certaine relation nO2w=e. Pour, si 4(ao... XI, x2) soit un covariant d'ordre par appartenir à un quantic de l'ordre n, (•S i53 de • de • de ~+O r) = (~/I)10~ (• de • de • d'aor X15, +fißz r~251 +/+252); nous constatons de que les côtés See also:gauche- et droits sont See also:No. de degrés et 2W+e respectivement dans III, le µi, X2, µ2, et de là aucun = 2W+0. Identités Symboliques. Afin de manoeuvrer des expressions symboliques il est nécessaire d'être en See also:possession de certaines identités simples qui relient certains produits symboliques. La hache de trois équations = a, xi+a, x2, de bx = du bixi+b2x2, Cy = cixl+czx2, nous trouvons en éliminant XI et x2 la relation ax(bc)+bx(ca)+cx(ab) = 0. (I.) présentent maintenant les nouveaux See also:Di d'ombres, d2 et rappellent avec que +d2di sont cogredient XI et x2. Nous pouvons dans n'importe quel produit de remplacement de relation pour n'importe quelle paire de quantités n'importe quelle autre paire cogredient de sorte qu'écrivant +ds, Di pour XI et x2, et noter que le gx puis devient (gd), l'identité au-dessus-écrite devienne (See also:ad)(bc)+(bd)(ca)+(cd)(ab) = 0. (ii.) de même dedans (I.), écrivant pour ci, C2 la paire cogredient y2, +yi, nous obtenons axbyaybx=(ab)(xy).. '. . (iii.) encore dans (I.) ax(bc) de transposition to l'autre côté et ajuster, nous obtenons 2(ac) (bc)axbx = (bc)ài+(ac)2bx (ab)2cs. (iv.) et ci-dessus inscription du ds, Di pour x2, 2(as)(be)(ad)(bd) = (be)2(ad)2+(ac)2(bd)2(ab)2(cd)2. (V.) Comme une See also:illustration se multiplient (l'cIv.) dans tout par ax-2bs-2cs-2 de sorte que chaque limite puisse dénoter un covariant d'un nio. 2(as)(bc)a°-'b2 c"-1 x x X = (bc)àibr+(ac)à:-2bzcx-2(ab)às-2hi72c. 'le poids des See also:dix, See also:inondation... d, est défini comme étant k, +2k2+... +nk.. chaque limite du côté droit peut s'avérer par la permutation de a, b, c la représentation symbolical du même covariant; ils sont les produits symboliques équivalents, et nous pouvons en conséquence écrire 2 (C.a.) (avant Jésus Christ) le ~c 2 d'a"-See also:ibn = (ab)àn-2bn-2cn une relation qui prouve que la forme du côté gauche est le produit des deux covariants (ab)àk- 24-2 et c:. Les identités sont utiles, en particulier, en ramenant les produits symboliques aux formats standards. L'expression d'Asymbolical peut être toujours ainsi a transformé que la puissance de n'importe quel facteur déterminant (ab) est égale. Pour nous pouvons dans n'importe quel échange a et b de produit sans changer son signification; donc (ab)sm+141 = (ab)2m+14 où 41 devient 42 par l'échange, et par conséquent (ab)2m+1421 = 2(ab)2 "(41 42); et identité (I.) de volonté résultat toujours en transformant 41-42 afin de le rendre divisible près (ab). Ex. gr. (ab) (C.a.) bxc2, = - (ab) (bc)a.cz = 2(ab)c~{(ac)by-(bc)as } = 2(ab)2c;; de sorte que le covariant de l'équation quadratique du côté gauche soit moitié du produit de l'équation quadratique lui-même et son seulement invariable. Pour obtenir le théorème correspondant au sujet de la forme générale d'ordre égal que nous multiplions partout par (ab)2si-2cz°'-2 et obtiennent (ab)2, n_t(ac) bscym-1 = 2 (ab)2mC2.m prêtant l'See also:attention simplement aux facteurs déterminants là n'est aucune forme avec un facteur puisque (ab) disparaît identiquement. Pour deux facteurs le format See also:standard est (ab)2; pour trois facteurs (ab)2(ac); pour quatre facteurs (ab)4 et (ab)2(cd)2; pour cinq facteurs (ab)'(ac) et (ab)2(ac)(de)2; pour six facteurs (ab)6, (ab)2(bc)2(ca)2, et (ab)2(cd)2(e})2. ce sera un exercice utile pour que le lecteur interprète les covariants correspondants du quantic général, pour prouver de que certains d'entre elles sont des puissances simples ou des produits d'autres covariants des degrés inférieurs et ordre. Les Process.The polaires, polaires d'ay en ce qui concerne l'is• I+ See also:ani-µay, c.-à-d. A de y des facteurs symboliques de la forme sont remplacés par p d'autres dans lequel le nouveau yl de variables, y2 remplacent les variables anciennes x1, x2., l'opération de prendre les résultats polaires dans un produit symbolique, et la répétition du See also:processus en vue de de nouveaux ensembles cogredient de résultats de variables sous les formes symboliques. Il est donc les process invariables. Toutes les formes obtenues sont des invariants en vue de des transformations linéaires, selon le même arrangement des substitutions, des multiples ensembles de variables. Une opération associée importante est 02 a2 020y20xàylr qui, fonctionnant sur tout polaire, des causes il pour disparaître. D'ailleurs, son opération sur n'importe quelle forme invariable produit une forme invariable. Chaque produit symbolique, impliquant plusieurs ensembles de variables cogredient, peut être exhibé comme See also:somme de limites, dont chacune est une polaire multipliée par un produit des puissances des facteurs déterminants (xy), (xz), (Yz), •.. Transvection.We ont vu que (ab) est un invariable simultané des deux formes linéaires différentes ay, b., et nous observons que (ab) est équivalent à où f = a =, 4 = bx. Si f = a: 4 = b: soyez deux formes binaires quelconques, nous généralisent en formant la fonction (m - k)! (n-k)! (d'a4 _ La4 ml n! l'axàx de \axlaxs ceci s'appelle les km/h transvectant de f plus de 4; il peut commodément dénoter près (f, 4)k. (bn)k de AM = (ab)ka'n-kbn-k il est clair que le kth transvectant soit un covariant simultané des deux formes. Gordan a montré lui que chaque produit symbolique est exprimable comme somme de transvectants. Si le m>n là sont les transvectants n+1 correspondant aux valeurs o, I, 2... n de k; si le k=o nous ont le produit des deux formes, et pour toutes les valeurs de k > n les transvectants disparaissent. En général nous pouvons avoir deux formes quelconques 4f = (41x1+42x2)v, î = (f'lxl+#2x2)4, 41, 4s, ¢2 étant les ombres, comme d'See also:habitude, et le kilomètre transvectant nous avons (î, 5~'y) k = (4+2)k4-k4gk, un covariant simultané des deux formes. Nous pouvons supposer de, 42 à être deux covariants quelconques appartenant à un système, et le processus du transvection fournit des moyens de la marche à suivre à partir d'elles à d'autres covariants. Les deux formes a =, près, ou 4z, 0g, peuvent être identiques; nous avons alors le kth transvectant d'une forme au-dessus de elle-même ce qui peut, ou ne pouvons pas, disparaître identiquement; et, dans le dernier cas, est un covariant de la forme simple. Il est évident que, quand k est inégal, le k°h transvectant d'une forme au-dessus de lui-même fasse disparaissent. Nous avons vu que le transvection est équivalent à l'exécution des opérations différentielles partielles sur les deux formes, mais, pratiquement, nous pouvons considérer le processus comme simplement substituant (ab)k, (40)k pour ayby, 4xk respectivement dans le produit symbolique a soumis au transvection. C'est essentiellement une opération effectuée sur le produit des formes de •two. Si, puis, nous avons besoin des transvectants des deux formes f +af, 4r+µ4 ', nous prenons leur produit f4+af'4+µf4'+xpf'4 ', et le kilomètre transvectant est simplement obtenu en fonctionnant sur chaque limite séparément, à savoir. (y y r 4)k+a(f ', See also:Sc de ~)k+ (r ~')"+)(,/', 0n/k; et, d'ailleurs, si nous exigeons pour trouver le kth transvectant d'un système linéaire d'excédent de formes un autre nous avons simplement pour multiplier les deux systèmes, et prenons le kth transvectant des produits séparés. Le processus du transvection est relié aux opérations il; pour - ] l'ilk (a'mbY/nl = (byn-k r ou f2k de kam-k d'ab)Oa. ((asbv)y _: = (f, 4)k; est tellement également le processus polaire, pour depuis fkY = am.-kb:, k k 4y près près, si nous prenons le kilomètre transvectant du fk, au-dessus 4y, concernant le yl, y2 comme variables, j (fk 4,:) k = (ab)k¢:m-kbs - de k = du l(J t, 4)k•, ou le k° 'transvectant des polars de kilomètre, en vue de y, est égal au k 'transvectant des formes. D'ailleurs, le kilomètre transvectant (l'ab)ka, par k est derivable du See also:pH polaire de comme, à savoir a, -kak, en remplaçant le yl, Y2 les quantités cogredient b2, -b1, et se multiplier par le bz-k: D'abord et le deuxième Transvectants.A peu de mots doivent être dits au sujet des deux premiers transvectants pendant qu'ils sont d'intérêt exceptionnel. Puisque, de si f = a,7, 4 = 14, (f, 4)1 = I (de 00Of 04) = (l'ab)az lbi-1=J, axl de la hache Ox2 d'axl de manganèse le premier transvectant diffère mais par un facteur numérique le Jacobian ou cause déterminante fonctionnelle, des deux formes. Nous pouvons trouver une expression pour le premier transvectant de (f, 4)1 au-dessus d'une autre forme c9. Pour (m+n) (See also:PO:, = nf•41y+mfy.0, f, 4y fY•4 = (a:by-ayby) 'b ay: ' = (xy) (f, 4)1; (f, 4)1 = Fn+n(xy)U De f y4+m, 4)1. See also:Mettez I m- pour m, n 1 pour n, et multipliez-vous à travers près (ab); puis { (f = (ab)a'aybz'-t'm+ni2(xy)(f, 4)2, = (ab)a, -4 'bzkby; I 2 (xy) (f, 4)2• multiplient le T1 de byc et pour le yl, y2 écrivent 4, ci; alors le côté droit devient (ab)(bc)az lbs-2cri +m m+; - ac:(f,O dont) ', la première limite, écrivant des See also:Cf = 0, est a, b, cs-2(ab)(bc)azcz = - a, par-kc '5 (soyez) 26z+(ab)2cx - (ac)2bs _ -2 a, (s(((c de bc)2by: +cy (ab)à b: _ bs(ac)àikc;k _ - 23 (4,42)2•f+(, 42)2.0 (, 4)2.4J; et, si (f, 4)1=k'"+ "2 (f, 4)1 '''1•, See also:acte de A, 00 axl Ox2 Ox2 ax1 de 1.c9 1=k5+"-2kyc observant cela et et ceci, sur écriture C2, - c1 pour y1, y2, devient (kc)k"'c: 1 = # (f, m)1 '# (1; { (f, O)1, 'F}1=1 m7;!.. 2 2 (O, P.f; et de là il s'avère que le premier transvectant de (f, ¢)1 plus de 4 'est toujours exprimable au moyen de formes du degré inférieur dans les coefficients partout où chacune des formes f, ¢, 4'est plus hauts de degré que le premier dans x1, silicium. Le deuxième transvectant d'une forme au-dessus de lui-même s'appelle la toile de jute de la forme. Il est (f, f')2 = (ab)à W 2bm-2 = H="-4 = H; unsymbolically c'est un multiple numérique de l'a2 déterminant par a2 qu'il est également le premier transvectant des coefficients ential de la hache de differaxf (axax2) de la forme en ce qui concerne les variables, à savoir ((11 pour l'équation quadratique elle est la discriminante (ab)2 et pour 'hache \ax1 le cubique le covariant quadratique (ab)2 a:bx. En général pour une forme dans des variables de n la toile de jute est hache d'a2f a2x a2f! ax1ax2, 'axlax, axàxn 02f a2f d'axa des ae a2f ax1ax2 d'a2f "'_ un axlaxnaxàx," 04, et il y a un théorème remarquable qui déclare cela si H = o et n=2, 3, ou 4 la forme originale peuvent être exhibés comme forme dans t, 2, 3 variables respectivement. La méthode importante de la forme f+a0.An pour la formation des covariants est reliée à la forme f+X4, où f et PE sont du même ordre dans les variables et a est une See also:constante arbitraire. Si les invariants et les covariants de ce quantic composé soient formés nous obtenons des fonctions de X tels que les coefficients des diverses puissances de X sont éteints les invariants simultanés et le q. en particulier, quand q, est un covariant de f, nous obtenons de cette manière des covariants de f. Le différentiel partiel Equations.It sera montré plus tard que des covariants peuvent être étudiés par l'attention limitrice au principal coefficient, à savoir cela affectant XI où a est l'ordre du covariant. Un fait important, découvert par Cayley, est que ces coefficients, et également les covariants complets, satisfont certaines équations partielles qui suffisent pour les déterminer, et pour s'assurer plusieurs de leurs propriétés. Ces équations peuvent être atteintes dans beaucoup de manières; la méthode ici donnée est due à Gordan. XI, X2,/L2 étant comme d'habitude les coefficients de la substitution, laissent x, - +x2- = D XI +xà = D~k, Au de t 2 aa, u2 le µtax, +1+à a = Dµ, k, AI +P2 = DILA, soient les opérateurs linéaires. Puis si j, J soit l'original et les formes transformées d'un W invariable étant le poids de l'invariable. L'opération sur J résulte comme suit: DaaJ=wJ; DA, j=0; D, aj = 0 jD.wJ = wJ. Les premiers et le See also:quart de ces derniers indiquent que (l'aµ)'° est une fonction homogène d'a1, X2, et de µ1, d'u2 séparément, et du deuxième et résulte troisièmement du fait que (Xµ) est provoqué pour disparaître par DAµ et Dµ. puisque nous constatons que (DA1, Ak) Ak = wJ; (DA Ak) Ak = 0; k k 1(D'`'`Ak)aâAk = 0; (DAk) - A = wJ. k k selon la See also:loi bien connue pour les changements des variables indépendantes. Maintenant DAAAk=(n-k)Ak;DA Ak=kAk-1; ainsi nous obtenons Dµ, Ak = (n k)Ak}1;DµµAk = kAk; E (nk)Aka = wJ;EkAk_, -=0; k k (n-k)Ak+, et = 0;EkAk A = wJ; kequations de k qui sont valides quand X1, X2, ui, u2 ont des valeurs arbitraires, et donc quand les valeurs sont telles que J=j, Ak=ak. Par conséquent - aj un 'nao - = +(n-1)a1_+(n-2)a2 J +... _ aj d'aj de l'aa° aa1 aa2 - aj d°aa1+à1Oa.2+á2 a2+... =0, - nalaao I d'aj d'aj d'aj _ (n-1)aàa1+(n-2)aáa2+... =0, - aj a1aa1+àeaa2+oaàaa+ d'aj d'aj... = wj, le système complet des équations satisfaites par un invariable. Le quart prouve que chaque limite de l'invariable est du même poids. D'ailleurs, si nous ajoutons le premier au quart que nous obtenons - aj 2w. _ akaak n - JO, où 0 est le degré de l'invariable; ceci See also:montre, comme nous avons avant observé, cela pour un w=2n0 invariable. Le deuxième et sont troisièmement ceux sur la See also:solution de laquelle on peut dire que la théorie de l'invariable dépend. Une déduction instantanée de la relation w=2-n0 est que les formes d'ordres inégaux possèdent seulement des invariants de degré égal dans les coefficients. 
Les deux opérateurs _ a = a0aa1 +2'aa2+... +na"-laan 0 = nalaa0+(n -1)aàa1+... +a "aa"_1 ont été beaucoup étudiés par See also:Sylvester, See also:Hammond, Hilbert et See also:Elliott (Elliott, algèbre de Quantics, See also: Le deuxième evectant est obtenu en fonctionnant pareillement sur tous les symboles restants qui se produisent seulement dans des facteurs déterminants, et ainsi de suite pour les evectants plus élevés. Ex. gr. À partir (ac)2(bd)2(ad)(bc) de nous obtenons (bd)2(bc)csda+(at)2(ad)cxdi - (bd) 2(ad) azbx - (ac)2(bc),bz = 4(bd)2(bc)cydz le premier evectant; et de là the'second 4czdi evectant; en fait les deux evectants sont aux pres numériques de facteurs, au covariant cubique Q, et à la place de l'original cubique. Si 0 soit le degré d'un j invariable JO = a-=+aa '+... aj d'aj de l'aj n-1 de +a"a = alaao+al aàa1+... +aàa.. et, d'a ci-dessus de transformation à x, nous obtenons le premier p evectant. (le)kk. See also:classe importante de l'aak k Combinants.An du kaj z xx2 des invariants, de plusieurs formes binaires du même ordre, a été découvert par Sylvester. Les invariants en question sont la transformation linéaire de qua d'invariants des formes elles-mêmes aussi bien que la transformation linéaire de qua des variables. Si les formes soient az, le Bi, ci... le processus d'Aronhold, donné par l'opération S comme entre n'importe quels deux des formes, fait disparaître un tel invariable. Ainsi il a les annihilators des formes - d - d - les ae b°+a1ab1+a2db2+ de d... 0ciao+bldal+b2da2+... et Gordan, en fait, prend la See also:satisfaction de ces conditions en tant que définir ces invariants que Sylvester a nommés des "combinants." L'existence de telles formes semble avoir été apportée la notification des toSylvester par l'observation du fait que la résultante l'az et les bs doit être un facteur de la résultante du Xa +µb = et aas+µb 'pour un facteur See also:commun de la première paire doit être également d'un facteur = d'un H:(''-2 communs) = H. 'J = F(Ao, A1.....), où le kk = un aµ les résultats sont équivalent à de la deuxième paire; de sorte que la condition pour l'existence d'un tel facteur commun doive être la même dans les deux cas. Une principale proposition déclare que, si un invariable Xas et µb1 soit considéré comme forme dans les variables de a et d'Al, _ et un invariable du dernier soit pris, le résultat sera un combinant de comme et b '. L'idée peut être généralisée afin d'avoir le respect aux formes ternaires et plus élevées chacune du même ordre et du même nombre de variables. Pour de plus amples informations voir le Gordan, See also:fibre Invariantentheorie, le § 6 (See also:Leipzig, 1887) de Vorlesungen de Bd. ii.; E. B. Elliott, algèbre de Quantics, See also:art. 264 (See also:Oxford, 1895). Il est difficile obtenir système associé de Forms.A des formes, telles que chaque forme appartenant à la forme binaire est exprimable comme fonction raisonnable et intégrale des membres du système. Si, cependant, nous indiquons que toutes les formes doivent être des fonctions raisonnables, mais pas nécessairement intégrales, un nouveau système des formes surgit qui est facilement procurable. Une forme binaire de l'ordre n contient les constantes indépendantes de n, dont trois par transformation linéaire peuvent être donnés des valeurs déterminées; les coefficients n3 restants, ainsi que la cause déterminante de la transformation, nous donnent des paramètres de N2, et en conséquence un la relation doit exister entre tous les invariants n1 de la forme, et le fixing sur des invariants de N2 chaque autre invariable est une fonction raisonnable de ses membres. De même concernant XI, x2 en tant que paramètres additionnels, nous voyons que chaque covariant est exprimable comme fonction raisonnable des covariants fixés par n. Nous pouvons ainsi déterminez ces covariants de n que chaque autre covariant est exprimé en termes d'eux par une fraction dont le dénominateur est une puissance de la forme binaire. Observez d'abord qu'avec f'2 = comme = b = =...,f, = des alas ', f 2 = a2 a:-1, (ab)(af)(bf)a. et que de là chaque produit symbolique est égal à une fonction raisonnable des covariants sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de f. faisant à la substitution dans n'importe quel produit symbolique les seuls facteurs déterminants que le présent eux-mêmes dans le numérateur sont de la forme (af), (bf), (cf)... et chaque symbole a apparaît finalement sous la forme. = (af)kan, - le!Gk de k Y'k a f comme facteur, et peut être écrit f. Ilk; pour observer ce 4'o=f. = uo de f.; Y'1=0=f.u1; là où uo=1, u1=o, assument ce ¢k = (af)ka:2 = f. le R-U = l'az.ukk0") prenant le premier polaire en ce qui concerne y (nk)(af)ka = k - '+k(af)k-ia: (k(d'ab)(n1)bs2by n k, de -2k-1 n-1.-2) = k(n-2)azux uy+See also:nay ayuy, et, écrivant See also:F2 et See also: +u"n"• maintenant un covariant de a: = f est obtenu à partir du covariant semblable pour to à du poids du See also:commerce en écrivant là-dedans x2, y, y2r et, depuis y, y2 ont été linéairement transformés E et n, il est simplement nécessaire de former les covariants en ce qui concerne la forme (ui+u2n)", et puis la division, par la puissance appropriée de f, donne le covariant en question en fonction de fuo=1, u2, u3... n. See also:sommaire de Results.We donnera maintenant un See also:compte à découvert des résultats auxquels les processus antérieurs mènent. De n'importe quelle forme AI là existe d'un un nombre fini invariants et covariants, en termes de lesquels tous autres covariants sont les fonctions raisonnables et intégrales (cf. Gordan. § 21 de Bd. ii.). On dit que ce nombre fini de formes constitue le système complet. Des formes deux ou plus binaires là sont également les systèmes complets contenant un nombre fini de formes. Il y a également les systèmes algébriques, comme mentionné ci-dessus, impliquant peu de covariants qui sont tels que tous autres covariants sont rationnellement exprimables en termes d'eux; mais ces systèmes plus réduits ne possèdent pas le même intérêt mathématique comme des ces d'abord mentionnés. Le système complet binaire de Quadratic.The comprend la forme elle-même, as, et le discriminant, qui est le deuxième transvectant de la forme sur lui-même, à savoir: (f, f')2 = (ab)2; ou, dans de vrais coefficients, 2(a0a2=ai). Le premier transvectant, (f, f')i=(ab) des asbs, disparaît identiquement. Appelant le distinguer D, la solution de l'équation quadratique comme = o est donnée par le formula A 1 a, a0 (acx, +a1x2x2 - doxi+alx2+x2 linéaire 'jI 3 si la forme un 'soit écrite comme produit de ses facteurs p, qz, les prises discriminantes la forme (pq)2. l'disparaition de cet invariable est la condition pour les racines égales. Le système simultané de deux formes quadratiques comme, ay, indiquent f et 0, se compose de six formes, à savoir. les deux formes quadratiques f, 4.; les deux discriminants (f, f')2, (0, 0')2, et les premiers et deuxièmes transvectants de f sur 0, (f, 0)1 et (f, 0)2, qui peut être écrit (aa)a, a, et (aa)2. ces formes fondamentales ou au See also:sol sont reliés par la relation -21 (f, o)11 2=f2(d, o')22fo(.f, o)2+0(.f, f)2- si le covariant (f,¢) 'disparaît f et 0. sont clairement proportionnels, et si le deuxième transvectant de (f, 4)i sur lui-même disparaît, f et 4. possèdent un facteur linéaire commun; et la condition est nécessaire et suffisante. Dans ce cas-ci (f, 0)1 est à angle droit parfait, puisque son discriminant disparaît. Si (f,4.) ' ne soyez pas à angle droit parfait, et r,, s, soit ses facteurs linéaires, il est possible pour exprimer f et 4, sous les formes canoniques ai(r~)2+X2(s)2, t.i(r)2+µ2(s)2 respectivement. En fait, si f et 0 ont ces formes, il est facile de vérifier que (f, 0)1 = (aµ) (rs)r, s. le système fondamental lié aux formes quadratiques de n se compose (I.) le n se forme f, (ii.) (2) les causes déterminantes fonctionnelles (fi, fk) ', (iii.) (dans-variantes de ì) (fi, fk)2, (l'iv.) (3) les formes (fi, (le fk, f,))2, chaque tel inchangé restant de forme pour toutes les permutations de I, k, m. entre ces diverses relations de formes existent (cf. Gordan, § 134). Le système complet binaire de Cubic.The se compose f = comme, (f, f')2 = (ab)à, bz = L1y, (f, A) = (ab)2(ca)bsc2 = Qzs, et (0,0')2 = (ab)2(cd)2(ad) (avant Jésus Christ) = R. Pour nous montrer que ce système est complet devons considérer (f, 0)2, (0,0')1, (f, Q)i, (f, Q)2, (f,Q) ', (A,q) ', (O, q)2, et chacun de ces derniers peuvent s'avérer ou zéro ou pour être une fonction intégrale raisonnable de f, 0 des formes de Qand R. These sont reliées par la relation 2Q2+A3+Rf2 = 0. Le discriminant de f est égal au discriminant de 0, et est donc (0, 0')2=R; s'il disparaît f et 0 ont deux racines égales. est éteint un facteur raisonnable et Q est un See also:cube parfait; la See also: Ils sont reliés par la relation Remark.See also:Hermite a montré (Crelle, Bd. III.) que la substitution, le ~ f de z, ramène le ~Xl T-x18xz de x à la forme j 21z=2 fÀA83jf3• le discriminant, dont l'disparaition est la condition que f peut posséder deux racines égales, a l'expression j216.i8; il est neuf temps le discriminant du k3-ìk3j resolvent cubique, et a également l'expression 40, t')4. Le quartic a quatre racines égales, c'est-à-dire, est une quatrième puissance parfaite, quand la toile de jute disparaît identiquement; et réciproquement. Ceci peut être vérifié en égalisant à zéro les cinq coefficients du àib de la toile de jute (ab):. Gordan a également prouvé que l'disparaition de la toile de jute du n`° binaire est l'état nécessaire et suffisant d'assurer la forme étant puissance d'un n° parfait '. L'disparaition des invariants i et j est l'état nécessaire et suffisant d'assurer le quartic ayant trois racines égales. D'une part, assumant le quartic pour avoir la forme 4x ~x2, nous trouvons I = j = o, et d'autre part, supposant I = j = o, nous constatons que la nécessité quartic ont la forme asxi+â1xix2 qui prouve la proposition. La volonté quartic ont deux paires de racines égales, c.-à-d., soyez à angle droit parfait, si lui et sa toile de jute diffèrent simplement par un facteur numérique. Pour lui est facile d'établir la formule (yx)À4 = 2f.f2y2(fy)2 reliant la toile de jute aux polars quartic et ses premiers et deuxièmes; maintenant a, une racine de f, est également une racine d'Ay, et See also:con- sequently que le premier f1 polaire u y'axl+yàx2 doit également disparaître pour la racine a, et de là ixix et a doivent également disparaître pour la même racine; ce qui montre qu'a est une See also:double racine de f, et f donc une place parfaite. Quand f=6x1x2 il sera constaté qu'A=f. La forme la plus simple à laquelle le quartic est en général réductible est f = xi+6mxix2+x2, impliquant un paramètre m; puis A = = 2m (x: +x24) +2 (13m2) x2lx22; i = 2 (I +3m2); j = 6m (1m) 2; t = (1 9m2) (XI x2) (x2, +x2) x, x2. Le covariant sextic t est vu pour être factorizable dans trois facteurs quadratiques 4)=xlx2, +y=xi+x22, 0=4x2, qui sont tels que les trois deuxièmes transvectants mutuels disparaissent identiquement; ils sont pour cette raison nommé des facteurs quadratiques conjugués. Il est sur une considération de ces facteurs de t que Cayley See also:base sa solution de l'équation quartic. Pour, depuis -2t2=A3ìfÀ3j(f)3, il compare le côté droit au k2-ìa2k-3jas resolvent cubique, de f=0, et See also:note qu'ils deviennent identiques sur A de substitution pour k, et f pour a; par conséquent, si k, k2, k3 soit les racines du -212 resolvent = (A+k1f) (A+k2f)(A+k3f); et maintenant, si toutes les racines de f soient différents, sont tellement également ceux du resolvent, puisque le dernier, et f, ont pratiquement la même chose discriminante; par conséquent chacun des trois facteurs, de -2t2, doit être à angle droit parfaits et prise la racine carrée _ de 1 t -24)•x•4); et il peut montrer que (A, x, ¢ sont les trois facteurs quadratiques conjugués de t mentionnés ci-dessus. Nous avons des expositions d'A+k1f=Ak2f=x2, d'A+k3f=#G2, et de Cayley qu'une racine du quartic peut être exprimée sous la forme déterminante les racines restantes obtenu en changeant les signes qui se produisent dans les radicaux (0v, xv, 4). La transformation à la forme normale ramène le quartic à une équation quadratique. Les nouvelles variables y, =0 sont les facteurs linéaires de 4). Si ¢=rx.sx, y2 = 1 forme normale de comme, peut être montré pour être donné par (rs)'.ay = (ar) 4sz+6 (ar) 2 (comme) 2rsss+ (comme); ¢ est n'importe quel un des facteurs quadratiques conjugués de t, de sorte que, en déterminant le rx, le sx du SL A+klf = o, k, soit n'importe quelle racine du resolvent. La transformation à la forme normale, par la solution un cubique et une équation quadratique fournit, donc, une solution de un du quartic. Si (AP) est le module de la transformation par laquelle a: est réduit à est la forme normale, I devient (Xu)î, et j, (au)3j; par conséquent j3 est absolument inchangé par transformation, et se nomme l'invariable See also:absolu. Puisque donc 32 = 9 m2(11 3 m2)2 nous ont une équation cubique pour déterminer le m2 en fonction de l'invariable absolu. 1 ì'J 2 de j See also:once 1 1 j2 3 2+ T 3 2 a3 le système complet binaire de Quintic.The se compose de 23 formes, dont les plus simples sont f = ay; la toile de jute H = (f, f) 2 (ab) à:b '; le covariant quadratique 2 = (Li) 5 = âxbx (ab); et le covariant nonic T=(f, (f', f°)2)1=(f, H)'=(aH)a:H:=(ab)2(ca)azbycs; les 19 restants sont exprimables comme transvectants des composés de ces quatre. Il y a quatre invariants (I, i')2; (i3, H)6; (ia)m de fz; (formes linéaires de la Floride i7)14 quatre (f, i2)4; (f, i3)b; (i4, T)8; (est, les formes T)9 trois quadratiques i; (H, i2)4; (H, est) 'trois formes cubiques (f, i)2; (f, i2)3; (est, deux les formes T)6 quartic (H, i)2; (H, i2)3. trois formes quintic f; (f, i)1; (est, T)4 deux les formes sextic H; (H, un forme i)1 septique (I, T)2 un forme nonic T. Nous écrirons le covariant cubique (f, i)2 = ', et remarquent alors que le résultat, (f, j)8=o, peut être aisément établi. La forme j est complètement définie par la relation (f, j)3 = o car aucun autre covariant ne possède cette propriété. Certains convariants du quintic impliquent les mêmes facteurs déterminants qu'apparus dans le système du quartic; ce sont f, H, I, T et j, et sont d'importance spéciale. De plus, il est commode quadratiques pour avoir avant nous deux autres covariants, à savoir r = (j, j)2jxjx; B = (• d'ir)ixrx quatre autres covariants, à savoir a=(ji)2jx linéaires; = (ia)is; 7 = (ra)r:3=(rp)rx. De plus, dans le cas des invariants, nous écrivons A = (I, i')2 et prennent trois nouvelles formes B = (I, r)2; C = (r, r')2; R = (py). Hermite exprime le quintic en forme-See also:type dans lequel les constantes sont des invariants et les covariants linéaires de variables. Si a, p soit les forn}s linéaires, au-dessus de défini, il soulève l'ax(ap)=ax(ap)px(aa) d'identité à la cinquième puissance (et en général à la puissance n) obtenant sf (a$) = (a,5) sax5 (a$) 4 (aa) az$x+... (aa) bps; et exprime alors les coefficients, du côté droit, en termes d'invariants fondamentaux. Selon ce principe le covariant j est exprimable sous la forme R2j = I +2B3à+ÂCSa2+gC(ÁB4C)a8 quand 3, a sont les formes linéaires ci-dessus définies. Par conséquent, résolvant le cubique, R2j = (mia 5) (mà 5) (má 3) où ml m2, m3 sont des invariants. Sylvester a prouvé que la force quintic, en général, soit exprimé comme somme des trois cinquièmes puissances, à savoir dans le f=k canonique de forme, (px)6 ±k2(gx)s+k3(rx)6. maintenant, évidemment, le troisième transvectant de f, exprimé sous cette forme, avec le pxgxrx cubique est zéro, et par conséquent d'une propriété du covariant j nous devons avoir j = pxgxrx; montrer que les formes linéaires impliquées sont les facteurs linéaires du j. nous pouvons donc écrire f = kl(3mia)b+k2(3mà)b+k3(5má)6; et nous avons simplement pour déterminer les constantes k, k2, See also:lea. Pour les déterminer notification que R=(a3) et puis (f, ab) b = Rb (k1+k2+k3), (f, a43) 6 = 5R5 (m1k1+m2k2+m3k2), (f, a332) b = -10R5 (mlkl+mzk2+m3k3) trois équations pour déterminer k1, k2, k3. Cette forme canonique dépend de j ayant trois facteurs linéaires inégaux. Quand C disparaît j a la forme j = psgx, et (f, j)3 = (ap)2(ag)as = o. par conséquent, de l'as(pq)=px(aq)gx(ap) d'identité, nous obtenons (-5(ap)(aq)4pzgx(ap)5q pq)bf=(aq)bpy ', la forme canonique requise. Maintenant, quand C=o, clairement (voyez anté) R2j=S2pwhere p=3+2Ba; et Gordan montre alors la relation 6R4.f = B35+5B34pÂ2p6, qui est a apporté la forme de quintic à ce que nous pouvons toujours arriver, par transformation linéaire, toutes les fois que le C invariable disparaît. Remark.The C invariable est un multiple numérique de la résultante des covariants i et j, et de si C = o, p est le facteur commun I et j. Le discriminant est la résultante a et a et du degré 8 dans des coefficients; puisque c'est une fonction raisonnable et intégrale des invariants fondamentaux il est exprimable en tant que linéaire fonctionnent de comme et B; il est indépendant de C, et est donc inchangé quand C disparaît; nous pouvons donc prendre f sous la forme canonique 6R4f B55 +5Bb4p Â2p6. Les deux équations ALGE'BRAIC'FORMS un invariable simultané des trois formes, et maintenant suppression des tirets nous obtenons 6(abc +2fghaft - bg2ch2), l'expression entre parenthèses étant les invariables well-connu de a:, l'disparaition de ce qui exprime la condition que la forme peut casser vers le haut en deux facteurs linéaires, ou, géométriquement, que le conique peut représenter deux bonnes See also:lignes. Le système complet comprend la forme elle-même et cet invariable. Le cubique ternaire a été étudié par Cayley, Aronhold, Hermite, Brioschi et Gordan. La référence principale est à Gordan (annonce de maths I. 9o-128, 1869, et vi. 436-512, 1873). Le covariant complet et le système contravariant n'inclut pas moins de 34 formes; de sa complexité il est souhaitable de considérer le cubique sous une forme canonique simple; ce choisi par Cayley était ax3+by3+cz3+6dxyz (See also:Amer. J. See also:Math. iv. 1-16, 1881). Une autre forme, associée à la théorie de fonctions elliptiques, a été considérée par Dingeldey (annonce xxxi de maths: 157-176, 1888), à savoir xy24z3-1-g2x2y+g3x3, et également le formulaire spécial axz24byb du cubique cuspidal. Une See also:recherche, par des méthodes non symboliques, est due à F. C. J. Mertens (See also:jujube xcv. 942-991, 1887 de Wien.). See also:Hesse a montré qu'indépendamment cubique ternaire général de that;the peut être réduit, ab = 5B54+4B53p) = 0, = 5(B54Âp4) = 0, un See also:rendement par l'élimination de 5 et p le D=64ba2 discriminant. L'équation générale du degré 5 ne peut pas être résolue algébriquement, mais les racines peuvent être exprimées au moyen de fonctions modulaires elliptiques. Pour une solution algébrique les invariants doivent remplir certaines conditions. Quand R = o, et ni l'un ni l'autre du C.a. B2, ÀB -3C d'expressions disparaît, le covariant a: est un facteur linéaire de f; mais, quand R = C.a. B2 = ÀB -3C = o, a: disparaît également, et alors f est le produit du ji de forme et de la toile de jute de jy. Quand en tant qu'et les invariants B et C tous disparaissez, A ou j doit disparaître; dans l'ancien cas j est un cube parfait, sa toile de jute disparaissant, et davantage de f contient j comme facteur; en dernier cas, si le px, hache soit les facteurs linéaires de I, f peut être exprimé comme (po)bf = cip;+c2vi; si A et j disparaissent I disparaît également identiquement, et fait tellement également f. si, cependant, la condition soit l'disparaition de I, f contient un facteur linéaire à la quatrième puissance. Le système complet binaire de Sextic.The se compose de 26 formes, dont les plus simples sont f = As; la toile de jute H = (ab)à;b6; le quartic I = (ab)â:bi; les covariants 1 = (ai)âi; T = (ab)2(cb)a. b:cy; et les invariants A=(ab)b; B=(ii')4. Il y a 5 invariants: (a, b)4, (1,1')2, (f, 12)2, ((f, i) 14)2 6 d'ordre 2: 1, (I, 1)2, 12)4, (I, 12)3, (f, l3)2, ((f,i), 13)6; 5 d'ordre 4: i, (f,l), (i,l) (f, 12)3, ((f,i), 12)4; 5 d'ordre 6: f, p = (ai)à=is, (f, l), ((f,i), 1)2, (p, l); 3 d'ordre 8: H, (f,i), (H,1); 1 d'ordre 10: (H, i); 1 d'ordre 12: T. Pour une autre discussion du sextic binaire voir le Gordan, l'endroit CIT, €lebsch, l'endroit CIT. Les systèmes complets du quintic et sextic ont été obtenus la première fois par Gordan en 1868 (lxix de maths de Journ. f.. 323- r.). Août von Gall dans 188o a obtenu le système complet de l'octavic ary (annonce xvii de maths. 31-52, 139-152, 456); et, en 1888, cela du septimic binaire, qui s'est avéré être beaucoup plus compliqué (annonce xxxi de maths. 318-336). Des formes binaires simples d'ordre supérieur et fini n'ont pas été étudiées avec le succès complet, mais le système de la forme binaire d'ordre See also:infini a été complètement déterminé par Sylvester, Cayley, MacMahon et Stroh, chacun de qui a contribué à la théorie. En ce qui concerne les formes binaires simultanées, le système de deux équations quadratiques, et de tout nombre d'équations quadratiques, is'alluded à ci-dessus et a été See also:longtemps connu. Le système du quadratique et cubique, se composant 15 formes, et See also:celle du cubics deux, se composant de 26 formes, ont été obtenus par de Salmon et de Clebsch; cela du cubique et quartic nous devons à Sigmund Gundelfinger (Programm See also:Stuttgart, 1869, 1-43); cela du quadratique et quintic à l'hiver (Programm See also:Darmstadt, 1880); cela du quadratique et sextic à von Gall (Programm See also:Lemgo, 1873); cela du quartics deux à Gordan (annonce ii. 227-281, 1870 de maths); et à Eugenio Bertini (See also:batterie Giorn. xiv 1-14, 1876; également maths. Annonce XI 30-41, 1877). Le système de quatre formes, desquelles deux sont linéaires et l'équation quadratique deux, a été étudié par Perrin (S. M. F. See also:Taureau. xv 45-61, 1887). La forme ternaire ternaire et plus élevée de Forms.The de l'ordre n est représentée symboliquement par (aixi+a2x2+a3xi)"= As; et, comme d'habitude, b, c, d... sont des symboles alternatifs, de sorte que l'a"b"=c"=d "=.... s X. Pour former un invariable ou covariant que nous avons simplement pour former un produit des facteurs de deux sortes, à savoir des facteurs déterminants (ABC), (abd), (bce), etc.. et d'autres facteurs comme, un b., cx... d'une telle façon, que chacun des symboles a, b, c... se produit des temps de n. Un produit si symbolique, s'il ne disparaît pas identiquement, dénote un invariable ou un covariant, selon que la hache de facteurs, b5, cx... pas ou apparaissent. Pour obtenir la vraie forme que nous multiplions dehors, et, dans le résultat, substituons aux produits des symboles les vrais coefficients qu'ils dénotent. Par exemple, prenez l'équation quadratique ternaire (aix, +a2x2+a3x3)2 = a2 X, ou en vraie forme ax:+bxs+cx:+2fx2x3+2gx3xi+2hxix2• nous pouvons voir que (les abc)asbxcs n'est pas un covariant, parce que lui disparaît identiquement, l'échange de a et b changeant son signe au lieu de le laisser inchangé; mais (abc)2 est un invariable. Si hache, b:, c = soit différentes formes que nous obtenons, après développement la cause déterminante et See also:conversion en vraie forme (utilisant tirets simples et doubles pour distinguer les vrais coefficients du Ba et ex), de l'a(b'c"+b"c'2f carré '")+b(c'a"+c"a'2g'g") +c(a'b"+a"b'2h'h")+2"f(g'h"+g"h'a'f"a"f) +2g(h'f"+h"f 'le b'g"b g')+2h(f'g"+f"g'c'h"c"h '); par transformation linéaire, à la forme x3+y3+z3+6mxyz, une forme qui implique 9 constantes indépendantes, comme devrait être le cas; il doit, cependant, remarquer que le compte des constantes n'est pas un See also:guide sûr de l'existence d'une forme canonique conjecturée. Ainsi le quartic ternaire n'est pas, en général, 'exprimable comme une somme des cinq 4èmes puissances en tant que compte des constantes pourrait avoir mené on à prévoir, un théorème dû à Sylvester. La forme canonique de Hesse prouve immédiatement qu'il ne peut pas y avoir plus de deux invariants indépendants; pour s'il y avait de trois nous pourrions, par l'élimination du module de la transformation, obtenir deux fonctions des coefficients égaux aux fonctions de m, et ainsi, par élimination de m, obtenons 'une relation entre les coefficients, les montrant pour ne pas être indépendants, qui est contraire à l'hypothèse. L'invariable le plus simple est S = (ABC) (abd) (ACD) (See also:BCD) du degré 4, qui pour la forme canonique de Hesse est le m(I m3); son disparaition indique que la forme est exprimable comme somme de trois cubes. La toile de jute est symboliquement (des abc)àzbxcs = H3, et pour la forme canonique (1-{-2m3)xyzm2(x3+y2+z3). Par le processus d'Aronhold nous pouvons former le S invariable pour l'a=+XH cubique!, et alors le coefficient de a est le deuxième invariable. T. Sa expression symbolique, au pour numérique d'un facteur, est (Hbc) (Hbd) (Hcd) (BCD), et elle est clairement du degré 6. Un plus de covariant est requis pour faire un ensemble algébriquement complet. C'est du degré 8 dans les coefficients, et le degré 6 dans les variables, et, pour la forme canonique, a l'expression -9m6(x3+y3+z3)2 (2m +5m4+20m7) (x3 +y'+z2)xyz (15m2+78mb -12m2)x2y2z2 + (1 +8m3)2(y3z3 +z3x3 +xý3)• mourant au quartic ternaire nous constatons que le nombre de formes au sol est apparemment très grand. Gordan (annonce xvii de maths. 21,7-233), se limitant à un cas particulier de la forme, a déterminé 54 formes au sol, et G. Maisano (batterie G. xix 198-237, i88) a déterminé tous jusques et y compris le 5ème degré dans les coefficients. Le système de deux équations quadratiques ternaires se compose de 20 formes; il a été étudié par Gordan (Vorlesungen i. 288, aussi maths de Clebsch-Lindemann. Annonce xix 529-552); Perrin (See also:bull. xviii de M. F. de S.. 1-8o, 189o); Rosanes (annonce vi. 264 de maths); 'et Gerbaldi (Annali (2), xvii. 161-196). Ciamberlini a trouvé un système de 127 formes appartenant à trois équations quadratiques ternaires (batterie G. xxiv. 141-157). A. R. Forsyth a discuté les ensembles algébriquement complets de formes au sol de formes ternaires et quaternaires (voir l'Amer. J. XII 1-õ, I15-160, et Camb. Phil. Trans. xiv 409-466, 1889). au moyen des six équations partielles linéaires satisfaites par le Concomitants, ce, si concomitant soit augmenté dans les puissances de x2, x3, le variablesand de point de l'ui, u2, u3, le variablesit contragredient de See also:ligne est complètement déterminé si son principal coefficient soit connu. Pour le quantic ternaire d'unipartite de l'ordre n il constate que le système fondamental contient 2(n+4)(n1) des individus. Il considère avec succès les systèmes de deux et trois équations quadratiques ternaires simultanées. Dans la partie III. du mémoire il discute le quantics bi-ternary, et en particulier ceux qui sont lineo-linéaires, quadrato-linéaire, cubo-linéaire, quadrato-quadratique, cubo•cubic, et le système du quantics deux lineo-linéaire. Il prouve que le système du n°m'° bi-ternary comporte les individus 4(n+l)(n+2)(m+l)(m+2)3. Des références bibliographiques aux formes ternaires sont données par Forsyth (Amer. J. XII p. 16) et par Cayley (Amer. J. iv., 1881). Clebsch, dans '1872, en journal dans Abh. d. K. Alead. zu de U. de d. See also:Gottingen, t. xvii et maths. See also:Ann. T. v., a établi dans le résultat important que dans le cas d'une forme les variables de n, les concomitants de la forme, ou d'un système de telles formes, impliquez dans les classes de l'agrégat n1 des variables. 'par exemple, ceux d'une forme ternaire impliquent deux classes qui peuvent être géométriquement interprétées comme point et la ligne coordonne dans un See also:avion; ceux d'une forme See also:quaternaire impliquent trois classes qui peuvent être géométriquement interprétées comme point, ligne et l'avion coordonne dans l'See also:espace. IV. ÉNUMÉRATION PRODUISANT De See also:Professeur See also:Michael See also:Roberts (Quart. Math de FONCTIONS. J. iv.) était le premier pour remarquer que l'étude des covariants peut être réduite à l'étude de leurs principaux coefficients, et que de toutes les relations se reliant les derniers sont immédiatement derivable les relations reliant l'ancien. On lui a montré au-dessus de celui que un covariant, en général, satisfait quatre équations partielles. Deux de ces derniers prouvent que le principal coefficient de n'importe quel covariant est une fonction See also:isobare et homogène des coefficients de la forme; les deux restants peuvent être considérés comme les opérateurs qui causent l'disparaition du covariant. Ceux-ci peuvent être écrits, pour le n binaire 'mkak_1- - x2 = 0; i-kxia de m(nk)aa -- d = 0; ou sous la forme Stxàx-=0, O où d d = ao i+àiaa } d d d O = naidao+ (n -1)aàai +... +a. Laissez un covariant du degré a dans les variables, et du degré 0 dans les coefficients (le poids du principal coefficient étant W et aucun -2w = e), soit Cox: +ecixi 1x2+.... Opération avec 0xo - nous trouvons SlCo=o; c'est-à-dire, la Co satisfait un des deux équations partielles satisfaites par un invariable. Elle est pour cette raison appelé un seminvariant, et chaque seminvariant est le principal coefficient d'un covariant. La théorie de whole d'invariants d'une forme binaire dépend des solutions de l'équation SZ=o. Avant de discuter ces derniers elle est la meilleure pour transformer la forme binaire par I de substitution!al, 2!47,2, 3! a2... n!an, pour Al, a2, aa... a, respectivement; ce devient alors aexi+naixi 1x2 } n(n1)âxi~4 f. -- n!anx2; et 0 prend l'cAg-CII plus simple +alaa2+aàaa+'"+â~-i de forme font un See also:avantage que nous avons obtenu est que, si nous écrivons maintenant l'ao=o, et substituent a, _1 pour a, quand le s>o, nous obtiennent ao i+aid +a2... +a"'-2dan-I qui est la forme de pi pour un binaire par conséquent en diminuant simplement chaque suffixe dans un seminvariant par l'unité, nous obtenons des autres seminvariant du même degré, et du OE de poids, appartenant au (Ni) '. En outre, si nous augmentons chaque suffixe dans un seminvariant, nous obtenons des limites, exemptes du ao, de certains seminvariant du degré 0 et poids w+o. Ex. gr. d'Al invariable -àlai+àoa * du quartic le processus diminuant rapporte ai-àea2, le principal coefficient de la toile de jute du cubique, et le processus See also:croissant mène à a; -àà*+àia6 qui exige seulement du termàoa6 additionnel de devenir un seminvariant du sextic. Un avantage plus important, jaillissant de la nouvelle forme de 0, résulte du fait que si x"aixn-i+a2x"-2... le (x du ()"an=(xai)(x a2)...), les sommes de puissances mangent, ma8, mA *... l'See also:homme tout satisfont l'équation 12=o. Par conséquent, à l'exclusion du ao, nous pouvons, dans la notation de cloison, noter les solutions fondamentales de l'équation, à savoir. -. (2), (3), (... (n 4)), et indiquent qu'avec le ao, nous ayez un système algébriquement complet. Chaque fonction symétrique dénotée par des cloisons, ne pas impliquer la figure unité (dites une fonction symétrique non unitaire), qui reste sans changement à côté de n'importe quelle See also:augmentation de n, est également un seminvariant, et nous peut prendre si nous svp un autre système fondamental, à savoir. ao, (2), (3), (22), (32)... (21") ou (321("-a)). Observez que, si nous soumettons n'importe quelle fonction symétrique (pip2Ps...) au processus diminuant, ce devient aoi-172 (P2P3...). considèrent après les solutions de 0=o qui sont du degré 0 et le poids w. la limite générale dans une solution implique l'av°aila de produit =... a*"wherein Mir=o, 157r, = W; le nombre tels produits qui peuvent apparaître dépendent du nombre de cloisons de W dans o ou moins partie limité pour ne pas excéder n dans la grandeur. Laissez ce nombre être dénoté près (W; o, n). Afin d'obtenir les seminvari-fourmis nous noterions (W; 0, n) nomme chacun lié à un coefficient littéral; si nous opérons maintenant avec S2 nous obtenons un linéaire fonctionnons de (wI; B, n) produits, pour l'disparaition de ce que les coefficients littéraux doivent satisfaire (wI; o, n) équations linéaires; par conséquent (W; n)(wl 0,; B le donné, n) de ces coefficients peut être arbi- assumé trarily, et le nombre de solutions linéairement indépendantes de 12 = o, de le degré et poids, est avec précision (W; B, n)(wI; 0, n). Cette théorie est due à Cayley; son validit _ dépend de montrer cela (See also:plan See also:horizontal; les équations linéaires de 0, n) satisfaites par les coefficients littéraux sont indépendantes; ceci a été établi tout récemment par E. B. Elliott. On dit que ces seminvariants forment un système asyzygetic. On lui montre dans l'See also:article sur l'cAnalyse COMBINATOIRE qui (W; 0, n) est le coefficient de à l'arrière 'dans l'expansion croissante de la fraction 1 1a. 1az. 1az2....1aa "'par conséquent (W; n)(wl 0,; 0, n) est donné par le coefficient de l'aez 'dans la fraction 1z 1a.1az. l az d'az2....I ".' la fonction se produisante d'énumération des seminvariants asyzygetic. Nous pouvons, par un théorème bien connu, écrire au résultat comme coefficient d'en dans l'expansion du 1z"+2 1zn+i...,1 an+e 1z2.1zs....1ze et puisque cette expression est inchangée par l'échange N et o nous prouvons la loi de Hermite de la réciprocité, qui déclare de que les formes asyzygetic du degré B pour le n44 sont equinumerous avec ceux du degré à pour l'o'°. Le degré du covariant dans les variables est e=no2w; par conséquent nous sommes seulement concernés par des limites positives dans les développements et (W, 0, n)(wI; o, n) sera négatif à moins que no2wo. Il est commode d'énumérer les seminvariants du degré o et ordre a=no2W par une fonction se produisante; ainsi, dans d'abord écrit produire de la fonction pour des seminvariants, écrivez le for_z a2 et l'az "pour a; nous obtenons 1z-2 1az ". 1azn-2. 1az"-*....1az-n+*.1az-n+2.1az - "dans ce que nous devons prendre au coefficient d'aez"e-21D, l'expansion étant dans des puissances montantes de a. pendant que nous devons faire seulement avec cette partie de l'expansion qui implique des puissances positives de z, nous devons essayer d'isoler cette partie, sayAn(z). L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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