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MATHÉMATIQUES (gr./saBnµar1Kil, vOcvn...
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MATHÉMATIQUES (See also:gr./saBnµar1Kil, vOcvn de See also:Sc ou E7rlQTt'µn; de p iN.La, "apprenant" ou l'"science") , la See also:limite générale pour See also:les diverses applications de la pensée mathématique, dont See also:le See also: C'était le grand travail de See also:Descartes pour exclure rigoureusement de la science toutes les explications qui n'étaient pas scientifiquement vérifiables; et la prédominance du materialism à certaines époques, comme dans l'éclaircissement du 18ème siècle et en See also:philosophie See also:allemande de la 19ème See also:moyen, ont été occasionnées par le besoin spécial défendent la position scientifique, dans l'ancien point de droit contre l'église, dans le dernier point de droit contre la pseudo-science de la See also:dialectique hégélienne. Les périodes définies en See also:chef du materialism sont les pre-Socratic et les See also:poteau-Aristotéliciennes en Grèce, le 18ème siècle en France, et en Allemagne le 19ème siècle environ de 1850 à 1880. En Angleterre le materialism a été endémique, ainsi pour parler, de la considération de quelques See also:principales matières de la science exemplifiera la plausibilité et l'insuffisance de la définition ci-dessus. L'arithmétique, l'algèbre, et le calcul infinitesimal, sont les See also:sciences directement concernées par des See also:nombres intégraux, des nombres raisonnables (ou partiels), et de vrais nombres généralement, qui incluent des nombres incommensurables. Il semblerait que "la théorie générale de quantité discrète et continue" est la description exacte des matières de See also:ces sciences. En outre, ne pouvons-nous pas accomplir le See also:cercle des sciences mathématiques en ajoutant la géométrie? Maintenant la géométrie s'occupe des with•See also:points, des See also:lignes, des avions et le contenu cubique. De ces tous excepté des points sont les quantités: les lignes impliquent des longueurs, les avions impliquent des secteurs, et le contenu cubique implique des volumes. En outre, car la géométrie cartésienne See also:montre, toutes les relations entre les points sont exprimables en termes de quantités géométriques. En conséquence, à première vue il semble raisonnable de définir la géométrie d'une certaine une telle manière comme "la science de la quantité dimensionnelle." Ainsi chaque subdivision de la science mathématique semblerait traiter la quantité, et la définition des mathématiques comme "la science de la quantité" semblerait être justifiée. Nous avons maintenant pour considérer les raisons de rejeter See also:cette définition comme insatisfaisante. Les types de Questions.What See also:critique sont des nombres? Nous pouvons parler de cinq pommes et de See also:dix See also:poires. Mais quels sont "cinq" et "dix" indépendamment des pommes et des poires? En outre en plus des nombres cardinaux il y a les nombres ordinaux: la cinquième pomme et la dixième pensée de réclamation de See also:poire. Quelle est la relation "du cinquième" et "des dixièmes" "cinq" et de "dix"? "le See also:premier s'est levé de l'été" et "le dernier s'est levé de l'été" est des expressions parallèles, pourtant on présente explicitement un nombre ordinal et l'autre pas . Encore, "la moitié par See also:pied" et "la moitié de See also:livre" sont facilement définies. Mais dans quel See also:sens y a-t-il "une moitié," qui est la même pour "la moitié par pied" en tant que "moitié de livre"? En outre, des nombres incommensurables sont définis comme See also:limites sont arrivés à comme résultat de certaines procédures avec des nombres raisonnables. Mais comment savons-nous qu'il y a quelque chose atteindre? Nous devons savoir que - l2 existe avant que nous puissions montrer que n'importe quel procédé l'atteindra. Une expédition au Pôle du See also:nord n'a rien à atteindre à moins que la See also:terre tourne. En outre dans la géométrie, quel est un point? La rectitude d'une See also:ligne droite et du planeness d'un See also:avion exigent la considération. En outre, la "congruence" est une difficulté. Pour quand une triangle "se déplace," les points ne se déplacent pas avec elle. Ainsi qu'est-elle cette des subsistances inchangées dans la triangle See also:mobile? Ainsi la méthode entière de See also:mesure dans la géométrie comme décrit dans les manuels élémentaires et les traités plus anciens est obscure au dernier degré. Pour finir, quelles sont des "dimensions"? Toutes ces matières exigent la discussion complète avant que nous puissions reposer le contenu avec la définition des mathématiques comme science générale de la grandeur; et avant qu'elles soient discutées la définition s'est évaporée. Un contour des réponses modernes aux questions telles que la volonté ci-dessus maintenant soit donné. Une défense critique d'elles exigerait un See also:volume.' La relation cardinale d'one-one de Numbers.A entre les membres de deux classes a et 19 est n'importe quelle méthode de corréler tous les membres de a à tous les membres de 0, de sorte que n'importe quel See also:membre de a ait une et seulement une corrélation dedans { 4, et tout de de membre/3 a un et seulement une corrélation dans les classes de a. deux entre lesquelles une relation d'one-one existe ont le même nombre See also:cardinal et s'appellent cardinally semblable; et le nombre cardinal de la See also:classe qu'a est une certaine classe dont les membres sont eux-mêmes classesnamely, il est la classe composée de toutes ces classes pour lesquelles une corrélation d'one-one avec a existe. Ainsi le nombre cardinal de a est lui-même une classe, et en outre a est un membre de lui. Pour l'one-one une relation peut être établie entre les membres de a et de a par le See also:processus See also:simple de corréler chaque membre de a avec elle-même. Ainsi le numéro cardinal un est la classe des classes d'unité, le numéro cardinal deux est la classe des doublets, et ainsi de See also:suite. En outre une classe d'unité est n'importe quelle classe avec la propriété qu'elle possède un membre X tels que, si y est n'importe quel membre de la classe, puis x et y sont identique. Un doublet est n'importe quelle classe qui possède un membre X tels que la classe modifiée constituée par tous les autres membres excepté x est une classe d'unité. Et ainsi de suite pour tous les cardinaux finis, qui sont ainsi définis successivement. Le numéro cardinal zéro est la classe des classes sans des membres; mais il y a seulement une telle classe, classe nulle de namelythe. Ainsi ce 'Cf cardinal. Les principes des mathématiques, par See also:Bertrand See also: Les opérations de l'addition et de la multiplication de deux nombres cardinaux donnés peuvent être définies en prenant à deux classes a et $, satisfaisant les conditions (1) que leurs nombres cardinaux sont respectivement les nombres donnés, et (2) qu'elles ne contiennent aucun membre en See also:commun, et puis en définissant en se référant à a et à 3 deux autres classes appropriées dont les nombres cardinaux sont définis pour être respectivement la See also:somme et le produit exigés des nombres cardinaux en question. Nous n'avons pas besoin ici de considérer les détails de ce processus. Avec ces définitions il est maintenant possible de prouver les six prémisses suivantes s'appliquant aux nombres cardinaux finis, lesquels du Peano 2 a prouvé que toute l'arithmétique peut être forme déduite de nombres cardinaux de i. par classe. ii. Zéro est un nombre cardinal. iii. Si a est un nombre cardinal, a+1 est un nombre cardinal. iv. Si s est n'importe quelle classe et zéro est un membre de lui, aussi si quand x est un nombre cardinal et un membre de s, également x+1 est un membre de s, alors la classe entière des nombres cardinaux est contenue dans s. v. Si a et b sont des nombres cardinaux, et a+1=b+t, puis a=b. vi. Si a est un nombre cardinal, puis a+t +o. Il peut noter que (iv) est le principe familar de l'See also:induction mathématique. Peano dans une See also:note See also:historique se réfère son premier emploi explicite, bien que sans énonciation générale, à Maurolycus dans son travail, le duo de libri d'Arithmeticorum (See also:Venise, 1575). Mais maintenant la difficulté des mathématiques d'emprisonnement à être la science du nombre et de la quantité est immédiatement évidente. Pour lui n'y a aucune science d'un See also:seul See also:bloc des nombres cardinaux. La See also:preuve des six prémisses exige une See also:recherche raffinée sur les propriétés générales des classes et des relations qui peuvent être déduites par le raisonnement le plus strict de nos principes logiques finals. En outre elle est purement arbitraire pour ériger les conséquences de ces six principes dans une science séparée. Ils sont d'excellents principes de la valeur la plus élevée, mais ils sont dans aucun sens les prémisses nécessaires qui doivent être prouvées avant que toutes les autres propositions des nombres cardinaux puissent être établies. Au contraire, les prémisses de l'arithmétique peuvent être mises See also:sous d'autres formes, et, en outre, un nombre indéfini de propositions d'arithmétique peut être prouvé directement des principes logiques sans les mentionner. Ainsi, alors que l'arithmétique peut être définie en tant que cette See also:branche du raisonnement déductif au sujet des classes et des relations qui est concerné par l'établissement des propositions au sujet des nombres cardinaux, il doit ajouter que l'introduction des nombres cardinaux ne fait aucune grande coupure en cette science générale, il n'est pas plus qu'une subdivision intéressante dans une théorie générale. Numbers.We ordinal doit d'abord comprendre ce qui est signifié par See also:ordre, "c'est-à-dire, par" See also:arrangement périodique." Un ordre d'un ensemble de choses doit être cherché du fait relation se tenant entre les membres de l'ensemble qui constitue cet ordre. L'ensemble vu comme classe a beaucoup d'ordres. Ainsi les poteaux de télégraphe le See also:long d'une certaine See also:route ont un See also:espace-ordre très évident à nos sens; mais ils ont également un See also: aux autorités postales qui les remplacent après des intervalles fixes. Un ensemble des nombres cardinaux ont un ordre de grandeur, souvent appelé l'ordre de l'ensemble en See also:raison de son évidence insistante à nous; mais, s'ils sont les nombres dessinés dans une loterie, leur temps-ordre d'occurrence dans See also:cela qui dessine également s'étend ils dans un ordre d'importance. Ainsi l'ordre est défini par la relation "périodique". Une relation (r) est la publication périodique 8 quand (i) elle implique l''diversité, de sorte que, si x a la relation R à y, x soit See also:divers de y; (2) elle est transitive, de sorte que si x a la relation R à y, et y à z, alors x a la relation R à z; (3) elle a la propriété du connexity, de sorte que si x et y sont des choses auxquelles toutes les choses ont la relation R, ou qui ont la relation R à n'importe quelles choses, puis ou x soit identique à y, ou x a la relation R y, ou y a la relation R états de x. à ces sont nécessaire et suffisamment pour fixer que nos idées ordinaires de "précéder" et de prise "de réussite" en ce qui concerne la relation R. The "champ" de la relation R est la classe des choses s'est étendue dans l'ordre par elle. Deux relations R et R 'seraient ordinally semblables, si une relation d'one-one se tient entre les membres des deux See also:champs de R et de R ', tels que si x et y sont deux membres quelconques du champ de R, tels que x a la relation R à y, et si x 'et y 'sont les corrélations dans le See also:domaine de R 'de x et de y, puis dans toutes telles affaires X 'a la relation R 'à y ', et réciproquement, échangeant les tirets sur les lettres, c.-à-d. R et R ', x et x ', &See also:amp;c. Il est évident que la similitude ordinale de deux relations implique la similitude cardinale de leurs champs, mais pas réciproquement. En outre, deux relations n'ont pas besoin d'être périodiques afin d'être ordinally semblables; mais si on est périodique, est ainsi l'autre. Le relation-nombre d'une relation est la classe dont les membres sont toutes ces relations qui sont ordinally semblables à elle. Cette classe inclura la relation originale elle-même. Le relation-nombre d'une relation devrait être comparé au nombre cardinal d'une classe. Quand une relation est périodique son relation-nombre s'appelle souvent son périodique dactylographient. L'addition et la multiplication de deux relation-nombres est définie en prenant deux relations R et S, tel que (i) leurs champs n'ont aucun 2 Cf. Mathematique de Formulaire (See also:Turin, ED de 1903); des formulations plus tôt des See also:bases de l'arithmétique sont données par lui dans les éditions de 1898 et de 1901. Les See also:variations sont seulement insignifiantes. 2 Cf. Russell, See also:endroit CIT, pp 199-256. limites en commun; (2) leurs relation-nombres sont les deux relation-nombres en question, et puis en définissant en se référant à R et à S deux autres relations appropriées dont les relation-nombres sont définis pour être respectivement la somme et le produit des relation-nombres en question. Nous n'avons pas besoin de considérer les détails de ce processus. Maintenant si n soit n'importe quel nombre cardinal fini, il peut montrer que la classe de ces relations périodiques, qui ont un champ dont le nombre cardinal est n, est un relation-nombre. Ce relation-nombre est le nombre ordinal correspondant à n; laissez lui soyez symbolisé ainsi par le n., en correspondant aux numéros cardinaux 2, 3, 4 là sont les numéros ordinaux 2, 3, ¢. . . La définition du numéro ordinal i exige de la peu d'ingéniosité dû au fait qu'aucune relation périodique ne peut avoir un champ dont le nombre cardinal est 1; mais nous devons omettre ici l'explication du processus. Le nombre ordinal o est la classe dont le membre See also:unique est le relationthat nul est, la relation qui ne se tient jamais entre n'importe quelle paire d'entités. Les définitions des nombres ordinaux finis peuvent être exprimées sans utilisation des cardinaux correspondants, tellement là n'est aucune priorité essentielle des cardinaux aux nombres ordinaux. Ici également il peut voir que la science des nombres ordinaux finis est une subdivision particulière de la théorie générale de classes et de relations. Ainsi la nature illusoire de la définition traditionnelle des mathématiques est de nouveau illustrée. Les Numbers.Owing infinis de Cantor à la See also:correspondance entre les cardinaux finis et les nombres ordinaux finis, les propositions de l'arithmétique cardinale et l'arithmétique ordinale correspondent point par le point. Mais la définition du nombre cardinal d'une classe s'applique quand la classe n'est pas finie, et il peut montrer qu'il y a différents nombres cardinaux infinis, et qu'il y a un moindre cardinal See also:infini, habituellement dénoté maintenant par H "où s est l'aleph hébreu de See also:lettre. De même, une classe des relations périodiques, appelée les relations périodiques bien-commandées, peut être définie, tels que leurs relation-nombres correspondants incluent les nombres ordinaux finis ordinaires, mais inclut également les relation-nombres qui ont beaucoup de propriétés comme ceux des nombres ordinaux finis, cependant les champs des relations appartenant à elles ne sont pas finie. Ces relation-nombres sont les nombres ordinaux infinis. L'arithmétique des cardinaux infinis pas corre; dépensez à cela des nombres ordinaux infinis. La théorie de ces prolongements des idées du nombre est traitée dans le NOMBRE d'See also:article. Elle suffira pour mentionner ici que prémisse de Peano la quatrième de l'arithmétique ne se tient pas pour les cardinaux infinis ou pour des nombres ordinaux infinis. Contrastant les définitions ci-dessus du nombre, du cardinal et des nombres ordinaux, avec la théorie alternative que le nombre est une idée finale incapable de la définition, nous notons que notre procédé exige une plus grande See also:attention, combinée avec une plus petite crédulité; pour chaque idée, assumé comme See also:finale, exige un See also:acte de See also:foi séparé. Les données des nombres d'Analysis.Rational et de vrais nombres en général peuvent maintenant être définies selon la même méthode générale. Si m et n sont des nombres cardinaux finis, le nombre raisonnable m/n est la relation que tout numéro cardinal fini X soutient à n'importe quel nombre cardinal fini y quand nXx=mXy. ainsi le numéro raisonnable un, que nous dénoterons par I"n'est pas le numéro cardinal I; pour 1, est la relation I/i comme défini ci-dessus, et est ainsi une relation se tenant entre certaines paires de cardinaux. De même, les autres nombres entiers raisonnables doivent être distingués des cardinaux correspondants. L'arithmétique des nombres raisonnables est maintenant établie au moyen de définitions appropriées, qui indiquent les entités signifiées par les opérations de l'addition et de la multiplication. Mais le désir d'obtenir des énonciations générales des théorèmes sans See also:cas exceptionnels a mené des mathématiciens à utiliser des entités des types jamais-croissants d'élaboration. Ces entités ne sont pas créées par des mathématiciens, elles sont utilisées par eux, et leurs définitions devraient préciser la construction des See also:nouvelles entités en termes de ceux déjà en See also:main. Les vrais nombres, qui incluent des nombres irrationnels, ont maintenant pour être définis. Considérez l'arrangement périodique des nombres rationnels dans leur ordre de grandeur. Un vrai nombre est une classe (a, parole) des nombres raisonnables qui satisfait la See also:condition que c'est pareil que la classe de ces nombres rationnels dont chacun précède ainsi au moins un membre de a., considèrent la classe des nombres rationnels moins de 2,; n'importe quel membre de cette classe précède quelques autres membres du classthus 1/2 précède 4/3, 3/2 et ainsi de suite; également la classe des prédécesseurs des prédécesseurs de 2, est elle-même la classe des prédécesseurs de 2. en conséquence cette classe est un vrai nombre; ce s'appellera la vraie note du nombre 2R. que la classe des nombres rationnels inférieur ou égal à 2, n'est pas un vrai nombre. Pour 2, n'est pas un prédécesseur d'un See also:certain membre de la classe. Dans l'exemple ci-dessus 2R est un vrai nombre intégral, qui est distinct d'un nombre entier raisonnable, et d'un nombre cardinal. De même, tout vrai nombre raisonnable est distinct du nombre raisonnable correspondant. Mais maintenant les vrais nombres irrationnels ont le tout ont fait leur See also:aspect. Par exemple, la classe des nombres rationnels dont les places sont moins de 2, satisfait la définition d'un vrai nombre; c'est le vrai nombre AI 2. 
L'arithmétique de vrais nombres suit des définitions appropriées des opérations de l'addition et de la multiplication. Excepté les buts immédiats d'une explication, tels que ce qui précède, il est inutile que les mathématiciens aient des symboles séparés, tels que 2, 2, et 2R, ou 2/3 et (les vrais nombres 2/3)R. avec les signes (+See also:or) sont maintenant définis. Si a est un vrai nombre, +a est défini pour être la relation que tout vrai nombre de la forme x+a soutient au vrai numéro X, et a est la relation que n'importe quel vrai numéro X soutient au vrai nombre s+a. L'addition et la multiplication de ces derniers des realnumbers "signés" est définie, et on le montre que l'arith. habituel metic de tels nombres suit. En conclusion, nous atteignons un nombre complexe du nième ordre. Un tel nombre est un "un-beaucoup de" la relation qui relie de vrais nombres signés par n (ou nombres complexes algébriques de n quand ils sont déjà définis par ce procédé) aux numéros cardinaux 1 de n, 2. n respectivement. Si un nombre si complexe est écrit (comme d'See also:habitude) sous la forme x1e, +xè2+... +x"e,, alors ce nombre complexe See also:particulier relie XI à I, x2 à 2. . le x"au n. en outre le EL d'" unité" (ou e) considéré car un certain nombre de système est simplement une forme raccourcie pour le nombre complexe (+I) el+oe2+... +oe. ce dernier nombre exemplifie le fait qu'on a signé le vrai nombre, tel qu'o, peut être corrélé avec plusieurs des cardinaux de n, tel que 2. Lui dans l'exemple, mais cela chacun cardinal est seulement corrélé avec un nombre signé. Par conséquent la relation s'est appelée au-dessus des "un-beaucoup de." La somme deux de • complexe de • de • des nombres xiei+xè2+ +x, e, et • de y1ei-Fyie;+. le • +yse "est toujours défini pour être le nombre complexe (xi+yl)e;+(x2-f-y2)e2+•. •+(x"+y")en. Mais un nombre indéfini de définitions du produit de deux nombres complexes donnent des résultats intéressants. Chaque définition provoque une algèbre correspondante des nombres complexes plus élevés. Nous nous confinerons ici au numbersthat complexe algébrique est, aux nombres complexes du deuxième ordre pris en liaison avec cette définition de la multiplication qui mène à l'algèbre See also:ordinaire. Le produit de deux nombres complexes de la seconde ordernamely, de xiel+xè2 et de yie1+yè2, dans ce cas-ci est défini pour signifier le complexe (de xlyl-x2y2)ei+(xiy2+x2y1)e2. ainsi EL Xel = EL, e2Xe2 = EL, EL x e2 = e2 x e1=e2. Avec cette définition il est habituel pour omettre le premier EL de See also:symbole, et pour écrire I ou See also: satisfaites tels et de telles conditions, puis telles et de telles autres conditions se tiennent en ce qui concerne elles." En prenant à des conditions fixes pour l'hypothèse d'une telle proposition un département défini des mathématiques est marqué dehors. Par exemple, la géométrie est un tel département. Les "axiomes" de la géométrie sont les conditions fixes qui se produisent dans les hypothèses des propositions géométriques. La nature spéciale des "axiomes" qui constituent la géométrie sont considérés dans la GÉOMÉTRIE d'article (axiomes). Il est suffisant d'observer ici qu'ils sont concernés par les types spéciaux de classes des classes et des classes des relations, et que le raccordement de la géométrie avec le nombre et la grandeur est nullement une See also:partie essentielle de la See also:base de la science. En fait, la théorie entière de mesure dans la géométrie surgit à une étape comparativement en retard comme résultat d'une variété de considérations compliquées. Les classes et le Relations.The le See also:compte qu'antérieur de la nature des mathématiques rend nécessaire une déduction stricte des propriétés générales 'le premier rapport explicite sans réserve d'une partie de cette définition semble être par B. See also:Peirce, des "mathématiques est la science qui tire des conclusions nécessaires" (algèbre associative linéaire, § i. (187o), republiée dans l'See also:Amer. Journ. des maths, du See also:vol. iv. (1881)). Mais on le notera que la deuxième moitié de la définition dans le See also:texte "des prémisses générales de tout le raisonnement" est laissée unexpressed. La pleine expression de l'idée et de son développement dans une philosophie des mathématiques est due à Russell, l'endroit CIT. des classes et des relations des prémisses logiques finales. Au cours de ce processus, entrepris pour la première fois avec la rigueur des mathématiciens, quelques contradictions sont devenues évidentes. Que d'abord découvert est connu comme See also:contradiction de Burali-Forti, 'et consiste en preuve qu'il y a et n'est pas un plus grand nombre ordinal infini. Mais ces contradictions ne dépendent d'aucune théorie de nombre, parce que le contradiction2 de Russell n'implique le nombre sous aucune forme. Cette contradiction résulte de considérer la classe possédant comme membres toutes les classes qui ne sont pas des membres d'elles-mêmes. Appelez cette classe W; dire alors que x est un W est équivalent à dire que x n'est pas un x. en conséquence, pour dire que W est un W est équivalent à dire que W n'est pas un w. que une contradiction analogue peut être trouvée pour des relations. Il suit qu'un examen minutieux soigneux de l'idée même des classes et des relations est exigé. Notez que des classes sont ici exigées dans la See also:prolongation, de sorte que la classe des êtres humains et la classe des bipeds featherless raisonnables soient identiques; pareillement pour les relations, qui doivent être déterminées par les entités s'est relié. Maintenant une classe en ce qui concerne ses composants est beaucoup. Dans quel sens alors peut-elle être un? Ce problème "de celui et les nombreux" a été discuté sans interruption par les philosophes.' Toutes les contradictions peuvent être évitées, mais l'utilisation des classes et des relations peut être préservée selon les exigences des mathématiques, et en effet par bon sens, une théorie qui nie à un relationexistence de classor ou en étant dans n'importe quel sens dans lequel les entités composant l'itor relié par itexist. Ainsi, dire qu'un See also:stylo est une entité et la classe des stylos est une entité est simplement un jeu sur le mot "entité"; le deuxième sens de l'"entité" (si quel) est en effet dérivé dès le début, mais a un signification plus complexe. Considérez une proposition inachevée, inachevée dans le sens qu'une certaine entité qui doit He a impliqué dans elle est représentée par un x indéterminé, qui peut se tenir pour n'importe quelle entité. Appelez-l'une fonction de propositional; et, si le ¢x soit une fonction de propositional, la variable indéterminée X est l'See also:argument. Le ¢x de deux fonctions de propositional et les,'x sont "extensionally identiques" si n'importe quelle détermination de x dans le ¢x qui convertit 4)x en proposition vraie également convertit +1'x en proposition vraie, et réciproquement pour 4) et ¢. considérez maintenant une fonction Fx de propositional dans laquelle l'argument variable X est lui-même une fonction de propositional. Si Fx est vrai quand, et seulement quand, x est déterminé pour être ¢ ou un autre équivalent de fonction de propositional extensionally à 4), alors la proposition F¢ est de la forme qui est d'habitude identifiée comme être au sujet de la classe déterminée par 49x pris dans l'extensionthat est, la classe des entités pour lesquelles le ¢x est une proposition vraie quand x est déterminé pour être n'importe quel un d'elles. Une théorie semblable se tient pour les relations qui résultent de la considération des fonctions de propositional avec des arguments deux ou plus variables. Il est alors possible de définir par une élaboration parallèle ce qui est signifié par des classes des classes, des classes des relations, des relations entre les classes, et ainsi de suite. En conséquence, le nombre d'une classe des relations peut être défini, ou d'une classe des classes, et ainsi de suite. Ce theory4 est en effet une théorie de l'utilisation des classes et des relations, et ne décide pas la question philosophic quant au sens (si quel) dans lequel une classe dans la prolongation est une entité. Il nie en effet que c'est une entité dans le sens dans lequel un de ses membres est une entité. En conséquence, c'est une See also:erreur pour n'importe quelle détermination de x pour considérer "x est un x" ou" x n'est pas un x"en tant qu'ayant la signification des propositions. Notez cela pour n'importe quelle détermination de x, "x est un x" et" x n'est pas un x, "ne sont ni l'un ni l'autre d'elles des erreurs mais sont les deux sans signification, selon cette théorie. Ainsi la contradiction de Russell disparaît, et un examen des autres contradictions prouve qu'elles disparaissent également. Le choix appliqué de Mathematics.The des matières de l'enquête mathématique parmi la variété infinie ouverte de lui a été guidé par les applications utiles, et en effet la théorie abstraite a été tout récemment disentangled des éléments empiriques liés à ces applications. Par exemple, l'application de la théorie de nombres cardinaux aux classes des entités physiques implique dans la See also:pratique un certain processus du compte. C'est tout récemment que la See also:succession des processus qui est impliquée dans n'importe quel acte du compte a été vue pour être non pertinente à l'idée du nombre. En effet, il est seulement par l'expérience que nous pouvons savoir que n'importe quel processus défini du compte donnera le véritable nombre cardinal d'une certaine classe des entités. Il est parfaitement possible d'imaginer un univers en lequel n'importe quel acte du compte par un être dans lui a annihilé quelques membres de la classe comptée pendant le temps et seulement pendant la période de sa continuation. Une légende du See also:Conseil de Nicea 'illustre ce point: "quand les évêques ont pris leur" transfiniti de numeri de sui de questione de Lna, "des See also:Di de natte de Rend. del circolo See also:Palerme, vol. XI (1897); et Russell, endroit CIT, ch xxxviii. 2 Cf. Russell, endroit CIT, ch X. 'Cf. Pragmatisme: un nouveau nom pour quelques vieilles manières de la pensée (1907). 'en raison de Bertrand Russell, cf. "logique mathématique comme basée sur la théorie de types," Amer. Journ. des maths vol. xxx. (1908). Il plus entièrement est expliqué par lui, avec des simplifications postérieures, de mathematica de Principia (Cambridge). l'église orientale de cf. un See also:Stanley, la conférence v.places sur leurs trônes, elles avaient 318 ans; quand elles se sont levées jusqu'à appeliez-vous plus de, il était évident qu'elles avaient 319 ans; de sorte qu'elles aient pu ne jamais faire le nombre venir bien, et toutes les fois qu'elles ont approché le See also:bout de la série, il s'est immédiatement transformé en similarité de son prochain See also:voisin." Celui qui soit la valeur historique de cette See also:histoire, il peut sans See also:risque dire qu'il ne peut pas être réfuté par le raisonnement déductif des prémisses de la logique abstraite. Les la plupart que nous pouvons faire doivent affirmer qu'un univers en lequel de telles choses sont exposées à se produire sur une grande échelle est unfitted pour l'application pratique de la théorie de nombres cardinaux. L'application de la théorie de vrais nombres aux quantités physiques implique des considérations analogues. En premier lieu, un certain processus See also:physique d'addition est présupposé, impliquant une certaine See also:loi inductivement impliquée de permanence pendant ce processus. Ainsi dans la théorie des masses nous devons savoir que deux livres de See also:fil quand remonté équilibreront dans les balances deux livres de See also:sucre, ou livre de fil et livre de sucre. En outre, la sorte de continuité de la série (dans l'ordre de grandeur) de nombres raisonnables est connue pour être différente de See also:celle de la série de vrais nombres. En effet, les mathématiciens réservent maintenant la "continuité" comme limite pour le dernier genre de continuité; la seule propriété d'avoir un nombre infini de limites entre deux limites quelconques s'appelle la "compacité." La compacité de la série de nombres raisonnables est conformée aux quasi-espaces dans l'itthat est, avec l'See also:absence possible des limites aux classes dans elle. Ainsi la classe des nombres raisonnables dont les places sont moins de 2 n'a aucune limite supérieure parmi les nombres raisonnables. Mais parmi les vrais nombres toutes les classes ont des limites. Maintenant, dû à l'inexactitude nécessaire de la mesure, il est impossible à distinguer directement si n'importe quel genre de quantité physique continue possède la compacité de la série de nombres rationnels ou de la continuité de la série de vrais nombres. Dans les calculs la dernière hypothèse est faite en raison de sa simplicité mathématique. Mais, la prétention n'a certainement aucune raison a priori en sa faveur et il n'est pas très facile de voir comment la baser sur l'expérience. Par exemple, s'il s'avère que la masse d'un corps doit être estimée en comptant le nombre de corpuscules (celui qui elle peut être) qui va le former, alors un corps avec une mesure irrationnelle de la masse est intrinsèquement impossible. De même, la continuité de l'espace se repose apparemment sur la prétention fine non soutenue par les raisons a priori ou expérimentales. Ainsi les applications courantes des mathématiques à l'analyse des phénomènes peuvent être justifiées par aucune nécessité a priori. Dans un sens il n'y a aucune science des mathématiques appliquées. Quand une fois que les conditions fixes que n'importe quel See also:groupe hypothétique d'entités doivent satisfaire ont été avec précision formulées, la déduction des propositions supplémentaires, qui également tiendront les respecter, peut procéder dans l'indépendance complète de la question de savoir si ou aucun un tel groupe d'entités ne peut être trouvé dans le monde des phénomènes. La mécanique ainsi raisonnable, basée sur les See also:lois newtoniennes, See also:vues comme mathématiques est indépendante de sa application supposée, et l'See also:hydrodynamique See also:demeure une science logique et respectée bien qu'il soit extrêmement improbable que n'importe quel fluide parfait existe dans le monde physique. Mais ce point de vue unbendingly logique ne peut pas être le dernier mot sur la matière. Pour personne peut douter que la différence essentielle entre les traités caractéristiques sur "pur" et "ait appliqué" des mathématiques. La différence est une différence dans la méthode. Dans des mathématiques pures les hypothèses qu'un ensemble d'entités doivent satisfaire sont données, et un groupe de déductions intéressantes sont cherchées. Dans "a appliqué des mathématiques" que les "déductions" sont données dans la forme de l'évidence expérimentale de la science normale, et les hypothèses dont les "déductions" peuvent être déduites sont cherchés. En conséquence, chaque traité sur des mathématiques appliquées, correctement prétendues. est dirigé vers la critique des "lois" de ce que le raisonnement commence, ou à une See also:suggestion des résultats que l'expérience peut espérer pour trouver. Ainsi s'il calcule le résultat d'une certaine expérience, ce n'est pas les résultats bien-certifiés des experimentalist qui sont sur leur épreuve, mais la base du calcul. Le See also:fingo des hypothèses de See also:newton non était une vanterie fière, mais il se repose sur une idée fausse entière des capacités de l'esprit de l'See also:homme en faisant face à la nature See also:externe. Synthèse des développements existants de maïs pur de Mathematics.A une propriété spéciale. Ainsi les idées modernes, qui ont ainsi la See also:classification de powerplete des sciences mathématiques, pendant qu'elles existent actuellement, sont d'être trouvées dans le See also:catalogue See also:international de la littérature scientifique favorisé par la société royale. La classification en question a été élaborée par un comité international des mathématiciens éminents, et a ainsi la plus Haute Autorité. Il serait injuste de la critiquer d'un point de vue philosophique harassant. L'See also:objet pratique de l'entreprise a exigé que la quantité proportionnée de See also:rendement See also:annuel dans les diverses branches, et que la responsabilité de diverses matières en fait à se produire en liaison avec l'un l'autre, devrait modifier la classification. Sectionnez les affaires de A avec des mathématiques pures. Sous la See also:rubrique générale "notions fondamentales" se produisent les sous-positions "bases de l'arithmétique," avec les matières raisonnables, des nombres irrationnels et transcendental, et des agrégats; "algèbre universelle," avec les nombres de matières, les See also:quaternions, l'ausdehnungslehre, l'analyse de vecteur, les See also:matrices, et l'algèbre complexes de la logique; et "théorie de groupes," avec les matières finies et les groupes continus. Pour les sujets de ce See also:titre général voyez l'cAlgèbre d'See also:articles, UNIVERSELLE; GROUPES, THÉORIE DE; CALCUL INFINITESIMAL; NOMBRE; QUATERNIONS; ANALYSE DE VECTEUR. Sous la rubrique générale "algèbre et théorie des nombres" se produisent les sous-positions "éléments de l'algèbre," avec les polynômex raisonnables de matières, les permutations, &c., cloisons, probabilités; "substitutions linéaires," avec les causes déterminantes de matières, &c., substitutions linéaires, théorie générale de quantics; "théorie d'équations algébriques," avec l'existence de matières des racines, de la séparation de et de l'approximation à, de la théorie de See also:Galois, &c. "théorie des nombres," avec les congruences de matières, les résidus quadratiques, les nombres principaux, les nombres irrationnels et transcendental particuliers. Pour les sujets de ce titre général voyez l'cAlgèbre d'articles; FORMS ALGÉBRIQUE; ARITHMÉTIQUE; ANALYSE COMBINATOIRE; CAUSES DÉTERMINANTES; ÉQUATION; FRACTION, CONTINUÉE; See also:INTERPOLATION; LOGARITHMES; See also:PLACE MAGIQUE; PROBABILITÉ. Sous la rubrique générale "analyse" se produisent les sous-positions "bases de l'analyse," avec la théorie de matières de fonctions de vraies variables, de séries et d'autres processus infinis, de principes et d'éléments du différentiel et du calcul intégral, d'intégrales définies, et de calcul des variations; "théorie de fonctions des variables complexes," avec les fonctions de matières d'une variable et de plusieurs variables; "fonctions algébriques et leurs intégrales," avec les fonctions algébriques de matières d'une et de plusieurs variables, fonctions elliptiques et fonctions simples de thêta, intégrales abéliennes; d'"autres fonctions spéciales," avec les matières l'See also:Euler, le See also:Legendre, le See also:Bessel's et les fonctions automorphic; "équations," avec les théorèmes d'existence de matières, méthodes de See also:solution, théorie générale; "formes différentielles et Invariants différentiel," avec les formes différentielles de matières, y compris Pfaffians, transformation des formes différentielles, y compris (ou du See also:contact) des transformations tangentielles, des invariants différentiels; "les méthodes analytiques se sont reliées aux sujets physiques," avec l'analyse See also:harmonique de matières, la série de See also:Fourier, les équations des mathématiques appliquées, le problème de Dirichlet; "équations de différence et équations fonctionnelles," avec la série se reproduisante de matières, la solution des équations des différences finies et les équations fonctionnelles. Pour les sujets de ce titre voyez les ÉQUATIONS d'articles; LA SÉRIE DE FOURIER; FRACTIONS CONTINUES; FONCTION; FONCTION DE VRAIES VARIABLES; COMPLEXE DE FONCTION; GROUPES, THÉORIE DE; CALCUL INFINITESIMAL; MAXIMUM ET MINIMUM; SÉRIE; HARMONIQUES SPHÉRIQUES; TRIGONOMÉTRIE; Les VARIATIONS, CALCUL DE sous le titre général la "géométrie" se produisent les sous-positions "bases, 'avec les principes de matières de la géométrie, geometries non-Euclidiens, le hyperspace, méthodes de géométrie See also:analytique; "la géométrie élémentaire," avec les matières planimétrie, stéréométrie, trigonométrie, la géométrie descriptive; la "géométrie de Conics et de quadriques," avec les matières implicites; "courbes et surfaces algébriques de degré plus haut que l'en second lieu," avec les matières implicites; "transformations et méthodes générales pour des See also:configurations algébriques," avec le collineation, la dualité, les transformations, la correspondance, les groupes de points sur les courbes et les surfaces algébriques, le genre des courbes et les surfaces de matières, la géométrie énumérative, connexes, complexes, congruences, des éléments plus élevés dans l'espace, configurations algébriques dans le hyperspace; "La Géométrie Infinitesimal: applications de calcul différentiel et intégral à la géométrie, "avec la géométrie cinématique de matières, la See also:courbure, la rectification et la See also:quadrature, les courbes transcendental spéciales et les surfaces; "La Géométrie Différentielle: applications des équations à la géométrie, "avec les courbes de matières sur des surfaces, des surfaces minimales, des surfaces déterminées par représentation isogone et autre différentielle de propriétés, des surfaces sur d'autres, déformation des surfaces de surfaces, orthogonales et isothermiques. Pour les sujets sous cette rubrique voyez les SECTIONS CONIQUES d'articles; CERCLE; COURBE; CONTINUITÉ GÉOMÉTRIQUE; La GÉOMÉTRIE, axiomes de; La GÉOMÉTRIE, Euclidienne; La GÉOMÉTRIE, Projective; La GÉOMÉTRIE, Analytique; La GÉOMÉTRIE, Ligne; NOEUDS, THÉORIE MATHÉMATIQUE DE; See also:MENSURATION; MODÈLES; See also:PROJECTION; See also:SURFACE; TRIGONOMÉTRIE. Cet aperçu des développements existants des mathématiques pures confirme les conclusions est arrivé à de l'aperçu précédent des principes théoriques du sujet. Les fonctions, opérations, transformations, substitutions, correspondances, sont mais des noms pour différents types de relations. Un groupe est une classe des relations possédant entièrement See also:sortie et unifié le sujet, ont détaché son raccordement avec le "nombre" et la "quantité," tout en introduisant des idées de forme et de structure dans la proéminence croissante. Le nombre doit en effet jamais demeurer la grande matière d'intérêt mathématique, parce que c'est en réalité la grande matière des mathématiques appliquées. Tout le monde, y compris les sauvages qui ne peuvent pas compter au delà de cinq, See also:journal "appliquent" des théorèmes du nombre. Mais la complexité de l'idée du nombre est pratiquement illustrée par le fait qu'elle mieux est étudiée comme département d'une science plus au loin que lui-même. La synthèse des développements existants de Mathematics.See also:Section appliqué B du catalogue international a See also:affaire avec la mécanique. Le titre "mesure des quantités dynamiques" inclut les unités de matières, des See also:mesures, et la See also:constante de l'attraction universelle. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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