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QUATERNIONS
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QUATERNIONS , dans See also:les mathématiques. See also:Le mot "quaternion" signifie correctement "un ensemble de quatre." En utilisant un tel mot pour dénoter une See also:nouvelle méthode mathématique, See also: Nous See also: Ainsi trouver l'See also:intervalle entre les batailles de See also:Marathon (490 B.c.) et See also:Waterloo (A.d. 1815) nous avons +1815(490) = 2305 ans. Et il est évident que le même See also:processus s'applique dans tous les cas dans lesquels nous traitons les quantités qui peuvent être considérées en date d'une See also:dimension dirigée seulement, comme des distances suivant une ligne, des rotations autour d'un See also:axe, &c. Mais il est essentiel de noter que c'est nullement nécessairement vrai des opérateurs. Pour tourner une ligne par un See also:certain See also:angle dans un See also:avion donné, un certain opérateur est requis; mais quand nous souhaitons le tourner par un angle négatif égal nous ne devons pas, en général, utiliser le négatif de l'ancien opérateur. Pour le négatif de l'opérateur qui tourne une ligne par un angle donné dans une volonté donnée d'avion dans tout le produit de cas le négatif du résultat original, qui n'est pas le résultat de l'opérateur renversé, à moins que l'angle ait impliqué soyez un multiple See also:impair d'un angle droit. C'est, naturellement, sur la prétention habituelle que le signe d'un produit est changé quand cela de n'importe quel un de ses facteurs est changé, qui signifie simplement le thati est commutatif avec toutes autres quantités. See also: Mais il n'a pas attaqué la question de la représentation des produits ou des quotients des lignes dirigées. La See also:mesure qu'il a prise n'est vraiment rien davantage que le principe cinématique de composition des vitesses linéaires, mais exprimé en termes d'imaginaire algébrique. En 1806 (l'année de la publication du See also:papier de Buee) See also:Jean See also:Robert Argand a édité un pamphlet2 dans lequel avec précision les mêmes idées sont développées, mais jusqu'à un degré considérablement plus grand. Pour une interprétation est assigné au produit de deux lignes dirigées dans un avion, quand chacun est exprimé comme See also:somme d'une vraie et imaginaire partie. Ce produit est interprété en tant qu'autre ligne dirigée, formant la quatrième See also:limite d'une proportion, de laquelle le premier I à proprement parler, cette See also:illustration de See also:Tait est par See also:erreur par l'unité parce que dans notre See also:calendrier il n'y a aucune année a dénommé zéro. Ainsi l'intervalle entre See also:juin le premier de I B.c. et juin le premier de I A.d. est d'un See also:an, et non deux ans car le See also:texte implique. (A.McA.) 2 constructions Geometriwues de les de dans de Quantites Imaginaires de les d'une maniere de representer de sur d'Essai. Une deuxième édition a été éditée par J. Houel (See also:Paris, 1874). On ajoute une annexe importante comprenant les papiers d'See also:Annales de Gergonne qui sont mentionnés au texte ci-dessus. Presque rien ne peut, il semble, soit appris de la vie privée d'Argand, sauf que plus que probablement qu'il a été See also:soutenu à Genève dans 1768.term est la vraie unité-ligne (positive), et les autres deux sont les facteur-lignes. Le travail d'Argand est demeuré jusqu'à ce que la question ait été de nouveau soulevée dans Annales de Gergonne, 1813 inaperçu, à côté de J. F. See also:Francais. Cet auteur a déclaré qu'il avait trouvé le germe de ses remarques parmi les papiers de son frère décédé, et qu'ils étaient See also:venus de See also:Legendre, qui lui-même leur avait reçu de environ See also:anonyme. Ceci a mené à une See also:lettre à partir d'Argand, dans lequel il a énoncé ses communications avec Legendre, et a donné un résumé du contenu de sa See also:brochure. Dans une autre communication à l'Annales, Argand a poussé sur les applications de sa théorie. Il a fourni au See also:moyen de lui des preuves simples de l'existence des racines de n, et pas plus, dans chaque équation algébrique raisonnable du nième See also:ordre avec de vrais coefficients. Environ 1828 John See also:Warren (17961852) en Angleterre, et C. V. Mourey en France, indépendamment d'une une autre et d'Argand, a réinventé ces modes d'interprétation; et toujours plus tard, dans les écritures de See also:Cauchy, de See also:gauss et de d'autres, les propriétés de l'expression a + See also: Le produit, P, de deux telles lignes est, comme nous avons vu, donné par 1:a(cos 0-{-isin0): a'(cos0'-{-isin0'):P, ou P=aa '(cos (0+0')+isin (0+ 0 ') sa longueur est, donc, le produit des longueurs des facteurs, et de sa inclination à la vraie unité est la somme de ceux des facteurs. Si nous écrivons les expressions pour les deux lignes sous la forme A+See also:Bi, A'+B'i, le produit est AA'BB'-l-i(See also:AB'+See also:BA '); et le fait que la longueur du produit est le produit de ceux des facteurs est vu sous la forme (See also:A2 +132) (A'2+b'2) _ (aa 'BB')2+ (ab '+ BA')2. En théorie See also:moderne de nombres de complexe ceci est exprimé en disant que la See also:norme d'un produit est égale au produit des See also:normes des facteurs. Les tentatives d'Argand de prolonger sa méthode à l'espace étaient généralement stériles. Les raisons seront plus tardives évident; mais nous les mentionnons en ce moment parce qu'ils ont appelé en avant de F. J. Servois (Annales, 1813 de Gergonne) un commentaire très remarquable, dans lequel a été contenu le See also:seul pourtant la trace découverte d'une anticipation de la méthode de Hamilton. Argand avait été mené pour nier qu'une expression telle qu'cIi pourrait être exprimée sous la forme A+Bi, bien que, de même que bien connu, See also:Euler a prouvé qu'un de ses valeurs est une vraie quantité, la fonction exponentielle ofsr/2. Servois indique, concernant la représentation générale d'une ligne dirigée dans l'espace: "le See also:fut de la forme p cos a+q cos 13+r cos a, 13, les etant d'exiger que le trinome de semblerait de L'See also:analogie de y pêche des rectangulaires de haches de trois d'avec de droite de d'une; et eut de qu'on (p cos a + q cos l3 + r cos 7) (p 'cos a + q 'cos I + r 'cos y) = cosà+cos213+cos2y=1. Les valeurs de p, q, r, p ', q, 'r ', absurdes seraient d'un état satisferaient de cette de qui; imaginaires de seraient-elles de mais, reductibles un gEnerale A+b v -1 de forme de La? Soumets de je de que de singulibre de fort de d'See also:analyse de question d'une de Voila lumieres de vos. Le suffit vous de fais d'en de proposition de La de je See also:simple de que versent le vraiment vous de soit de reelle d'analytique de fonction de toute de que de point de crois de Ne de je de que de voir de faire non reductible un forme A+b s/-1 de La." Comme sera vu plus tard, le principe fondamental i, j, k des quarternions, avec leurs reciprocals, fournissent un ensemble de six quantités qui satisfont les conditions imposées par Servois. Et il est tout à fait certain qu'elles ne puissent pas être représentées par les imaginaries ordinaires. Quelque chose bien plus étroitement analogue aux quaternions que n'importe quoi dans le travail d'Argand doit avoir été suggérée par le théorème de De 1Vloivre's (1730). Au See also:lieu de considérer, comme Buee et Argand avaient fait, des a(cos d'expression 0 + péché de I 0) pendant qu'une ligne dirigée, nous laissait le supposent pour représenter l'opérateur qui, une fois appliqué à toute ligne dans l'avion en lequel 0 est mesuré, tours il du fait l'avion par l'angle 0, et augmente en même temps sa longueur dans le rapport a: 1. Du nouveau point de vue nous voyons immédiatement, comme il étaient, pourquoi il est vrai que (péché de cos 0+ i 0)Y. = péché m0 de cos m0+ i. Pour cette équation déclare simplement cela dans les turnings d'une ligne par des angles égaux successifs, dans un avion, élasticité le même résultat qu'une rotation simple par m fois l'angle See also:commun. Pour rendre ce processus applicable à n'importe quel avion dans l'espace, il est clair que nous devions avoir une valeur spéciale de I pour chaque un tel avion. En d'autres termes, une ligne d'unité, tracée dans toute direction celui qui, doive avoir -1 pour sa See also:place. Dans un tel système il n'y See also:aura aucune ligne dans l'espace particulièrement distingué comme vraie ligne d'unité: tous seront de même vrais imaginaire et ou plutôt semblable. Nous pouvons énoncer, dans le dépassement, que chaque quaternion peut être représenté comme a (cos 0+ un péché 0), où a est un vrai nombre, 0 un vrai angle, et 1r une ligne dirigée d'unité dont la place est -1, Hamilton ont pris cette mesure grande, mais, comme nous avons déjà dit, sans n'importe quelle aide des travaux précédents de De Moivre. Le cours de ses investigations est See also:petit décrit dans la préface à son premier grand travail (conférences Quaternions, 1853) sur le sujet. Hamilton, comme la plupart des nombreux investigateurs qui ont essayé de donner une vraie interprétation à l'imaginaire de l'algèbre commune, constaté qu'au moins deux genres, ordres ou grades de quantités étaient nécessaires pour le See also:but. Mais, au lieu de traiter des See also:points sur une ligne, et d'errer alors dehors perpendiculairement à elle, comme Buee et Argand avaient fait, il a choisi de See also:regarder sur l'algèbre comme science "de temps pur," l et d'étudier les propriétés des "ensembles" d'temps-étapes. En son nature essentielle un ensemble est une fonction linéaire de tout nombre d'unités "distinctes" de la même espèce. Par conséquent la forme la plus simple d'un ensemble est un "See also:couple"; et elle était aux See also:lois possibles de la combinaison des couples que Hamilton a dirigé la première fois son See also:attention. Il est évident que la manière dans laquelle les deux temps-étapes séparées sont impliquées dans les couples déterminera See also:ces lois de combinaison. Mais l'objet spécial de Hamilton a exigé que ces lois devraient See also:devoir comme mener à certains résultats assumés; et il a donc débuté en assumant ces derniers, et à partir de la prétention a déterminé comment les temps-étapes séparées doivent être impliquées dans les couples. Il nous employons les lettres romaines pour de seuls nombres, See also:capitaux pendant des instants d'See also:heure, lettres grecques pour des temps-étapes, et une parenthèse de dénoter un couple, les lois assumées par Hamilton comme la See also:base d'un système étaient comme suit: (B1, B2) (AI, A2) = (B, A, BÀ) = (a); (a, b) (a, 19) = (aab, 6, ba+a/3) 2 pour montrer comment nous donnons, par de telles prétentions, une vraie interprétation à l'imaginaire algébrique See also:ordinaire, prennent l'a=o de cas, le b = le I simples, et la seconde des formules ci-dessus donne (0, 1)(a, $)=(- Q, a). Multipliez-vous une fois de plus par les nombre-couples (o, I), et nous ont (0,1)(0, 1)(a, 0)=(0, 1)(, a)=(a, R)=(I, 0)(a, 0)=(a, 0). Ainsi les nombre-couples (o, I), une fois deux fois appliqué à un étape-couple, change simplement son signe. Que nous avons ici une interprétation parfaitement vraie et intelligible de l'imaginaire algébrique ordinaire est facilement vu par une illustration, même si elle soit quelque peu exagérée. Un certain potentate See also:oriental, possédé de la See also:puissance absolue, des covets les vastes possessions de son See also:vizier et de son See also:coiffeur. Il détermine à les voler toutes les deux (une opération qui peut être très d'une manière satisfaisante exprimée par I); mais, étant un remuement, il choisit sa propre manière de la faire. Il dégrade le sien vizier au See also: Le See also:jour suivant il répète l'opération. Chacune des victimes a été reconstituée à son ancien See also:rang, mais l'opérateur I a été appliqué à tous les deux. Hamilton, immobile gardant en évidence avant lui en tant que son grand objet l'invention d'une méthode applicable à l'espace de trois dimensions, procède étudier les propriétés des triplets de la forme x+iy+jz, par laquelle il a proposé de représenter la ligne dirigée dans l'espace dont les projections sur les haches de coordination sont x, y, z. la composition de deux telles lignes par la théorie algébrique de I de fonctions conjuguées, ou couples algébriques, avec un essai préliminaire et élémentaire sur l'algèbre comme Science de temps pur, lus en 1833 et 1835, et édités dans le See also:transport. R. I. A. xvii. II. (1835). 3 comparez ces derniers aux idées See also:long-suivantes de Grassmann.addition de leurs plusieurs projections étées d'See also:accord avec l'See also:acceptation de Buee et d'Argand pour la caisse de lignes coplanaires. Mais, assumant le principe distributif, on a supposé que le produit de deux lignes a semblé donner au xx'd'expression 'zz'+i yy (yx'+xy ') +j (xz'+zx ') +ij (yz '+zy ') pour la place de j, comme cela de I, est unité négative. Mais l'interprétation de l'ij a présenté à un fait de difficultyin la difficulté principale de l'investigationand entier qu'il est particulièrement intéressant de voir comment Hamilton l'a attaqué. Il a vu qu'il pourrait obtenir un See also:conseil du cas plus simple, déjà complètement discuté, fourni les deux lignes de facteur étaient dans un avion par la vraie ligne d'unité. Ceci exige simplement ce y: z:: y ': z '; oryz'zy'=o; mais alors le produit devrait être de la même forme que les facteurs séparés. Ainsi, dans ce cas spécial, la limite dans l'ij doit disparaître. Mais le facteur numérique semble être yz'+zy ', alors que c'est la quantité yz'zy 'qui disparaît vraiment. Par conséquent Hamilton était d'abord incliné pour penser que l'ij doit être traité comme zéro. Mais il a bientôt vu que "une supposition moins dure" conviendrait au cas simple. Pour ses spéculations sur des ensembles l'avait déjà familiarisé avec l'idée que la multiplication pourrait dans certains cas ne pas être commutative; de sorte que, car la dernière limite dans le produit ci-dessus se compose de l'ijyz séparé de deux See also:limites 'et jizy ', la limite disparaisse de elle-même quand les facteur-lignes sont ij = ji fournis coplanaires, parce que lui assumerait alors l'ij(yz de forme 'zy '). Il a eu maintenant l'expression suivante pour le produit de deux lignes dirigées quelconques: zz 'yy +i (yx '+ xy ') +j(xz '+zx ') +ij(yz'zy 'de xx''). Mais son résultat a dû être soumis à un autre essai, la See also:loi des normes. Dès qu'il a trouvé, par épreuve, que cette loi a été satisfaite, il a pris la mesure See also:finale "que ceci m'a mené," il dit, "de concevoir cela peut-être, au lieu de chercher à se confiner aux triplets. . . nous devons considérer ces derniers comme seulement les formes imparfaites de Quaternions. . . et cela See also: Et maintenant une ligne dirigée dans l'espace est venue pour être représentée comme ix+jy+kz, alors que le produit de deux lignes est le quaternion (xx '+yy '+zz ') +i(yz) +j(zx ''zy 'le xz ') +k(xy 'yx '). À n'importe quel a mis au See also:courant, même jusqu'à un léger degré, des éléments de la géométrie cartésienne de trois dimensions, un regard sur les constituants extrêmement suggestifs des expositions de cette expression comment juste Hamilton a eu droit à la parole: "quand la conception. . . avait été jusqu'ici dévoilé et fixé dans mon esprit, j'ai estimé que le nouvel See also:instrument pour s'appliquer le calcul à la géométrie, pour laquelle j'avais tellement longtemps cherché, était maintenant, au moins en partie, atteint." La date de cette découverte mémorable est See also:octobre 16, 1843. Supposez, pour la simplicité, les facteur-lignes à être chacune de l'unité de longueur. Puis x, y, z, le x', y ', z 'expriment leurs direction-cosinus. En outre, si 8 soient l'angle entre eux, et le x", y ", z "les direction-cosinus d'une perpendiculaire de ligne à chacun d'eux, nous avons xx'+yy'+zz'=cos 0, yz'zy"=x l'" péché 0, &c., de sorte que le produit de deux lignes d'unité soit maintenant exprimé comme péché B. Thus de coso+(ix"+jy"+kz"), quand les facteurs 3 il seront faciles de voir que, au lieu des trois derniers de ces derniers, nous pouvons écrire l'un ijk simple = -1. sont parallèle, ou B=o, le produit, qui en est maintenant à angle droit de, qui de Grassmann. Mais il doit être observé que Grassmann, ligne (d'unité) soit i. et quand les deux lignes de facteur sont ~ perpendiculaire cependant il accusent pratiquement Cauchy du See also:plagiarism, pas à un un autre, ou 0=ir/2, le produit est simplement ix"+jy''+kz ", la perpendiculaire de ligne d'unité à tous les deux. Par conséquent, et en cela les mensonges l'élément See also: 
Laissez lui soyez supposé que le produit de deux a dirigé des lignes est quelque chose qui a la quantité; c.-à-d. il peut être divisé en deux, ou doublé, par exemple. Laissez-en outre nous assument (a) l'espace pour avoir les mêmes propriétés dans toutes les directions, et font la See also:convention (b) que changer le signe de n'importe quel un facteur change le signe d'un produit. Alors le produit de deux lignes qui ont la même direction ne peut pas être, même en partie, une quantité dirigée. Pour, si la partie dirigée ont la même direction que les facteurs, (b) prouve qu'il sera renversé en renversant l'un ou l'autre, et donc récupérera son direction originale quand tous les deux sont renversés. Mais ce serait évidemment contradictoire avec (a). S'il soit perpendiculaire aux lignes de facteur, (a) prouve qu'il doit avoir simultanément chaque une telle direction. Par conséquent ce doit être un seul nombre. Encore, le produit de deux lignes perpendiculairement à une une autre ne peut pas, même en partie, être un nombre. Pour l'inversion de l'un ou l'autre facteur doit, par (b), changer son signe. Mais, si nous regardons les deux facteurs en leur nouvelle position par la lumière de (a), nous voyons que le signe ne doit pas changer. Mais il n'y a rien à empêcher le son représenté par une ligne dirigée si, comme autre des applications de (a) et de (b) See also:exposition que nous devons faire, nous la prennent perpendiculaire à chacune des lignes de facteur. Hamilton ne semble jamais avoir été tout satisfait de l'hétérogénéité apparente d'un quaternion, dépendant comme il fait sur une partie numérique et dirigée. Il s'est livré à beaucoup de spéculation quant à l'existence d'un supplémentaire-spatial, d'une unité, qui devait fournir le d'etre de See also:raison de la partie numérique, et rend le quaternion homogène comme linéaire. Mais pour ceci nous devons nous référer à ses propres travaux. Hamilton n'était pas le seul ouvrier à la théorie d'ensembles. L'année après la première publication de la méthode de quaternion, là apparue un travail de grande originalité, par Grassmann, 'dans quels résultats étroitement analogues à certaines de ceux de Hamilton ont été donnés. En See also:particulier, deux espèces de multiplication ("intérieur "et" See also:externe") des lignes dirigées dans un avion ont été données. Les résultats de ces deux genres de multiplication correspondent respectivement aux parties numériques et dirigées du produit du quaternion de Hamilton. Mais de Grassmann états distinctement dans sa préface qu'il pas avait eu des loisirs pour prolonger sa méthode aux angles dans l'espace. Hamilton et Grassmann, alors que leurs premiers travaux avaient beaucoup en commun, ont eu les objets très différents en vue. Hamilton a eu l'application géométrique en tant que son objet principal; quand il a réalisé le système de quaternion, il a estimé que son objet a été gagné, et s'est dès lors confiné à l'élaboration de sa méthode. L'objet de Grassmann semble avoir été, tous le long de, d'un caractère beaucoup plus ambitieux, à savoir découvrir, si possible, un système ou des systèmes dans lesquels chaque See also:mode imaginable de traiter des ensembles devrait être inclus. Qu'il a fait des avances très grandes vers l'accomplissement de cet objet toutes laissera; que sa méthode, même pendant qu'accompli en 1862, l'atteint entièrement n'est pas aussi sûr. Mais ses réclamations, toutefois grand elles peuvent être, peuvent nullement être en conflit avec ceux de Hamilton, dont le mode de multiplier les couples (dans ce que la multiplication "intérieure" et "externe" sont essentiellement impliquées) a été produit en 1833, et à qui système de quaternion a été accompli et édité avant que Grassmann ait élaboré pour la See also:pression même les parties rudimentaires de son propre système, dans lesquelles la véritable difficulté du sujet entier, l'application aux angles dans l'espace, n'avaient pas été même attaquées. Grassmann a fait en le • 1854 un impact quelque peu See also:sauvage sur Cauchy et De See also:St Venant, l'ancien de qui avait inventé, alors que le dernier avait exemplifié dans l'application, le système des "algebriques de clefs," qui est presque avec précision 'See also:matrice Ausdehnungslehre, Leipsic, 1844; 2ème ED, vollstandig et dans le bearbeitet de forme de strenger, See also:Berlin. 1862. Voyez également les travaux rassemblés de See also:Mobius, et ceux de See also:Clifford, parce que d'une explication générale du method.appear de Grassmann pour avoir préféré une telle See also:charge contre Hamilton. Il ne fait pas référence à Hamilton dans la deuxième édition de son travail. Mais en 1877, dans le Mathematische Annalen, XII, il a présenté un exposé "sur l'See also:endroit de Quaternions dans l'Ausdehnungslehre," dans ce qu'il condamne, autant qu'il bidon, la nomenclature et des méthodes de Hamilton. Il y a beaucoup d'autres systèmes, basés sur les See also:divers principes, qui ont été donnés pour application à la géométrie des lignes dirigées, mais ceux qui traitent des produits des lignes sont toute une telle complexité quant à soient pratiquement inutiles dans l'application. D'autres, tel que le Barycentrische Calciil de Mobius, et les equipollences de DES de Methode de Bellavitis, donnent des modes élégants des problèmes de traitement de l'espace, à condition que nous nous confinions à la géométrie et aux sujets projectifs de cet ordre; mais ils sont limités dans leur See also:domaine, et n'ont pas besoin donc d'être discutés ici. Des systèmes plus généraux, ayant des analogies étroites aux quaternions, ont été donnés depuis que la découverte de Hamilton a été éditée. Comme les exemples nous peuvent prendre les papiers de See also:Goodwin et d'O'Brien dans les transactions philosophiques de See also:Cambridge pour 1849. (voir également l'cAlgèbre: sortes spéciales.) Relations à d'autres branches de Science.The au-dessus des expositions narratives comment étroit est le raccordement entre les quaternions et l'espace-géométrie cartésienne ordinaire. Étaient ces tous, le gain par leur introduction consisteraient principalement en perspicacité plus claire dans le mécanisme de coordonnent les systèmes, l'addition très importante rectangulaire ou de nota à la théorie, mais peu avance autant que l'application See also:pratique est concernée. Mais, jusqu'ici, nous n'avons pas tiré profit de la symétrie parfaite de la méthode. Quand cela est fait, la pleine valeur de l'étape grande de Hamilton devient évidente, et le gain est aussi étendu du pratique comme du point de vue théorique. Hamilton, en fait, les remarques, 2 "je le considère comme un inelegance et une imperfection dans ce calcul, ou plutôt dans l'état auquel il a été jusqu'ici dévoilé, toutes les fois qu'il devient, ou semble devenir, nécessaire d'avoir recours. . . aux ressources de l'algèbre ordinaire, pour la See also:solution des équations dans les quaternions." Ceci se rapporte à l'utilisation du x, y, z co-ordinates, -- associé, naturellement, avec i, j, k. mais quand, au lieu de l'expression fortement artificielle ix-}-jy+kz, pour dénoter une ligne dirigée finie, nous utilisons une lettre simple, a (Hamilton emploie l'alphabet grec à cette See also:fin), et constatez que nous sommes autorisés pour traiter lui exactement comme nous devrions avoir traité l'expression plus complexe, l'immense gain est au moins en partie évident. N'importe quel quaternion peut maintenant être exprimé sous de nombreuses formes simples. Ainsi nous pouvons le considérer comme somme d'un nombre et d'une ligne, aba, ou comme le produit, (ý, ou le quotient, é - ', de deux a dirigé des lignes, &c., alors que, dans beaucoup de cas, nous pouvons le représenter, autant qu'il est exigé, par une lettre simple telle que q, r, &c. Peut-être à l'étudiant il n'y a aucun partie de mathématiques élémentaires si repulsive de même que la trigonométrie sphérique. En outre, tout concernant le changement des systèmes des haches, comme par exemple en cinématique d'un système rigide, où nous avons constamment pour considérer un un ensemble de rotations en ce qui concerne des haches fixées dans l'espace, et un ensemble différent en ce qui concerne des haches fixées dans le système, est une question de complexité ennuyeuse par les méthodes habituelles. Mais chaque See also:formule de quaternion est une proposition en (parfois dégradant pour surfacer) trigonométrie sphérique, et a le plein See also:avantage de la symétrie de la méthode. Et un des avances les plus tôt de Hamilton dans l'étude de son système (une avance indépendamment faite, seulement quelques See also:mois plus tard, par See also:Arthur See also:Cayley) était l'interprétation du)q singulier de q(d'opérateur - ', où q est un quaternion. Appliqué à n'importe quelle ligne dirigée, cet opérateur la tourne immédiatement, coniquement, par un angle défini, autour d'un axe défini. Ainsi la rotation est maintenant exprimée en symboles au moins aussi simplement qu'elle peut être exhibée au moyen d'un modèle. A eu des quaternions effectués rien davantage que ceci, ils immobile aurait inauguré un du plus nécessaire, et apparent inutilisable, des réformes. Les propriétés physiques d'un See also:corps hétérogène (fourni elles changent sans interruption du point au point) sont connues pour dépendre, à proximité de n'importe quel un point du corps, d'une fonction See also:quadrique de coordonne concernant ce point. Les 2 conférences sur Quaternions, § 513. même est vrai des quantités physiques telles que le potentiel, la température, &c., dans toutes les See also:petites régions dans lesquelles leurs See also:variations sont continues; et aussi, sans restriction des dimensions, des moments de l'inertie, &c. par conséquent, en plus de ses applications géométriques sur des surfaces du deuxième ordre, la théorie de fonctions quadriques de la position est d'importance fondamentale dans la See also:physique. Ici la symétrie se dirige immédiatement au choix des trois See also:principales haches comme directions pour I, j, k; et elle serait évident à première vue comme si les quaternions ne pourraient pas simplifier, bien qu'ils pourraient s'améliorer dans l'élégance, la solution des questions de cette sorte. Mais elle n'est pas aussi. Même dans les premiers travaux de Hamilton on lui a montré que toutes telles questions étaient réductibles à la solution des équations linéaires dans les quaternions; et il a montré que ceci, à leur See also:tour, a dépendu de la détermination d'un certain opérateur, qui pourrait être représenté aux fins du calcul par un See also:symbole simple. La méthode est essentiellement identique à cela développée, sous le nom des "See also:matrices," par Cayley en 1858; mais elle a l'avantage particulier de la simplicité qui est la conséquence normale de l'See also:absence entière des lignes de référence conventionnelles. Suffisamment a été déjà dit de montrer le raccordement étroit entre les quaternions et la théorie de nombres. Mais un raccordement le plus important avec la physique moderne doit être précisé. Dans la théorie de surfaces, dans le hydrokinetics, chaleur-See also:conduction, les potentiels, &c., nous rencontrons constamment ce qui s'appelle l'"opérateur de See also:Laplace," à savoir le ye d2 22 + le dz2. Nous savons que c'est un invariable; c.-à-d. il est indépendant des directions particulières choisies pour le rectangulaire coordonnent des haches. Ici, alors, est un cas particulièrement adapté à l'isotropie du système de quaternion; et Hamilton a facilement vu que l'idx +j d'expression -- le dcould de +k-, comme ix+jy+kz, soit efficacement exprimé par une lettre simple. Il a choisi à cette fin V. et nous voyons maintenant que la place de V est le négatif de l'opérateur de Laplace; tandis que V lui-même, une fois appliqué à n'importe quelle quantité numérique conçue en tant qu'ayant une valeur définie à chaque point d'espace, donne la direction et le See also:taux du changement le plus See also:rapide de cette quantité. Ainsi, appliqué à un potentiel, il donne la direction et l'importance de la force; à une See also:distribution de la température dans un solide de conduite, il donne (une fois multiplié par la conductivité) le See also:flux de la chaleur, &c. Aucun meilleur témoignage à la valeur de la méthode de quaternion ne pourrait être désiré que l'utilisation See also:constante faite en sa See also:notation par des mathématiciens comme Clifford (dans son cinématique) et par des physiciens comme le Commis-clerk-See also:Maxwell (dans la son électricité et magnétisme). Ni l'un ni l'autre de ces hommes n'ont professé pour utiliser le calcul lui-même, mais elles ont identifié entièrement la clarté extraordinaire de l'perspicacité qui est gagnée même en traduisant simplement les expressions cartésiennes difficiles à manier rencontrées dans le hydrokinetics et dans l'electrodynamics dans la See also:langue See also:enceinte des quaternions. (P. See also: C'était le travail de Hamilton lui-même, et le compte ci-dessus (contribué au 9ème ED de l'Ency. Brit. par See also:professeur P. G. Tait, qui était l'élève de Hamilton et après qu'il le principal exposant du sujet) est un bref résumé de ce premier, et de loin le plus important et le plus difficile, des trois étapes. (2) applications d'examen médical. Tait lui-même peut être considéré comme le contribuant en See also:chef à cette étape. (3) applications, différentes géométriques en nature de, cependant plus ou moins allié à, ceux en liaison avec lesquels la méthode a été lancée. Ces le See also:bout incluent (a) des applications géométriques projectives de C. J. Joly's à partir de l'interprétation du quaternion comme point-symbole;' on peut dire que ces applications n'exigent aucune addition à l'algèbre de quaternion; (b) Biquaternions de W. K. Clifford's et G. Combebiac's tri-quaternions, qui exigent l'addition des quasi-grandeurs scalaires, indépendante d'une une autre et des grandeurs scalaires vraies, et analogue pour rectifier des grandeurs scalaires. Comme un 1 algébrique il apparaît de. Les références de Joly~ et de Macfarlane que J. B. See also:Shaw, en Amérique, indépendamment de Joly, a interprété le quaternion comme les quaternions d'un point-symbol.method ont du commencement reçu beaucoup d'attention des mathématiciens. Une See also:tentative a été récemment faite sous le nom des multenions de systématiser cette algèbre. Nous choisissons pour l'étape de description (3) ci-dessus, comme développement le plus caractéristique des quaternions ces dernières années. Pour (3) (a) nous sommes contraints à renvoyer le lecteur au propre See also:manuel de Joly de Quaternions (1905). L'See also:impulsion de W. K. Clifford en son papier de 1873 ("See also:croquis préliminaire de Bi-Quaternions, "de papiers, de p. mathématiques 181) semble être venue du papier de monsieur R. S. Ball's sur la théorie de See also:vis, éditée en 1872. Clifford se sert d'un W quasi-scalaire, commutatif avec des quaternions, et tels que si p, q, &c., sont des quaternions, quand p+wq = p'+wq ', puis nécessairement p=p ', q=q '. Il considère deux points de droit, à savoir See also:w2=1 appropriés pour l'espace non-Euclidien, et w2=o approprié à l'espace euclidien; nous nous confinons à la seconde, et appellerons le Bi-quaternion indiqué p+wq un octonion. Dans les octonions l'analogue du vecteur de Hamilton est localisé jusqu'au degré de l'emprisonnement à un axe indéfiniment long parallèle à lui-même, et s'appelle un rotor; si p est un rotor puis le wp est parallèle et égal à p, et, comme le vecteur de Hamilton, à wp n'est pas localisé; le wp s'appelle donc un vecteur, bien qu'il diffère du vecteur de Hamilton parce que le produit de deux tels vecteurs quelconques wp et OE est zéro parce que w2=o. p+wo où p, o- sont des rotors (c.-à-d. p est un rotor et un coo- un vecteur), s'appelle un See also:moteur, et a la signification géométrique de la clé de la See also: Pour fixer un point pesé et un avion pesé dans l'espace euclidien nous exigeons de 8 grandeurs scalaires, et pas des 12 grandeurs scalaires d'un tri-quaternion. Nous devrions nous attendre à ce que quelques espèces de biquaternion suffisent. Et c'est le cas. Laissez r, Co soit deux quasi-grandeurs scalaires tels que n2=i, le wn=w, rw=w2=o. Alors le biquaternion 174+wr suffit. L'avion est de zVq de grandeur de vecteur, son équation est zSpq=Sr, et son expression est le Bi-quaternion 17Vq+wSr; le point est de la grandeur scalaire carrée, et son vecteur de position est 0, où 1Vi3q=Vr (ou ce qui est le même, [ Vr+q.Vr. q-']/Sq), et son expression est nSq+wVr. (la See also:note que les 2 se produisant ici est seulement exigé pour assurer l'See also:harmonie avec tri-quaternions de ce que nos biquaternions actuels, comme aussi des octonions, sont des cas particuliers.) Le point dont le vecteur de position est Vrq-1 est sur l'axe et peut s'appeler le centre du Bi-quaternion; c'est le centre d'une sphère du See also:rayon Srg-1 concernant laquelle le point et l'avion sont dans les reciprocals polaires de sens approprié de quaternion, c.-à-d., le vecteur de position du point relativement au centre est Srq 1. Vq/Sq, et ce du See also:pied de la perpendiculaire du centre sur l'avion est Srq '. Sq/Vq, le produit étant (radius)2, qui est (Srq^')2. l'axe du See also:membre xQ+x'Q 'du complexe de second ordre Q, Q '(où Q=nq+wr, Q'=nq'+wr 'et x, x'sont des grandeurs scalaires) est parallèle à un avion fixe et intersecte un transversal fixe, à savoir la ligne parallèles à q'q-1 qui intersecte les haches de Q et de Q '; le plan du membre contient une ligne fixe; le centre est sur une See also:ellipse fixe qui intersecte le transversal; l'axe est sur une See also:surface régnée fixe I See also:Sidney, See also:Spenser et See also:Daniel, sont vraiment des quatorzains. Ils à ce que le plan de l'ellipse est un avion de tangente, l'ellipse étant la See also:section de la surface régnée en l'avion; la surface régnée est un cylindroïde déformé par un cisaillement simple parallèle au transversal. Dans le complexe de troisième ordre le lieu de centre devient une surface quartic fermée finie, avec trois (une toujours vraie) haches nodales d'intersection, dont chaque section See also:plate est une quartic trinodal. Le défaut en chef des propriétés géométriques des ces Bi-quaternions est que la grandeur scalaire algébrique ordinaire ne trouve aucun endroit parmi eux, et en conséquence Q-1 est sans signification. Mettant r t7 = E nous obtenons Combebiac tri-quaternion sous la forme Q=%p-l-rlq+wr. Ceci a un KQ réciproque Q-1 = p-1=nq 1 wp-1rq 1, et conjugué (tels que K[qq '] _ KQ'KQ, K[kq]=q) donné par KQ = EKq+i Kp+wKr; le produit QQ 'de Q et de Q 'est Epp'+'ggq'+w(See also: Q et KQ ont un centre commun et des rayons égaux et opposés; c'est-à-dire, le t de KQ est le conjugé négatif de cela de Q. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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