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PYTHAGOREAN
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La GÉOMÉTRI E de PYTHAGOREAN comme introduction de la géométrie en la Grèce est par See also:le consentement See also:commun attribué à Thales, ainsi tous sont convenus que c'à Pythagoras est dû l'honneur de avoir soulevé des mathématiques du grade d'une science. Nous savons que le Pythagoreans tôt n'a édité rien, et que, d'ailleurs, ils se sont référés le tout leurs découvertes de nouveau à leur maître (voir le See also:PHILOLAUS). Par conséquent il n'est pas possible de séparer son travail de celui de ses disciples tôt, et nous devons donc traiter la géométrie de l'école tôt de Pythagorean dans l'ensemble. Nous savons que See also:des See also:nombres faits par See also:Pythagoras la See also:base de son système philosophique, aussi bien examen médical comme metaphysical, et qu'il a See also:uni l'étude de la géométrie à celle de l'arithmétique. See also:Les rapports suivants nous ont été remis vers le See also:bas que (a) See also:Aristotle (méta i. 5, 985) indique que "le Pythagoreans s'est appliqué la première fois aux mathématiques, une science qu'elles ont améliorée; et, pénétré avec lui, ils ont aimé que les principes des mathématiques étaient les principes de toutes les choses." (b) Eudemus nous informe que "Pythagoras a changé la géométrie en See also:forme d'une science libérale, concernant ses principes d'une façon purement abstraite, et a étudié ses théorèmes du See also:point de vue peu important et intellectuel (auas, voEpws de s Kal)." 1 (c) See also:Diogenes Laertius (viii. II) relie que "c'était Pythagoras qui a porté la géométrie à la See also:perfection, après Moeris2 avait découvert la première fois les principes des éléments de See also:cette science, comme Anticlides nous indique dans le deuxième See also:livre de son See also:histoire d'See also: 3 See also:Moeris étaient un See also: 25) énonce, See also:sous l'autorité de See also:Favorinus, que Pythagoras "a utilisé des définitions dans les sujets mathématiques auxquels il s'est appliqué." Les notifications suivantes du travail géométrique Pythagoras et le Pythagoreans tôt sont également préservées. (i) Le Pythagoreans définissent un point en tant que "unité ayant la position" (See also:aiguillon pp CIT p. 95). (2) ils ont considéré un point comme analogue au See also:monad, une See also:ligne à la dyade, des superficies à la triade, et un See also:corps à la tétrade (ibid. p. 97). (3) ils ont prouvé que l'See also:avion autour d'un point est complètement rempli par six triangles equilateral, quatre places, ou trois hexagones réguliers (ibid. p. 305). (4) Eudemus attribue à eux la découverte du théorème que les angles intérieurs d'une triangle sont égaux à deux angles droits, et fournissent leurs preuves, qui étaient sensiblement identique à celui dans See also:Euclid I. 32 6 (ibid. p. 379). (5) Proclus nous informe dans son commentaire sur Euclid I. 44 qu'Eudemus indique que les problèmes au sujet de l'application de l'areaswhere le terme "application" ne doit pas être pris dans son See also:sens restreint (7rapa(óaii), dans lequel il est employé dans cette proposition, mais également dans son signification plus large, embrassant inrep$oX-i et See also:silicium de €XXst, dans lesquels il est employé dans des appui verticaux du livre VI.. 28, 29are vieux, et inventions du Pythagoreans? (ibid. p. 419). (6) ceci est confirmé par See also:Plutarch, 8 qui indique, après Apollodorus, que Pythagoras a sacrifié un See also:boeuf sur trouver le See also:diagramme géométrique, l'un ou l'autre celui concernant le hypotenuse, à savoir qui la See also:place là-dessus est égale à la See also:somme des places des côtés, ou que concernant le problème au sujet de l'application d'un See also:secteur.' (7) Plutarch10 attribue également à Pythagoras la See also:solution du problème, pour construire une figure égale à une et semblable à une autre figure donnée. (8) Eudemus déclare que Pythagoras a découvert la construction des solides réguliers (aiguillon CIT See also:op p. 65). (9) on dit que Hippasus, le Pythagorean, périt en See also:mer à cause de son impiety, puisqu'il a revendiqué qu'il a divulgué la première fois la See also:connaissance de la sphère avec les douze pentagones (le See also:dodecahedron inscrit d'ordonnée): Hippasus a assumé la See also:gloire de la découverte à se, tandis que tout a appartenu à lui "pour eux indiquent ainsi Pythagoras, et ne l'appellent pas de nom." 11 (1o) la triangle entrelacée triple ou les pentagonwas réguliers pentagramstar-formés utilisés en tant qu'un See also:symbole ou signe d'See also:identification par le Pythagoreans et appeler par eux "santé" (iyteia).12 (ii) la découverte de la See also:loi de l'aiguillon trois 4. CIT op p. 45. 6 CIT op p. 35. 6 que nous apprenons d'un fragment de Geminus, qui a été remis vers le bas par Eutocius dans son commentaire sur le Conics d'See also:Apollonius (Apoll. Conica, ED. Halleius, p. 9), que les géomètres antiques ont observé deux angles droits dans chaque espèce de triangle, dans la première equilateral, puis dans l'isocèle, et pour finir dans le scalene, tandis que de plus défunts auteurs ont prouvé généralement ainsi le théorème "les trois angles internes de chaque triangle sont égal à deux angles droits." 7 les mots de Proclus sont intéressants "selon Eudemus les inventions respectant l'application, l'excès et le défaut des secteurs sont antiques, et sont dus au Pythagoreans. Moderns, empruntant ces noms, les a transférés aux prétendues See also:lignes coniques, la parabole, l'See also:hyperbole, l'See also:ellipse, comme l'école plus ancienne, dans leur nomenclature au sujet de la description des secteurs dans l'avion sur une bonne ligne finie, considérée ainsi les See also:limites: Un secteur serait appliqué (7rapa-, BaXX8ty) à une bonne ligne indiquée quand un secteur égal dans le contenu à certains indiqué est décrit là-dessus; mais quand la base du secteur est plus grande que la ligne donnée, alors le secteur serait supérieur (87rep/36.XAety); mais quand la base est moins, de sorte qu'une certaine partie de la ligne donnée se trouve sans décrire, secteur, puis le secteur serait dans le défaut (EXXElirEtv). See also:Utilisations d'Euclid de cette façon en son sixième livre l'excès et le défaut de limites. L'application de See also:limite (7rapa/áXXEtv), que nous devons au Pythagoreans, a ce signification." non suaviter vivi sec du posse 8. Epicurum, c. XI. 9 riffs 7rapa$oaiis de xwpiov de travail dur d'Eire 7r0f3)in/à 7repi. Quelques auteurs, rendant les cinq derniers mots "au sujet du secteur de la parabole," ont attribué à Pythagoras la See also:quadrature de la parabole, qui était un des grandes découvertes d'See also:Archimedes. 10 Symp. viii., Quaest. 2, c. 4. n See also:Iamblichus, De vit. Pyth. c. 18, § 88. 12 See also:Lucian, See also:pro lapsu dans le § 5 de salut.; également schol. sur Aristoph. See also:Pointe. 611, Que le Pythagoreans a employé de tels symboles nous apprenez d'Iamblichus (De vit. Pyth. c. 33, §§ 237 et 238). Cette figure est Pythagoras visé lui-même, et dans les âges moyens s'est appelé le figura de Pythagorae; néanmoins See also:tard de pendant que See also:Paracelsus il était considéré par des places (Euclid I. d7), généralement appelées l'"théorème de Pythagoras," est attribué à lui par beaucoup d'autorités, desquelles le plus vieux est See also:Vitruvius.i (12) un des méthodes de trouver les triangles droit-à angles dont les côtés peuvent être exprimés en nombres (le triangles)that de Pythagorean visant du numbersis See also:impair s'est rapporté à Pythagoras par See also:Heron See also:Alexandrie et Proclus.' (13) la découverte des quantités irrationnelles est attribuée à Pythagoras par Eudemus (Procl. CIT op p. 65). (14) les trois proportionsarithmetical, géométriques et harmonicalwere connu de Pythagoras.' (15) Iamblichus d'indique, "autrefois, dans la période Pythagoras et les mathématiciens sous lui, là de de l'être onlythe de trois moyens arithmétique, le géométrique et le tiers dans l'See also:ordre, qui a été connu par le secondaire-contraire nommé (for6PaPTia), mais qu'See also:Archytas et Hippasus ont indiqué le harmonical, au sujet de puisqu'il a semblé inclure les rapports l'See also:harmonie et la mélodie." (16) la prétendue proportion la plus parfaite ou la plus musicale, par exemple 6: 8: 9: 12, qui comprend dans elle tous les anciens rapports, selon Iamblichus, b serait une invention des Babyloniens et avoir été d'abord introduit dans la Grèce par Pythagoras. (17) des progressions arithmétiques ont été traitées par le Pythagoreans, et il s'avère d'un passage dans Lucian que Pythagoras lui-même avait considéré le See also:cas spécial des nombres triangulaires: Pythagoras See also:demande environ, "comment vous comptez?" Il répond, "un, deux, trois, quatre." Pythagoras, s'interrompant, indique, "voyez-vous? ce que vous prenez pour être quatre, c'est See also:dix et une triangle parfaite et notre See also:serment. '6 (18) les nombres impairs se sont appelés par le Pythagoreans "gnomons," T et ont été considérés comme se produisant, puisque par l'addition de successif gnomonsconsisting chacun d'un nombre impair de squaresto d'unité l'unité ou le monad carrée originale la forme carrée a été préservée. (19) de manière semblable, si l'oblong le plus See also:simple (ETEpo/ddjKES), consistant. de de deux places d'unité ou de monads dans la juxtaposition, soyez pris et quatre places d'unité soient placées de manière semblable à son sujet après la façon un See also:gnomon, et puis six, huit. . des places d'unité soient placées en See also:succession, la forme oblongue seront préservées. (ò) une autre de ses doctrines était, ce de tous les chiffres de solide la sphère était le plus beau, et de tous les chiffres d'avion le See also:cercle.' (21) selon Iamblichus on dit que le Pythagoreans fonde la quadrature du cercle.' il comme symbole de santé. On dit qu'obtient son nom spécial des lettres v, y c, B (= EL), ayant été écrit à ses sommets en avant. i De - voûte. ix; Praef. 5, 6, 7. Entre autres autorités sont Diogenes Laertius (viii. u), Proclus (CIT op, p. 426), et Plutarch (ut supra, 6). Plutarch, cependant, attribue aux Egyptiens la connaissance de ce théorème dans le cas See also:particulier où les côtés sont 3, 4, et 5 (le De est et Osir. c. 56). 2 Heron Alex. Geom. et stereom. rel., ED. F. Hultsch, pp 56, 146; Aiguillon. op. CIT. p. 428, la méthode de Pythagoras est comme suit: il a pris un nombre impair comme peu de côté; puis, après avoir ajusté ce nombre et diminué la place par l'unité, il a pris la moitié du See also:reste comme côté plus See also:grand, et en ajoutant l'unité à ce nombre il a obtenu le hypotenuse, par exemple 3, 4, 5; 5, 12, 13. Nicom. See also:Ger. Intred. See also:Ar. c. xxii 4 dans l'arithmelicam de Nicomachi, ED. S. Tennulius, p. 141. 6 CIT op p. 168. Comme exemple de cette proportion See also:Nicomachus et, après lui, Iamblichus donnez les numéros 6, 8, 9, 12, le harmonical et le See also:moyen arithmétique entre deux nombres formant une proportion métrique du àb a+b de geo- avec se numérote (a:z:: 2 b), Iamblichus se relie plus loin (See also:endroit CIT.) de que beaucoup de Pythagoreans s'est servi de cette proportion, comme See also:Aristaeus de See also:Crotona, See also:Timaeus de See also:Locri, de Philolaus et d'Archytas See also:Tarentum et beaucoup d'autres, et après eux See also:Platon dans son Timaeus (voir le Nicom. See also:Installation arithm., ED. See also:Ast, p. 153, et Animadversiones, pp 327329; et Iambi. CIT op p. 172 seq.). 6 lrpayss de Biwv, 4, i. 317, ED. C. Jacobitz. J'ai des moyens de pwv qui par ce que quelque chose est connu ou "critère"; son signification See also:concret plus ancien semble être à angle droit du See also:charpentier (norma) par lequel un See also:angle droit est connu. Par conséquent il est venu pour dénoter une perpendiculaire, dont, en effet, c'était le nom archaïque (Proclus, op. CIT. P. 283). 
Gnomon est également un See also:instrument pour les altitudes de See also:mesure, au moyen de lesquelles le méridien peut être trouvé; il dénote, promeut, l'See also:index ou le modèle d'un sundial, dont l'See also:ombre précise les See also:heures. Dans la géométrie il signifie la place ou rectangle au sujet de la diagonale d'une place ou le rectangle, ainsi que les deux complemehts, à cause de la ressemblance de la figure à la place d'un charpentier; et puis, plus généralement, la figure semblable en ce qui concerne tout parallélogramme, comme défini par Euclid II. def. 2. Encore, dans un signification plus général de distillateur, il signifie la figure qui, étant ajouté à toute figure, conserves la forme originale. Voir Le Heron, Definitiones (59). Quand des gnomons sont ajoutés successivement de cette manière à un monad carré, le See also:premier gnomon peut être considéré comme cela qui se compose de trois monads carrés, et est en effet le constituant d'une See also:frette grecque simple; la seconde de cinq monads carrés, &See also:amp;c.; par conséquent nous avons les nombres gnomoniques. 3 Diag. Laert. De vit Pyth. viii. 19. 9 See also:Simplicius, dans le commentaria de priores de qualtuor de libros de physicorum d'Arislotelis, ED. H. Diels, p. 60. Sur See also:examiner le travail purement géométrique Pythagoras et ses disciples tôt, comme donnés dans les extraits précédants, nous observons de qu'il est beaucoup concerné par la géométrie des secteurs, et nous sommes en effet frappés avec son caractère égyptien. Ceci apparaît dans le théorème (3) au sujet du See also:remplissage vers le haut d'un avion avec les planchers réguliers de figuresfor ou les murs See also:couverts de tuiles de diverses See also:couleurs étaient communs en Egypte; dans la construction des solides réguliers (8), parce que dans certains d'entre eux sont trouvés dans l'See also:architecture égyptienne; dans les problèmes au sujet de l'application des secteurs (5); et pour finir, dans le théorème de Pythagoras (ii), couplé à sa règle pour la construction des triangles droit-à angles dans les nombres (12). Nous apprenons de Plutarch que les Egyptiens ont été mis au See also:courant du fait géométrique qu'une triangle dont les côtés contiennent trois, quatre et cinq parts est droit-à angles, et que la place du plus grand côté est égale aux places des côtés contenant l'angle droit. Il est probable trop que ce théorème a été connu à eux dans le cas simple où la triangle droit-à angles est isocèle, sur puisqu'elle serait immédiatement suggérée par la contemplation d'un See also:plancher couvert de tuiles de place la place la diagonale et la somme des places des côtés contenez chaque quatre des triangles droit-à angles en lesquelles un des places est divisé par sa diagonale. Il est facile maintenant de voir comment le problème construire une place qui sera égale à la somme de deux places pourrait, dans certains cas, être résolu numériquement. De l'observation de a chequered le See also:conseil on le percevrait que que l'élément dans la formation successive des places est à angle droit de gnomon ou de charpentier. Chaque gnomon se compose d'un nombre impair de places, et les gnomons successifs correspondent aux nombres impairs successifs, et incluent, donc, toutes les places impaires. Supposez, maintenant, deux places sont donnés, un seize se composants et l'autre de neuf places d'unité, et cela on lui propose de former d'elles une autre place. Il est évident que la place se composant de neuf places d'unité puisse prendre la forme du quatrième gnomon, qui, étant placé autour de l'ancienne place, produira d'une See also:nouvelle place contenant vingt-cinq places d'unité. De même il a pu avoir observé que le douzième gnomon, se composant de vingt-cinq places d'unité, pourrait être transformé en place chacune laquelle des côtés contient cinq unités, et il a pu avoir vu ainsi réciproquement que la dernière place, en prenant la forme gnomonique ou se produisante en ce qui concerne la place sur douze unités comme base, produirait la place de treize unités, et ainsi de See also:suite. Cette méthode priée d'être généralisé seulement afin de permettre à Pythagoras d'arriver à sa règle pour trouver les triangles droit-à angles dont les côtés peuvent être exprimés en nombres, qui, nous sommes dits, visons des nombres impairs. La nième place ainsi que le nième gnomon forme (place de n+r)See also:th; si le nième gnomon contient des places d'unité de m2, m étant un nombre impair, nous avons 211+1=m2. le n=(mÌ), qui donne la règle de Pythagoras. La See also:preuve générale d'Euclid I. 47 est attribuée à Pythagoras, mais nous avons le rapport exprès de Proclus (CIT op p. 426) que ce théorème n'a pas été prouvé en premier See also:lieu comme il est dans les éléments. La manière simple et normale suivante de l'arrivée au théorème est suggérée par See also:Bretschneider après place de Camerer.10 A peut être disséquée dans la somme deux places et deux rectangles égaux, comme dans Euclid d'cIi. 4; ces deux rectangles peuvent, en dessinant leurs diagonales, pour être décomposé en quatre triangles droit-à angles égales, la somme des côtés de chacun qui est égal au côté de la place; encore, ces quatre triangles droit-à angles peuvent être placées de sorte qu'un See also:sommet de chacun soit dans un des See also:coins de la place de telle manière qu'un plus grand et moins de côté soient dans la suite. La place originale est ainsi disséquée dans les quatre triangles comme avant et la figure en dedans, qui est à angle droit sur le hypotenuse. Cette place doit, donc, être égale à la somme des places des côtés de la triangle droit-à angles. Il est bien connu de que le Pythagoreans aient été beaucoup occupés avec la construction les polygones réguliers et les solides, qui dans leur cosmology ont joué un rôle essentiel comme formes fondamentales des éléments de l'univers. Nous pouvons tracer l'origine de ces spéculations mathématiques dans le théorème (3) que "l'avion autour d'un point est complètement rempli par six triangles equilateral, quatre places, ou trois hexagones réguliers." Platon fait également le Pythagorean Timaeus expliquer "chaque figure droit-rayée se compose des triangles, mais toutes les triangles peuvent être disséquées dans les rectangulaires qui sont isocèles ou scalene. Parmi le dernier le plus beau est celui hors de doubler de ce qu'un equilateral surgit, ou dans ce que la place de la perpendiculaire plus grande est trois fois celui du plus See also:petit, ou dans ce que la perpendiculaire plus petite est moitié du hypotenuse. Mais deux ou quatre triangles isocèles droit-à angles, ont correctement remonté, forment la place; deux ou six des triangles droit-à angles scalene les plus belles forment la triangle equilateral; et de ces deux figures proviennent les solides qui correspondent aux quatre éléments du vrai monde, du tétraèdre, de l'octaèdre, de l'See also:icosahedron et du See also:cube "II (Timaeus, 53, 54, 55). La construction des solides réguliers est distinctement attribuée à Pythagoras lui-même par Eudemus (8). De ces cinq le E/S voient Bretsch. See also:Matrice Geom. Vor Euklides, p. 82; Camerer, elem d'Euclidis. I. 444, et les références données là. II le dodecahedron a été assigné au cinquième élément, pairs de quints, See also:aether, ou, comme certains pensent, à l'univers. (Voir Le PIIltotaus.) le tétraèdre de threethe de solides, le cube et l'octahedronwere connu des Egyptiens et doivent être trouvés dans leur architecture. Maintenant examinons ce qui de l'est exigé pour la construction l'autre icosahedron de deux solidsthe et le dodecahedron. Dans la formation avec du tétraèdre, et dans See also:celle de l'octaèdre quatre, égalez les triangles equilateral avait été placé un sommet trois commun et les côtés adjacents coïncidents; et on l'a See also:su que si six telles triangles étaient placées autour d'un sommet commun avec leurs côtés adjacents coïncidents, elles se situeraient dans un avion, et que, donc, aucun solide ne pourrait être formé de cette façon d'eux. Il est resté, puis, pour essayer si cinq telles triangles equilateral pourraient être placées de manière semblable à un sommet commun; sur l'épreuve on le constaterait qu'elles pourraient être ainsi placé, et que leurs See also:bases formeraient un pentagone régulier. L'existence d'un pentagone régulier deviendrait ainsi notoire. On l'a également connu de la formation du cube que trois places pourraient être placées dans une manière semblable avec un sommet commun; et cela, autre, si trois égaux et hexagones réguliers étaient placés autour d'un point en tant que sommet commun avec les côtés adjacents coïncidents, ils formeraient un avion. Il est resté dans ce cas-ci, aussi, seulement pour essayer si trois pentagones réguliers égaux pourraient être placés avec un sommet commun et d'une manière semblable; ceci sur l'épreuve serait trouvé possible et mènerait à la construction du dodecahedron régulier, au lequel était le See also:bout plein régulier est arrivé. Nous voyons que la construction du pentagone régulier est exigée pour la formation de chacuns des deux solides réguliers, et que, donc, ce doit avoir été une découverte de Pythagoras. Si nous examinons maintenant quelle connaissance de la géométrie a été exigée pour la solution de ce problème, nous verrons qu'elle dépend d'Euclid IV. à, qui est réduit à Euclid II. II, que problème est réduits à ce qui suit: Pour produire une ligne droite donnée sous de sorte qu'ainsi le rectangle la ligne entière produite et la partie produite soit égal à la place sur la ligne donnée, ou, dans la See also:langue des ancients, pour s'appliquer à une ligne droite donnée un rectangle qui sera égal à un areain donné ce cas la place sur le lineand donné qui sera excessif par une place. Maintenant il doit être observé que le problème soit résolu de cette manière par Euclid (VI. 30, 1ères méthodes), et que nous savons sous l'autorité Eudemus de que les problèmes au sujet de l'application des secteurs et de leur excès et défaut sont vieux, et inventions du Pythagoreans (5). Par conséquent les rapports d'Iamblichus au sujet de Hippasus (9)that il a divulgué la sphère avec le pentagonsand douze of Lucian et le scholiast sur See also:Aristophanes (1o)that le pentagram a été employé comme symbole d'identification parmi le Pythagoreansbecome de plus grande importance. De plus, la découverte des grandeurs irrationnelles est attribuée à Pythagoras par Eudemus (13), et cette découverte a été jamais considérée comme une des plus grande de l'antiquité. On le suppose généralement que Pythagoras a été mené à cette théorie à partir de la considération de la triangle droit-à angles isocèle. Il semble à l'auteur actuel, cependant, plus probable qui la découverte des grandeurs incommensurables était plutôt dû au problème: Pour couper une ligne dans le rapport extrême et moyen. De la solution de ce problème il découle immédiatement que, si sur le segment plus grand d'une ligne ainsi coupé une pièce soyez pris à égal au moins, le segment plus grand, considéré comme une nouvelle ligne, sera coupé dedans une façon semblable; et ce See also:processus peut être continué sans extrémité. D'autre See also:part, si une méthode semblable soit adoptée dans le cas de deux lignes quelconques qui peuvent être représentées numériquement, le processus finirait. Par conséquent surgirait la distinction entre les quantités commensurable et incommensurables. Une référence à Euclid X. 2 prouvera que la méthode ci-dessus est celle employée pour montrer que deux grandeurs sont incommensurables; et dans Euclid X. 3 on le verra que la plus grande See also:action See also:commune de deux grandeurs commensurable est trouvée par ce processus de soustraction continue. Il semble probable que Pythagoras, à qui est attribué un des règles pour représenter les côtés des triangles droit-à angles dans les nombres, a essayé de trouver les côtés d'une triangle droit-à angles isocèle numériquement, et que, échouant dans la See also:tentative, il a suspecté que le hypotenuse et un côté n'aient eu aucune action commune. Il a pu avoir démontré l'incommensurability du côté une place et sa diagonale. La nature du vieux proofwhich s'est composée d'un absurdum d'See also:annonce de reductio, prouvant que, si le See also:diagonal soit commensurable avec le côté, elle suivrait que le même nombre serait impair et des even'makes il plus probable, cependant, que ceci a été accompli par ses successeurs. L'existence de l'irrationnel aussi bien que cela du dodecahedron régulier semble avoir été considérée par l'école comme un de leurs découvertes en See also:chef, et avoir été préservée comme See also:secret; elle est remarquable, aussi, qu'une histoire semblable à cela dite par Iamblichus de Hippasus est relatée de la personne qui a édité la première fois l'idée de l'irrationnel, à savoir qu'il a souffert le naufrage, &c.2 Eudemus attribue les problèmes au sujet de l'application des figures au Pythagoreans. Les cas les plus simples des problèmes, 'pour cette preuve, voient Euclid X. 117; voir également l'Aristot. Analyt. P.r. I. c. 23 et c. 44. 2 Knoche, matrice de See also:fibre d'Untersuchungen neuaufgefundenen le su Euclids Elementen, pp 20 et 23 de DES Proklus Diadochus de Scholien (See also:Herford, 1865). Euclid VI. 28, 29those, à savoir dans ce que le parallélogramme donné est un squarecorrespond au problème: Pour couper une ligne droite donnée intérieurement ou extérieurement de sorte que le rectangle sous les segments soit égal à une figure rectilineal donnée. La solution de ce problemin que la solution d'une équation quadratique est implicitement des containeddepends sur le problème, Euclid II. 14, et les théorèmes, Euclid II. 5 et 6, ainsi que le thedrem de Pythagoras. Il est probable que la conclusion d'un moyen proportionnel entre deux lignes données, ou la construction d'une place qui sera égale à un rectangle donné, soit due à Pythagoras lui-même. La solution du problème plus général, Euclid VI. 25, est également attribuée à lui par Plutarch (7). La solution de ce problème dépend de celle du cas particulier et de l'application des secteurs; elle exige, d'ailleurs, une connaissance des théorèmes: Les figures rectilineal semblables sont entre eux comme places de leurs côtés homologues (Euclid VI. 20); et, si trois lignes sont dans la proportion géométrique, la première est au tiers pendant que la place sur la première est à la place la seconde. Maintenant See also:Hippocrates de See also:Chios, environ 440 B.c., qui a été instruit dans la géométrie par le Pythagoreans, a possédé cette connaissance. Nous sommes justifiés, donc, en attribuant la solution du problème général, si pas (avec Plutarch) à Pythagoras, au moins à ses successeurs tôt. Le théorème de que les polygones semblables sont entre eux dans le rapport double de leurs côtés homologues implique un premier See also:croquis, au moins, de la See also:doctrine la proportion et la similitude des figures.' Que nous devons la base et développement de la doctrine de la proportion avec Pythagoras et son école est confirmé par le témoignage Nicomachus (14) et Iamblichus (de 15 et des 16). De ces passages il s'avère que le Pythagoreans tôt ont été mis au courant non seulement des moyens arithmétiques et géométriques entre deux grandeurs, mais également avec leur moyen harmonical, qui s'est alors appelé "subcontrary." Le Pythagoreans ont été beaucoup occupés avec la représentation des nombres par les figures géométriques. Ces spéculations ont commencé avec Pythagoras, qui a été mis au courant de l'addition des nombres normaux, des nombres impairs et des chiffres pairs, qui sont capables de la représentation géométrique. Voyez le passage dans Lucian (17) et la règle pour trouver des triangles de Pythagorean (12) et les observations là-dessus supra. D'autre part, il n'y a aucune évidence pour soutenir le rapport de See also:Montucla que Pythagoras a créé la base de la doctrine d'isoperimetry, en prouvant cela de toutes les figures ayant le même périmètre que le cercle est le plus grand, et qui de tous les solides ayant la même See also:surface la sphère est la plus grande. Nous devons également nier Pythagoras et sien école une connaissance des sections coniques, et en particulier au de la quadrature de la parabole, attribuée à lui par quelques auteurs; et nous avons noté l'idée fausse qui a provoqué cette inférence incorrecte. Certaines conclusions peuvent être tirées de l'examen antérieur du travail mathématique Pythagoras et son école, de qui nous permettent de former une évaluation de l'état de la géométrie au sujet de 48o B.c. D'abord, quant à la matière. Elle forme la majeure partie des deux premiers livres d'Euclid, et inclut un croquis de la doctrine du proportionwhich a été probablement limitée au magnitudestogether commensurable avec une partie du contenu du sixième livre. Elle contient, aussi, la découverte de l'irrationnel (aoyov) et la construction des solides réguliers, le dernier exigeant la description de certaine base régulière de polygonsthe, en fait, du quatrième livre d'Euclid. Deuxièmement, quant à la forme. La géométrie d'abord divisée de Pythagoreans des besoins de la vie See also:pratique, et traité lui comme science libérale, donnant des définitions et présentant la façon de la preuve qui depuis a été en service. De plus, elles ont distingué les quantités discrètes et continues, et ont considéré la géométrie comme une See also:branche dont des mathématiques, elles ont fait de la division quadruple qui a duré au quadrivium moyen d'agesthe (manière quadruple à la connaissance) See also:Boetius et la See also:philosophie scolastique. Et il peut observer que le nom des "mathématiques," aussi bien que cela de la "philosophie," est attribué à elles. Troisièmement, quant à la méthode. Un chef caractéristique du travail mathématique de Pythagoras était il est convenu sur toutes les mains par que ces deux théories ont été traitées longuement Pythagoras et son école. Il est presque See also:certain, cependant, que les théorèmes sont arrivés à ont été avérés pour des grandeurs commensurable seulement, et ont été supposés pour juger bon pour tous. Le Pythagoreans eux-mêmes semblent s'être rendus See also:compte que leurs preuves n'aient pas été rigoureuses, et étaient ouvertes d'objection sérieuse; en cela nous pouvons avoir l'explication du secret qui a été attaché par elles à l'idée de l'incommensurable et au pentagram qui impliqué, et en effet représenté, cette idée. Maintenant il est remarquable que la doctrine de la proportion soit deux fois traitée dans les éléments d'Euclidfirst, d'une façon générale, afin d'inclure des incommensurables, en livre v., que la tradition attribue à Eudoxus, et puis arithmétiquement en livre vii., qui, car Hankel a supposé, contient le traitement du sujet par le Pythagoreans plus ancien. See also:combinaison d'arithmétique avec la géométrie. Les notions une équation et un proportionwhich d'd'être communes à tous les deux, et du du contenir le premier germe de l'algebrawere présenté parmi les Grecs par Thales. Ces notions, particulièrement le dernier, ont été élaborées par Pythagoras et son école, de sorte qu'elles aient atteint le grade d'une véritable méthode scientifique dans leur théorie de proportion. De Pythagoras, alors, est dû l'honneur de avoir fourni une méthode qui est commune à toutes les branches des mathématiques, et à cet égard il est entièrement comparable à Descartes, à qui nous devons la combinaison décisive de l'algèbre avec la géométrie. Voir le G. J. See also:Allman, la géométrie grecque de Thales à Euclid (See also:Cambridge, 1889); M. Cantor, der Mathematik (See also:Leipzig, 1894) de Geschichte de fibre de Vorlesungen; See also: L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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