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POLE UND

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V11, Seite 700 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

POLE UND POLARES § 62. Wir kommen noch einmal zu fig. 21 zurück, den wir in § 55 erreichten. Wenn eine Vierseite ungefähr und ein Vierpunkt umgrenzt wird, See also:der in einem konischem eingeschrieben wird, damit die See also:Gipfel der Sekunde die See also:Punkte See also:des Kontaktes der Seiten von der ersten See also:sind, dann ist das See also:Dreieck, das durch die Diagonalen von der ersten gebildet wird, dasselbe wie das, das durch die diagonalen Punkte vom anderen gebildet wird. Solch ein Dreieck wird ein Polardreieck vom konischen genannt, damit PQR in fig. 21 ein Polardreieck ist. Es hat die See also:Eigenschaft, der auf der See also:Seite p gegenüber von p-See also:Treffen die Tangenten an A und an B und auch die bei See also:C und bei See also:D. From die harmonischen Eigenschaften der Vierpunkte und der Vierseiten es See also:weiter folgt, daß die Punkte See also:L, See also:M, in dem es die Linien AB und DIGITALSCHALLPLATTE schneidet, harmonische Paronyme hinsichtlich AB und des CD beziehungsweise sind. Wenn der See also:Punkt P gegeben wird und wir eine See also:Linie durch sie zeichnen, das konische in A und B, dann das Harmonikparonym des Punktes Q zu P hinsichtlich AB und des Punktes See also:H schneiden, in dem die Tangenten an A und an B treffen, werden festgestellt. Aber sie liegen beide auf p, und folglich wird diese Linie festgestellt. Wenn wir jetzt eine zweite Linie durch P zeichnen und das konische in C und D, dann das Harmonikparonym des Punktes M zu P hinsichtlich des CD und den Punkt See also:G schneiden, wo die Tangenten an C und an D treffen, müssen auf P. auch liegen, während die erste Linie durch P bereits p feststellt, die Sekunde können jede mögliche Linie durch P. Now sein, das jede zwei Linien durch P einen Vierpunkt ABCD auf dem konischen feststellen, und folglich gibt ein Polardreieck, das einen Gipfel an P hat und seine gegenüberliegende Seite an P. dieses Resultat, zusammen mit seinem wechselseitigen, den Theoremen alle Polardreiecke, die einen Gipfel im See also:Common haben, das gegenüberliegende auch zu haben Seite im Common.

Alle Polardreiecke, die eine Seite im Common haben, den gegenüberliegenden Gipfel im Common auch zu haben. § 63. jedem möglichem Punktstift entspricht die Fläche von, aber nicht an, ein konisches folglich eine Linie p als die Seite gegenüber P in See also:

allen Polardreiecken, die einen Gipfel an P haben, und gegenseitig zu jedem line'p entspricht ein Punkt P als Dgipfel gegenüber p in allen Dreiecken, die p als eine Seite haben. Wir nennen die Linie p das polare von P und den Punkt P der See also:Pfosten der Linie p hinsichtlich des konischen. Wenn ein Punkt auf dem konischen liegt, nennen wir die Tangente an diesem Punkt sein polares; und gegenseitig nennen wir den Punkt des Kontaktes den Pfosten der Tangente. § 64. Von diesen See also:Definitionen und von ehemaligen Resultaten folgen Sie das polare irgendeines Punktes P, nicht, das der Pfosten jeder möglicher Linie p nicht a auf dem konischen eine Linie p ist, die Tangente zum konischen ist ein Punkt die folgenden Eigenschaften hat: P, das die folgenden Properties hat:- I. Auf jeder Linie durch P I. Of können alle Linien durch einen Punkt, der das konische schneidet, das polare auf p, von dem zwei Tangenten von P das harmonische See also:con- enthält, zum konischen, das jugate von P hinsichtlich jener See also:gezeichnet werden Pfosten P enthält die Linie, die Punkte auf dem konischen Harmonikparonym zu p ist, hinsichtlich der zwei Tangenten. 2. Wenn Tangenten gezeichnet werden können 2. Wenn p das konische schneidet, von P, treffen ihre Punkte der Kontaktlügentangenten an den Durchschnitten auf P. an P.

s3. Tangenten gezeichnet an den 3. Der Punkt des Kontaktes der Punkte, in denen jede mögliche Linie durch die p-Tangenten, die von irgendeinem Punkt gezeichnet werden, das konische Treffen auf p schneidet; und auf p See also:

zur konischen Lüge in einer Linie mit andererseits, P; und andererseits, 4. Wenn von irgendeinem Punkt auf p, 4. Die Tangenten, die an den Punkttangenten gezeichnet werden, werden, ihre Punkte gezeichnet, wo jede mögliche Linie durch P des Kontaktes liegt in einer Linie mit konischem Treffen P. auf p schneidet. See also:5. Irgendein Vierpunkt auf den konischen 5. Jede mögliche Vierseite umgrenzte, die einen diagonalen Punkt an einem ungefähr konischem hat, das ein P hat die anderen zwei auf, P.-Diagonale auf p zu liegen hat die anderen zwei an, P zu treffen hat. Die Wahrheit von 2 folgt von I., If T ein Punkt, in dem p das konische schneidet, dann einer der Punkte ist, in denen See also:Pint das konische schneidet und die harmonische Paronyme hinsichtlich Pints sind, mit T übereinstimmt; folglich ist das andere doesthat, Pintnoten die Kurve an T. Daß 4 zutreffend ist, folgt folglich: Wenn wir von einem Punkt H auf der polaren Tangente a zum konischen zeichnen, seinen Punkt von Kontakt A zum Pfosten P verbinden, den zweiten Koinzidenzpunkt B dieser Linie mit dem konischen feststellen und die Tangente an B zeichnen, überschreitet es durch H und ist folglich die zweite Tangente, die von H zur Kurve gezeichnet werden kann. § 65. Die zweite Eigenschaft vom polaren oder vom Pfosten verursacht das Theorem von einem Punkt in der Fläche einer a-Linie in der Fläche von einem konischen konischem, zwei, eins, oder keine Tangenten hat zwei, eins, oder keine Punkte können zum konischen, das See also:allgemein innen gezeichnet werden mit dem konischen, übereinstimmen-übereinstimmen, da sein polares zwei hat, See also:ing als zwei, eine oder keine Tangenten eine, oder keine Punkte im Common mit können von seinem Pfosten zur konischen Kurve gezeichnet werden.

Phoenix-squares

Von irgendeinem Punkt in der Fläche von einem konischem sagen wir, daß es ohne, auf oder innerhalb die Kurve war, insofern zwei, eine oder keine Tangenten zur Kurve durch sie überschreiten. Die Punkte auf dem konischen trennen die innerhalb des konischen von denen außen. Daß dies für einen Kreis gilt, bekannt von der grundlegenden See also:

Geometrie. Daß es auch für anderes conics hält, folgt von der Tatsache, die jedes konische als die See also:Projektion eines Kreises betrachtet werden kann, der später nachgewiesen wird. Die 5. Eigenschaft des Pfostens und des polaren, die in § 64 angegeben werden, zeigt, wie man das polare irgendeines Punktes und des Pfostens jeder möglicher Linie durch Hilfsmittel nur des Lineals findet. See also:Praktisch ist es häufig bequem, drei Sekanten durch den Pfosten zu zeichnen, und nur ein der diagonalen Punkte für zwei der Vierpunkte festzustellen, die durch Paare dieser Linien und des konischen (fig. 22) gebildet werden. Diese Aufbauten lösen auch das Problem von einem Punkt ohne ein konisches, um die zwei Tangenten zum konischen durch Hilfsmittel nur des Lineals zu zeichnen. Für müssen uns nur das polare des Punktes zeichnen, um die Punkte des Kontaktes zu See also:finden. § 66. Die Eigenschaft eines Polardreiecks kann jetzt angegeben werden, daß thusIn ein Polardreieck auf jeder Seite des gegenüberliegenden Gipfels das polare ist und jeder Gipfel der Pfosten der gegenüberliegenden Seite ist.

Wenn P ein Gipfel eines Polardreiecks, dann der anderen Gipfel, Q und See also:

R ist, Lüge auf dem polaren p von P. eins dieser Gipfel, die wir willkürlich wählen können. Für, wenn von irgendeinem Punkt Q _ auf dem polaren B ein Sekanten gezogener Ausschnitt das konische in A und D (fig. 23) ist und wenn die Linien, die diese Punkte zu P verbinden, das konische wieder an B und C schneiden, dann die Linie BC überschreitet durch Q. Hence P und Q sind zwei der Gipfel auf dem Polardreieck, das durch den Vierpunkt ABCD festgestellt wird. Der dritte Gipfel R liegt auch auf der Linie P., das sie folgt folglich auch, wenn Q ein Punkt auf dem polaren von P ist, dann ist P ein Punkt auf dem polaren von Q; und gegenseitig, wenn q eine Linie durch den Pfosten von p ist, dann ist p eine Linie durch den Pfosten von q. Dieses ist ein sehr wichtiges Theorem. Es kann auch folglich angegeben werden, wenn ein Punkt entlang eine Linie bewegt, die eine See also:Reihe beschreibt, seine polaren Umdrehungen über den Pfosten der Linie, die einen See also:Bleistift beschreibt. Dieser Bleistift ist zur Reihe projektiv, damit das See also:Kreuz-Verhältnis von vier Pfosten in einer Reihe dem Kreuz-Verhältnis seiner vier polars entspricht, die durch den Pfosten der Reihe überschreiten. Das letzte See also:Teil prüfen, lassen Sie uns annehmen, daß P, A und B in fig. 23 örtlich festgelegt bleiben, während q-Bewegungen entlang dem polaren p von P. This DIGITALSCHALLPLATTE Wendung über P machen und R entlang p verschieben, während QD und RD projektive Bleistifte ungefähr A beschreiben und B. Hence Qand R projektive Reihen beschreiben, und folglich beschreibt Fotorezeptor, der von Q das polare ist, einen Bleistift, der zu irgendeinem projektiv ist.

§ 67. Zwei Punkte, von denen eins und folglich ' jedes, Lügen auf dem polaren vom anderen, hinsichtlich des konischen verbunden sollen; und zwei Linien, von denen eins und folglich jedes, Durchläufe durch den Pfosten vom anderen, hinsichtlich des konischen verbunden sollen. Folglich konjugieren alle Punkte zu einer Lüge des Punktes P auf dem polaren von P; alles Linienconjugate'to ein Durchlauf der Linie p durch den Pfosten von p. Wenn die Linie, die zwei verbundene Pfostenschnitte das konische, dann die Pfosten verbindet, harmonische Paronyme hinsichtlich der Koinzidenzpunkte sind; folglich liegt man innerhalb des anderen ohne das konische, und alle Punkte konjugieren zu einem Punkt innerhalb einer konischen Lüge ohne sie. Eines Polardreiecks sind alle mögliche zwei Gipfel verbundene Pfosten, irgendwelche zwei Seiten konjugieren Linien. Wenn folglich eine Seite ein konisches schneidet, dann einer der zwei Gipfel, die auf dieser Seite ist innen liegen und der andere, ohne das konische. Der Gipfel gegenüber von dieser Seite liegt auch außen, denn es ist der Pfosten einer Linie, die die Kurve schneidet. In diesem See also:

Fall folglich liegt ein Gipfel innen, die anderen zwei außen. Wenn andererseits wir mit einer Seite anfangen, die nicht das konische schneidet, dann liegt sein Pfosten innen und die anderen Gipfel außen. Folglich hat jedes Polardreieck einen und nur einen Gipfel innerhalb des konischen. Wir fügen, ohne einen See also:Beweis, das Theorem die vier Punkte hinzu, in denen ein konisches durch zwei verbundene polars sind vier harmonische Punkte im konischen geschnitten wird. § 68.

Wenn conics zwei in vier Punkten (sie können nicht mehr Punkte in Common, in § 52 haben), schneiden, besteht ein und nur ein KennzeichnungsVierpunkt, der in beiden inscribed ist, und folglich ein Polardreieck, das für beide allgemein ist.

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