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MENSURATION DES FIGURES SPÉCIFIQUES

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À l'origine apparaissant en volume V18, page 139 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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See also:

MENSURATION See also:DES FIGURES SPÉCIFIQUES 22 (GÉOMÉTRIQUES). See also:Les domaines de suivre rectiligne See also:plat de Figures.The sont des expressions pour les secteurs de quelques figures simples; les expressions en (i) et (ii) sont obtenues arithmétiquement, alors que ceux en (iii)-(v) impliquent la See also:dissection et la See also:remise en See also:ordre. (i) See also:Place: a. latéral Area=See also:a2. (ii) Rectangle: côtés a et See also:secteur de b. = See also:ab. (iii) triangle Droit-à angles: côtés a et b, enfermant la droite un IE. Secteur = laboratoire. iv) Parallélogramme: deux côtés opposés a et a, distance entre eux secteur de h. = See also:ha. (v) Triangle: un côté a, h éloigné de l'See also:angle opposé. Secteur =;ha. si les données pour un quelconque de See also:ces figures sont autres que ceux données ci-dessus, les rapports trigonometrical seront habituellement impliqués. Si, par exemple, les données pour la triangle sont les côtés a et b, enfermant un angle C, See also:le secteur est le péché C de laboratoire. 23.

Les chiffres considérés dans le § 22 sont des See also:

cas particuliers du trapezium, qui est un quadrilatère avec deux côtés parallèles. Si ces côtés sont a et b, à la distance h les uns des autres, le secteur est h.; (a+ b). Dans le cas de la triangle, par exemple, du b est zéro, de sorte que le secteur soit j ha. Le trapezium s'appelle également parfois un "trapèze," mais il sera commode de réserver See also:cette See also:limite pour une figure différente (§ 24). La See also:forme la plus importante de trapezium est See also:celle dans laquelle un des deux côtés restants de la figure est perpendiculaire aux deux côtés parallèles. Le trapezium est alors un trapezium droit; les deux côtés parallèles s'appellent les côtés, le côté perpendiculaire à eux la See also:base, et le quatrième côté le dessus. En produisant les deux côtés parallèles de n'importe quel trapezium (par exemple un paralellogram), et en traçant une See also:ligne perpendiculairement à eux, en dehors de la figure, nous voyons qu'elle peut être traitée comme différence de trapezia de deux droites. Il est, cependant, plus See also:simple de la convertir en trapezium droit simple. Laissez CABD (fig. I) soit un trapezium, les côtés CA et DB étant parallèle. See also:Tracez n'importe quelle ligne droite perpendiculairement au CA et au DB (produits si necessalry), en les rencontrant en M et N. Along CA et DB, du même côté du manganèse, la prise See also:mA '= CA, NOTA: '= DB; andjoin A'B '.

Alors MA'B'N est un trapezium droit, dont le secteur est égal à celui de CABD; et on le See also:

lie au dernier de telle manière que, si deux See also:lignes quelconques parallèles au C.a. et au BD rencontrent ab, le CD, le manganèse, A'B ', dans E, See also:G, P, E ', et F, H, Q, F ', respectivement, le secteur du morceau PE'F'Q du trapezium droit,B est égal au secteur du morceau GEFH du S See also:original, trapezium. Le trapezium droit ainsi F construit ''peut s'appeler le trapezium droit équivalent. Dans le cas d'un parallélogramme, la droite équivalente, trapezium est un rectangle; dans le cas d'une triangle, c'est une triangle droit-à angles. 24 Si nous prenons une série de trapezia droit, tel qu'un côté (§ 23) du See also:premier est égal à un côté de la seconde, l'autre côté de la seconde est égal à un côté du tiers, et ainsi de See also:suite, et les place avec leurs See also:bases dans une ligne droite et leurs côtés d'égale se touchant, nous obtenons une figure telle que MABCDEFS (fig. 2), qui a deux côtés parallèles mA et SF, une MME. See also:basse perpendiculairement à ces derniers, et le See also:reste de sa frontière de A à F rectiligne, aucune See also:partie de la figure étant en dehors de l'See also:espace entre le mA (produit) et SF (produit). Une figure de cette sorte s'appellera un trapèze. (i) Si des See also:points angulaires B de the.other, C, D, E, le BN de perpendiculaires, CP, DQ, HEU, sont dessinés à la MME. basse (fig. 2), le secteur est See also:MN.2(ma+nb)+np. z (NB+ B PC)+... +rs.z(See also:re+sf) = B 1(mn. MA + MP NOTA: + Nq PC+. . + RS.

SF). Les lignes mA, NOTA:, PC,... s'appellent les ordonnées des points A, B, C. . . . de la MME. basse, et du manganèse de parties, NP, PQ. . . . de la base sont les projections des côtés ab, AVANT JÉSUS CHRIST, CD. . . . sur la base. (ii) Un cas spécial est celui dans lequel A coïncide avec M, et F avec le See also:

chiffre de S. The se tient alors sur une MME. basse, le reste de sa frontière étant une ligne cassée de M à S. The que la See also:formule devient alors area=1, (MP.NB+NQ.

PC+... +qs. RE), c.-à-d. le secteur est la moitié de la See also:

somme des produits a obtenu près, multipliant chaque ordonnée par la distance entre les deux ordonnées adjacentes. Il serait possible de considérer cette forme de la figure comme la générale; le chiffre considéré en (i) représenterait alors le cas spécial dans lequel les deux extrémité-morceaux de la ligne cassée sont perpendiculaires à la base. (iii) Un autre cas spécial est celui dans lequel le manganèse de distances, NP, PQ. . . RS sont tous égale. Si cette distance est h, puis secteur = h(;MA+NB+PC+... +2SF). 25, Pour trouver le secteur de n'importe quelle figure rectiligne, les diverses méthodes sont disponibles. (i) La figure peut être divisée en triangles. Le quadrilatère, par exemple, se compose de deux triangles, et son secteur est le produit de la moitié de la longueur d'une diagonale par la somme des perpendiculaires dessinées à cette diagonale les deux des autres points angulaires.

Pour des figures de plus de quatre côtés cette méthode n'est pas habituellement commode, excepté des cas spéciaux tels que See also:

cela d'un See also:polygone régulier, qui peut être divisé en triangles par des rayons tirés de son centre. D (ii) supposent que deux points angulaires, A et E, sont See also:joints (fig. 3) afin de former un AE See also:diagonal, et que le See also:Cf entier la figure se trouve entre les lignes par A et E perpendiculairement à AE. Alors la figure est (habituellement) la somme de deux trapèzes sur la base AE, et son secteur peut être G calculé comme dans le § 24. Si BN, CP, Fig. 3. DQ. . . Fs, GT sont les diculars de perpen- à AE des points angulaires, les ordonnées NOTA:, PC.... s'appellent les excentrages de la diagonale aux points angulaires. Le secteur du polygone dans fig. 3 est indiqué par l'expression 2(ap.

NB+nq. PC+pe. QD+et. SF+sa. Tg). Il devrait être (a) noté qu'See also:

cAp, NQ SA sont pris dans l'ordre cyclique d'inclinaisons du See also:ABC de points. . . GA, et (b) qui dans fig. 3, si et la NOTA: sont considérés comme le positif, puis SF, les TG, ET et la SA sont négatifs, mais les produits ET. SF et SA. Les TG sont positifs. Les produits négatifs surgiront si d'A en See also:mouvement à E le See also:long du périmètre de l'un ou l'autre côté de la figure la See also:projection du See also:point See also:mobile ne se déplace pas toujours la direction AE.

(iii) Prenez n'importe quelle ligne droite intersectant ou n'intersectant pas la figure, et dessinez les perpendiculaires aa, Bb, cc, densité double. . . FF, Gg à cette ligne. Puis, avec une See also:

attention appropriée aux signes, area=2(gb. aA+See also:ac '. bB+bd. C+... +See also:fa. gG). (iv) La figure peut être remplacée par un trapèze équivalent, sur le système expliqué dans le § 23. Prenez n'importe quelle base X'X, et tracez les lignes perpendiculairement à cette base par tous les points angulaires de la figure. F a laissé les lignes par B, G, C, D et F (fig. g) a coupé la frontière de la figure encore à B ', à G ', à C ', à D 'et à F, et rencontre la base X'X dans K, L, M, N et P; les points A et E étant aux extrémités de la figure, et les lignes par elles rencontrant la base dans a et e. alors, si nous prenons les ordonnées KB, atterrisseur, Mc, ND, pf, égale à B'B, GG ', C'C, D'D, FF ', la figure abecdfe seront le trapèze équivalent, et n'importe quelle ordonnée tirée de la base jusqu au dessus de LM N P e X de ce trapèze sera l'ordonnée (produite) qui fait partie de la figure originale.

26, volumes de solides avec suivre de l'See also:

avion Faces.The sont des expressions pour les volumes de quelques figures pleines simples. (i) See also:Cube: See also:volume latéral de a. = a3. (ii) Parallélépipède rectangulaire: côtés a, b, volume de c. = ABC. (iii) See also:Prisme droit. Volume = longueur de secteur du See also:bord X d'extrémité. (iv) Prisme oblique. Région de volume = de See also:taille X d'extrémité = de longueur de secteur du bord X de See also:section transversale; la "taille" étant la distance perpendiculaire entre les deux extrémités. Le parallélépipède est un cas See also:particulier. (v) See also:Pyramide avec la base rectiligne. Volume = taille X }. secteur de base. Le tétraèdre est un cas particulier.

(vi) See also:

Cale: le parallèle affile a, b, c; secteur de S. en See also:coupe Volume = i(a+b+c)S. Cette formule se tient pour le cas général dans lequel la base est un trapezium; la cale constitué ainsi en coupant un prisme triangulaire en deux avions quelconques. (vii) See also:Frustum de pyramide avec la base rectiligne: taille h; secteurs des extrémités (c.-à-d. base et dessus) A et B. Volume=h. j-(A+ fAB+B). 27, Les chiffres considérés dans le § 26 sont des cas particuliers du prismoid (ou de prismatoid), qui peut être défini comme figure pleine avec deux extrémités rectilignes plates parallèles, chacun des autres visages (c.-à-d. de la partie latérale) étant une triangle avec un point angulaire dans une extrémité de la figure et de son côté opposé dans l'autre. Deux visages contigus dans le même avion peuvent ensemble faire un trapezium. Plus brièvement, la figure peut être définie comme polyèdre avec deux visages parallèles contenant tous les sommets. Si R et S sont les fins d'un prismoid, d'un A et d'un B leurs secteurs, h la distance perpendiculaire entre eux, et C le secteur d'une section en un avion parallèle à R et à S et à mi-See also:chemin entre eux, le volume du prismoid est §h(A+4C+B). Ceci est connu comme formule prismoidal. La formule est une déduction d'une formule générale, considérée plus See also:tard (§ 58), et peut être vérifiée dans diverses manières. Le plus instructif est de considérer le prismoid comme accumulé (par l'addition ou la soustraction) des figures plus simples, qui sont des cas particuliers d'elle. (i) Laissez R et S être le See also:sommet et la base d'une pyramide.

Phoenix-squares

Puis A O, C =;B, et volume = 4hB = eh(A -1- 4C + B). Le tétraèdre est un cas particulier. (ii) Laissez R être un bord d'une cale avec les extrémités parallèles, et S le See also:

visage contenant les deux autres bords. Puis A = 0, C = iB, et volume =;hB = See also:sh(A+4C+B)• (iii) a laissé R et S être deux bords opposés d'un tétraèdre. Alors le tétraèdre peut être considéré comme la différence d'une cale avec les extrémités parallèles, un des bords étant-R, et une pyramide dont la base est un parallélogramme, un côté du parallélogramme étant S (voir la fig. 9, § 58). Par conséquent, par (i) et (ii), la formule se tient pour cette figure. (iv) Pour le prismoid en général laissez ABCD. . . soyez une extrémité, et abcd. . . l'autre.

Prenez n'importe quel point P dans le dernier, et formez les triangles en joignant P à chacun des côtés ab, AVANT JÉSUS CHRIST. . . ab, avant Jésus Christ,... des fins, et également à chacun des bords. Alors le prismoid est divisé en pyramide avec le sommet P et base ABCD..., et séries de tetrahedra, tel que PABa ou PAab. Par (i) et (iii), les prises de formule pour chacune de ces figures; et donc elle se tient pour le prismoid dans l'ensemble. Une autre méthode de vérifier la formule est de prendre un point Q dans la See also:

mi-section, et divise le prismoid en deux pyramides avec le sommet Q et base ABCD. . . et abcd. . . respectivement, et des séries de tetrahedra ayant Q en tant qu'un sommet. 28, Le See also:cercle et le mensttration allié de Figures.The p du cercle est fondé sur la propriété que les secteurs de différents cercles sont proportionnels aux places sur leurs diamètres.

Dénotant le rapport constant par 4r, le secteur d'un cercle est ira2, où a est le See also:

rayon, et r=•14159 approximativement. Le zra d'expression pour la longueur de la circonférence peut être déduit en considérant la limite du secteur découpé d'un cercle du rayon a par un cercle concentrique du rayon aa, quand a devient indéfiniment See also:petit; c'est un cas élémentaire de différentiation. Les longueurs des arcs du même cercle étant proportionnel aux theangles subtended par eux au centre, nous ont l'idée de la See also:mesure de circulai. Laissez 0 être le centre See also:commun de deux cercles, des rayons a et b, et laissez les rayons enfermant un angle B (mesure circulaire) coupent leurs circonférences en A, B et C, D respectivement (fig. 5). Alors la région d'cAbdc est Zb28za20=(See also:ba) 4(b+a)B. Si nous bissectons le ab et le CD dans P et Q respectivement, et décrivons l'See also:arc PQ d'un cercle avec le centre 0, la longueur de cet arc est z (b+a)e; et b a = de ab région par conséquent arc PQ d'cAbdc = de ab X. La figure ABDC est un secteur d'un See also:anneau, qui est la partie d'un cercle à gauche après avoir coupé un cercle concentrique. 29, De considérer le cercle comme limite d'un polygone, elle suit que les formules (iii) et (v) de la prise du § 26 pour un See also:cylindre circulaire droit et un cône circulaire droit; c.-à-d.. volume de bon secteur circulaire de cylindre = de longueur X de base; volume de cône circulaire droit = de taille X un secteur de base. Ces formules se tiennent également pour n'importe quel cylindre droit et n'importe quel cône. 30, Les surfaces incurvées du cylindre et du cône sont les surfaces développables; c.-à-d. elles peuvent être déroulées sur un avion. La See also:surface incurvée de n'importe quel cylindre droit (si circulaire ou pas) devient un rectangle, et donc périmètre son secteur = X De longueur de base.

La surface incurvée d'un cône circulaire droit devient un secteur d'un cercle, et son secteur = périmètre oblique de la taille X de base. 31, Si a est le rayon d'une sphère, puis (i) volume de sphère = d'ire; (ii) surface de la surface de sphere=4ra2=curved d'entourer le cylindre. Le premier de ces derniers est un cas particulier de la formule prismoidal (§ 58). Pour obtenir (i) et (ii) ensemble, nous prouvons que le volume d'une sphère est proportionnel au volume du cube dont le bord est le diamètre; dénotant le rapport constant par 8X, le volume de la sphère est Xaa, et de là, en prenant deux sphères concentriques (cf. § 28), le secteur de la surface est 3X¢2. Cette surface peut être fractionnée dans les éléments, dont chacun est égal à un élément correspondant de la surface incurvée du cylindre d'entourage, de sorte que la surface 3Xa2=curved du cylinder=à. 2ra=4ra2. Par conséquent a=See also:

tr. Toute la surface du cylindre est 4ra2+ra2+ra2=62ra2, et son volume est à.ir¢2=22raa. Par conséquent volume de sphère = de volume d'entourer le cylindre; surface de sphère = surface de I d'entourer le cylindre. Ces dernières formules sont dues à Archimedes. pendant 32, moments et Centroids.See also:For chaque See also:corps matériel il y a un point, fixe en ce qui concerne le corps, tel que le moment du corps en ce qui concerne n'importe quel avion est identique comme si la masse entière ont été rassemblées à ce point; le moment étant la somme des produits de chaque élément de la masse du corps par sa distance de l'avion. Ce point est le centre de surface du corps.

Les idées du moment et du centre de surface sont prolongées aux figures géométriques, si solide, superficiel ou linéaire. Le moment d'une figure en ce qui concerne un avion est trouvé en divisant la figure en éléments de volume, de secteur ou de longueur, multipliant chaque élément par sa distance de l'avion, et ajoutant les produits. Dans le cas d'un secteur plat ou d'une ligne continue See also:

plate le moment en ce qui concerne une ligne droite dans l'avion est identique au moment en ce qui concerne un avion perpendiculaire par cette ligne; c.-à-d. c'est la somme des produits de chaque élément de secteur ou de longueur par sa distance de la ligne droite. Le centre de surface d'une figure est un point fixé en ce qui concerne la figure, et tel que son moment en ce qui concerne n'importe quel avion (ou, dans le cas d'un secteur ou d'une ligne plat, en ce qui concerne toute ligne dans l'avion) est identique comme si le volume, le secteur ou la longueur entier ont été concentrés en ce moment. Le centre de surface s'appelle parfois le centre du volume, centre de secteur, ou le centre de l'arc. La See also:preuve de l'existence du centre de surface d'une figure est identique à la preuve de l'existence du centre de la gravité d'un corps. (Voir la MÉCANIQUE.) Le moment comme décrit ci-dessus s'appelle parfois le premier moment. Le deuxième moment, troisième moment. . . d'un avion ou d'une figure pleine sont trouvés de la même manière en multipliant chaque élément par la place, cube... de sa distance de la ligne ou de l'avion en ce qui concerne lesquels les moments sont pris. Si nous divisons le premier, en second See also:lieu, tiers. . .

des moments par le tout le volume, secteur ou longueur de la figure, nous obtenons la distance See also:

moyenne, la place moyenne de la distance, cube See also:moyen de distance. . . de la figure de la ligne ou de l'avion. La distance moyenne d'une figure plate d'une ligne dans son avion, ou de n'importe quelle figure d'un avion, est donc identique à l''distance du centre de surface de la figure de la ligne ou de l'avion. Nous avons besoin parfois des moments en ce qui concerne une ligne ou un avion par le centre de surface. Si aucun est le secteur d'une figure plate, et Ni, N2. . . sont ses moments en ce qui concerne une ligne dans son avion, les moments MI, m2. . . en ce qui concerne une ligne parallèle par le centre de surface sont donnés par Mi = NZ = xNo = o, M2=N22xNi+x2No=N2-x2No, - MQ=NQgxNQ_i+q(q2(2()4'igxQ iNi+)4xNo; là où x = la distance entre les deux lignes = N1/See also:No. Ces formules se tiennent également pendant des moments convertissants d'une figure pleine en ce qui concerne un avion dans des moments en ce qui concerne un avion parallèle par le centre de surface; X étant la distance entre les deux avions. Une ligne par le centre de surface d'une figure plate (dessinée dans le See also:plan de la figure) est une ligne centrale, et un avion par le centre de surface d'une figure pleine est un plan central, de la figure.

Le centre de surface d'un rectangle est son centre, c.-à-d. le point d'intersection de ses diagonales. Le premier moment d'une figure plate en ce qui concerne une ligne dans son avion peut être considéré comme obtenu en divisant le secteur en bandes élémentaires par une série de lignes parallèles indéfiniment étroitement ensemble, et en concentrant le secteur de chaque See also:

bande à son centre. De même le premier moment d'une figure pleine peut être considéré comme obtenu en divisant la figure en prismes élémentaires par deux ensembles d'avions parallèles, et en concentrant le volume de chaque prisme à son centre. Ceci se tient également pendant des moments plus élevés, à condition que les bords des bandes ou des prismes élémentaires soient parallèles à la ligne ou à l'avion en ce qui concerne lesquels les moments sont pris. 33, Les solides et les surfaces de Revolution.The plein ou d'extérieur produit par la révolution d'un avion ont fermé la figure ou une ligne continue plate au sujet d'une ligne droite dans son avion, ne l'intersectant pas, est un solide de révolution ou de surface de révolution, la ligne droite étant son See also:axe. La révolution n'a pas besoin d'être complète, mais peut être par tout angle. La section d'un solide de révolution en un avion perpendiculairement à l'axe est un anneau ou un secteur d'un anneau (fig. 5), ou se compose de deux telles figures ou plus. Si le solide est divisé en éléments par une série de tels avions, et si h est la distance entre deux avions consécutifs faisant des sections telles qu'cAbdc dans fig. 5, le volume de l'élément entre ces avions, quand h est très petit, est approximativement h x arc de ab X PQ = h. ab See also:OP.0. L'élément correspondant de la figure de rotation est approximativement un rectangle du secteur h. ab, et OP est la distance du point moyen de l'un ou l'autre côté du rectangle de l'axe. Par conséquent tout le volume du solide est M.0, où M est la somme des quantités h.AB.OP, c.-à-d. est le moment de la figure en ce qui concerne l'axe.

Le volume est donc égale à S. y.0, où S est le secteur de la figure de rotation, et le See also:

silicium est la distance de son centre de surface de l'axe. De même une surface de révolution peut être divisée en des avions perpendiculairement à l'axe en éléments, dont chacun est approximativement une section de la surface d'un cône circulaire droit. En déroulant chaque un tel élément (§ 30) dans un secteur d'un anneau circulaire, on le constatera que la surface totale de la surface est M'.9=L.a.0, où M 'est le moment de la courbe originale en ce qui concerne l'axe, L est toute la longueur de la courbe originale, et 2 est la distance du centre de surface de la courbe de l'axe. Ces deux théorèmes peuvent être énoncés comme suit: (i) Si n'importe quelle figure plate tourne autour d'un axe See also:externe dans son avion, le volume du solide produit par la révolution est égal au produit du secteur de la figure et la distance a voyagé par le centre de surface de la figure. (ii) Si n'importe quelle ligne dans un avion tourne autour d'un axe externe dans l'avion, le secteur de la surface incurvée produite par la révolution est égal au produit de la longueur de la ligne et la distance a voyagé par le centre de surface de la ligne. Ces théorèmes ont été découverts par Pappus d'See also:Alexandrie (c. A.d. 300), et ont été faits connaître généralement par Guldinus (c. A.d. 1640). Ils sont parfois connus comme théorèmes de Guldinus, mais plus correctement sont décrits comme théorèmes de Pappus. Les théorèmes sont utiles, non seulement pour trouver les volumes ou les secteurs des solides ou des surfaces de la révolution, mais également, réciproquement, pour trouver des centres de surface ou des centres de la gravité. Ils peuvent être appliqués, par exemple, à trouver le centre de surface d'un See also:demi-cercle ou de l'arc d'un demi-cercle.

34, Le segment de la parabole de Parabola.The a les moyens un exemple simple de l'utilisation des infinitesimals. Laissez le ab (fig. 6) soit n'importe quel arc d'une parabole; et supposez que nous avons besoin du secteur de la figure liée par cet arc et la See also:

corde ab. Dessinez les tangentes à A et à B, se réunissant à T; dessinez la TV parallèle à l'axe de la parabole, en rencontrant l'arc dans C et la corde dans V; et l'aspiration de M la tangente à C, se réunissant À et à BT dans a et b. puis (voir la PARABOLE) TC=cv, AV=vb, et K ab est parallèle au ab, de sorte qu'aC=Cb. Par conséquent secteur de triangle ACB = deux fois secteur d'aTb de triangle. Répétant le See also:processus avec les arcs C.a. et CB, et continuant la répétition indéfiniment, nous divisons le secteur prié et le reste de la triangle ATB en éléments correspondants, chaque élément d'ancien être les doubles les éléments correspondants du dernier. Par conséquent le secteur exigé est le See also:double le secteur du reste de la triangle, et donc il est deux-tiers du secteur de la triangle. La ligne TCV est parallèle à l'axe de la parabole. Si nous traçons une ligne perpendiculairement à TCV, rencontrant TCV produit en M et parallèles par A et B en K et L, le secteur de la triangle ATB est iKL. TV = CV DE KILOLITRE; et donc le secteur de la figure liée par AK, See also:BL, KL et l'arc ab, est =}kl(ak+4cm+bl) De l'i(L }(ak+bl)+iklçm4(ak+bl) }. De même, pour un chiffre K'L'BA de See also:correspondance en dehors de la parabole, le secteur est eK'L'(K'A+4M'C+LB). 35, L'See also:ellipse et le mensuration élémentaire d'Ellipsoid.For l'ellipse doit être considérée comme obtenus par la projection du cercle, et l'ellipsoïde par la projection de la sphère.

Par conséquent le secteur d'une ellipse dont les haches sont à et 2b est Trab; et le volume d'un ellipsoïde dont les haches sont à, 2b et 2c est tirabc. Le secteur d'une bande d'une ellipse entre deux lignes parallèles à un axe, ou le volume de la partie (frustum) d'un ellipsoïde entre deux avions parallèles à une section principale, peut être trouvé de la même manière. 36. Les exemples des formules d'Applications.The du § 24 pour le secteur d'un trapèze sont d'importance spéciale See also:

terre-en examinant. Les See also:mesures d'un See also:champ polygonal ou de tout autre secteur sont habituellement prises comme dans le § 25 (ii); un AE diagonal est pris comme ligne de base, et pour les points B, C, D. on entre les distances, AP, AQ, le long de la ligne de base, et des longueurs et des directions des excentrages NOTA:, le PC, QD. . . Le secteur est alors indiqué par la formule du § 25 (ii). 37, Le mensuration du terrassement implique la considération des quadrilatères dont les dimensions sont indiquées par des données spéciales, et des prismoids dont les sections sont de tels quadrilatères. Dans le cas See also:ordinaire trois des quatre surfaces latérales du prismoid soyez perpendiculaire aux deux extrémités. Dans les affaires spéciales deux de ces trois surfaces latérales sont également inclinés au tiers. (i) Dans fig. 7 ont laissé BC=à bas, et ont laissé h soient la distance, mesurée perpendiculairement à AVANT JÉSUS CHRIST, du point moyen d'cAvant JÉSUS CHRIST à APRÈS JÉSUS CHRIST en outre, laissent l'angle ABC = a-0, l'angle See also:BCD=r-4 ', l'angle entre AVANT JÉSUS CHRIST et l'cAnnonce = 0.

Puis (comme différence de deux triangles) secteur ABCD = (cot de h 4.+a)2 (cot de h 4'a)2 2(cot 4'cot 4 ') 2(COt ¢+cot e) '(ii) si 4'=0, ceci devient secteur de saveur = tan, Btang 4'(h +a tan 0)2 a2 tan 0. (iii) Si ¢ = o, de sorte que l'cAnnonce soit parallèle AVANT JÉSUS CHRIST, il devient secteur = àh+ z (cot 0 + cot ¢)h2. (iv) Pour trouver le volume d'un découpage prismoidal avec les extrémités verticales, et avec des côtés également inclinés à la verticale, de sorte que 0=0, laissez les valeurs de h, 4'pour les deux extrémités soit et ha, 4'a, et pour écrire à cot d'ot 01 m, le cot o du cot 4"(a + h, cot B), n, = cot,p, + cote (a + salut cot 0), cot B de cot 2 de cot,k de m (a + h2 cot B), c°t 02 de n2FTe + cot B (a + cot 0 d'ha).

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