Encyclopédie En ligne
Recherchez plus de 40.000 articles de l'encyclopédie originale et classique Britannica, la 11ème édition.
MENSURATION DE
Encyclopédie En ligneEncyclopédie À la maison :: MEC-MIC
del.icio.us it!
|
See also:MENSURATION DE S GRAPHIQUES 38. (a) See also:Le § 23 de Preliminary.In le See also:secteur d'un trapezium droit a été exprimé en termes de See also:base et deux côtés; et en § 34 la See also:surface d'une figure quelque peu semblable, le dessus remplacé par un See also:arc d'une parabole, a été exprimée en termes de sa base et de trois longueurs qui peuvent être considérées comme See also:les côtés de deux figures séparées desquelles elle se compose. Nous avons maintenant pour considérer la See also:prolongation See also:des formules de See also:cette sorte à d'autres figures, et leur application au calcul des moments et des volumes. 39, L'See also:avion figure avec ce que nous sommes concernés relevons principalement de la description des graphiques de la variation continue. Laissez E et F être deux grandeurs ainsi reliées que toutes les fois que F a n'importe quelle valeur (dans certaines See also:limites) E a une valeur correspondante définie. Laissez u et x être les expressions numériques des importances de E et de F. On n'importe quelle prise de See also:BOEUF de See also:ligne une longueur SUR l'égale au xG, et de l'aspiration NP de N perpendiculairement au BOEUF et à l'égale à l'uH; See also: Si, par exemple, le graphique étaient un trapezium, le calcul du secteur serait équivalent à trouver l'intégrale, du x=a au x=b, d'une expression de la See also:forme px+q. Ceci impliquerait p et q; mais, pour nos buts, les données sont les côtés See also:pa+q et pbd-q et le See also:Ba See also:bas, et l'expression de l'intégrale en termes de See also:ces données exigerait certaines éliminations. La See also:province du mensuration doit exprimer le résultat final d'une telle élimination en termes de données, sans nécessité de passer par les processus intermédiaires. 41, Le See also:chiffre de Trapezettes et de Briquettes.A de la sorte décrite dans le § 39 s'appelle un trapezette. Un trapezette peut donc être défini pendant qu'une figure See also:plate bondissait par deux See also:lignes droites, s'abaissent perpendiculairement à elles, et à un dessus qui peut être de n'importe quelle forme mais sont tel que chaque ordonnée de la base la See also:coupe dans un point et un point seulement; ou, alternativement, il peut être défini comme figure produite par une ordonnée qui se déplace dans un avion de sorte que son See also:pied soit toujours sur une base droite à laquelle l'ordonnée est perpendiculaire, la longueur de l'ordonnée changeant de n'importe quelle façon pendant qu'il se déplace. La distance entre les deux côtés droits, c.-à-d. entre la position initiale et See also:finale de l'ordonnée, est la largeur du trapezette. N'importe quelle ligne tracée de la base, perpendiculairement à elle, et terminée par le dessus du trapezette, est une ordonnée de la figure. Le trapezium est un See also:cas See also:particulier. L'une ou l'autre ou toutes les deux ordonnées de bondissement peut être zéro; le dessus, dans ce cas, rencontre la base à cette extrémité. N'importe quelle figure plate pourrait être convertie en trapezette équivalent par une prolongation de la méthode de § 25 (iv). 42, La figure pleine correspondante, See also:sous sa forme plus générale, est comme serait construite pour représenter la relation d'une grandeur E à deux grandeurs de F et G dont c'est une fonction; elle se tiendrait sur une base plate, et soit comportée dans une See also:limite cylindrique dont la See also:section transversale pourrait être de n'importe quelle forme. Nous ne sommes pas concernés par des figures de cette sorte générale, mais seulement par les cas dans lesquels la base est un rectangle. La figure est comme serait produite en See also:enlevant un morceau d'un See also:prisme rectangulaire, et s'appelle une See also:briquette. Une briquette peut donc être définie pendant qu'une figure pleine bondissait par une paire d'avions parallèles, une autre paire d'avions parallèles perpendiculairement à ces derniers, une base perpendiculairement à ces quatre avions (et donc rectangulaire), et un dessus qui est une surface de n'importe quelle forme, mais tels que chaque ordonnée de la base la coupe dans un point et un point seulement. Elle peut être considérée comme produite par un trapezette se déplaçant une direction perpendiculairement à elle-même et changeant son supérieur mais maintenant sa largeur inchangée, ou par une ordonnée se déplaçant de sorte que son pied ait chaque position possible dans une base rectangulaire. 43, L'ordonnée de See also:notation et de Definitions.The du trapezette sera dénotée par u, et l'See also:abscisse de cette ordonnée, c.-à-d. la distance de son pied d'un See also:certain point fixe ou origine 0 sur la base (ou la base produite), sera dénotée par x, de sorte qu'u soit une certaine fonction de x. que les côtés du trapezette sont "les ordonnées de bondissement"; leurs abscisses étant xo et xo+H, où H est la largeur du trapezette. La "See also:mi-ordonnée" est l'ordonnée du point See also:moyen de la base, c.-à-d. l'ordonnée dont l'abscisse est xo+2H. "l'ordonnée moyenne" ou l'ordonnée moyenne est une ordonnée de la longueur l tels que hl est égal au secteur du trapezette. Il apparaît donc comme longueur calculée plutôt que comme ligne définie dans la figure; sauf que, s'il y a seulement une ordonnée de cette longueur, une ligne tracée par son extrémité est ainsi placé que le secteur du trapezette se trouvant au-dessus de lui est égal à un secteur correspondant au-dessous de lui et de l'extérieur le trapezette. Des formules donnant le secteur d'un trapezette devraient en général également être exprimées afin d'énoncer la valeur de l'ordonnée moyenne (§ de § 12 (v), 15, 19). "l'ordonnée médiane" est l'ordonnée qui divise le secteur du trapezette en deux parties égales. Elle surgit principalement dans les See also:statistiques, quand l'ordonnée du trapezette représente la fréquence relative de l'occurrence de la grandeur représentée par l'abscisse X; l'importance de l'abscisse correspondant à l'ordonnée médiane est alors "la valeur médiane de x." "l'ordonnée centrale" est l'ordonnée par le centre de surface du trapezette (§ 32). La distance de cette ordonnée de l'axe de u (c.-à-d. d'une ligne tracée par 0 parallèles aux ordonnées) est égale à la distance moyenne (§ 32) du trapezette de cet axe; des moments en ce qui concerne l'ordonnée centrale, donc sont parfois décrits dans les statistiques en tant que "moments au sujet du moyen." Les données d'un trapezette sont habituellement sa largeur et les ordonnées de bondissement ou les mi-ordonnées d'une série de trapezettes mineurs ou les bandes en lesquelles elle est divisée par des ordonnées aux distances égales. S'il y a m de ces bandes, et si la largeur de chacune est h, de sorte que H = MH, il soit commode pour écrire x sous la forme xo+Oh, et pour le dénoter par x9, la valeur correspondante de u étant ue. Les données sont alors l'une ou l'autre l'ue de bondissement d'ordonnées, ui. . . UM des bandes, ou leurs mi-ordonnées u.'l, 14. . . 44, le cas de la briquette que la position du pied de l'ordonnée u est exprimée près coordonne x, y, se sont rapportés à une paire de haches parallèles à une paire de côtés de la base de la briquette. Si les longueurs de ces côtés sont H et K, les coordonnées des angles du basei.e. coordonne des bords du briquetteare (xo, Yo), (xo+H, Yo), (du xo, du Yo+K), et (xo+H, yo+K). La briquette peut habituellement être considérée comme divisée en série de briquettes mineures par deux ensembles d'avions parallèles, les plans de chaque ensemble étant aux distances successivement égales. Si les plans d'un ensemble divisent elle en galettes de m de l'épaisseur h, et ceux de l'autre en galettes de n de l'épaisseur k, de sorte que H = nième, K = nk, puis les valeurs de x et de y pour n'importe quelle ordonnée puisse être dénoté par xo-+Oh et yo-f-Correct, et la longueur de l'ordonnée par uo, 0. Les données sont habituellement les largeurs H et K et l'un ou l'autre (i) les bords des briquettes, à savoir de l'uo mineurs, o, l'uo, I. . . UL, o, u1.1. . . ou (ii) les mi-ordonnées d'un ensemble de visages, à savoir d'uo parallèles, I, uo, I. 1,44... ou non, vers le haut de. . . vers le haut de..., ou (iii) les "mi-ordonnées" 14.4, uI, I. . . ui, I. . . des briquettes mineures, c.-à-d. les ordonnées des centres de leurs See also:bases. Un avion parallèle à l'une ou l'autre paire de côtés de la briquette est "un avion See also: Ces See also:caisses sont tout importantes que permettant des formules plus simples, comportant des différences centrales, pour être employé (§ 76). 46, Le secteur du trapezette, mesuré à partir de l'ordonnée de bondissement inférieure jusqu'à l'ordonnée correspondant à n'importe quelle valeur de x, est une certaine fonction de x. dans la notation du calcul intégral, ce secteur est égal à l'udx de xo de f; mais la notation est incommode, puisqu'elle implique une See also:division dans les éléments infinitesimal, qui n'est pas essentielle à l'idée d'un secteur. Il vaut donc mieux d'employer une certaine notation indépendante, telle qu'Ay. u. On le trouvera commode pour dénoter le See also:sp(b) -0(a), où 4 (x) est n'importe quelle fonction de x, près [ ¢(x) ] x _ a; le secteur du trapezette dont les ordonnées de bondissement sont uo et UM peut alors être dénoté près [ Ay. xo de u ] x _ ou [ As. u ] 8 = u, au See also:lieu de par udx de xo de f. De la même manière le See also:volume d'une briquette entre les avions X = xo, y = yo, x = a, y = b peut être dénoté près [ [ u]y=yo]x=xxo '47 de Vx.y. Le rapport que l'ordonnée u d'un trapezette est une fonction de l'abscisse X, ou qu'u=f(x), doit être distingué de l'u=f(x) comme équation jusqu au dessus du trapezette. Dans la géométrie élémentaire nous traitons des lignes et des courbes, alors que dans le mensuration nous traitons des secteurs liés par ces lignes ou courbes. Le See also:cercle, par exemple, est considéré géométriquement comme une ligne décrite dans une manière particulière, alors que du point de vue du mensuration c'est une figure d'une forme particulière. De même, la géométrie plate See also:analytique traite la courbe décrite par un point se déplaçant dans une manière particulière, alors que le mensuration See also:plat analytique traite la figure produite par une ordonnée se déplaçant de sorte que sa longueur change d'une façon particulière selon sa position. De la même manière, dans le cas d'une figure dans trois dimensions, la géométrie analytique est concernée par la forme de la surface, alors que le mensuration analytique est concerné par la figure dans l'ensemble. 48, La représentation du volume par le graphique plat important d'Area.See also:An est See also:cela qui représente le volume d'une figure pleine. Supposez que nous prennent une paire d'avions parallèles, tels que le solide s'étend d'un à l'autre de ces avions. La section en n'importe quel avion parallèle intermédiaire s'appellera une "section transversale." Le solide peut alors être considéré comme produit par le parallèle See also:mobile de section transversale à lui-même et changeant sa forme, ou sa position en ce qui concerne un axe fixe auquel elle est toujours perpendiculaire, car elle se déplace. Si le secteur de la section transversale, en chaque position, est connu en termes de sa distance d'un des avions de bondissement, ou d'un avion fixe. Un parallèle à eux, le volume du solide peut être exprimé en termes de secteur d'un trapezette. Laissez S être le secteur de la section transversale à la distance X de A. On plat par BOEUF de ligne droite dans n'importe quelle prise plate un point N à la distance X de 0, et dessinez une ordonnée NP perpendiculairement au BOEUF et à l'égale à S/l, où l est une certaine longueur fixe (par exemple l'unité de la See also:mesure). Si ceci est fait pour chaque valeur possible de x, il y See also:aura des séries d'ordonnées traçant hors d'un trapezette avec la base le See also:long du BOEUF. Le volume comporté entre la section transversale dont le secteur est S et une section transversale consécutive à la distance 0 de lui est finalement AINSI, quand 0 est indéfiniment See also:petit; et le secteur entre les ordonnées correspondantes du trapezette est (S/l). B = SO/l. Par conséquent le volume de chaque élément de la figure pleine doit être trouvé en multipliant le See also:domaine de la See also:correspondance - l'"élément d'See also:ing du trapezette par 1, et donc tout le volume est 1 région de X de trapezette. Le volume d'une briquette peut être trouvé de cette façon si la surface de la section en n'importe quel avion principal peut être exprimée en termes de distance de cet avion d'un See also:plan fixe du même ensemble. Le résultat de traiter ce secteur comme si c'étaient l'ordonnée d'un trapezette mène aux formules spéciales, quand les données sont de la sorte mentionnée dans le § 44. 49, (b) Mensuration de graphiques de la See also:classe algébrique de Functions.The premier des cas à considérer comporte ces cas dans lesquels u est une fonction algébrique (c.-à-d. une fonction algébrique intégrale raisonnable) de x, ou de x et de y, d'un degré qui est connu. ö. Le cas le plus See also:simple est celui dans lequel u est constant ou est une fonction linéaire de x, c.-à-d. est du px de forme + du q. que le trapezette est alors un trapezium droit, et son secteur, si m=l, est +h(uo + u1) ou hul. 51, Le prochain cas est celui dans lequel u est une fonction quadratique de x, c.-à-d. est de la forme px2 + qx + r. que le dessus est alors une parabole dont l'axe est perpendiculaire à la base; et le bidon de secteur donc (§ 34) soit exprimé en termes de deux ordonnées de bondissement et mi-ordonnée. Si nous prenons ces derniers pour être uo et u2, et u1, de sorte que m = 2, nous aient 6ùi,, +1),.. la 'See also:formule de See also:Simpson deuxièmes est obtenue en prenant dans = 3 et en ignorant des différences après µ3ùlm• 55. général formule § 54 (p être remplacer dans (i) par +m) pouvoir de la même manière être appliquer pour obtenir formule donner secteur trapezette en termes de mi-ordonnée bande, série être prendre 32fulm ou µ32fulm au moins, où u être degré 2f ou 2f + 1 dans x. ainsi trouver (i) que Simpson's deuxième formule, pour cas où dessus être un parabole (avec axe, comme avant, perpendiculairement base) et là être trois See also:bande largeur h, pouvoir être remplacer par secteur = See also:sh(úi + ù1 + 31y. Ceci pourrait avoir été déduit directement de la première formule de Simpson, par une série d'éliminations. 56, Par conséquent, pour le cas d'une parabole, nous pouvons exprimer la surface en termes d'ordonnées de bondissement de deux bandes, mais, si nous employons des mi-ordonnées, nous avons besoin de trois bandes; de sorte que, dans chaque cas, trois ordonnées soient exigées. La question se pose alors si, en enlevant la See also:limitation quant à la position des ordonnées, nous pouvons réduire leur nombre. Supposez que dans fig. 6 (§ 34) nous dessinons l'allée centrale des ordonnées QD entre KA et MC, et allée centrale de See also:RE entre MC et livre, rencontrant le dessus dans D et E (fig. 8), et joignent le De, rencontrant KA, livre, et MC dans H, J, et W. Puis qu'il G peut être montré que le De est parallèle au ab, et que le secteur de la figure entre la See also:corde De et arc De est moitié de la See also:somme des secteurs DHA et EJB. Hence le secteur du trapezium droit KHJL est plus See also:grand que le secteur du trapezette KACt3L. Si nous devions prendre QD et RE plus près de MC, l'ancien secteur serait encore plus grand. Si, d'autre See also:part, nous devions les prendre très près de KA et livre respectivement, le secteur du trapezette serait la plus grande. Il y a donc une certaine position intermédiaire tels que les deux secteurs sont égaux; c.-à-d. tels que le secteur du trapezette est représenté par KL. +(qd + AU SUJET DE). Trouvons cette position, écrivent QM = M. = 0. Kilomètre. Puis See also:Carte de travail = 02. VC, VW = (I 02) VC; secteur incurvé ACB = j de parallélogramme AFGB = aKL. VC; parallélogramme AHJB = kilolitre. VW = (1 02) KILOLITRE. VC. Par conséquent les secteurs du trapezette et du trapezium seront égaux s'i92=1,0=I/V3. Cette valeur de 0 est la même pour toutes les paraboles qui traversent D et B et ont leurs haches perpendiculairement au kilolitre. Elle suit que, de prendre deux ordonnées en certaine position en ce qui concerne les ordonnées de bondissement, le secteur de n'importe quel trapezette parabolique dont les passages supérieurs par leurs extrémités peuvent être exprimés en termes de ces ordonnées et de la largeur du trapezette. La même formule se tiendra également (§ 52) pour n'importe quel trapezette cubique par les See also:points. 57 C'est un cas particulier d'un théorème général, dû au gauss, que, si u est une fonction algébrique de x du degré 2p ou 2p+I, le secteur peut être les in'terms exprimés de des ordonnées de p + de I prises en positions appropriées. 58, Le Prismoidal Formula.It suit du §§ 48 et 51 que, si V est une figure pleine s'étendant d'un avion K à un avion parallèle L, et si le secteur de chaque parallèle en coupe à ces avions est une fonction quadratique de la distance de la section d'un avion fixe parallèle à eux, la formule de Simpson peut être appliqué pour trouver le volume du solide. Si les secteurs des deux extrémités dans les avions K et L sont ainsi et S2, et le secteur de la mi-section (c.-à-d. la section en un avion parallèle à ces avions et à mi-See also:chemin entre eux) est S2, le volume est $$H(so + 4S1 + S2), où H est toute la largeur. Cette formule s'applique à des figures telles que le cône, la sphère, l'ellipsoïde et le prismoid. Dans le cas de la sphère, par exemple, dont le See also:rayon est R, du secteur de la section à la distance X du centre est, r(R2x2), qui est une fonction quadratique de x; les valeurs d'ainsi: Le Sr, et les S2 sont respectivement o, irR2, et o, et le volume est secteur = H(uo + û1 + u2) = yh(uo + û1 + U2). C'est la formule de Simpson. Si au lieu de l'uo, de l'u1, et de l'u2, nous avons l'uo de quatre ordonnées, nous, U2, et u2, de sorte que m = 3, il puisse être montré que secteur = eh(uo + ú1 + ú2 + nous). C'est la formule de Simpson deuxièmes. Il peut déduire de la formule donnée ci-dessus. Dénotant les secteurs des trois bandes A, B, et C, et en présentant l'uj moyen d'ordonnée, nous pouvons exprimer l'ofuo d'A+B;B+C;A+B+C;andBinterms, U2, u2;u1, U2, u2; uo, UL, u2; et u1, R-U, u2 respectivement. Ainsi nous obtenons deux expressions pour A + B + C, dont nous pouvons éliminer l'uI. trapezette de A de cette sorte nous appellerons un trapezette parabolique. 52, Simpson's deux formule également appliquer si u être forme px2 + qx2 + rx + s. d'une façon générale, si secteur un trapezette pour qui u être un algébrique fonction x degré 2n être indiquer correct par un expression qui être un linéaire fonction valeur u représenter ordonnée placer symétrique au sujet mi-ordonnée trapezette (avec ou sans See also:or without ce mi-ordonnée), même expression donner secteur un trapezette pour qui u être un algébrique fonction x degré 2n + i. ceci être voir par prendre mi-ordonnée comme ordonnée pour qui x = o, et noter que See also:impair See also:puissance X présentent les limites positives et négatives qui équilibrent un un autre quand le secteur entier est pris en considération. 53, Quand u est du degré 4 ou 5 dans x, nous avons besoin au moins de cinq ordonnées. Si m = 4, et les données sont nous, u1, u2, u2, u4, nous avons le secteur = le 15-h(7uo + le 3Ù1 + le 1ù2 + 321.13 + 7u4). Pour des fonctions des degrés plus élevés dans x les formules deviennent plus compliquées. 54, La méthode générale de construire des formules avec de cette sorte comporte l'utilisation du calcul intégral et du calcul des différences finies. La largeur du trapezette étant MH, il peut montrer que son secteur est l'See also:ulm +~4 de MH m2hù'lm de + le ` F 322560 1920 m4lZûlm moh6uim de + l'm 92897280 m2hau +... là où ulm, UL, u i,. . . dénotez les valeurs pour x = xlm des coefficients différentiels successifs de l'u• en ce qui concerne x; les séries continuant jusqu'aux coefficients de différentiel disparaissent. Il y a deux classes des cas, selon qu'est dedans égal ou impair; il sera commode de les considérer d'abord pour ces cas dans lesquels les données sont les ordonnées de bondissement des bandes. (i) Si m est égal, l'ulm sera one_of les ordonnées données, et nous pouvons exprimer le hùlm, hû'm... en termes d'ulm et ses différences même centrales (voir des DIFFÉRENCES, le CALCUL de). Écrivant dans = 2p, et groupant les coefficients des différences successives, nous trouverons donc c. 2R. 4?rR2 = tirR2. secteur = 2ph up+p23ùp '3p4 5p2 3ûp + pour prouver que secteur un section un prismoid être 6 360 forme ax2 + bx + c, où x être 3p8 21p4 + 28p2 6 distance section A b 15120 3 un + • • • un extrémité, pouvoir procéder comme dedans si u être degré 2f ou 2f + I dans x, exiger pour aller jusqu'&See also:amp;21un See also:taille, ainsi hg.I h, cas un See also:pyramide, être secteur e que m See also:devoir être non moins que 2f. Simpson's (premier) formule, pour près un l'avion parallèle à l'exemple bas, prises pour f = I, et est obtenu par la prise p = I et et à la distance X du See also:sommet ignorer des différences après 3ù. est clairement secteur de x2/h2 X de base. (ii) Si m est impair, les ordonnées données sont uo. . . 
u;m_l, ulm+;, Dans le cas d'une See also: 59, Moments.Since que tous les points sur n'importe quelle ordonnée sont à une distance égale de l'axe de u, il est facilement montré que le premier moment (en ce qui concerne cet axe) d'un trapezette dont l'ordonnée est u est égal au secteur d'un trapezette dont l'ordonnée est xu; et ce secteur peut être trouvé par les méthodes de sections précédentes dans les cas où u est une fonction algébrique de x. que les formules peuvent alors être appliquées à trouver les moments de certains volumes. Dans le cas du trapezette, par exemple, du xu paraboliques est du degré i dans x, et donc le premier moment est h(xouo+4xlui+xù2)• n la caisse, donc, de n'importe quel solide dont la section transversale à la distance X d'une extrémité est une fonction quadratique de x, la position de la section transversale par le centre de surface doit être trouvée en déterminant la position du centre de la gravité des particules des masses proportionnelles à ainsi, de S2, et de 4S1, placé aux extrémités et au See also:milieu d'une ligne tracée d'une extrémité du solide à l'autre. Le centre de surface d'un hémisphère du rayon R, par exemple, est identique au centre de surface des particules des masses o, TR2, et 4.'-, r.See also:R2, placé aux extrémités et au milieu de son axe; c.-à-d. le centre de surface est à la distance IRE du See also:visage plat. õ. La méthode peut être prolongée à trouver l'en second lieu, troisième. des moments d'un trapezette en ce qui concerne l'axe du u. si u est une fonction algébrique de x de degré n'excédant pas p, et si le secteur d'un trapezette, pour lequel l'ordonnée v est du degré n'excédant pas ¢+q. peuvent être exprimés par une formule Xov0+yivi+. . . +Xmvm, le moment de qth du trapezette est 71oxOQUO+XixIÛ1+... +XmxrQum, et la valeur moyenne de x4 est (Xox0û0 + Xix1û1 +... + Xmxmgum)f(Xouo + Xiul+... + XmUm)• le calcul de cette dernière expression est simplifié en notant que nous sommes seulement concernés par les rapports mutuels de X0, X1. . . et de nous, u1. . pas avec leurs valeurs réelles. 61, Cubature d'un Briquette.To sortent ces méthodes à un yette de bri-, où l'ordonnée u est une fonction algébrique de x et de y, les haches de x et de y étant parallèle aux côtés de la base, nous considèrent que la surface d'une section à la distance X du xo plat est exprimée en termes d'ordonnées dans lesquelles il intersecte la série d'avions, parallèle au y=o, par les ordonnées données de la briquette (§ 44); et que le secteur de la section est alors représenté par l'ordonnée d'un trapezette. Cette ordonnée sera une fonction algébrique de x, et nous pouvons encore appliquer une formule appropriée. Supposez, par exemple, qu'u est du degré n'excédant pas 3 dans x, et du degré n'excédant pas 3 dans y, c.-à-d. ce il contient des limites dans le xaya xsy2, x2ys, &c.; et supposez que les bords parallèles quels x et y sont mesurés sont des longueurs 2h et 3k, la briquette étant divisée en six éléments en l'avion x=xo+h et les avions y=yo+k, y=yo+2k, et que les 12 ordonnées formant les bords de ces six éléments sont données. Les secteurs des côtés pour lesquels le x=xo et le x=xo+2h, et de la section en l'avion x=xo+h, peuvent être trouvés par la formule de Simpson's deuxièmes; appelez ces derniers See also:ao et See also:A2, et A1. Le secteur de la section en un avion à la distance X du x=xo de See also:bord est une fonction de x dont le degré est identique que qui de la formule de u. par conséquent Simpson s'applique, et le volume est }h(Ao+Â1+ comme). Le processus est simplifié en notant la formule générale d'abord et alors substituant les valeurs du u. la formule, dans le cas ci-dessus, est Ih ] Ik (uo, o + úo, 1 + úo, s + uo, $) + 4 X Ik(ui, o +...) + le §k (nous, o +..) là où 0.0 dénote l'ordonnée pour laquelle x=xo+9h, y=yo+l'k. Le résultat est identique comme si nous avons multiplié Ik(See also:vo + 3v1+3v2 + contre) par le §h(uo + le û1 +us), et a puis remplacé l'uovo, uovl. par uo, o, u0,1... La multiplication est montrée dans le See also:diagramme contigu; les facteurs I et f sont gardés dehors, de sorte que l'uo de somme, o+úo, 1+. . . +ûl, o+.... peut être calculé avant qu'il soit multiplié par le;h. ek. 62, Ce qui précède est cas particulier d'a d'un principe général que l'obtention d'une expression telle qu'Ih(uo+ûl+U2) ou Ik(vo+é1+3v2+vs) est une opération effectuée sur l'uo ou la Vo, et que cette opération est la somme d'un certain nombre d'opérations de ce See also:type qui obtient Ihuo ou limo. Le volume de la briquette pour laquelle u est une fonction de x et de y est trouvé par l'opération de la See also:double intégration, se composant de deux opérations successives, une étant en ce qui concerne x, et l'autre en ce qui concerne y; et ces opérations peuvent (dans les caisses par lesquelles nous sommes concernés) soient exécutées dans l'un ou l'autre See also:ordre. À partir de n'importe quel ue d'ordonnée, ¢, le résultat de l'intégration en ce qui concerne x par une distance 2h est (dans l'exemple considéré dans § 61) identiques au résultat du fh(i + du Ê + de l'E2 d'opération), où le ` de E dénote l'opération de changer x en x+h (voir des DIFFÉRENCES, le CALCULUSoF). L'intégration avec le See also:jouet de respect peut pareillement (dans l'exemple particulier) soit remplacée par l'opération Ik(1+É'+É'2+E's), dans où E 'dénote le changement de y y + k. le résultat d'effectuer les deux opérations, afin d'obtenir le volume, est le résultat de l'opération dénotée par le produit de ces deux expressions; et dans ce produit les See also:puissances de E et de E 'peuvent être traitées selon des See also:lois algébriques. Les méthodes de §§ 59 et õ peuvent pareillement être sorties à trouver la position de l'ordonnée centrale d'une briquette, ou distance du q moyen à la 'des éléments de la briquette d'un avion principal. 63, (c) Mensuration de graphiques que Generally.We ont à côté de considèrent la prolongation des méthodes précédentes aux cas dans lesquels u n'est pas nécessairement une fonction algébrique de x ou de x et de y. Le principe général est que les données numériques dont un résultat particulier doit être déduit soient en général non exact, mais est donné seulement à un certain degré d'exactitude. Ceci limite l'exactitude du résultat; et nous pouvons donc remplacer la figure par une autre figure qui coïncide avec elle approximativement, à condition que l'inexactitude supplémentaire ainsi présenté soit comparable aux inexactitudes originales de la mesure. La relation entre l'inexactitude des données et l'inexactitude additionnelle due à la substitution d'une autre figure est semblable à la relation entre les inexactitudes dans le mensuration d'une figure qui est censée être d'une forme donnée (§ 20). Le volume d'un See also:frustum d'un cône, par exemple, peut être exprimé en termes de certaines grandeurs par une certaine formule; mais non seulement il y aura une certaine See also:erreur dans la mesure de ces grandeurs, mais il n'y a pas aucune figure matérielle qui est un cône exact. La formule peut, cependant, être employée si la déviation de la forme conique est relativement moins que les erreurs de la mesure. Les conditions sont ainsi semblables à ceux qui surgissent dans l'See also:interpolation (q.v.). Les données sont les mêmes dans les deux cas. Dans le cas d'un trapezette, par exemple, des données sont les importances de certaines ordonnées; le problème de l'interpolation est de déterminer les valeurs des ordonnées intermédiaires, alors que ce du mensuration doit déterminer le secteur de la figure de laquelle ce sont les ordonnées. Si, de même qu'habituellement le cas, l'ordonnée dans toute chaque bande du trapezette peut être exprimée approximativement comme fonction algébrique de l'abscisse, l'application du calcul intégral donne le secteur de la figure. 64, Il y a trois classes des cas à considérer. Dans le cas de certains états de fonctions mathématiques de continuité sont satisfaits, et le point auquel la valeur indiquée par n'importe quelle formule particulière diffère de la valeur vraie peut être estimé dans certaines limites; l'inexactitude principale, dans des cas favorables, étant dû au fait que les données numériques ne sont pas absolument exactes. Dans des applications physiques et mécaniques, où les See also:mesures concrètes sont impliquées, il y a, comme précisé dans la section précédente, l'inexactitude additionnelle devant vouloir de la précision dans la figure elle-même. Dans le cas des données statistiques il y a la difficulté supplémentaire qu'il n'y a aucune vraie continuité, puisque nous sommes concernés par un nombre fini. des individus. Le traitement approprié des déviations de l'exactitude mathématique, dans la deuxième et le tiers des classes ci-dessus des cas, est une question spéciale. Dans ce qui suit lui sera supposé que les conditions de la continuité (qui impliquent la continuité non seulement de u mais également de certains de ses differentialpcoefficients) sont satisfaites, sujet aux See also:petites erreurs en valeurs de u réellement données; les limites de ces erreurs étant connues. 65, Il est seulement nécessaire de considérer le trapezette et la briquette, puisque les caisses qui se produisent dans la See also:pratique peuvent être réduites à une ou à autre de ces formes. Dans chaque cas les données sont les valeurs de certaines ordonnées équidistantes, comme décrit dans le §§ 43-45. La See also:quadrature-formule et la cubature-formule de limites sont parfois limitées aux formules pour exprimer la surface d'un trapezette, ou au volume d'une briquette, en termes de de telles données. Ainsi une quadrature-formule est une formule pour exprimer ]As. u ] ou, fudx en termes de série de valeurs données de u, alors qu'une cubature-formule est une formule pour exprimer [ [ contre, Y. u ] ] ou f fudxdy en termes de valeurs de u pour certaines valeurs de x en combination avec certaines valeurs de y; ces valeurs se trouvant 'pas nécessairement en dessous des limites des intégrations. 66, Il y a deux See also:principales méthodes. Le premier, qui est mieux connu mais est d'application limitée, consiste en remplaçant chaque See also:partie successive de la figure par une autre figure dont l'ordonnée est une fonction algébrique de x ou de x et de y, et en exprimant le secteur ou le volume de cette dernière figure (exactement ou approximativement) en termes d'ordonnées données. La seconde consiste en prise comparativement, expression simple obtenue de cette façon, et la présentation des corrections aux lesquelles impliquez les valeurs des ordonnées ou près des frontières de la figure. Les diverses méthodes seront considérées d'abord pour le trapezette, les prolongements à la briquette étant seulement traitée brièvement. 67, La méthode la plus simple trapézoïdale de Rule.The est de remplacer le trapezette par une série de trapezia. Si les données sont uo, étamez... L'cUm, la figure constituée en joignant les dessus de ces ordonnées est un trapèze dont le secteur. est k(}uo+u1+u2+... +Um1+Zumi. Ceci s'appelle le secteur trapézoïdal ou en accords, et sera dénoté par C1. Si les données sont l'uQ, u. UM-je, nous pouvons former une série de trapezia en dessinant les tangentes aux extrémités de ces ordonnées; la somme des secteurs des ces trapezia sera k(ul+ui+... +um que ceci s'appelle le secteur tangentiel, et sera dénotée par T1. J'I 4 l, XI 3 3 I 3 3 I 3 3 région tangentielle de I 4 I2 I2 4 puis être exprimé en termes de secteurs en accords. Si nous où P, Q, R. . . satisfaites les équations de k = le I, écrivez les See also:Cf pour le secteur en accords obtenu en prenant des ordonnées à P+q+r+... intervalles oh, puis T1=2c;c1• si le trapezette, comme vu de Pp2+Qq2+Rr2+... = o ci-dessus, est partout See also:corps See also:convexe ou partout See also:concave, le secteur vrai Pp4 LF Qq4 + Rr4 +.... = o, mensonges entre C, et T1. 68, D'autres règles pour la prolongation de Trapezettes.The de cette méthode consiste en divisant le trapezette en trapezettes mineurs, chacun qui se compose de deux bandes ou plus, et qui remplace chacun de ces trapezettes mineurs par une See also:nouvelle figure, dont l'ordonnée v est une fonction algébrique de x; cette fonction étant choisie de sorte que la nouvelle figure coïncide avec la figure originale autant que les ordonnées données sont concernées. Ceci signifie que, si le trapezette See also:mineur se compose des bandes de k, v sera de degré k ou kI dans x, selon que les données sont les ordonnées de bondissement ou les mi-ordonnées. Si A dénote le secteur vrai du trapezette See also:original, et. B le secteur global des figures substituées, nous avons un B, où-dénote l'égalité approximative. La valeur de B est trouvée par les méthodes de §§ 49-55. Ce qui suit sont quelques exemples. (i) Supposez que les ordonnées de bondissement sont données, et que m est un multiple de 2. Alors nous pouvons prendre les bandes dans les paires, et traitons chaque paire comme trapezette parabolique. S'appliquant la formule de Simpson à chacune de ces derniers, nous avons A - ah(uo de p + û1 + u2) + ah(u2 + û3 + u4) +... ah(uo de république fédéral + û1 + 2% + û3 + Ù4 +... + ùm-2 + ûm-1 + UM). C'est la règle de Simpson. (ii) De même, si m est un multiple de 3, l'application répétée de la formule de Simpson deuxièmes donne le See also:th(uo de la règle A A de Simpson deuxièmes + le ú1 + le ú2+ Ù3 + ú4 + - • de • + úm_4 + ùm-3 + úm_2 + úm_1 + UM). (iii) Si des mi-ordonnées sont données, et m est un multiple de 3, l'application répétée de la formule du § 55 donnera A4-jh(ú44+ù;+314 +314;+... +ùm_l+úm-k). 69, Les formules deviennent compliquées quand le nombre de bandes dans chacun des trapezettes mineurs est grand. La méthode est alors modifiée en remplaçant B par une expression qui donne les secteurs des figures substituées approximativement. Ceci présente une autre inexactitude; mais ce dernier peut être négligeable en comparaison des inexactitudes principales déjà impliquées (cf. § 20 (iii)). Supposez, par exemple, ce m=6, et celui que nous considérons le trapezette dans l'ensemble; les données étant les ordonnées de bondissement. Puisqu'il y a de See also:sept de ces derniers, v sera du degré 6 dans x; et nous aurons (§ 54 (i)) B=6h(v3+26213+1*6'vo+B I, b4v3)=6h(u3+16ù3+1 p6û8+~4 g6, u3) - si nous remplaçons 54', 56u3 dans cette expression par 5496143, la méthode de § 68 donne l'iah A-11 (uo + ü1 + 142 + 6u3 + u4 + üs + u6); l'expression du côté droit étant une expression approximative pour B, et différant de lui seulement par 2-16H66u3. C'est la règle de Weddle. Si m est un multiple de 6, nous pouvons obtenir une expression See also:for.A en s'appliquant la règle à chaque See also:groupe de six bandes. 70, Certaines des formules obtenues par les méthodes ci-dessus peuvent être exprimées plus simplement en termes de secteurs en accords ou tangentiels pris dans diverses manières. Considérez, par exemple, la règle de Simpson (§ 68 (i)). L'expression pour A peut être écrite sous la forme 'See also:Patio + ul+ 142 + 143 +. . . + um_2+ um-1 + %um) ah(auo+ u2 + u4+ - - - +um-2+aura)• maintenant, si p est n'importe quel See also:facteur de m, il y a des séries d'uo équidistant d'ordonnées, vers le haut de, u2p. ump, u,;,; et le secteur en accords comme déterminé par ces ordonnées est See also:ph(auo+up+ u2p+. . . . +um-p+aura), qui peut être dénoté par Cp. Avec cette notation, le secteur comme indiqué par la règle de Simpson's peut être écrit sous la forme tClaC2 ou C1+a(CÇ2). Ce qui suit sont quelques exemples des formules de cette sorte, en termes de secteurs en accords. (i) m un multiple de 2 (la règle de Simpson). A11-a(4C1 C211"c1 + (See also:Cl C2)• (ii) m un multiple de 3 (la règle de Simpson deuxièmes). Un Cl De --° De 1-1 1(9C1 C3) + Un s(C1 C3). (iii) m un multiple de 4. Un 1i 1s(64C1 òC2+C4) 11 C1+e(C1 Co) a'6(Cl C4). (iv) m un multiple de 6 (la règle de Weddle, ou sa application répétée). Un -1 -- 11o(15C16C2+C3) Cl +1(C1 C2)?5(C2 Co De S1-. (v) m un multiple de 12. Un 1'- 316(56C1 28C2 +803 C4) 11 _ C1+6(Cl C2) 6(C2 C3) + 1i6(Cs C4). Est-ce que là les formules semblables en termes de secteurs tangentiels sont-elles du Ti, le T2, T3 (iii) du § 68 peuvent être écrites ainsi A 1? T3 kk(9T1). 71, La méthode générale de construire les formules avec du § 70 pour des secteurs en accords est cette, si p, q, r. . . sont k des facteurs (comprenant I) de m, nous prenons A -2 PCp+ QC4+rc, +.. • pp2k-2 + Qg2k-2 + Rr2k-2 +... = 0. Le dernier k -1 de ces équations donnent I/p: 1/Q: I/r:... = p2(p2 g2)(p2 r2)... g2(g2p2)(g2r2)...: r2(r2 p2)(r2 q2)...:... Combinant ceci avec la première équation, nous obtenons les valeurs de P, Q,r. la même méthode sollicite des secteurs tangentiels, en prenant A1-PTp+QTQ+RT.+... à condition que p, q, r. . . sont les See also:nombres impairs. 72, La See also:justification des méthodes ci-dessus se situe dans certaines propriétés de la série de différences successives de u. que la prétention fondamentale est que chaque groupe de bandes du trapezette peut être remplacé par une figure pour laquelle les différences de u, au-dessus de ceux d'un certain ordre, disparaissent (§ 54). La légitimité de cette prétention, et de la prétention supplémentaire qui permet à la surface de la nouvelle figure d'être exprimée par une formule approximative au lieu près d'une formule exacte, doit être vérifiée dans tous les cas en se référant aux différences réelles. 73, Correction au moyen de méthodes précédentes extrêmes d'Ordinates.The, bien qu'apparent simples, soient les diverses objections de tq ouvert dans la pratique, comme ce qui suit: (i) L'See also:attribution des coefficients d'objections de différentes ordonnées, et même le choix des ordonnées afin de trouver C2, Co, &c. (§ 70), est ennuyeux. (ii) Cette attribution de différents coefficients signifie que différents See also:poids sont indiqués à différentes ordonnées; et les poids relatifs peuvent ne pas être conformes aux exactitudes relatives de la mesure. (iii) Différentes formules doivent être adoptées pour différentes valeurs de m; la méthode est donc peu See also:convenable pour la construction d'une table donnant des valeurs successives du secteur jusqu'aux ordonnées successives. (iv) Afin de trouver quelle formule peut être appliquée, il est nécessaire de prendre les différences successives de u; et il est alors juste comme facile, dans la plupart des cas, pour employer une formule qui comporte directement ces différences et See also:montre donc le degré d'exactitude de l'approximation. La méthode alternative consiste, donc, en prenant une 'formule simple, telle que la règle trapézoïdale, et la corriger pour convenir aux relations mutuelles des différences. 74, Pour illustrer la méthode, supposez que nous employons le Cl en accords de secteur, et que le trapezette est en fait parabolique. La différence entre C1 et le secteur vrai se compose d'une série de secteurs liés par des See also:cordes et des arcs; cette différence devenant moins comme nous subdivisons la figure en plus grand nombre de bandes. Le fait que le Cl ne donne pas le secteur vrai est dû au fait que dans le dépassement d'une extrémité du dessus de n'importe quelle bande à l'autre extrémité la tangente au trapezette change sa direction. Nous avons donc et "- - - des directions de B des tangentes. Laissez KABL (fig.) soit un des bandes, de l'aspiration de la largeur h. les tangentes à A et à B, se réunissant à T; et par l'aspiration de T une ligne parallèle à KA et à livre, rencontrant l'arc ab dans C et la corde ab en V. Draw See also:AD et SOIT perpendiculaire à ce lin et à perpendiculaire de DF et de TG à livre, en premier lieu voir si le bidon e n exprès d'erence nomme le hdif d e puis AD=EB=ah de f, et les triangles K AVD et BVE sont égales. Le secteur du trapezette est moins (dans fig. See also:basse) que le secteur du trapezium KABL par deux-tiers du secteur de la triangle ATB (§ 34). L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
» Ajoutez l'information ou les commentaires à cet article.
Svp lien directement à cet article:
Accentuez le code ci-dessous, le bon déclic, et choisissez la "copie." Collez-alors la dans votre website, email, ou tout autre HTML. Situez le contenu, les images, et le copyright de disposition © 2006 - Produisez net les industries, copie de worldwide. |
|
|
[back] MENSURATION (mensura de Lat., une mesure) |
[next] MENSURATION DES FIGURES SPÉCIFIQUES |