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ANALYSE DE VECTEUR

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À l'origine apparaissant en volume V27, page 964 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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DIRIGEZ L'CAnalyse , dans See also:

les mathématiques, See also:le calcul See also:des vecteurs. La position d'un See also:point B relativement à des autres le point A est indiquée au See also:moyen de la See also:ligne droite tracée de A à B. It peut également jaillir soit indiquée par n'importe quelle ligne égale et parallèle tracée dans le même See also:sens (parole) de C à D, puisque la position de D à C relatif est identique que qui de à ligne droite relative de B A. A a conçu de See also:cette façon en tant qu'ayant une longueur, une direction et un sens définis, mais aucun See also:endroit défini dans l'See also:espace, ne s'appelle un vecteur. Il peut être dénoté par See also:AB (ou CD), ou (quand aucune confusion n'est susceptible de surgir) simplement par ab un vecteur peut être employé ainsi pour indiquer un déplacement de See also:traduction (sans rotation) d'un See also:corps See also:rigide. Encore, une force agissant sur une particule, la See also:vitesse ou l'élan d'une particule, l'état de See also:polarisation électrique ou magnétique à un point See also:particulier d'un See also:milieu, sont des exemples des entités physiques qui sont naturellement représentées par des vecteurs. Les quantités, font l'autre See also:main, dont nous sommes au See also:courant dans l'algèbre arithmétique See also:ordinaire, et de laquelle ayez simplement la grandeur et signez, sans n'importe quelle référence intrinsèque à la direction, sont distingués comme grandeurs scalaires, puisqu'ils sont complètement indiqués par leur position sur l'échelle appropriée de la See also:mesure. La masse d'un corps, la See also:pression d'un See also:gaz, la See also:charge de l'electrified le See also:conducteur, sont des exemples des grandeurs scalaires. Il est commode de souligner cette distinction par une différence de See also:notation; ainsi des quantités scalaires peuvent être dénotées par le See also:type d'See also:italique, vecteurs (quand elles sont représentées par des symboles simples) par type de See also:Clarendon d'"See also:noir" ou ". Il y a certaines combinaisons des vecteurs entre eux, et avec les grandeurs scalaires, qui ont la signification géométrique ou See also:physique importante. De See also:divers systèmes d'"See also:analyse de vecteur" ont été conçus afin de traiter méthodiquement See also:ces derniers; nous nous confinerons ici à celui qui est actuellement dans la plupart d'utilisation générale. Un tel calcul doit naturellement commencer par des définitions des symboles et des opérations fondamentaux; ceux-ci sont en See also:premier See also:lieu les conventions tout à fait arbitraires, mais il est commode ainsi de les encadrer que l'See also:analogie avec les See also:processus de l'algèbre ordinaire peut aussi loin que possible être maintenue.

Comme déjà expliqué, deux vecteurs qui sont représentés par les See also:

lignes droites égales et parallèles tracées dans le même sens sont considérés comme identiques. Encore, le produit d'un m scalaire dans un vecteur A est naturellement défini car le vecteur dont la direction est identique à celle de A, mais dont la longueur est à celle de A dans le rapport m, le sens (d'ailleurs) étant identique à celle de A ou de l'See also:inverse, selon que m est positif ou négatif. Nous le dénotons par See also:mA. Le See also:cas particulier où le m=I est byA dénoté, de sorte qu'un changement de signe renverse simplement le sens d'un vecteur. En ce qui concerne des combinaisons de deux vecteurs, nous avons en premier lieu que celui a suggéré par la See also:composition des déplacements en cinématique, ou des forces ou des couples dans le See also:statics. Ainsi si un corps rigide reçoivent en See also:succession deux des See also:traductions représentées par AB et BC, le résultat final est équivalent à la traduction représentée par See also:AC. Il est commode, donc, pour considérer le C.a. comme dans un sens "la See also:somme géométrique" du ab et AVANT JÉSUS CHRIST, et pour écrire AB+bc=ac. Ceci constitue la définition de l'addition de vecteur; et il est évident immédiatement de fig. i qui BC+ab=See also:ad+dc=ac=ab+bc. Par conséquent, A et B étant deux vecteurs quelconques, nous avons A+b=b+a, (i) c.-à-d. addition des vecteurs, comme l'addition arithmétique ordinaire, est sujets "à la See also:loi commutative." En ce qui concerne la soustraction, nous définissons A -8 comme équivalent d'cA+(b); ainsi dans fig. I, si AB=a, BC=b, nous ont A+b=ac, AB=db. Quand la somme (ou la différence) de deux vecteurs doit être encore traitée comme vecteur See also:simple, ceci peut être indiqué par l'utilisation des parenthèses incurvées, par exemple (A+b). On le See also:voit facilement d'une figure qui (A+b)+c=a+(b+c).

. . . (2) et ainsi de See also:

suite; c.-à-d. "la loi associative" de l'addition se tient également. Encore, si m soit n'importe quelle quantité scalaire, nous avons m(A+B) = mA-]-mb. . . . (3) ou, dans les mots, la multiplication d'une somme de vecteur par une grandeur scalaire suit "la loi distributive.' La vérité de (3) est évidente sur la référence aux triangles semblables dans fig. 2, où OP= -- a, P'Q=b, See also:OP'=mA, P'Q'=mB. On le notera que les preuves de (i) et de (3) impliquent le postulat fondamental de la géométrie euclidienne. La définition du "travail" en mécanique nous donne un autre See also:mode important de la See also:combinaison des vecteurs. Le produit des grandeurs absolues A, B (parole) de deux vecteurs A, B dans le cosinus de l'See also:angle a entre leurs directions s'appelle le produit scalaire des deux vecteurs, et est dénoté par un cosh=See also:BA de B ou simplement de ab ainsi AB=ab. . . . (4) de sorte que "la loi commutative de la multiplication" se tienne ici comme dans l'algèbre ordinaire.

"la loi distributive" est également valide, parce que nous avons A(b+c) = AB+ac. . (5) la See also:

preuve de ce rapport étant identique à celui du théorème statique que la somme des travaux de deux forces dans n'importe quel déplacement d'une particule est égale au travail de leur résultante. Pour une See also:illustration du prochain mode de la combinaison des vecteurs nous pouvons prendre recours à la théorie géométrique de la rotation du corps d'arigid au sujet d'un point fixe O. As expliqué sous MEC:ianics, l'état de See also:mouvement à l'instant est indiqué par un vecteur 01 représentant la vitesse angulaire. La vitesse instantanée de n'importe quel autre point P du corps est complètement déterminée par les deux vecteurs OI et DE, à savoir c'est une normale de vecteur au See also:plan d'See also:cOi et DE, dont la grandeur absolue est le péché B de 01 0P., où 0 dénote la inclination d'cOp à 01, et son sens est celui dû à une rotation droitière environ 01. Un vecteur dérivé selon cette règle de deux vecteurs donnés quelconques A, B s'appelle le leur produit de vecteur, et est dénoté par A x B ou près [ ab ]. Ce type de combinaison est fréquent dans l'électromagnétisme; ainsi si C soit le courant et le B l'See also:induction magnétique, à un point quelconque d'un conducteur, la force mécanique sur le dernier est représentée par le vecteur [ CB ]. On le notera dans l'exemple cinématique ci-dessus que si les rôles des deux vecteurs OI, OP étaient échangés, le vecteur résultant aurait la même grandeur absolue qu'avant, mais son sens serait renversé. Par conséquent [ Ab ] = [ BA ]. .. . (6) de sorte que la loi commutative ne se tienne pas en ce qui concerne des produits de vecteur. D'autre See also:part, la loi distributive s'applique, parce que nous avons [ A(b+c) ] = [ AB]+[ac ]. . .

(7) comme peut être avéré sans difficulté en considérant l'interprétation cinématique. Les divers types de produits triples peuvent également se présenter être le plus important le produit scalaire de deux vecteurs, un de _ qui lui-même est donné comme produit de vecteur. Ainsi A[bc ] est égal en valeur absolue au See also:

volume du parallélépipède construit sur la bureautique de trois bords, See also:OB, See also:OC tiré d'un point 0 pour représenter les vecteurs A, B, C respectivement, et c'est positif ou négatif selon que la bureautique de lignes, OB, OC suivent un un autre dans le bon- ou gaucher See also:ordre cyclique. Il suit cet A[bc ] = B[ca ] _ B[ac ] = &See also:amp;c.. (8) afin d'exhiber la See also:correspondance entre les méthodes de sténographie d'analyse de vecteur et de formules plus familières de la géométrie cartésienne, nous prenons un système droitier de See also:boeuf mutuellement perpendiculaire de trois haches, Oy, See also:once, et adoptons trois unité-vecteurs fondamentaux ',Lk, ayant les directions positives de ces haches respectivement. En ce qui concerne les produits scalaires de ces unité-vecteurs, nous avons, par (4), I'=f = k2=1, Jk=kJ=1i=o.. . . (9) tout autre le vecteur A est exprimé en termes de ses projections scalaires comme, See also:A2, comme sur les haches de coordination par la See also:formule A=iAi+JA2+kAs (See also:bas) pour le produit scalaire de deux vecteurs quelconques nous avons ab = (iA, +JAs+kAs) (FBi - I JBZ+kBs) = A1BI+A:Bs+AsBs, le (I I) comme apparaît sur développer le produit et se servir de (9). En particulier, formant la See also:place scalaire de A nous avons A2 = Ai2+A22+AP, (12) où A dénote la valeur absolue de A. Encore, la règle pour des produits de vecteur, appliquée aux unités fondamentales, donne la répétition de A de l'opération p donne le vÒ = une See also:hache de +,57 o. (19) az ay = [ See also:Pl LP ] = oi de WI [ jk ] = [ ki1 = [ ik ] = J, WI = [ Ji ] = k. c (13) par conséquent [ ab ] _ [ (iAi+JAs+kAs) (iB, +JB2+kB) ] = i(A, BÁsB2) +J(A, le See also:Bi A, Bs)+k(AIB%A, Bi) = - [ BA ] (14) la correspondance avec les formules qui se produisent dans la théorie See also:analytique de rotations, &c., sera See also:manifeste. Si nous façonnons le produit scalaire d'un troisième vecteur C en [ ab ], nous obtenons C[ab ] = Bs, See also:Cl, Bs, C2.

Phoenix-squares

. . (15) comme, B, Cs en See also:

accord avec l'interprétation géométrique déjà donnée. Dans des sujets tels que l'See also:hydrodynamique et l'électricité nous sommes présentés à la notion des See also:champs de grandeur scalaire et de vecteur. Avec chaque point P de la région à l'étude il y a certaines grandeurs scalaires associées (le potentiel de densité, électrique ou magnétique par exemple) et force de vecteurs (par exemple vitesse liquide, électrique ou magnétique) qui sont considérés pendant que les fonctions de la position de P. See also:If nous traitent l'opérateur de partiel-différentiel *, a/ax, a/ay, a/az, où x, y, z sont coordonne de P, comme si elles étaient des quantités scalaires, nous sont menés à quelques expressions biseautées remarquables et de signifi. Ainsi si nous écrivons v = (riff ey+kaz), (16) et opérez une fonction scalaire 0, nous obtiennent le vecteur = l'iax~-See also:Jay+kaa.. (17) ceci s'appelle le gradient de 4, et est parfois dénoté par le "grad 4,"; sa direction est See also:celle dans laquelle 4, le plus rapidement augmentations, et son tude de magni est égal au See also:taux correspondant d'incre1ase. Ainsi (1$) dans la théorie d'attractions cette expression est interprété en tant que mesure du degré d'atténuation de la quantité 4 à P; si nous renversons le signe que nous obtenons la concentration, v24. Encore, si nous façonnons le produit scalaire de l'opérateur v en un vecteur A nous avons (un 1 aa, aA2 0As la Virginie = t +jay+kaz J (IAi-FIA2+kA3) = hache + --ay + az. . (20) si A représente la vitesse à un point quelconque (x, y, z) d'un fluide, la dernière expression mesure le taux auquel le fluide coule loin du voisinage de P. By une généralisation de cette idée, il s'appelle la divergence de A, et nous écrivons le vA=div A.. (21) le produit de vecteur [ VA ] a également une signification importante. Nous trouvons un a [ la Virginie ] = [ (ix+Jay+kaz) (iAI -- % d'Ai+kAs) _ ~ (aA3 aA2) (----) k aA2 --) hache ay d'az + de ~ z + hache a0AI y (22) si A représente comme avant la vitesse d'un fluide, le See also:bout de vecteur écrit représenterons la vitesse angulaire (doublée) d'un élément liquide.

Encore si A représente la force magnétique à un point quelconque d'un See also:

champ électromagnétique, le vecteur [ VA ] représentera le courant électrique. Dans le cas général ce s'appelle la See also:courbure, ou la rotation, de A, et nous écrivent [ la Virginie ] = la courbure A, ou se décomposent A.. . . (23) ces définitions nous permettent de donner une See also:forme compacte à deux théorèmes importants de C. F. See also:Gauss et See also:monsieur See also:G. G. Stokes. L'ancien de ces derniers peut être écrit la See also:division A de f. dV = fAndS. . . (24) où l'intégration sur la main See also:gauche inclut tout le dV d'volume-éléments d'une région donnée, et See also:cela du côté droit inclut tous les See also:surface-éléments dS de la frontière, n dénotant une normale encore à l'extérieur dessinée par vecteur d'unité au dS., les prises de Stokes de théorème la forme f ADS = courbure A de f.

ndS. . (25) où l'intégrale du côté droit prolonge la surface ouverte d'excédent, tandis que sur le ds gauche est un élément de la courbe de bondissement, traité comme vecteur. Une certaine See also:

convention est impliquée quant à la relation entre les directions positives de n et de ds. Il doit être observé que le terme "vecteur" ait été employé pour inclure deux classes distinctes des entités géométriques et physiques. La première See also:classe est caractérisée par un déplacement, ou une force mécanique. Un vecteur polaire, car il s'appelle, est une grandeur liée à une certaine direction linéaire. Ceci peut être indiqué par n'importe quel d'un assemblage entier des lignes parallèles, mais les deux "sent" appartenir à n'importe quel un des lignes sont distingués. Les membres de la deuxième classe, celui des vecteurs axiaux, ne sont pas principalement des vecteurs du tout. Un vecteur axial est exemplifié par un See also:couple dans le statics; c'est une grandeur liée à une découpe fermée se situant dans n'importe quelle d'un système des avions parallèles, mais les deux sens dans lesquels la découpe peut être décrite sont distingués. Elle s'est donc nommée par H. Grassmann un Plangrosse ou un Ebenengrosse. Juste comme un vecteur polaire peut être indiqué par une longueur, le respect étant payé à son sens, ainsi un vecteur axial peut être dénoté par un See also:certain See also:secteur, respect étant payé à la direction autour de la découpe. Une théorie de "Plangrossen" pourrait être développée partout sur les lignes indépendantes; mais puisque les See also:lois de la combinaison s'avèrent analogues à ceux de la perpendiculaire dessinée par vecteurs appropriés aux secteurs respectifs, il est commode pour que les buts mathématiques les incluent dans le même calcul avec des vecteurs polaires. Dans le cas des couples ce procédé a été See also:familier depuis la période de L.

Poinsot (18o4). Dans le traitement cartésien du sujet aucune distinction entre les vecteurs polaires et axiaux n'est nécessaire à condition que nous traitions les systèmes conformes de coordonnions des haches. Mais quand nous passons d'un droitier à un système gaucher les formules de la transformation sont différentes dans les deux cas. Un vecteur polaire (par exemple un déplacement) est renversé par le processus de la réflexion dans une normale de See also:

miroir à sa direction, tandis que le vecteur axial correspondant (e.Rp un couple) est inchangé. See also:Abraham dans See also:vol. iv. de l'Encycl. d. Maths . Wiss. (See also:Leipzig, 19o1-2); A. H. Bucherer, Vektor-Analyse d'Elemente d. (Leipzig, 1905). Pour un See also:compte d'autres systèmes d'analyse de vecteur voir le H.

Hankel, Theorie d. complexen Zahlensysteme (Leipzig, 1867); et A. N. Whitehead, algèbre universelle, vol. i. (See also:

Cambridge, 1898). (H.

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