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VERÄNDERUNGEN, KALKÜL

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V27, Seite 919 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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VERÄNDERUNGEN, KALKÜL See also:

der See also:Punkte wie (xo, yo) und (õ, 11o) wurden danach See also:con-jugatepunkte von Weierstrass benannt. Der See also:Beweis der der inch. CoaJutegral kann nicht ein Extremum sein, wenn der See also:Bogen See also:des Kurvente zwischen den örtlich festgelegten Endenpunkten ein Paar verbundene gapaints enthält. Punkte wurden zuerst von See also:G. See also:Erdmann (1878) veröffentlicht. Beispiele der verbundenen Punkte werden durch antipodal Punkte auf einem See also:Bereich, die verbundenen Foki der geometrischen See also:Optik, die kinetischen Foki der analytischen See also:Dynamik geleistet. Wenn die Terminalpunkte ein Paar verbundene Punkte See also:sind, ist das Integral nicht im allgemeinen ein Extremum; aber es gibt einen Sonderfall, von dem ein See also:passend gewählter Bogen des Äquators eines See also:oblate See also:Spheroid als Beispiel dienen kann. Im Problem dem catenoid ein Paar verbundene Punkte auf irgendwelchen der Kettenlinien, die die stationären Kurven des Problems sind, ist so, daß die Tangenten See also:zur See also:Kettenlinie an den zwei Punkten A und A ' auf der See also:Mittellinie der Umdrehung See also:treffen (fig. 2). Wenn beide Endenpunkte der angeforderten Kurve FIG. 2 verschieben. auf dem örtlich festgelegten Führen kurvt Co, Cl, eine stationäre Kurve See also:C und verbindet einen See also:Punkt AO von Coto ein Punkt KI von Cl, kann nicht ein Extremum erbringen, es sei denn es quer von Co an AO und von CI See also:am Al geschnitten wird.

Das en-velope der stationären Kurven, die von Co in Richtung zum Cl darlegen und werden quer von Co an den Punkten nahe AO, Treffen geschnitten, die C an einem Punkt; und der Umschlag der stationären Kurven, die von Co zu Cl fortfahren und werden quer von Cl an den Punkten nahe Al, Treffen C an einem Punktdi geschnitten. Die Kurve C, See also:

gezeichnet von AO zu Al, kann nicht ein Extremum erbringen, wenn tun Sie, oder See also:Di zwischen AO und Al liegt oder wenn Lügen zwischen KI und Di. Diese See also:Resultate liegen an G. A. See also:Bliss (1903). Ein einfaches Beispiel wird durch die kürzeste See also:Linie auf einem Bereich geleistet, der von einem kleinen Kreisfig. 3 gezeichnet wird. zu anderen. In fig. 3 ist dieser See also:Pfosten des kleinen Kreises AoBo, der zuerst auf den großen Kreisen auftritt, die senkrecht AoBo schneiden, und Fortfahren in Richtung zu AiBi; Di ist dieser Pfosten des kleinen Kreises A, b1, das zuerst auf den großen Kreisen auftritt, die senkrecht schneiden, und gezeichnet von den Punkten von AoBo in Richtung zu A, Bi. Der Bogen AoAi ist die angeforderte kürzeste Linie, und er ist von BoBI durch das oben genannte Kriterium bemerkenswert. See also:Einleitung Jacobis der verbundenen Punkte ist eine der Mikroben, denen die moderne Theorie der Variationsrechnung entsprungen ist.

Andere ist eine See also:

Anmerkung, die von See also:Legendre (1786) gebildet wird hinsichtlich der Lösung des Problems des Newtons dem Quellkörper wenigen Widerstandes. Dieses Problem erfordert, daß a Kurve wird gefunden otWeien, für die die integralen Theorie des fYY"(I +y")1dy der strasss. wenn ein Minimum seien Sie. Die stationären Kurven werden durch das Gleichungsyy', (1+y'2)_'=eonst., ein Resultat gegeben, das mit Lösung des Newtons des Problems See also:gleichwertig ist; aber Legendre beobachtete, daß, wenn das Integral entlang einem defekten Une genommen wird, bestehend aus zwei geraden Geraden, die zur Mittellinie von x in den gegenüberliegenden Richtungen gleichmäßig geneigt sind, das Integral so See also:klein gebildet werden kann wie wir bitte, indem man genug den See also:Winkel der Neigung vermindert. Anmerkung Legendres beträgt das Zulassen einer Veränderung der Kurve des Newtons, die nicht eine schwache Veränderung ist. Veränderungen, die nicht schwach sind, sind so, daß, während die Punkte einer Kurve aber etwas verlegt sind, die Tangenten große Änderungen der Richtung durchmachen. Sie werden als starke Veränderungen unterschieden. Eine allgemeine Theorie der starken Veränderungen in See also:Zusammenhang mit dem ersten Problem und der Bedingungen, die genügend zu See also:sichern sind, daß das Integral, das entlang einer stationären Kurve genommen wird, ein Extremum sein kann, wurde von Weierstrass in den Vorträgen gegeben. Er lieferte Kurse von Vorträgen auf der Variationsrechnung in einigen Jahren zwischen 1865 und 1889, und seine Hauptentdeckungen im Thema scheinen, im Kurs für 1879 umfaßt worden zu sein. Durch diese Vorträge wurde seine Theorie zu einigen Kursteilnehmern und zu Lehrern in See also:Europa und in See also:Amerika bekannt, und es hat erschienene einige See also:Abhandlung * und die See also:Abhandlungen, die der See also:Ausstellung seiner Ideen gewidmet werden gegeben. Im ersten Problem bekannt die folgenden Bedingungen, um für ein Extremum notwendig zu sein. I.

Phoenix-squares

Der Weg der Integration muß eine stationäre Kurve sein. II. Der Ausdruck 02F/ay "oder der Ausdruck bezeichnet durch FI in der Anwendung des parametrischen sacesmethod, Änderungszeichen des Muß nicht an irgendeinem Punkt dieser Kurve ditioas. zwischen den Endenpunkten. III. Der Bogen der Kurve zwischen den Endenpunkten darf nicht ein Paar verbundene Punkte enthalten. Alle diese Resultate werden erreicht, indem man schwache Veränderungen verwendet. Zusätzlich (cos'(x, See also:

V) a-ar Handelsau'ds' +) [ See also:z-cos(x, See also:s)cos(y, V) ein cos(x, ]wds v)-:7c (af) '. Wenn wir die erste See also:Bezeichnung innerhalb der eckigen See also:Klammern bilden, verwenden wir dann die Relationen,See also:as Cos(x, V) _ --, cos(y, V), S, das, V) = p-' cos(x, V) cos(y ist, als a = cosy, v)ax ein -+cos(x, v)a-ar, wo p ' den See also:Radius der Biegung der Kurve s ' bezeichnet. Die Notwendigkeit des Freigebens der Variationsrechnung von der Abhängigkeit nach dem Begriff der unendlich kleinen Quantitäten wurde von See also:Lagrange verwirklicht, und der Prozeß der Verschrottung solcher Quantitäten wurde teilweise von ihm in seinen DES-Funktionsanalytiques Theorie (1797) durchgeführt. In Übereinstimmung mit der See also:Deutung der Differentiale, die er dadurch bildete, daß Abhandlung, er die Veränderung eines Integrals deutete, wie mittels seines Symbols S, wie die erste Bezeichnung oder die Summe der Bezeichnungen des ersten Auftrages, in der Entwicklung in der See also:Reihe des kompletten Ausdruckes für die Änderung ausgedrückt, die im Wert des Integrals vorgenommen wird, wenn kleine begrenzte Änderungen in den Variablen vorgenommen werden. Die Quantität, die betrachtet worden war, während die Veränderung des Integrals kam, als die erste zweite Veränderung angesehen zu werden und die Unterscheidung zwischen Maxima und Veränderungsminimum kamen, als das Erfordern der See also:Untersuchung der zweiten Veränderung angesehen zu werden. Der erste See also:Schritt in dieser Theorie war von A. See also:M.

Legendre 1786 unternommen worden. Im See also:

Fall von einem Integral der See also:Form See also:f ' F(x, definierte y, y')dx Legendre die zweite Veränderung als das integrale Cx, xo sy20Y)'+2sy - i6yay~+sy, t a2F a2F a2F dx 2(Sy)2. diesem Ausdruck fügte er die Bezeichnung hinzu [ 1a(by)2t, das identisch verschwindet, weil Sy am x=xo und am x=xi verschwindet. Er nahm a, um das da a2F 2 ay.2 aye+dx zu erfüllen der Gleichung a2F 1a2F) = ayay +a) und wandelte folglich den Ausdruck für die zweite Veränderung zum fx, zu a2F xoay2(5Y ' +may) 2dx um, wo a2F a2F m, ein yayay von dieser Untersuchung Legendre einen neuen See also:Zustand für das Bestehen eines Extremums ableitete. Es ist notwendig, nicht nur das, welches das See also:varia-tion verschwinden sollte, aber auch das- die zweite Veränderung Le sollte ein-unterzeichnet werden. Im Fall vom ersten ccoond des Problemnnot See also:h hat tion. dasselbe gn i ds an den aallpunkten des Status-Einstoffcu See also:e zwischen den Endenpunkten, und das das Zeichen muß +for ein Minimum und für ein Maximum sein. In der Anwendung der perametric Methode findet die Funktion, die durch FI bezeichnet worden ist, von a2F/ay'2 statt. Die See also:Umwandlung der zweiten Veränderungen von Integralen der verschiedenen Arten in Formen, in denen ihre Zeichen durch Kontrolle festgestellt werden können, wurde nachher eins der führenden Probleme der Variationsrechnung. Dieses Resultat kam ungefähr hauptsächlich durch das publica-Jacobl, tion 1837 einer Abhandlung durch C. G. See also:J. See also:Jacobi.

Er Transport bildete Gleichung Legendres für die Hilfsfunktion a in eine lineare Differentialgleichung des zweiten Auftrages durch das ay y +a ay 2 See also:

W des __ _ a2F I des Ersatzes a2F dx des See also:dw und er unterstrich, daß Umwandlung Legendres der zweiten Veränderung nicht bewirkt werden kann, wenn die Funktion W zwischen den Begrenzungen auf Integration verschwindet. Er unterstrich See also:weiter, das, wenn die stationären Kurven des Integrals durch eine Gleichung der Form y=4(x, a, B), wo a, b willkürliche Konstanten sind, das komplette Primitive der Gleichung für W ist von der Form W = Aa-+See also:Bad als AB ' gegeben werden, wo A, B neue willkürliche Konstanten sind. Jacobi gab diese Angelegenheiten ohne Beweis und den Beweis von ihnen an, und die Verlängerung der Resultate zu den allgemeineren Problemen, wurde der See also:Gegenstand der zahlreichen Untersuchungen. Diese Untersuchungen waren, in den meisten Fällen und für eine See also:lange See also:Zeit, fast ausschließlich besetzt mit analytischen Entwicklungen; und die geometrische Deutung, die Jacobi gegeben hatte und die er danach in seiner Faser Dynamik Vorlesungen hervorhob, wurde bis ziemlich neue Zeiten vernachlässigt. Entsprechend dieser Deutung haben die stationären Kurven, die von einem Punkt (xo, yo) abfahren einen Umschlag; und das Integral von F, genommen entlang solch einer Kurve, kann nicht ein Extremum sein, wenn liegt der Punkt (io, kein) wo die Kurve den Umschlag berührt, auf dem Bogen zwischen den Endenpunkten. Paßt Resultate, in bezug auf starkes sowie schwache Veränderungen, werden erreicht durch eine Methode zusammen, die Erlaubnis des Ausdruckes der Veränderung eines Integrals als Linienintegral genommen entlang der mannigfaltigen Kurve. See also:Lassen Sie A, ist B die Endenpunkte und ließ die stationäre Kurve AB gezeichnet werden. Wenn See also:d See also:Ende Punkt a, b sein nicht ein Paar von verbunden Punkt, und wenn d Punkt Paronym zu a nicht liegen auf d Bogen AB, dann wir können See also:finden ein Punkt a ', auf d rückwärtig Fortsetzung von d stationär Kurve BA über a, so nahe zu a das d Punkt Paronym zu a ' liegen auf d Vorwärts- Fortsetzung von d Bogen AB über B. Dies sein d Schachtel, es sein möglich zu abgrenzen ein Bereich von begrenzt See also:Breite, damit d Bogen AB von d stationär Kurve verbinden a, b liegen gesamt innerhalb d Bereich, und halten kein zwei stationär Kurve zeichnen durch a ' schneiden innerhalb otsta- der Bereich. Durch irgendeinen Punkt solch eines Bereichs ist es möglich, ein und nur eins, stationäre Kurve zu zeichnen, die Kurven durch A ' führt. Diese See also:Familie der stationären Kurven wird zum con-stitute ein See also:Feld der stationären Kurven über die Kurve AB gesagt. Wir nehmen an, daß solch ein Feld besteht und daß die mannigfaltige Kurve AQPB völlig innerhalb des abgegrenzten Bereichs liegt. Die Veränderung des integralen f F(x, y, y')dx ist mit dem Linienintegral von F genommen ringsum eine Form identisch, die aus der mannigfaltigen Kurve AQPB und der stationären Kurve AB, in der Richtung AQPBA besteht.

Das Linienintegral kann, wie üblich, durch die Summe der Linienintegrale ersetzt zu werden, die ringsum eine Reihe Zellen, externen See also:

Grenzen des Satzes der Zellen genommen werden, die mit dem Q identisch sind P, das Form gegeben wird, und internen Grenzen der jacent Zellen der See also:Anzeige-B, die zweimal in gegenüberliegende Richtungen überquert werden. Wir können ein verwendbares wählen lassen Q, ist P Punkte auf der mannigfaltigen Kurve, und lassen Sie A'Q, A'P ist die stationären Kurven des Feldes, die durch Q überschreiten, P.

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