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BUCH I

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V11, Seite 679 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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ELEMEN TE BUCHI. OF EUCLIDS ".", § 6. Entsprechend dem dritten Postulat ist es möglich, in jede mögliche Fläche einen Kreis, See also:

der seine Mitte an irgendeinem gegebenen See also:Punkt hat, und seinen See also:Radius zu zeichnen, der dem See also:Abstand dieses Punktes von irgendeinem anderen Punkt gleich ist, der in der Fläche gegeben wird. Dieses ermöglicht es (die Stütze I) zum Konstruieren auf einer gegebenen See also:Linie AB eines equilateral Dreiecks, durch einen Kreis mit A als Mitte und AB zuerst zeichnen als Radius und dann ein, Kreis mit B als Mitte und BA als Radius. Der Punkt, wo intersectthat dieser Kreise sie assumesis See also:Euclid ruhig der See also:Gipfel See also:des angeforderten Dreiecks schneiden. Euclid nimmt nicht jedoch an daß ein Kreis See also:gezeichnet werden kann, der seinen Radius hat, der dem Abstand zwischen See also:allen möglichen zwei Punkten gleich ist, es sei denn einer der See also:Punkte die Mitte ist. Dieses deutet auch, daß wir in der LageSEIN sollen, keine gerade Geraden gleich zu bilden irgendeiner anderen geraden Geraden, oder einen Abstand ungefähr im See also:Raum zu tragen an. Euclid folglich löst zunächst das Problem: Es wird entlang einer gegebenen geraden Geraden von einem Punkt in ihm angefordert, um weg von einem Abstand einzustellen, der der Länge einer anderen geraden Geraden gleich ist, die überall in der Fläche gegeben wird. Dieses wird in zwei Schritten getan. Es wird in der Stütze gezeigt. 2 wie eine gerade Gerade von einem gegebenen Punkt gezeichnet werden kann, der in der Länge zu einer anderen gegebenen geraden Geraden gleich ist, die nicht von diesem Punkt gezeichnet wird. Und dann wird das Problem selbst in der Stütze gelöst. 3, durch durch den gegebenen Punkt irgendeine gerade Geraden der angeforderten Länge zuerst zeichnen und dann ungefähr gleicher, Punkt als Mitte ein Kreis, der diese Länge als Radius hat.

Dieser Kreis schneidet von der gegebenen geraden Geraden eine Länge ab, die bis angeforderte gleich ist. Heutzutage anstatt, diesen See also:

langen Prozeß durchzulaufen, nehmen wir ein Paar Kompassse und stellen weg von der gegebenen Länge durch sein Hilfsmittel ein. Dieses nimmt an, daß wir eine Länge ungefähr verschieben können, ohne sie zu ändern. Aber Euclid hat es nicht angenommen, und dieses See also:Verfahren würde völlig durch seinen Wunsch, nicht für zu nehmen bewilligte mehr gerechtfertigt, als notwendig, wenn er nicht an seinem sehr folgenden See also:Schritt wirklich, verbunden wurde diese See also:Annahme zu bilden war, zwar, ohne sie anzugeben. § 7. Wir kommen jetzt (in der Stütze. 4) zum ersten Theorem. Es ist das grundlegende Theorem von Euclids vollständigem See also:System und dort nur ist sehr wenige Angelegenheiten (wie Stützen. 13, 14, 15, I.), ausgenommen die im See also:5. See also:Buch und die erste Hälfte von den 11., die nicht nach ihr abhängen. Es wird sehr genau angegeben, obwohl ein wenig unbeholfen, wie folgt: Wenn zwei Dreiecke zwei Seiten des eines Gleichgestellten bis zwei Seiten vom anderen, jede zu jedem haben und auch die See also:Winkel haben, die durch jene Seiten enthalten werden, die bis eine andere gleich See also:sind, haben sie auch ihre See also:gleichen Unterseiten oder dritten Seiten; und die zwei Dreiecke sind gleich; und ihre anderen Winkel sind Gleichgestelltes, jedes zu jedem nämlich zu denen die die gleichen Seiten gegenüber von sind. Das heißt, sind die Dreiecke "identisch" Gleichgestelltes, und man kann eine Kopie vom anderen gehalten werden. Der See also:Beweis ist sehr See also:einfach. Das erste See also:Dreieck wurde auf die Sekunde, damit die Teile der Dreiecke aufgenommen und gesetzt, die bekannt, um gleicher See also:Fall nach einander zu sein.

Es wird dann leicht gesehen, daß auch die restlichen Teile von einem mit denen vom anderen übereinstimmen und daß sie folglich gleich sind. Dieser Prozeß des Anwendens von einer See also:

Abbildung an einem anderen Euclid verwendet kaum wieder, obwohl viele Beweise vereinfacht würden, indem man so See also:tat. Der Prozeß stellt See also:Bewegung in See also:Geometrie vor und umfaßt, wie bereits angegeben, das See also:Axiom, daß Abbildungen ohne Änderung der See also:Form oder der Größe verschoben werden können. Wenn die letzte See also:Angelegenheit an einem isosceles Dreieck angewendet wird, das zwei gleiche Seiten hat, erreichen wir das Theorem (Stütze 5), wenn zwei Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann die Winkel gegenüber von diesen Seiten sind gleich. Beweis Euclids ist ein wenig schwierig, und stolpern-blockieren Sie zu vielen Schoolboys. Der Beweis wird viel einfacher, wenn wir das isosceles Dreieck-See also:ABC (AB = Wechselstrom) zweimal rüber, einmal als Dreieck BAC und einmal als DreieckcFahrerhaus betrachten; und erinnern Sie jetzt daran, daß AB, Wechselstrom im ersten gleiches beziehungsweise to.AC, AB in der Sekunde sind und die Winkel, die durch diese Seiten umfaßt werden, gleich sind. Folglich sind die Dreiecke gleich, und die Winkel in dem sind denen im anderen, nämlich denen gleich, die gegenüber von gleichen Seiten sind, See also:d.See also:h. versieht Winkel-ABC im ersten Gleichgestelltwinkel ACB in der Sekunde, während sie sind, gegenüber von dem Gleichgestellten Wechselstrom und AB in den zwei Dreiecken mit Seiten. Folgt dem gegenteiligen Theorem (Stütze 6). Wenn zwei Winkel innen, ein Dreieck gleich sind, dann sind die Seiten gegenüber von ihnen gleich, d.h. ist das Dreieck isosceles. Der gegebene Beweis besteht in, was ein ' reductioanzeigenabsurdum genannt wird, eine See also:Art Beweis häufig verwendet von Euclid und hauptsächlich, in der Prüfung des Gegenteils eines vorhergehenden Theorems. Er nimmt, daß das nachzuweisende Theorem falsch ist, und dann Erscheinen an, daß diese Annahme zu eine Absurdität führt, d.h. zu einer See also:Zusammenfassung welches im See also:Widerspruch zu einer Angelegenheit prüfte ist, daß beforethat folglich die Annahme, die gebildet wird, nicht zutreffend sein kann und folglich, daß das Theorem zutreffend ist. Es wird häufig angegeben, daß Euclid diese Art des Beweises erfand, aber die Methode ist wahrscheinlichstes viel älteres.

§ 8. Es wird zunächst nachgewiesen, daß zwei Dreiecke welche die drei Seiten des eines Gleichgestellten beziehungsweise zu denen vom anderen haben, identisch gleich sind, folglich, das die Winkel von dem beziehungsweise denen vom anderen gleich sind, die, die Gleichgestelltes sind, welche gegenüber von gleichen Seiten sind. Dieses ist Stütze. 8, Stütze. 7 nur einen ersten Schritt in Richtung zu seinem Beweis enthalten. Diese Theoreme See also:

lassen jetzt von der Lösung einer Anzahl von Problemen, nämlich: Einen gegebenen Winkel (Stütze 9) halbieren. Eine gegebene begrenzte gerade Geraden (Prop. Io) halbieren. Eine gerade Geraden zu einer gegebenen geraden Geraden durch einen gegebenen Punkt in ihm senkrecht zeichnen (Stütze II) und auch durch einen gegebenen Punkt nicht in ihm (Stütze 12). Alle Lösungen hängen nach Eigenschaften der isosceles Dreiecke ab. § 9. Die folgenden drei Theoreme beziehen auf nur Winkeln und konnten vor Stütze nachgewiesen worden sein. 4 oder sogar an sehr anfangen. Das erste (Stütze 13) sagt, die Winkel, die die Marken mit einen geraden Geraden mit einer anderen geraden Geraden auf einer See also:Seite von ihr entweder zwei rechte Winkel sind oder sind, entspricht zusammen zu zwei rechten Winkeln.

Dieses Theorem würde nicht notwendig gewesen sein, wenn Euclid den Begriff eines Winkels so zugelassen hatte, daß seine zwei Begrenzungen in der gleichen geraden Geraden sind und außer definierten die Summe von zwei Winkeln hatten. Sein Gegenteil (Stütze 14) ist vom großen Gebrauch, insofern als es uns in vielen Fällen ermöglicht, zu prüfen, daß zwei gerade Geraden, die vom gleichen Punkt gezeichnet werden, einer die Fortsetzung vom anderen sind. Ist so auch Stütze. 15. Wenn zwei gerade Geraden ein anders schneiden, sind die vertikalen oder gegenüberliegenden Winkel gleich. § 10. Euclid geht jetzt zu den Eigenschaften der Dreiecke zurück. Vom großen Wert für die folgenden Schritte (zwar danach ersetzt durch ein kompletteres Theorem) ist Stütze. 16. Wenn eine Seite eines Dreiecks produziert wird, ist der Außenwinkel grösser als irgendein vom Innen gegenüber von Winkeln. Stütze. 17, Alle mögliche zwei Winkel eines Dreiecks sind zusammen kleiner, als zwei rechte Winkel, eine sofortige Konsequenz von ihr ist. Durch das Hilfsmittel von diesen zwei, werden die folgenden grundlegenden Eigenschaften der Dreiecke leicht nachgewiesen: Stütze. 18, Die grössere Seite jedes Dreiecks hat den grösseren Winkel gegenüber ihr; Sein Gegenteil, Stütze. 19. Der grössere Winkel jedes Dreiecks wird durch die grössere Seite Vor-geneigt oder die grössere Seite gegenüber ihm hat; Stütze. 20, Alle mögliche zwei Seiten eines Dreiecks sind zusammen grösser als die dritte Seite; Und Prop auch. 21. Wenn von den Enden der Seite eines Dreiecks zwei geraden Geraden zu einem Punkt innerhalb des Dreiecks gezeichnet werden, sind diese kleiner als die anderen zwei Seiten des Dreiecks, aber enthalten einen grösseren Winkel.

§ I See also:

r. zwei Probleme (Stützen 22, 23) lösend, kommt er zu zwei Dreiecken zurück, die zwei Seiten des eines Gleichgestellten beziehungsweise zu zwei Seiten vom anderen haben. Es bekannt (Stütze 4), daß, wenn die enthaltenen Winkel dann gleich sind, die dritten Seiten gleich sind; und andererseits (Stütze 8), wenn die dritten Seiten gleich sind, dann die Winkel, die durch die ersten Seiten umfaßt werden, sind gleich. Von diesem folgt es, daß, wenn die enthaltenen Winkel nicht gleich sind, die dritten Seiten nicht gleich sind; und andererseits, sind das, wenn die dritten Seiten nicht gleich sind, die enthaltenen Winkel nicht gleich. Euclid führt jetzt dieses Wissen durch, indem er, der ", wenn die enthaltenen Winkel nicht gleich sind, dann die dritte Seite dadurch prüft, daß Dreieck das grössere ist, welches den grösseren Winkel enthält "; und andererseits, enthält das ", wenn die dritten Seiten ungleich sind, dieses Dreieck den grösseren Winkel, der enthält die grössere Seite.", Diese sind Stütze. 24 und Stütze. 25. § 12. Das folgende Theorem (Stütze 26) sagt daß, wenn zwei Dreiecke eine Seite und zwei Winkel des eines Gleichgestellten beziehungsweise zu einer Seite und zwei Winkel von der anderen haben, nämlich in beiden Dreiecken entweder die Winkel neben der gleichen Seite oder einem Winkel, der angrenzend sind und einem Winkel gegenüber von es, dann den zwei Dreiecken sind identisch gleich. Dieses Theorem gehört einer See also:Gruppe mit Stütze. 4 und Stütze. 8. Sein erster Fall konnte sofort nach Stütze gegeben worden sein. 4, aber der zweite Fall erfordert Stütze. 16 für seinen Beweis. § 13. Wir kommen jetzt See also:zur See also:Untersuchung der parallelen geraden Geraden, d.h. der geraden Geraden, die in der gleichen Fläche liegen und nicht gebildet werden, um weit sie jedoch zu See also:treffen wird produziert kann jeder Weise. Die Untersuchung, die von der Stütze abfährt.

16, werden freier, wenn einige Namen erklärt werden, alle die nicht sind, die von Euclid verwendet werden. Wenn zwei gerade Geraden durch einen Third geschnitten werden, wird der letzte jetzt im Allgemeinen ein "transversales" der Abbildung genannt. Er bildet sich an den zwei Punkten, in denen er die gegebenen Linien vier Winkel mit jedem schneidet. Die der Winkel, die zwischen den gegebenen Linien werden benannt Innenwinkel und von diesen wieder irgendwelche zwei liegen, die auf gegenüberliegenden Seiten vom transversalen liegen, aber eine an jedem der zwei Punkte werden genannt "wechselnde Winkel.", Wir können Stütze jetzt angeben. 16 thus:If, die zwei gerade Geraden, die treffen, durch ein transversales geschnitten werden, ihre wechselnden Winkel, sind ungleich. Für die Linien bildet ein Dreieck, und einer der wechselnden Winkel ist ein Außenwinkel zum Dreieck, das andere Innere und gegenüber ihm. Von diesem folgt sofort dem Theorem, das in der Stütze enthalten wird. 27. Wenn zwei gerade Geraden, die durch ein transversales geschnitten werden, wechselnde Winkel gleich bilden, können die Linien nicht treffen, gleichwohl weit sie produziert werden, folglich sind sie parallel. Dieses prüft das Bestehen der parallelen Linien. Stütze. 28 Zustände die gleiche Tatsache in den unterschiedlichen Formen. Wenn eine gerade Gerade, fallend auf zwei andere gerade Geraden, den Außenwinkel gleich dem Innen- und gegenüberliegenden Winkel auf der gleichen Seite der Linie bilden, oder EUKLIDISCH ] die Innenwinkel auf der gleichen ' Seite bilden zusammen, die zwei rechten Winkeln gleich ist, sind die zwei geraden Geraden bis eine andere parallel.

Folglich wissen wir daß, ", wenn zwei gerade Geraden, die durch ein transversales Treffen geschnitten werden, ihre wechselnden Winkel nicht gleich sind "; und folglich sind das, ", wenn wechselnde Winkel gleich sind, dann die Linien parallel.", Die Frage jetzt, ist entsteht das Angelegenheitsgegenteil zu diesen zutreffenden oder nicht? Das heißt, ", wenn wechselnde Winkel ungleich sind, tun Sie die Linien treffen?", Und ", wenn die Linien parallel sind, sind die wechselnden gleichen Winkel notwendigerweise?", Die See also:

Antwort zu irgendeiner dieser zwei Fragen deutet die Antwort zur anderen an. Aber es ist unmöglich, zu prüfen gefunden worden, daß die Verneinung oder die Bestätigung von irgendeinem zutreffend ist. Die Schwierigkeit, die folglich entsteht, wird von Euclid überwunden, der annimmt, daß die erste Frage im bestätigenden beantwortet werden muß. Dieses gibt sein letztes Axiom (12), das wir in seinen eigenen Wörtern veranschlagen. Axiom 12.-If gerade Geraden eines der geraden Geraden Treffens zwei, um das on mit zwei Innenwinkeln die ' gleiche Seite von ihr zu bilden zusammen sind genommen weniger als zwei rechte Winkel, diese geraden Geraden, fortwährend produzierend, ausführlich auf dieser Seite treffen, auf der die Winkel sind, die kleiner als zwei rechte Winkel sind. Die Antwort zur Sekunde der oben genannten Fragen folgt von diesem und gibt die Theoremstütze. 29:If ein Fall der geraden Geraden auf zwei parallele gerade Geraden, bildet sie die wechselnden Winkel gleich bis einen anderen und den Außenwinkel, der dem Innen- und gegenüberliegenden Winkel auf der gleichen Seite und auch den zwei Innenwinkeln auf der gleichen Seite gleich ist zusammen, die zwei rechten Winkeln gleich ist. § 14. Mit diesem ein neues See also:Teil grundlegende Geometrie fängt an. Die früheren Angelegenheiten sind von diesem Axiom unabhängig, und würden zutreffend sein, selbst wenn ein Unrecht, Annahme in ihm gebildet worden war. Alle sie beziehen auf Abbildungen in einer Fläche. Aber eine Fläche ist nur ein-unter einer endlosen Anzahl von denkbaren Oberflächen. Wir können Abbildungen auf irgendeinem von ihnen zeichnen und ihre Eigenschaften studieren.

Wir können einen See also:

Bereich, der Fläche zum Beispiel anstatt nehmen, und "kugelförmiges" anstatt "der flachen" Geometrie erreichen. Wenn auf einer dieser Oberflächen zeichnet und Abbildungen gezeichnet werden konnten, ist das Antworten auf alle See also:Definitionen unserer flachen Abbildungen und wenn alle Axiome mit Ausnahme von dem Letzten halten, dann aller Angelegenheiten bis zur 28. für diese Abbildungen zutreffend. Dieses ist der Fall in der kugelförmigen Geometrie, wenn wir "kürzeste Linie" oder "großen Kreis" für "gerade Geraden ersetzen," "kleiner Kreis" für "Kreis," und wenn außerdem wir alle Abbildungen auf ein Teil des Bereichs begrenzen, der kleiner als eine Hemisphäre ist, damit zwei Punkte auf ihr nicht gegenüber von Enden eines Durchmessers sein können, und folglich immer einen und nur einen großen Kreis feststellt. Für kugelförmige Dreiecke folglich alle wichtigen Angelegenheiten 4, 8, 26; 5 und 6; und i8, 19 und 20 halten gut. Diese See also:Anmerkung ist genügend, die Unmöglichkeit der Prüfung Euclids von letztem Axiom zu zeigen, das die Prüfung bedeuten würde, daß dieses Axiom eine Konsequenz von den anderen und folglich ist, von denen die Theorie von Ähnlichkeiten auf einer kugelförmigen Oberfläche halten würde, in der die anderen Axiome halten, während Ähnlichkeiten nicht sogar bestehen. Sie folgt, daß das axjqm in der Frage einen zugehörigen Unterschied zwischen der Fläche und anderer, Oberflächen angibt und daß die Fläche nur völlig gekennzeichnet wird, wenn dieses Axiom dem anderen tonXs§ 15 des assump- I hinzugefügt wird. D See also:Einleitung von, das d See also:neu Axiom und von parallel Linie führen zu ein neu Kategorie von Angelegenheit. Nach der Prüfung (Stütze 30) daß "zwei Linien welche jedes Ähnlichkeit zu einem Third sind, zueinander parallel sind,", erreichen wir die neuen Eigenschaften der Dreiecke, die in der Stütze enthalten werden. 32. Von diesen ist das zweite Teil das wichtigste, nämlich sind das Theorem, die drei Innenwinkel jedes Dreiecks zusammen gleich zwei rechten Winkeln. Als einfache Abzüge, die nicht gegeben werden, von Euclid aber von See also:Simson hinzugefügt sind, folgen Sie den Angelegenheiten über die Winkel in den Polygonen; sie werden in den englischen See also:Ausgaben als logische Folgen zur Stütze gegeben. 32.

Diese Theoreme halten nicht für kugelförmige Abbildungen. Die Summe der Innenwinkel eines kugelförmigen Dreiecks ist immer grösser als zwei rechte Winkel und erhöht sich mit dem Bereich. § 16. Die Theorie von Ähnlichkeiten als solchen kann gesagt werden, Stützen beendet zu werden. 33 und J4, die Eigenschaften des Parallelogrammes angeben, d.h. eines Vierecks bildeten sich durch zwei Paare Ähnlichkeiten. Sie sind Stütze. 33, die geraden Geraden, die die Extremitäten von zwei gleich und von parallelen geraden Geraden in Richtung zu den gleichen Teilen verbinden, sind selbst Gleichgestelltes und Ähnlichkeit; und Stütze. 34. Die Entgegengesetztseiten und die Winkel eines Parallelogrammes sind, eins anders gleich, und der See also:

Durchmesser (See also:diagonal) halbiert das Parallelogramm d.h. teilt es in zwei gleiche Teile. § 17. Der See also:Rest des ersten Buches bezieht auf Bereichen der Abbildungen. Die Theorie wird gebildet, um nach der Theoremstütze abzuhängen. 35. Parallelogramme auf der gleichen See also:Unterseite und zwischen den gleichen Ähnlichkeiten sind bis eins anders gleich; und Stütze. 6.

Parallelogramme auf gleichen Unterseiten und zwischen den gleichen Ähnlichkeiten sind bis eins anders gleich. Während jedes Parallelogramm durch eine Diagonale halbiert wird, halten die letzten Theoreme auch, wenn das Wort-Parallelogramm durch "Dreieck ersetzt wird,", wie in den Stützen getan wird. 37 und 38. Es soll erwähnt werden, daß Euclid diese Angelegenheiten nur im Fall prüft, wenn die Parallelogramme oder die Dreiecke ihre Unterseiten in der gleichen geraden Geraden haben. Die Theoreme unterhalten sich zur letzten Form der Inhalt der folgenden drei Angelegenheiten, nämlich: Stützen, 40 und î.Equal Dreiecke, on679 gleiche oder auf gleichen Unterseiten, in der gleichen geraden Geraden und auf der gleichen Seite von ihr, sind zwischen den gleichen Ähnlichkeiten. Daß die zwei Fälle, die hier angegeben werden, von Euclid in zwei verschiedenen Angelegenheiten gegeben werden, die separat nachgewiesen werden, ist von seiner Methode charakteristisch. §.18. um See also:

Bereiche anderer Abbildungen zu vergleichen, zeigt Euclid zuerst, in der Stütze. 42, wie man ein Parallelogramm, das im Bereich einem gegebenen Dreieck gleich ist und hat einen seiner Winkel zeichnet, die, einem gegebenen Winkel gleich sind. Wenn der gegebene Winkel recht ist, dann wird das Problem gelöst, um ein "See also:Viereck" zu zeichnen, das im Bereich einem gegebenen Dreieck gleich ist. Folgendes dieses Parallelogramm wird in ein anderes Parallelogramm umgewandelt, das eine seiner Seiten hat, die einer gegebenen geraden Geraden gleich sind, während seine Winkel unverändert bleiben. Dieses kann durch Hilfsmittel des Theorems in der Stütze getan werden. 43.

Die Ergänzungen der Parallelogramme, die über den Durchmesser jedes möglichen Parallelogrammes sind, sind bis eine andere gleich. So wird das Problem (Stütze 44) gelöst, um ein Parallelogramm auf einer gegebenen Linie zu konstruieren, die im Bereich einem gegebenen Dreieck gleich ist und die einen Winkel hat, der einem gegebenen Winkel gleich ist (im Allgemeinen ein rechter Winkel). Während jeder See also:

Polygon in eine Anzahl von Dreiecken geteilt werden kann, können wir ein Parallelogramm jetzt konstruieren, das einen gegebenen Winkel hat, sagen einen rechten Winkel, und Sein gleich im Bereich zu einem gegebenen Polygon. Für jedes der Dreiecke, in die der Polygon geteilt worden ist, kann ein Parallelogramm konstruiert werden und eine Seite haben, die einer gegebenen geraden Geraden und einem Winkel gleich sind einem gegebenen Winkel gleich ist. Wenn diese Parallelogramme nebeneinander gesetzt werden, können sie zusammen addiert werden, um ein einzelnes Parallelogramm zu bilden und eine Seite der gegebenen Länge noch haben. Dieses wird in der Stütze getan. 43. Hiermit wird Mittel, Bereiche der unterschiedlichen Polygone zu vergleichen gefunden. Wir müssen nur zwei Vierecke konstruieren, die im Bereich den gegebenen Polygonen und Haben jeder einer Seite der gegebenen Länge gleich sind. Indem man die ungleichen Seiten vergleicht, werden wir ermöglicht, zu urteilen, ob die Bereiche gleich sind, oder das das grössere ist. Euclid gibt nicht thisconsequence an, aber das Problem wurde wieder See also:am See also:Ende des zweiten Buches aufgenommen, in dem es gezeigt wird, wie man ein Quadrat konstruiert, das, im Bereich einem gegebenen Polygon gleich ist. Stütze. 46 ist: Ein Quadrat auf einer gegebenen geraden Geraden beschreiben.

§19. Das erste Buch folgert mit einem der wichtigsten Theoreme im Ganzen von Geometrie und einem, das seit den frühesten Zeiten gefeiert worden ist. Es wird, aber auf zweifelhafter Berechtigung angegeben, daß Pythagoras sie entdeckte, und es ist durch seinen Namen benannt worden. Wenn wir diese Seite in einem recht-winkligen Dreieck benennen, das gegenüber von dem rechten Winkel die Hypothenuse ist, können wir sie angeben, wie folgt: Theorem von See also:

Pythagoras (Stütze 47).In jedes recht-winklige Dreieck das Quadrat auf der Hypothenuse ist der Summe der Quadrate der anderen Seiten gleich. Und Prop andererseits. 48, wenn das Quadrat, das auf einer der Seiten eines Dreiecks beschrieben wird, den Quadraten gleich ist, die auf den anderen Seiten beschrieben werden, dann der Winkel, der durch diese zwei Seiten enthalten wird, ist ein rechter Winkel.

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