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BUCH II
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See also:BUCH II . § 20. Die Angelegenheiten im zweiten Buch See also:sind im Buchstaben zu denen in See also:der ersten sehr unterschiedlich; alle sie beziehen auf Bereichen von Vierecken und von Quadraten. Ihre zutreffende Bedeutung ist gesehen bestes, indem sie sie in einer algebraischen See also: Wir definieren, wie folgt: Die Summe von zwei geraden Geraden a und b bedeutet, daß eine gerade Gerade c, die in zwei Teile geteilt werden kann, die beziehungsweise a und b., diese Summe gleich sind, durch a+b bezeichnet wird. Der Unterschied von zwei Linien a und b (in den Symbolen, AB) bedeutet eine See also:Linie c die, wenn er b hinzugefügt wird, gibt a; das heißt, a-b=c wenn b+c=a. Das Produkt von zwei Linien a und b (in den Symbolen, AB) bedeutet den Bereich des Viereckes, das durch die Linien a und b. für AA enthalten wird, die das Quadrat auf der Linie a bedeutet, wir See also:schreiben See also:a2. § 21. Die ersten 10 der vierzehn Angelegenheiten des zweiten Buches können in Form von Formeln dann geschrieben werden, wie folgt: i. a(b+c+See also: (a+b) (a-b)+b2=a2. 7. a2+(a-b)2=à(a- B) +P. 8. 4(a+b)a+b2 = (à+b)2. 9. (a+b)2+(a - b)2=à2+2b2. Zu (a+b)2+(a - b)2=à2+2b2. Es wird gesehen, daß 5 und 6 und 9 auch und zu, identisch sind. In der See also:Aussage Euclids See also:schauen sie nicht dasselbe, die Abbildungen, die anders als geordnet werden. Wenn die Buchstaben a, b, c. bezeichnete Zahlen, folgt es von der Algebra, daß jede dieser Formeln zutreffend ist. Aber dieses prüft nicht sie in unserem See also:Fall, in dem die Buchstaben Linien bezeichnen, und ihre Produktbereiche ohne irgendeinen Hinweis auf Zahlen. um sie zu prüfen müssen wir die See also:Gesetze entdecken, welche See also:Richtlinie die See also:Betriebe vorstellten, nämlich Hinzufügung und See also:Vermehrung von Segmenten. Dieses, das wir jetzt tun; und wir finden, daß diese Gesetze dieselben mit denen sind, die in der algebraischen Hinzufügung und in der Vermehrung halten. § 22. In einer Summe Zahlen können wir den See also:Auftrag ändern, in dem die Zahlen hinzugefügt werden, und wir können die Zahlen in den Gruppen auch zusammen sind hinzufügen und diese Gruppen dann addieren. Aber dieses hält auch für die Summe von Segmenten und für die Summe von Vierecken, axa, das wenig See also:Betrachtung sich zeigt. Daß die Summe von Vierecken immer eine Bedeutung hat, folgt von den Stützen. 43-45 im ersten Buch. Diese Gesetze über Hinzufügung sind zu den zwei a+b=b+a (i), a+(b+c) = a+b+c reduzierbar. . (2); oder, wenn Sie für Vierecke, ab+ed=ed+ab ausgedrückt werden. (3), ab+(cd+ef) = ab+cd+ef. . (4). Das Haltewinkelmittel, daß die Bezeichnungen im See also:Haltewinkel zusammen hinzugefügt worden sind, bevor sie einer anderen See also:Bezeichnung hinzugefügt werden. Die allgemeineren Argumente für mehr Bezeichnungen können vom oben genannten abgeleitet werden. Für das Produkt von zwei Zahlen haben wir das See also:Gesetz, daß es unverändert bleibt, wenn die Faktoren ausgetauscht werden. Dieses hält auch für unser geometrisches Produkt. Für, wenn AB den Bereich des Viereckes bezeichnet, das See also:Unterseite a so und b wie Höhe hat, dann Ba bezeichnet den Bereich des Viereckes, das b als Unterseite und a als Höhe hat. Aber in einem Viereck können wir irgendeine der zwei Linien nehmen, die es als Unterseite enthalten, und dann ist die andere die Höhe. Dieses gibt ab=ba. . (5). Im Auftrag See also:weiter zum Multiplizieren einer Summe mit einer Zahl, haben wir in der Algebra das rule:Multiply jede Bezeichnung der Summe, und Addieren der folglich erreichten Produkte. Daß dieses für unsere geometrischen Produkte hält, wird von See also:Euclid in seiner ersten See also:Angelegenheit des zweiten Buches gezeigt, in dem er prüft, daß der Bereich eines Viereckes dessen Unterseite die Summe einer Anzahl von Segmenten ist, der Summe von Vierecken gleich ist, welche diese Segmente separat als Unterseiten haben. In den Symbolen gibt dieses, im einfachsten Fall, a(b+c) = ab+ac (6) und (b+c)a=ba+ca ' zu diesen Gesetzen, die vom See also:Sir See also: Von den anderen prüfen wir ein, nämlich den Fourth: (a+b)2 = (a+b) (a+b) = (a+b)a+(a+b)b durch (6). (a+b)a=aa+ba durch (6), = aa+ab durch (5); und (a+b)b=ab+bb durch (6). Folglich (a+b)2 = See also:as+ab+(ab+bb)) = gibt aa+(ab+ab)+bb See also: Die restlichen zwei Theoreme (Props. I2 und 13) schließen das Quadrat auf einer Seite eines Dreiecks mit der Summe der Quadrate auf den anderen Seiten an, falls das der Winkel zwischen dem letzten akut oder See also:stumpf ist. Sie sind wichtige Theoreme in der See also:Trigonometrie, in der es möglich ist, sie in ein einzelnes Theorem mit einzuschließen. § 25. Es gibt in den zweiten Problemen des Buches zwei, Stützen. 11 und 14. Wenn es in die oben genannte symbolische See also:Sprache geschrieben wird, erfordert das ehemalige, um eine Linie x zu finden so daß A(ax) = x2.-Stütze. 11 enthält folglich die Lösung einer quadratischen Gleichung, die wir schreiben können x2+ax = a2. Die Lösung wird später in den See also:Aufbau eines regelmäßigen decagon angefordert. Ist das Problem in der letzten Angelegenheit (Stütze 14) wichtiger. Es erfordert den Aufbau eines Quadrats, das im Bereich einem gegebenen Viereck, folglich einer Lösung der Gleichung x2 = AB gleich ist. In Buch I., 42-45, ist es gezeigt worden, daß howaviereck konstruiertes Gleichgestelltes im Bereich zu einer gegebenen See also:Abbildung sein kann, die durch gerade Geraden gesprungen wird. Durch Hilfsmittel der neuen Angelegenheit können wir eine Linie folglich jetzt feststellen so, daß das Quadrat auf dieser Linie im Bereich jeder gegebenen geradlinigen _ Abbildung gleich ist, oder wir können irgend solche Abbildung quadrieren. Ab zwei Quadraten, die das grössere ist, das die grössere Seite hat, folgt es, daß jetzt der Vergleich von zwei Bereichen auf dem Vergleich von zwei Linien verringert worden ist. Das problem•of, das andere See also:Bereiche auf Quadraten verringert, wird häufig unter griechischen Mathematikern getroffen. Wir müssen nur das Problem des Quadrierens des Kreises erwähnen (sehen Sie KREIS). Im anwesenden See also:Tag wird der Vergleich von Bereichen in einer einfacheren Weise durchgeführt, indem man alle Bereiche auf den Vierecken verringert, die eine Basisschaltung haben. Ihre Höhen geben dann ein Maß ihrer Bereiche. Der Aufbau eines Viereckes, welches die Unterseite u hat und im Bereich einem gegebenen Viereck gleich ist, hängt nach Stütze ab. 43, I. This gibt folglich eine Lösung der Gleichung AB = ux, wo x die unbekannte Höhe bezeichnet. Buch III. § 26. Das dritte Buch der Elemente bezieht ausschließlich auf Eigenschaften des Kreises. Ein Kreis und sein Umkreis sind in Buch I., Def. 15 definiert worden. Wir stellen es hier in den etwas unterschiedlichen Wörtern erneut See also:dar: Definition.The-Umkreis eines Kreises ist eine flache Kurve so, daß alle See also:Punkte in ihr den See also:gleichen See also:Abstand von einem Fixpunkt in der Fläche haben. Dieser See also:Punkt wird die "Mitte" des Kreises genannt. Von den neuen See also:Definitionen von denen See also:elf am Anfang des dritten Buches gegeben werden, erfordern einige nur spezielle Erwähnung. Das erste, das sagt, daß Kreise mit gleichen Radien gleich sind, ist im See also:Teil ein Theorem, aber leicht geprüft, indem es den einen Kreis am anderen anwendet. Oder es kann gelten als nachgewiesen durch Hilfsmittel der Stütze. 24, die gleichen Kreise, die nicht verwendet werden, bebauen nach diesem Theorem. In der zweiten Definition wird erklärt, was durch eine Linie bedeutet wird, die "Noten" ein Kreis. Solch eine Linie wird jetzt im Allgemeinen eine Tangente zum Kreis genannt. Die See also:Einleitung dieses Namens erlaubt uns, viele von Angelegenheiten Euclids in einer viel kürzeren Form anzugeben. Den gleichen See also:Grund verlangen wir eine gerade Geraden, die verbindet zwei Punkte auf dem Umkreis eines Kreises eine "Spannweite.", Definitionen 4 und 5 können durch eine geringfügige Verallgemeinerung durch das folgende geersetzt werden:- - Definition.By der Abstand eines Punktes von einer Linie wird die Länge des Senkrechten bedeutet, das vom Punkt See also:zur Linie See also:gezeichnet wird. § 27. Von der Definition eines Kreises folgt es, daß jeder Kreis eine Mitte hat. Stütze. 1 erfordert, um sie zu finden, wenn der Kreis gegeben wird, d.See also: um dieses Problem zu lösen wird eine Spannweite (das heißt, werden alle mögliche zwei Punkte im Umkreis verbunden), gezeichnet, und durch den Punkt, in dem diesem ein Senkrechtes zu ihm wird aufgerichtet halbiert wird. Euclid prüft dann, erstes, daß kein Punkt weg von diesem Senkrechten die Mitte sein kann, folglich, die die Mitte in dieser Linie liegen muß; und zweitens kann die der Punkte auf dem Senkrecht die Mitte, nämlich die nur sein, die die Teile des Senkrechten halbiert, das durch den Kreis gesprungen wird. Im zweiten Teil nimmt Euclid still, daß das dort benutzte Senkrechte den Umkreis in zwei schneidet, und nur in zwei Punkten an. Der See also:Beweis ist folglich unvollständig. Der Beweis des ersten Teils ist jedoch genau. Durch das Zeichnen von zwei nicht parallelen Spannweiten und die Senkrechten, die sie halbieren, wird die Mitte als der Punkt gefunden, wo diese Senkrechten schneiden. § 28. In der Stütze. 2 wird es nachgewiesen, daß eine Spannweite eines Kreises zusammen innerhalb des Kreises liegt. Stütze. Aber wir erhalten, was wir das erste Teil von Lösung Euclids der Stütze genannt haben. t kann als Theorem angegeben werden: Jede gerade Gerade, die eine Spannweite halbiert und ist zu ihr, überschreitet durch die Mitte des Kreises senkrecht. Das Gegenteil zu diesem gibt Stütze. 3, die folglich angegeben werden können, wenn eine gerade Gerade durch die Mitte eines Kreises eine Spannweite halbieren, dann ist es zur Spannweite und wenn es zur Spannweite senkrecht ist, es halbiert es senkrecht. Eine einfache Konsequenz von diesem ist das folgende Theorem, das im Wesentlichen dasselbe wie Stütze ist. 4: Zwei Spannweiten eines Kreises, von dem auch nicht Durchläufe durch die Mitte, nicht sich halbieren können. Diese letzten drei Theoreme sind für die Theorie des Kreises grundlegend. Es soll erwähnt werden, daß Euclid nie prüft, daß eine gerade Gerade nicht mehr als zwei Punkte im See also:Common mit einem Umkreis haben kann. § 29. Die folgenden zwei Angelegenheiten (5 und 6) konnten durch ein einzelnes und einfacheres Theorem ersetzt werden, nämlich: Zwei Kreise, die eine allgemeine Mitte haben und deren Umkreise einen Punkt im Common haben, stimmen überein. Oder, mehr in Übereinstimmung mit Form Euclids: Zwei unterschiedliche Kreise, deren Umkreise einen Punkt im Common haben, können nicht die gleiche Mitte haben. Daß Festlichkeiten Euclid von zwei Fällen von der griechischen Mathematik charakteristisch ist. Die folgenden zwei Angelegenheiten (7 und 8) gehören wieder zusammen. Sie können folglich kombiniert werden:- - Wenn von einem Punkt in einer Fläche eines Kreises, der nicht die Mitte ist, gerade Geraden zu den unterschiedlichen Punkten des Umkreises gezeichnet werden, dann alle diese Linien man ist das kürzeste und eine vom längsten und von diesen Lüge beide in dieser geraden Geraden, die den gegebenen Punkt zur Mitte verbindet. Von See also:allen restlichen Linien ist jede einem und nur einem anderem gleich, und diese gleichen Linien liegen auf gegenüberliegenden Seiten vom kürzesten oder das am längsten und bilden gleiche Winkel mit ihnen. Innerhalb Euclid unterscheidet die zwei Fälle, denen der gegebene Punkt oder ohne den Kreis liegt und läßt den Fall aus, in dem es im Umkreis liegt. Von der letzten Angelegenheit folgt es, daß, wenn von ein Punkt mehr als zwei gleichen geraden Geraden zum Umkreis gezeichnet werden können, dieser Punkt die Mitte sein muß. Dieses ist Stütze. 9. Als Folge dieses erhalten wir, wenn die Umkreise der zwei Kreise drei Punkte im Common haben, das sie übereinstimmen. Für in diesem Fall die zwei Kreise haben Sie eine allgemeine Mitte, weil von der Mitte von der drei gleiche Linien zu den Punkten auf dem Umkreis von der anderen gezeichnet werden können. Aber zwei Kreise, die eine allgemeine Mitte haben und deren Umkreise einen Punkt im Common haben, stimmen überein. (vergleichen Sie über Aussage über Stützen. 5 und 6.) Dieses Theorem kann auch folglich angegeben werden: Durch drei Punkte kann nur ein Umkreis gezeichnet werden; oder, drei Punkte stellen einen Kreis fest. Euclid gibt nicht das Theorem in dieser Form. Er prüft jedoch daß die zwei Kreise nicht andere in mehr als zwei Punkten (Stütze) schneiden können und daß zwei Kreise nicht ein anders in mehr Punkten als einer berühren können (Stütze 13). § 30. Angelegenheiten 11 und 12 erklären daß wenn die See also:Note mit zwei Kreisen, dann liegt der Punkt des Kontaktes auf der Linie, die ihre See also:Mitten verbindet. Dieses gibt zwei Angelegenheiten, weil die Kreise innerlich oder außen sich berühren können entweder. § 31. Angelegenheiten 14 und 15 beziehen auf der Länge der Spannweiten. Das erste sagt, daß gleiche Spannweiten von der Mitte äquidistant sind und daß Spannweiten, die von der Mitte äquidistant sind, gleich sind; Während Stütze. 15 vergleicht ungleiche Spannweiten, nämlich. Aller Spannweiten ist der See also:Durchmesser und anderer Spannweiten das größte, das das grössere ist, das zur Mitte näher ist; und andererseits, ist die grössere Spannweite zur Mitte näher. § 32. In der Stütze. I6 die Tangente zu einem Kreis wird zum ersten Mal eingeführt. Die Angelegenheit wird bedeutet, um zu zeigen, daß die gerade Gerade am Endpunkt des Durchmessers und senkrecht zu ihr eine Tangente ist. Die Angelegenheit selbst gibt nicht dieses an. Sie läuft folglich: Stütze. 16, Die gerade Gerade, die senkrecht zum Durchmesser eines Kreises, von der Extremität von ihr gezeichnet wird, fällt ohne den Kreis; zwischen und kein gerad Gerade können sein zeichnen von der d Extremität, dies gerad Gerade und den d Umkreis, damit nicht zu schneiden den d Kreis. Gerade Gerade Cbrollary.The senkrecht zu einem Durchmesser, der durch den Endpunkt von ihr gezeichnet wird, berührt den Kreis. Die Aussage über die Angelegenheit und seine vollständige Behandlung zeigen den Schwierigkeiten, welches die Tangenten Euclid darstellten. Stütze. 17 löst das Problem durch einen gegebenen Punkt, entweder im Umkreis oder ohne ihn, um eine Tangente zu einem gegebenen Kreis zu zeichnen. Nah angeschlossen an Stütze. 16 sind Stützen. 18 und 19, die ' angeben Sie (Stütze 18), daß die Linie, welche die Mitte eines Kreises zum Punkt ' des Kontaktes einer Tangente verbindet, zur Tangente senkrecht ist; von und andererseits (Stütze 19), überschreitet das die gerade Gerade durch den Punkt Kontakt und Senkrechtes zu, einer Tangente zu einem Kreis durch die Mitte des Kreises. § 33. Der See also:Rest des Buches bezieht auf die Winkel, die mit einem Kreis angeschlossen werden, nämlich Winkel, die den See also:Gipfel entweder in der Mitte oder auf dem Umkreis haben und die beziehungsweise Winkeln in der Mitte und Winkeln am Umkreis genannt werden. Zwischen thesetwo besteht Arten von Winkeln die wichtige Relation, die ausgedrückt wird, wie folgt: Stütze. nein. Der Winkel in der Mitte eines Kreises ist See also:Doppeltes des Winkels am Umkreis auf der gleichen Unterseite d.h. auf dem gleichen See also:Bogen. Dieses ist vom großen Wert für seine Konsequenzen, von denen die folgenden zwei die Direktion sind: Stütze. 21, Die Winkel im gleichen Segment eines Kreises sind bis einen anderen gleich; Stütze. 22, Die gegenüberliegenden Winkel jeder vierseitigen Abbildung, die in einem Kreis eingeschrieben wird, sind zusammen gleich zwei rechten Winkeln. Weitere Konsequenzen sind: Stütze. 23 Auf der gleichen geraden Geraden und auf der gleichen Seite von ihr, kann es nicht zwei ähnliche Segmente der Kreise geben und nicht miteinander übereinstimmen; Stütze. 24. Ähnliche Segmente der Kreise auf gleichen geraden Geraden sind bis eins anders gleich. Die Problemstütze. 25. Ein Segment eines Kreises, der gegeben wird, um den Kreis zu beschreiben, von dem es ein Segment ist, kann viel durch Hilfsmittel des Aufbaus leicht gelöst werden, der in bezug auf eine Stütze beschrieben wird. t, III., in § 27. § 34• dort folgen vier Theoremen, die die Winkel in der Mitte anschließen, in die die Bogen sie den Umkreis teilen, und die Spannweiten, die diese Bogen subtending sind. Sie werden für Winkel, Bogen und Spannweiten in den gleichen Kreisen ausgedrückt, aber sie halten auch für Winkel, Bogen und Spannweiten im gleichen Kreis. Die Theoreme sind: Stütze. 26, Im gleichen Winkelstandplatz der Gleichgestelltan kreise auf gleichen Bogen, ob sie die Mitten oder Umkreise sind; Stütze. 27, (Gegenteil zur Stütze. 26). An in den Gleichgestelltkreisen sind die Winkel, die auf gleichen stehen Bogen, bis einen anderen gleich, ob sie die Mitten oder die Umkreise sind; Stütze. 28, In den gleichen geraden Geraden der gleichen Kreise (gleiche Spannweiten) schneiden Sie gleiche Bogen, das grössere Gleichgestellte zum grösseren und das weniger gleiche kleiner ab; Stütze. 29 (Gegenteil zur Stütze. 28). In den Gleichgestelltkreisen, die gleiche Bogen sind, subtended durch gleiche gerade Geraden. § 35. Andere wichtige Konsequenzen der Stützen. 20-22 seien Sie: Stütze. 31, In einem Kreis ist der Winkel in einem Halbrund ein rechter Winkel; aber der Winkel in einem Segment, das grösser als ein Halbrund ist, ist kleiner als ein rechter Winkel; und der Winkel in einem Segment kleiner als ein Halbrund ist grösser als ein rechter Winkel; Stütze. 32, Wenn eine Note der geraden Geraden ein Kreis und vom Punkt des Kontaktes eine gerade Gerade gezogener Ausschnitt der Kreis ist, sind die Winkel, die diese Linie mit der Linie bildet, die den Kreis berührt, den Winkeln gleich, die in den wechselnden Segmenten des Kreises sind. 6 Propositions 30, 33, 34, enthalten Probleme, die durch Hilfsmittel der Angelegenheiten gelöst werden, die sie vorangehen: Stütze. 30, Einen gegebenen Bogen halbieren d.h. um ihn in zwei gleiche Teile zu teilen; Stütze. 33, Auf einer gegebenen geraden Geraden zum Beschreiben eines Segments eines Kreises, der einen Winkel gleich einem gegebenen rectilineal Winkel enthält; Stütze. 34,, Von einem gegebenen Kreis zum Abschneiden eines Segmententhaltens ein Le-Gleichgestelltes zu einem gegebenen rectilineal Winkel. 37, Wenn wir Spannweiten durch einen Punkt A innerhalb eines Kreises zeichnen, See also:willen sie jedes werden geteilt durch A in zwei Segmente. Zwischen diesen Segmenten hält das Gesetz, daß das Viereck, das durch sie enthalten wird, den gleichen Bereich auf hat, was Spannweite durch A die Segmente genommen werden. Der Wert dieses Viereckes ändert selbstverständlich mit der Position von A. Ein ähnliches Theorem hält, wenn der Punkt A ohne den Kreis genommen wird. Auf jeder geraden Geraden durch A, das den Kreis in zwei Punkten B und C schneidet, haben wir zwei Segmente AB und Wechselstrom, und die Vierecke, die durch sie enthalten werden, sind wieder bis eins anders gleich und entsprechen zum Quadrat auf einer Tangente, die von A zum Kreis gezeichnet wird. Das erste dieser Theoreme gibt Stütze. 35 und die zweite Stütze. 6, mit seiner logischen Folge, während Stütze. 37, das Letzte von Buch III., gibt das Gegenteil zur Stütze. 6. Die ersten zwei Theoreme können in einem kombiniert werden: Wenn durch einen Punkt A in der Fläche eines Kreises eine gerade Gerade gezogener Ausschnitt der Kreis in B und in C ist, dann hat das Viereck AB.AC einen konstanten Wert, solange der Punkt A örtlich festgelegt ist; und wenn von A eine TangentecAnzeige zum Kreis gezeichnet werden kann, berührend an D, dann entspricht das oben genannte Viereck dem Quadrat auf See also:ANZEIGE. Stütze. 37 können folglich angegeben werden: Wenn von einem Punkt A ohne einen Kreis eine Linie gezogener Ausschnitt der Kreis in B und in C und eine andere Linie zu einem Punkt D auf dem Kreis und AB.AC = AD2 ist, dann berührt die LiniencAnzeige den Kreis an D. Es ist nicht schwierig, das Gegenteil zur allgemeinen Angelegenheit wie über angegeben auch zu prüfen. Diese Angelegenheit und sein Gegenteil können ausgedrückt werden, wie folgt: Wenn vier Punkte ABCD auf dem Umkreis eines Kreises genommen werden und wenn die Linien AB, produzierte CD, wenn notwendig, See also:treffen an See also:E, dann See also:EA.EB = EC.ED; und andererseits, wenn diese Relation dann hält, liegen die vier Punkte auf einem Kreis d.h. der Kreis, der durch drei von ihnen Durchläufe durch den Fourth gezeichnet wird. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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