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See also:MATHEMATIK (See also: Die höchste See also: Jetzt behandelt Geometrie with•points, Linien, Flächen und Kubikinhalt. Von diesen See also:allen ausgenommen See also:Punkte sind Quantitäten: Linien beziehen Längen mit ein, beziehen Flächen See also:Bereiche mit ein, und Kubikinhalt bezieht See also:Ausgaben mit ein. Auch da die kartesische Geometrie darstellt, sind alle Relationen zwischen Punkten in geometrischen Quantitäten ausgedrückt ausdrückbar. Dementsprechend auf den ersten Blick scheint es angemessen, Geometrie in irgendeiner solcher Weise wie "der Wissenschaft der Maßquantität zu definieren.", So würde jede Unterteilung der mathematischen Wissenschaft scheinen, Quantität und die Definition von Mathematik zu beschäftigen, wie "die Wissenschaft der Quantität" scheinen würde gerechtfertigt zu werden. Wir haben jetzt, die Gründe für das Zurückweisen dieser Definition unzulänglich zu halten. Arten kritischen Questions.What sind Zahlen? Wir können von fünf Äpfeln und von 10 See also:Birnen sprechen. Aber was sind "fünf" und "10" abgesehen von den Äpfeln und den Birnen? Auch zusätzlich zu den Kardinalzahlen gibt es die Ordnungszahlen: der See also:5. Apfel und der zehnte Birnenanspruchsgedanke. Was ist die Relation "des Fifth" und "der zehnten" "fünf" und "10"? "das erste stieg vom See also:Sommer" und "das letzte stieg vom Sommer" sind parallele Phrasen, dennoch stellt eine ausdrücklich eine Ordnungszahl vor und die andere nicht. Wieder "werden Hälfte ein Fuß" und "Hälfte See also:lbs" leicht definiert. Aber in was Richtung gibt es "eine Hälfte,", die dieselbe für "Hälfte ein Fuß" als "Hälfte lbs" ist? Ausserdem werden incommensurable Zahlen als die Begrenzungen kamen zu als das Resultat bestimmter See also:Verfahren mit rationalen Zahlen definiert. Aber wie wissen wir, daß es alles gibt zu erreichen? Wir müssen wissen daß - l2 besteht, bevor wir prüfen können, daß jedes mögliches Verfahren es erreicht. Eine Expedition zum Nordpol hat nichts zu erreichen, es sei denn die See also: Zuletzt sind was "Maße"? Alle diese Themen erfordern vollständige Diskussion, bevor wir Inhalt mit der Definition von Mathematik als die allgemeine Wissenschaft der Größe stillstehen können; und bis sie besprochen werden, hat die Definition verdunstet. Eine umreiß der modernen Antworten zu den Fragen wie dem oben genannten See also:Willen jetzt wird gegeben. Eine kritische See also:Verteidigung von ihnen würde erfordern eine See also:Ausgabe.', Hauptsächliche Numbers.A-one-onerelation zwischen den Mitgliedern von zwei Kategorien a und 19 ist jede mögliche Methode des Aufeinander beziehens aller Mitglieder von a zu allen Mitgliedern von 0, damit irgendein Mitglied von a ein und nur ein Korrelat innen hat { 4 und jedes mögliches Mitgliedsvon/3 hat ein und nur ein Korrelat in den Kategorien a. zwei, zwischen denen eine one-onerelation haben die gleiche Kardinalzahl besteht und werden cardinally ähnlich genannt; und die Kardinalzahl der Kategorie, die a eine bestimmte Kategorie deren Mitglieder selbst classesnamely sind, es ist, ist die Kategorie, die aus allen jenen Kategorien besteht, für die eine one-onewechselbeziehung mit a besteht. So ist die Kardinalzahl von a selbst eine Kategorie, und ausserdem ist a ein Mitglied von ihm. Für one-one kann eine Relation zwischen den Mitgliedern von a und von a durch den einfachen Prozeß des Aufeinander beziehens jedes Mitgliedes von a mit sich hergestellt werden. So ist die Kardinalzahl man die Kategorie der Maßeinheitskategorien, ist die Kardinalzahl zwei die Kategorie von den Doublets und so See also:weiter. Auch eine Maßeinheitskategorie ist irgendeine Kategorie mit der See also:Eigenschaft, daß sie ein Mitglied x so besitzt, daß, wenn y irgendein Mitglied der Kategorie ist, dann x und y identisch sind. Ein Doublet ist irgendeine Kategorie, die ein Mitglied x so besitzt, daß die geänderte Kategorie, die von allen anderen Mitgliedern ausgenommen x gebildet wird, eine Maßeinheitskategorie ist. Und so weiter für alle begrenzten Kardinäle, die folglich mehrmals hintereinander definiert werden. Die Kardinalzahl See also:null ist die Kategorie der Kategorien ohne Mitglieder; aber es gibt nur eine solche Kategorie, ungültige Kategorie des namelythe. So dieses hauptsächliche ' CF. Die Grundregeln von Mathematik, durch See also:Bertrand See also:Russell (See also:Cambridge, 1903).number hat nur ein Mitglied. Die See also:Betriebe von Hinzufügung und von See also:Vermehrung von zwei gegebenen Kardinalzahlen können definiert werden, indem man zwei Kategorien a und $ nimmt und die Bedingungen (1), daß ihre Kardinalzahlen beziehungsweise die gegebenen Zahlen sind, und (2), daß sie kein Mitglied im See also:Common enthalten, und dann erfüllt, indem das Definieren durch Hinweis auf a und 3 zwei anderen verwendbaren Kategorien dessen Kardinalzahlen definiert werden, um beziehungsweise die angeforderte Summe und das Produkt der Kardinalzahlen in der Frage zu sein. Wir brauchen, nicht hier die Details dieses Prozesses zu betrachten. Mit diesen See also:Definitionen ist es jetzt möglich, die folgenden sechs Prämissen zu prüfen, die auf begrenzte Kardinalzahlen zutreffen, von deren Peano 2 gezeigt hat, daß alle Arithmetik abgeleitete Kardinalzahlform i. ein Kategorie sein kann. ii. Null ist eine Kardinalzahl. iii. Wenn a eine Kardinalzahl ist, ist a+1 eine Kardinalzahl. iv. Wenn See also: vi. Wenn a eine Kardinalzahl ist, dann a+t +See also:o. Es kann beachtet werden, daß (iv) die familar Grundregel der mathematischen See also:Induktion ist. Peano in einer historischen See also:Anmerkung verweist seine erste ausdrückliche Beschäftigung, obgleich ohne eine allgemeine Erklärung, auf Maurolycus in seiner Arbeit, libriduo Arithmeticorum (See also:Venedig, 1575). Aber jetzt ist die Schwierigkeit der begrenzenden Mathematik zum Sein die Wissenschaft der Zahl und der Quantität sofort offensichtlich. Für gibt es keine selbständige Wissenschaft von Kardinalzahlen. Der See also:Beweis der sechs Prämissen erfordert eine durchdachte See also:Untersuchung in die allgemeinen Eigenschaften der Kategorien und der Relationen, die durch die strengste Argumentation von unseren entscheidenden logischen Grundregeln abgeleitet werden können. Auch er ist lediglich willkürlich, die Konsequenzen dieser sechs Grundregeln in eine unterschiedliche Wissenschaft aufzurichten. Sie sind ausgezeichnete Grundregeln des höchsten Wertes, aber sie sind in keiner Richtung die notwendigen Prämissen, die nachgewiesen werden müssen, bevor alle mögliche anderen Angelegenheiten von Kardinalzahlen hergestellt werden können. Auf dem Gegenteil können die Prämissen von Arithmetik in andere Formen eingesetzt werden, und ausserdem kann eine unbestimmte Anzahl von Angelegenheiten von Arithmetik direkt von den logischen Grundregeln nachgewiesen werden, ohne sie zu erwähnen. So während Arithmetik als diese See also:Niederlassung der deduktiven Argumentation hinsichtlich ist der Kategorien und der Relationen definiert werden kann, die mit der See also:Einrichtung der Angelegenheiten hinsichtlich sind der Kardinalzahlen betroffen wird, muß es addiert werden, daß die See also:Einleitung von Kardinalzahlen keinen großen Bruch in dieser allgemeinen Wissenschaft bildet, es ist nicht mehr als eine interessante Unterteilung in einer allgemeinen Theorie. OrdnungsNumbers.We muß was durch See also:Auftrag bedeutet wird, "durch" Serienanordnung zuerst das heißt, verstehen.", Ein Auftrag eines Satzes Sachen soll dadurch gesucht werden daß die Relation, die zwischen Mitgliedern des Satzes hält, der diesen Auftrag festsetzt. Der See also: Diese Kategorie umfaßt die ursprüngliche Relation selbst. Die Relation-Zahl einer Relation sollte mit der Kardinalzahl einer Kategorie verglichen werden. Wenn eine Relation serienmäßig ist, wird seine Relation-Zahl häufig sein Serien See also:schreiben genannt. Die Hinzufügung und die Vermehrung von zwei Relation-Zahlen wird definiert, indem man zwei Relationen R und S, so nimmt, daß (i) ihre Felder keine 2 CF haben. Mathematique Formulaire (See also:Turin, ED von 1903); frühere Formulierungen der Unterseiten von Arithmetik werden von ihm in den Ausgaben von 1898 und von 1901 gegeben. Die Veränderungen sind nur trivial. 2 CF. Russell, Positionsverdichtereintrittslufttemperat, pp. 199-256. Bezeichnungen im Common; (2) ihre Relation-Zahlen sind die zwei Relation-Zahlen in der Frage und dann, definieren, indem sie durch Hinweis auf R und S zwei andere verwendbare Relationen deren Relation-Zahlen definiert werden, um beziehungsweise die Summe und das Produkt der Relation-Zahlen in der Frage zu sein. Wir brauchen, nicht die Details dieses Prozesses zu betrachten. Jetzt, wenn n irgendeine begrenzte Kardinalzahl ist, kann es nachgewiesen werden, daß die Kategorie jener Serienrelationen, die ein Feld haben, dessen Kardinalzahl n ist, eine Relation-Zahl ist. Diese Relation-Zahl ist die Ordnungszahl, die n entspricht; laßt ihm werden durch n. folglich symbolisiert Sie und den Kardinalzahlen 2, 3, 4 entsprechen dort, sind die Ordnungsnr. 2, 3, ¢. . . Die Definition der Ordnungsnr. I erfordert etwas wenig Scharfsinn infolge von der Tatsache, daß keine Serienrelation ein Feld haben kann dessen Kardinalzahl 1 ist; aber wir müssen die Erklärung des Prozesses hier auslassen. Die Ordnungszahl O ist die Kategorie deren alleiniges Mitglied das ungültige relationthat ist, die Relation ist, die nie zwischen irgendeinem Paar Wesen hält. Die Definitionen der begrenzten Ordnungszahlen können ohne Gebrauch der entsprechenden Kardinäle ausgedrückt werden, so dort ist keine wesentliche Priorität der Kardinäle zu den Ordnungszahlen. Hier auch kann es gesehen werden, daß die Wissenschaft der begrenzten Ordnungszahlen eine bestimmte Unterteilung der allgemeinen Theorie der Kategorien und der Relationen ist. So wird die illusorische Natur der traditionellen Definition von Mathematik wieder veranschaulicht. Cantors endlose Numbers.Owing zur See also:Korrespondenz zwischen den begrenzten Kardinälen und den begrenzten Ordnungszahlen, den Angelegenheiten der hauptsächlichen Arithmetik und Ordnungsarithmetik entsprechen Punkt durch Punkt. Aber die Definition der Kardinalzahl einer Kategorie trifft zu, wenn die Kategorie nicht begrenzt ist, und es kann nachgewiesen werden, daß es unterschiedliche endlose Kardinalzahlen gibt und daß es einen wenigen endlosen Kardinal gibt, jetzt normalerweise bezeichnet von H ", wo s das hebräische Buchstabealeph ist. Ähnlich kann eine Kategorie Serienrelationen, genannt gut-bestellte Serienrelationen, definiert werden, so, daß ihre entsprechenden Relation-Zahlen die gewöhnlichen begrenzten Ordnungszahlen umfassen, aber umfaßt auch Relation-Zahlen, die viele Eigenschaften wie die der begrenzten Ordnungszahlen haben, zwar die Felder der Relationen, die ihnen gehören, sind nicht begrenzt. Diese Relation-Zahlen sind die endlosen Ordnungszahlen. Die Arithmetik der endlosen Kardinäle nicht corre; See also:wenden Sie zu der der endlosen Ordnungszahlen auf. Die Theorie dieser Verlängerungen der Ideen von Zahl wird in der ArtikelcZahl behandelt. Sie genügt, hier zu erwähnen, daß Peanos 4. Prämisse von Arithmetik nicht für endlose Kardinäle oder für endlose Ordnungszahlen hält. Die oben genannten Definitionen der Zahl, des Kardinals und der Ordnungszahlen, mit der alternativen Theorie kontrastierend, die Zahl eine entscheidende See also:Idee ist, die von der Definition unfähig ist, beachten wir, daß unser Verfahren eine grössere See also:Aufmerksamkeit fordert, kombiniert mit einer kleineren Leichtgläubigkeit; nach jeder Idee angenommen, wie See also:entscheidend, verlangt ein unterschiedliches Autodafe. Die Daten der Analysis.Rational-Zahlen und der realen Zahlen im allgemeinen können entsprechend der See also:gleichen allgemeinen Methode jetzt definiert werden. Wenn See also: Die realen Zahlen, die irrationale Zahlen umfassen, haben jetzt definiert zu werden. Betrachten Sie die Serienanordnung für die Rationalen in ihrem Auftrag der Größe. Eine reale Zahl ist eine Kategorie (a, Sagen) rationale Zahlen, die die See also:Bedingung erfüllt, daß sie dieselbe ist, wie die Kategorie jener Rationalen von denen jedes mindestens ein Mitglied a. folglich vorangeht, die Kategorie von Rationalen weniger als 2 betrachten,; jedes mögliches Mitglied dieser Kategorie geht einige andere Mitglieder des classthus 1/2 vorangeht 4/3, 3/2 und so weiter voran; auch die Kategorie der Vorgänger der Vorgänger von 2, ist selbst die Kategorie der Vorgänger von 2. dementsprechend diese Kategorie ist eine reale Zahl; es wird die reale Anmerkung der Zahl 2R. genannt, die die Kategorie von Rationalen kleiner als oder Gleichgestelltes bis 2, nicht eine reale Zahl ist. Für 2 nicht ist ein Vorgänger irgendeines Mitgliedes der Kategorie. Im oben genannten Beispiel ist 2R eine integrale reale Zahl, die von einer rationalen Ganzzahl eindeutig ist, und von einer Kardinalzahl. Ähnlich ist jede rationale reale Zahl von der entsprechenden rationalen Zahl eindeutig. Aber jetzt haben die vernunftwidrigen realen Zahlen alles bildeten ihr See also:Aussehen. Z.B. erfüllt die Kategorie der Rationaler deren Quadrate kleiner als 2 sind, die Definition einer realen Zahl; es ist die reale Zahl KI 2. Die Arithmetik der realen Zahlen folgt von den passenden Definitionen der Betriebe von Hinzufügung und von Vermehrung. Außer den sofortigen Zwecken einer Erklärung, wie das oben genannte, ist es nicht notwendig für Mathematiker, unterschiedliche Symbole, wie 2, 2 und 2R zu haben, oder 2/3 und (werden reale Zahlen 2/3)R. mit Zeichen (+or) jetzt definiert. Wenn a eine reale Zahl ist, wird +a definiert, um die Relation zu sein, die jede reale Zahl der Form x+a zur realen Nr. x trägt, und a ist die Relation, die irgendeine reale Nr. x zur realen Zahl s+a trägt. Die Hinzufügung und die Vermehrung von diesen "unterzeichnete" realnumbers wird See also:passend definiert, und es wird nachgewiesen, daß das übliche arith., das von solchen Zahlen metic ist, folgt. Schließlich erreichen wir eine komplizierte Zahl des nth Auftrages. Solch eine Zahl ist "ein-viele" Relation, die n unterzeichnete reale Zahlen (oder algebraische komplizierte Zahlen n, wenn sie bereits durch dieses Verfahren definiert werden) auf den Kardinalzahlen 1 n bezieht, 2. n beziehungsweise. Wenn solch eine komplizierte Zahl (wie üblich) in die Form x1e, +xè2+... +x"See also:e, geschrieben wird, dann bezieht diese bestimmte komplizierte Zahl XI auf I, x2 bis 2. . x"zu n. auch das" Maßeinheits"EL (oder e) betrachtet, da eine Zahl des Systems bloß eine verkürzte Form für die komplizierte Zahl (+I) el+oe2+... +oe ist. diese letzte Zahl illustriert die Tatsache, daß man reale Zahl, wie O unterzeichnete, kann mit vielen der n-Kardinäle, wie 2 aufeinander bezogen werden. Es im Beispiel, aber das hauptsächliches jedes wird nur mit einer unterzeichneten Zahl aufeinander bezogen. Folglich ist die Relation benannt worden über "ein-vielen.", Die Summe zwei des komplizierten ••• der Zahlen xiei+xè2+ +x, e, und y1ei-Fyie;+•. • +yse "wird immer definiert, um die komplizierte Zahl zu sein (xi+yl)e;+(x2-See also: Wir begrenzen uns hier zum algebraischen komplizierten numbersthat sind, zu den komplizierten Zahlen des zweiten Auftrages, der in See also:Zusammenhang mit dieser Definition der Vermehrung genommen wird, die zu gewöhnliche Algebra führt. Das Produkt von zwei komplizierten Zahlen der Sekunde des ordernamely, xiel+xè2 und des yie1+yè2, wird in diesem See also:Fall definiert, um den Komplex (xlyl-x2y2)See also:ei+(xiy2+x2y1)e2. EL Xel = EL, e2Xe2 = EL, EL x e2 = e2 x e1=e2 zu bedeuten folglich. Mit dieser Definition ist es, das erste See also:Symbol-EL auszulassen, üblich und i oder Al -1 anstelle von e2 zu schreiben. Dementsprechend ist die typische Form für solch eine komplizierte Zahl x+yi, und dann mit dieser See also:Darstellung wird die obenerwähnte Definition der Vermehrung unveränderlich angenommen. Der Wert dieser Algebra entsteht aus der Tatsache, die in solchen Komplexzahlen mit dieser Definition der Vermehrung ausgedrückt das äußerste Allgemeine des Ausdruckes, zum Ausschluß der Sonderfälle, für Theoreme erreicht werden, die in den analogen Formen auftreten, aber mit Sonderfällen, in der Algebra der realen Zahlen und von unterzeichneten realen ' Zahlen erschwert werden kann. Dieses ist genau der gleiche See also:Grund wie das, das Mathematiker geführt hat, mit unterzeichneten realen Zahlen in der Präferenz zu den realen Zahlen zu See also:arbeiten, und mit realen Zahlen in der Präferenz zu den rationalen Zahlen. Die Entwicklung des mathematischen Gedankens in der Erfindung der Daten der See also:Analyse ist folglich vollständig in der umreiß verfolgt worden. Definition von Mathematics.It ist jetzt offensichtlich geworden, daß das traditionelle Feld von Mathematik in der See also:Provinz der getrennten und ununterbrochenen Zahl von der allgemeinen abstrakten Theorie der Kategorien und der Relationen durch wavering und eine unbestimmte See also:Linie nur getrennt werden kann. Selbstverständlich degeneriert eine Diskussion hinsichtlich der bloßen Anwendung eines Wortes leicht in das unfruchtbarste logomachy. Sie ist bis irgendein geöffnet, jedes mögliches Wort in irgendeiner Richtung zu verwenden. Aber auf der See also:Annahme, die "Mathematik" kennzeichnete eine Wissenschaft heraus gut durch sein Thema und seine Methoden von anderen Themen des Gedankens, und die bezeichnen soll, mindestens es ist, alle Themen zu umfassen, die gewohnheitsmäßig ihm zugewiesen werden, es jetzt keine See also:Wahl aber, "Mathematik der" Wissenschaft "allgemein ' einzusetzen gibt, die betroffen wird mit dem logischen See also:Abzug von Konsequenzen von den allgemeinen Prämissen aller Argumentation.", Typische mathematische See also:Angelegenheit Geometry.The ist: "wenn x, y, z. . . erfüllen Sie so und solche Bedingungen, dann so und solche andere Bedingungen halten in Bezug auf sie.", Indem man örtlich festgelegten Bedingungen für die See also:Hypothese solch einer Angelegenheit eine definitive Abteilung von Mathematik nimmt, wird heraus gekennzeichnet. Z.B. ist Geometrie solch eine Abteilung. Die "Axiome" von Geometrie sind die örtlich festgelegten Bedingungen, die in den Hypothesen der geometrischen Angelegenheiten auftreten. Die spezielle Natur der "Axiome", die Geometrie wird betrachtet in der ArtikelcGeometrie (Axiome) festsetzen. Es ist genügend, hier zu beobachten, daß sie mit speziellen Arten der Kategorien der Kategorien und der Kategorien von Relationen betroffen werden und daß der Anschluß von Geometrie mit Zahl und Größe keineswegs ein wesentliches See also:Teil der See also:Grundlage der Wissenschaft ist. Tatsächlich entsteht die vollständige Theorie des Maßes in der Geometrie an einem verhältnismässig späten See also:Stadium als das Resultat einer Vielzahl der schwierigen Betrachtungen. Kategorien und Relations.The, die vorangehendes See also:Konto der Natur von Mathematik einen strengen Abzug der allgemeinen Eigenschaften ' die erste unqualifizierte ausdrückliche See also:Aussage über Teil dieser Definition scheint, durch B. See also:Peirce zu sein, "Mathematik erfordert, ist die Wissenschaft, die notwendige Zusammenfassungen" zeichnet (lineare vereinigende Algebra, § i. (187o), See also:neu aufgelegt im Amer. Journ. von Mathe, von Vol. iv. (1881)). Aber es wird beachtet, daß die zweite Hälfte der Definition im See also:Text "von den allgemeinen Prämissen aller Argumentation" unexpressed gelassen wird. Der volle Ausdruck der Idee und seiner Entwicklung in eine Philosophie von Mathematik liegt an Russell, Positionsverdichtereintrittslufttemperat. von den Kategorien und von den Relationen von den entscheidenden logischen Prämissen. Im See also:Verlauf dieses Prozesses zum ersten Mal aufgenommen mit der Härte der Mathematiker, sind einige Widersprüche offensichtlich geworden. Daß zuerst entdeckt als See also:Widerspruch Burali-Fortis, ' bekannt und im Beweis besteht, daß es nicht eine größte endlose Ordnungszahl gibt und ist. Aber diese Widersprüche hängen nicht nach irgendeiner Theorie der Zahl ab, denn contradiction2 Russells bezieht Zahl nicht in irgendeine Form mit ein. Dieser Widerspruch entsteht aus dem Betrachten der Kategorie, die als Mitglieder alle Kategorien besitzt, die nicht Mitglieder von selbst sind. Benennen Sie diese Kategorie See also: Dieses Problem von "dem und die vielen" ist besprochen worden ununterbrochen von den Philosophen.', Alle Widersprüche können vermieden werden, und doch kann der Gebrauch von Kategorien und Relationen wie von Mathematik gefordert und in der See also:Tat durch gesunden Menschenverstand, indem eine Theorie, die zu einem classorrelationexistence oder verweigert Sein in jeder möglicher Richtung konserviert werden, in der die Wesen, die das itor bezogen durch itexist bestehen. So, daß eine See also:Feder ein ist, Wesen und die Kategorie der Federn ist zu sagen ein Wesen ist bloß ein See also:Spiel nach dem Wort "Wesen"; die zweite Richtung "des Wesens" (falls vorhanden) wird in der Tat von der ersten abgeleitet, aber eine kompliziertere Bedeutung hat. Betrachten Sie eine unvollständige Angelegenheit, die in der Richtung unvollständig ist, daß irgendein Wesen, das zu ihm soll, in es wird dargestellt durch ein unbestimmtes x miteinbezog, das für jedes mögliches Wesen stehen kann. Nennen Sie es eine propositionalfunktion; und, wenn ¢x eine propositionalfunktion ist, ist die unbestimmte Variable x das Argument. Das ¢x mit zwei propositionalfunktionen und,'x sind "extensionally identisch", wenn irgendeine Ermittlung von x im ¢x, das 4)x in eine zutreffende Angelegenheit auch umwandelt, +1'x in eine zutreffende Angelegenheit umwandelt, und andererseits für 4) und ¢. betrachten Sie jetzt eine propositionalfunktion Fx, in der das variable Argument x selbst eine propositionalfunktion ist. Wenn Fx zutreffend ist, wenn und nur wenn, x festgestellt wird, um entweder ¢ oder irgendein anderes Äquivalent der propositionalfunktion extensionally bis 4) zu sein, dann ist die Angelegenheit F¢ von der Form, die gewöhnlich erkannt wird, wie Sein über die Kategorie, die durch 49x genommen wird im extensionthat festgestellt wird, ist, die Kategorie der Wesen, für die ¢x eine zutreffende Angelegenheit ist, wenn x festgestellt wird, um irgendein von ihnen zu sein. Eine ähnliche Theorie hält für Relationen, die aus der Betrachtung der propositionalfunktionen mit zwei oder variablere Argumente entstehen. Zu definieren ist dann möglich, durch eine parallele Ausarbeitung, was durch Kategorien der Kategorien, Kategorien von Relationen, Relationen zwischen Kategorien bedeutet wird und so weiter. Dementsprechend kann die Zahl einer Kategorie Relationen oder von einer Kategorie definiert werden von den Kategorien und so weiter. Dieses theory4 ist in Kraft eine Theorie des Gebrauches von Kategorien und Relationen und entscheidet die philosophic Frage nicht hinsichtlich der Richtung (falls vorhanden) in der eine Kategorie in der Verlängerung ein Wesen ist. Es verweigert in der Tat, daß es ein Wesen in der Richtung ist, in der eins seiner Mitglieder ein Wesen ist. Dementsprechend ist es ein See also:Irrtum für jede mögliche Ermittlung von x zum Betrachten "von x ist ein x", oder" ist x nicht ein x"als, die Bedeutung von Angelegenheiten habend. Merken Sie das für jede mögliche Ermittlung von x, "x ist ein x" und" ist x nicht ein x, "sind keine von ihnen Irrtümer aber sind beides bedeutungsloses, entsprechend dieser Theorie. So verschwindet Widerspruch Russells und eine Prüfung der anderen Widersprüche zeigt, daß sie auch verschwinden. Angewandte Mathematics.The-Vorwähler der Themen der mathematischen Anfrage unter der endlosen Vielzahl, die zu ihr geöffnet ist, ist durch die nützlichen Anwendungen geführt worden, und in der Tat ist die abstrakte Theorie See also:erst vor kurzem disentangled von den empirischen Elementen gewesen, die mit diesen Anwendungen angeschlossen werden. Z.B. bezieht die Anwendung der Theorie von Kardinalzahlen zu den Kategorien der körperlichen Wesen in der Praxis irgendeinen Prozeß des Zählens mit ein. Es ist erst vor kurzem, daß die See also:Reihenfolge von Prozessen, die in jede mögliche Tat des Zählens miteinbezogen wird, gesehen worden ist, um zur Idee der Zahl irrelevant zu sein. In der Tat ist es nur durch Erfahrung, der wir wissen können, daß jeder definitive Prozeß des Zählens die zutreffende Kardinalzahl von etwas Kategorie Wesen gibt. Es ist tadellos möglich, sich ein Universum vorzustellen, in dem jede mögliche Tat des Zählens durch ein Wesen in ihm einige Mitglieder der Kategorie vernichtete, die während der Zeit und nur während der Zeit seiner Fortsetzung gezählt wurde. Eine See also:Legende des Rates von Nicea ' veranschaulicht diesen Punkt: "als die Bishops ihr" questionesuinumeritransfiniti Lna nahmen, "Mattendi Rend. Del Circolo See also:Palermo, Vol. XI (1897); und Russell, Positionsverdichtereintrittslufttemperat, ch. xxxviii. 2 CF. Russell, Positionsverdichtereintrittslufttemperat, ch. x. ' Cf. See also:Pragmatismus: ein neuer Name für einige alte Weisen des Denkens (1907). ' wegen Bertrand Russell, cf. "formale See also:Logik, wie auf der Theorie der Arten basiert," Amer. Journ. von Mathe Vol. xxx. (1908). Es wird völlig durch ihn, mit neueren Vereinfachungen, im mathematica Principia (Cambridge) erklärt. eines östliche Kirche Cf. Stanleys, Vortrag v.places auf ihren Thrones, waren sie 318; als sie bis zu stiegen, seien rüber, es schien benannt Sie, daß sie 319 waren; damit sie die Zahl nach rechts kommen nie See also:lassen konnten, und wann immer sie dem Letzten der See also:Reihe sich näherten, machte er sofort zu die See also:Gleichheit seines folgenden Nachbars.", Was auch immer der historische Wert dieser See also: An erster See also:Stelle wird irgendein körperlicher Prozeß von Hinzufügung vorausgesetzt und bezieht etwas induktiv geschlossenes See also:Gesetz von Ständigkeit während dieses Prozesses mit ein. So in der Theorie der Massen müssen wir wissen, daß zwei Pfund See also:Leitung, wenn sie zusammengefügt werden, in den Skalen zwei Pfund Zucker ausgleichen, oder ein lbs Leitung und ein lbs Zucker. Ausserdem bekannt die See also:Art des Durchganges der Reihe (im Auftrag der Größe) von rationalen Zahlen, um zu der der Reihe der realen Zahlen unterschiedlich zu sein. In der Tat heben Mathematiker jetzt "Durchgang" als die Bezeichnung für die letzte Art des Durchganges auf; die bloße Eigenschaft des Habens einer endlosen Anzahl von Bezeichnungen zwischen allen möglichen zwei Bezeichnungen wird genannt "Kompaktheit.", Die Kompaktheit der Reihe der rationalen Zahlen ist mit Quasiabständen im itthat ist, mit dem möglichen Fehlen Begrenzungen zu den Kategorien in ihr gleichbleibend. So hat die Kategorie der rationalen Zahlen deren Quadrate kleiner sind, als 2 keine obere See also:Begrenzung unter den rationalen Zahlen. Aber unter den realen Zahlen haben alle Kategorien Begrenzungen. Jetzt infolge von der notwendigen Ungenauigkeit des Maßes, direkt abzusondern ist unmöglich, ob irgendeine Art ununterbrochene körperliche Quantität die Kompaktheit der Reihe von Rationalen oder von Durchgang der Reihe der realen Zahlen besitzt. In den Berechnungen wird die letzte Hypothese wegen seiner mathematischen Einfachheit gebildet. Aber, die Annahme hat zweifellos keinen See also:Boden eines priori zu seinen Gunsten und es ist nicht sehr See also:einfach, zu sehen, wie man sie nach Erfahrung gründet. Z.B. wenn sie aus der sich dreht, soll die Masse eines Körpers geschätzt werden, indem sie die Zahl Teilchen zählt (was auch immer er sein können), die gehen, sie zu bilden, dann ist ein Körper mit einem vernunftwidrigen Maß Masse tatsächlich unmöglich. Ähnlich steht der Durchgang des Raumes anscheinend nach der blossen Annahme still, die durch irgendein ein priori oder einen experimentellen Boden ungestützt ist. So können die gegenwärtigen Anwendungen von Mathematik zur Analyse von Phänomenen durch kein gerechtfertigt werden eine priorinotwendigkeit. In einer Richtung gibt es keine Wissenschaft der angewandten Mathematik. Wenn, sobald die örtlich festgelegten Bedingungen, die irgendeine hypothetische See also:Gruppe Wesen erfüllen sollen, genau formuliert worden sind, kann der Abzug der weiteren Angelegenheiten, die auch das Respektieren sie halten, in komplette Unabhängigkeit der Frage fortfahren ob oder, keine irgend solche Gruppe Wesen kann in der See also:Welt von Phänomenen gefunden werden. Die so rationalen See also:Mechaniker, basiert worden auf den newtonischen Gesetzen, angesehen als Mathematik ist von seiner angenommenen Anwendung unabhängig, und See also:Hydrodynamik bleibt eine zusammenhängende und respektierte Wissenschaft, obwohl es extrem unwahrscheinlich ist, daß jede vollkommene Flüssigkeit in der körperlichen Welt besteht. Aber dieser unbendingly logische Gesichtspunkt kann nicht das letzte Wort nach der Angelegenheit sein. Für keine kann zweifeln, daß der wesentliche Unterschied zwischen charakteristischen Abhandlungen nach "reinem" und Mathematik "anwendete". Der Unterschied ist ein Unterschied bezüglich der Methode. In der reinen Mathematik werden die Hypothesen, die ein Satz Wesen erfüllen sollen und eine Gruppe interessante Abzüge werden gesucht gegeben. In "wendete Mathematik an,", das die "Abzüge" in der Form des experimentellen Beweises der natürlichen Wissenschaft gegeben werden und von denen die Hypothesen die "Abzüge" abgeleitet werden können, werden gesucht. Dementsprechend, wird jede See also:Abhandlung auf die angewandte Mathematik, richtig sogenannt. auf die See also:Kritik der "See also:Gesetze" verwiesen von, welchem die Argumentation beginnt oder zu einem See also:Vorschlag der Resultate, die Experiment hoffen kann, um zu See also:finden. So, wenn es das Resultat irgendeines Experimentes errechnet, ist es nicht die gut-bezeugten Resultate der experimentalists, die auf ihrem Versuch sind, aber die Grundlage der Berechnung. See also:Fingo der Hypothesen des Newtons nicht war eine stolze Prahlerei, aber es steht nach einem gesamten Mißverständnis der Kapazitäten des Verstandes von See also:Mann im Umgang mit externer Natur still. Synopse der vorhandenen Entwicklungen des reinen Mathematics.A-See also:Mais eine spezielle Eigenschaft. So die modernen Ideen, die so powerpleteklassifikation der mathematischen Wissenschaften, während sie zur Zeit bestehen, ist, im internationalen See also:Katalog der wissenschaftlichen Literatur gefunden zu werden gefördert von der königlichen Gesellschaft haben. Die See also:Klassifikation in der Frage wurde von einem internationalen Ausschuß der hervorragenden Mathematiker aufgestellt und folglich die höchste Berechtigung hat. Es würde unfair sein, sie von einem anspruchsvollen philosophischen Gesichtspunkt zu kritisieren. Der praktische See also:Gegenstand des Unternehmens erforderte daß die anteilige Quantität des jährlichen Ausganges in den verschiedenen Niederlassungen und daß die Verbindlichkeit der verschiedenen Themen in Wirklichkeit zum Auftreten in Zusammenhang mit einander, die Klassifikation ändern sollte. Unterteilen Sie a-See also:Abkommen mit reiner Mathematik. Unter der allgemeinen Überschrift "grundlegende Begriffe" treten die See also:Untertitel "See also:Grundlagen von Arithmetik auf," mit den rationalen Themen, den vernunftwidrigen und transcendental Zahlen und den Gesamtheiten; "Universalalgebra," mit den komplizierten Zahlen der Themen, den See also:quaternions, dem ausdehnungslehre, der vektoranalyse, den Matrizen und der Algebra von Logik; und "Theorie der Gruppen," mit den Themen begrenzt und den ununterbrochenen Gruppen. Für die Themen dieser allgemeinen Überschrift sehen Sie die ArtikelcAlgebra, ALLGEMEINHIN; GRUPPEN, THEORIE VON; INFINITESIMALCKalkül; ZAHL; QUATERNIONS; VEKTORCAnalyse. Unter der allgemeinen Überschrift "Algebra und Theorie von Zahlen" treten die Untertitel "Elemente von Algebra," mit den rationalen polynomischen der Themen, Permutationen, &c., Fächer, Wahrscheinlichkeiten auf; "linearer Ersatz," mit den Themabestimmenden Faktoren, &c., linearer Ersatz, allgemeine Theorie von quantics; "Theorie der algebraischen Gleichungen," mit dem Themabestehen der Wurzeln, der Trennung von und des Näherungswerts zu, der Theorie von See also:Galois, &c. "Theorie von Zahlen," mit den Themaübereinstimmungen, den quadratischen Überresten, den Hauptzahlen, den bestimmten vernunftwidrigen und transcendental Zahlen. Für die Themen dieser allgemeinen Überschrift sehen Sie die ArtikelcAlgebra; ALGEBRAISCHES FORMS; ARITHMETIK; KOMBINATORISCHE ANALYSE; BESTIMMENDE FAKTOREN; GLEICHUNG; BRUCH, FORTGESETZT; See also:INTERPOLATION; LOGARITHMEN; MAGISCHES QUADRAT; See also:WAHRSCHEINLICHKEIT. Unter der allgemeinen Überschrift "Analyse" treten die Untertitel "Grundlagen der Analyse," mit der Thematheorie von Funktionen der realen Variablen, der Reihen und anderer endloser Prozesse, der Grundregeln und der Elemente des Differentials und des integralen Kalküls, der definitiven Integrale und der Variationsrechnung auf; "Theorie von Funktionen der komplexen Größen," mit den Themafunktionen von einer variabel und einiger Variablen; "algebraische Funktionen und ihre Integrale," mit den algebraischen Funktionen der Themen von einer und einiger Variablen, elliptischer Funktionen und einzelner Thetafunktionen, Abelsche Integrale; "andere spezielle Funktionen," mit den Themen des Eulers, des Legendres, des Bessels und der automorphic Funktionen; "Differentialgleichungen," mit den Themabestehentheoremen, Methoden der Lösung, allgemeine Theorie; "differentiale Formen und differentiales Invariants," mit den differentialen Formen der Themen, einschließlich Pfaffians, See also:Umwandlung der differentialen Formen, einschließlich der tangentialen (oder des Kontaktes) Umwandlungen, der differentialen invariants; "analytische Methoden schlossen an körperliche Themen," mit der harmonischen Analyse der Themen, See also:Fourier-Reihe, die Differentialgleichungen der angewandten Mathematik, Problem Dirichlets an; "Differenzengleichungen und Funktionsgleichungen," mit der wiederkehrenden Reihe der Themen, Lösung von Gleichungen der begrenzten See also:Unterschiede und Funktionsgleichungen. Für die Themen dieser Überschrift sehen Sie die DIFFERENTIALGLEICHUNGEN der See also:Artikel; FOURIER-REIHE; ANHALTENDE BRÜCHE; FUNKTION; FUNKTION DER REALEN VARIABLEN; FUNKTIONSCKomplex; GRUPPEN, THEORIE VON; INFINITESIMALCKalkül; MAXIMA UND MINIMUM; REIHE; KUGELFÖRMIGE HARMONIK; See also:TRIGONOMETRIE; VERÄNDERUNGEN, KALKÜL unter von der allgemeinen Überschrift "Geometrie" treten die Untertitel "Grundlagen, ' mit den Themagrundregeln von Geometrie, nicht-Euklidische geometries, hyperspace, Methoden der analytischen Geometrie auf; "grundlegende Geometrie," mit den Themen Planimetrie, Körperlehre, Trigonometrie, darstellende Geometrie; "Geometrie von Conics und von Funktionen zweiter See also:Ordnung," mit den implizierten Themen; "algebraische Kurven und Oberflächen des Grads stark als die Sekunde," mit den implizierten Themen; "Umwandlungen und allgemeine Methoden für algebraische Konfigurationen," mit dem collineation, Dualität, Umwandlungen, Korrespondenz, Gruppen Punkten auf algebraischen Kurven und Oberflächen, Klasse der Kurven und Oberflächen der Themen, aufzählende Geometrie, connexes, Komplexe, Übereinstimmungen, höhere Elemente im Raum, algebraische Konfigurationen im hyperspace; "InfinitesimalcGeometrie: Anwendungen des differentialen und integralen Kalküls zur Geometrie, "mit der kinematischen Geometrie der Themen, der Biegung, der Korrektur und der See also:Quadratur, den speziellen transcendental Kurven und den Oberflächen; "Differentiale Geometrie: Anwendungen von Differentialgleichungen zur Geometrie, "mit den Themakurven auf Oberflächen, minimalen Oberflächen, den Oberflächen festgestellt durch differentialer konformer und anderer Darstellung der Eigenschaften, der Oberflächen auf anderen, Deformation der Oberflächen-, orthogonalen und Isothermoberflächen. Für die Themen unter dieser Überschrift sehen Sie die KONISCHEN ABSCHNITTE der Artikel; KREIS; KURVE; GEOMETRISCHER DURCHGANG; GEOMETRIE, Axiome von; GEOMETRIE, Euklidisch; GEOMETRIE, Projektiv; GEOMETRIE, See also:Analytisch; GEOMETRIE, Linie; See also:KNOTEN, MATHEMATISCHE THEORIE VON; See also:MENSURATION; See also:MODELLE; See also:PROJEKTION; OBERFLÄCHE; TRIGONOMETRIE. Diese Übersicht der vorhandenen Entwicklungen der reinen Mathematik bestätigt die Zusammenfassungen kam zu von der vorhergehenden Übersicht der theoretischen Grundregeln des Themas. Funktionen, Betriebe, Umwandlungen, Ersatz, Korrespondenzen, sind aber Namen für verschiedene Arten von Relationen. Eine Gruppe ist eine Kategorie Relationen, die völlig verlängert besitzen und vereinheitlicht dem Thema, haben seinen Anschluß mit "Zahl" und "Quantität," beim Holen von Ideen der Form und der Struktur in zunehmenden See also:Vorsprung gelöst. Zahl muß das große Thema des mathematischen Interesses in der Tat überhaupt bleiben, weil es in der Wirklichkeit das große Thema der angewandten Mathematik ist. Die ganze Welt, einschließlich der Savages, die nicht über fünf hinaus zählen können, Tageszeitung "wenden" Theoreme der Zahl an. Aber die Kompliziertheit der Idee der Zahl wird See also:praktisch durch die Tatsache veranschaulicht, daß sie gut als Abteilung einer Wissenschaft weit als selbst studiert wird. Synopse der vorhandenen Entwicklungen angewandten Mathematics.Section B des internationalen Kataloges beschäftigt Mechaniker. Die Überschrift "Maß der dynamischen Quantitäten" umfaßt die Themamaßeinheiten, die Maße und die See also:Konstante der See also:Gravitation. Die Themen der anderen Überschriften erfordern nicht ausdrückliche Erwähnung. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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