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INTERPOLATION (vom Lat.-interpolare, ...

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V14, Seite 710 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

INTERPOLATION (vom See also:Lat.-interpolare, ändern oder etwas einsetzen frisch, angeschlossen an pollee, an ein See also:Poliermittel) , in See also:der See also:Mathematik, der Prozeß des Erreichens von Zwischenbezeichnungen einer See also:Reihe, von der nur bestimmte Bezeichnungen gegeben werden. Die Würfel zum Beispiel gezeigt in der zweiten See also:Spalte der Begleittafel, können numerieren. Würfel der Zahl. 0 0 werde ich I 2 8 3 27 4 64 See also:5 125 6 216 als Bezeichnungen einer Reihe angesehen, und der Würfel einer Bruchzahl, die letzte Zahl in der ersten Spalte nicht übersteigend, kann durch Interpolation gefunden werden. Der Prozeß des Erhaltens See also:des Würfels einer Zahl, welche die letzte Zahl in der ersten Spalte übersteigt, würde Extrapolation sein; die Formeln, die auf Interpolation zutreffen, See also:treffen in der Theorie an der Extrapolation zu, aber in der Praxis in den speziellen Vorkehrungen hinsichtlich der Genauigkeit See also:sind notwendig. Der anwesende See also:Artikel beschäftigt nur Interpolation. Die See also:Bezeichnung wird normalerweise auf jene Fälle in ' begrenzt, die dort zwei Quantitäten, x sind und u, die so bezogen werden, das, wenn x jeden willkürlichen Wert hat und möglicherweise liegt zwischen bestimmten Begrenzungen, der Wert von, ist ist bestimmt. Es gibt gegebene Reihen dazugehörige See also:Werte von u und von x, und Interpolation besteht in der See also:Bestimmung des Wertes von u für jeden willkürlichen Wert von x oder im Wert von x für irgendeinen willkürlichen Wert von u und liegt zwischen zwei der Werte in der Reihe. Irgendeine der zwei Quantitäten kann als eine Funktion von der ' anderen angesehen werden; es ist bequem, ein, x, wie die "unabhängige Variable zu behandeln," das andere, u und behandelt wird als die "abhängige Variable," See also:d.See also:h. als Funktion von x. wenn, wie normalerweise der See also:Fall, die aufeinanderfolgenden Werte von einer der Quantitäten durch eine See also:konstante Stufensprung, diese Quantität soll als die unabhängige Variable betrachtet werden fortfahren. Die zwei Reihen von Werten können tabelliert werden, die von x, das in eine Spalte gelegt wird (oder in Reihe) und die von u in einer parallelen Spalte (oder in der Reihe); a wird dann gesagt, in x. ausgedrückt tabelliert zu werden, welches die unabhängige Variable x das See also:Argument genannt wird, und die abhängige Variable a wird die Eintragung genannt. Interpolation, in der gewöhnlichen Richtung, besteht, wenn sie den Wert von u für einen Wert des x-Vermittlers zwischen zwei Werten feststellt, die in der Tabelle erscheinen. Dieses kann als direkte Interpolation beschrieben werden, sie von der umgekehrten Interpolation zu unterscheiden, die besteht, wenn es den Wert von x für einen Wert des u-Vermittlers zwischen zwei in der Tabelle feststellt.

Die eingesetzten Methoden können auf Fälle, in denen der Wert von a von den Werten von zwei oder unabhängigere Quantitäten ein ' y abhängt, im gewöhnlichen Fall verlängert werden, den wir die Werte von x als entlang einem RIND der geraden Geraden von einem Fixpunkt 0 gemessen ansehen können, damit jedem möglichem Wert von x ein See also:

Punkt auf der See also:Linie entspricht. Wenn wir den entsprechenden Wert von a durch eine See also:Ordinante See also:gezeichnet von der Linie darstellen, liegen die Extremitäten all dieser Ordinanten auf einer Kurve, die das See also:Diagramm von a hinsichtlich der:See also:c.-Interpolation besteht folglich ist, wenn es die Länge der Ordinante einer Kurve feststellt, die eine bestimmte Position besetzt, wenn die Längen der Ordinanten, die bestimmte spezifizierte Positionen besetzen, bekannt. Wenn a eine Funktion von zwei Variablen, x und y ist, können wir sie durch die Ordinante einer Oberfläche, die Position ähnlich darstellen der Ordinante, die gemeinsam durch die Werte von x und von y festgestellt wird. Die Reihe oder die Tabellen, an denen Interpolation angewendet werden muß, können für Bequemlichkeit als, fallend in zwei Hauptgruppen angesehen werden. Die erste See also:Gruppe enthält mathematische Tabellen, d.h. Tabellen von den mathematischen Funktionen; im Fall von solch einer Tabelle wird der Wert der Funktion u für jeden Tabellierwert von x zu einem bekannten Grad Genauigkeit errechnet, und der Grad von Genauigkeit eines interpolierten Wertes von u kann geschätzt werden. Die zweite Gruppe enthält Tabellen von den Werten, die experimentell See also:z.B. bewertet von einer körperlichen Quantität oder von einem statistischen Verhältnis gefunden werden; diese Werte sind normalerweise abhängig von bestimmten "Störungen" der Beobachtung oder der gelegentlichen Vorwähler (sehen Sie See also:WAHRSCHEINLICHKEIT). Die Methoden der Interpolation sind normalerweise dieselben in den zwei Gruppen von Fällen, aber spezielle Betrachtungen müssen in die zweite Gruppe in Betracht gezogen werden. Die Linie der Abgrenzung der zwei Gruppen ist nicht See also:absolut örtlich festgelegt; die Tabellen, die von den Versicherungsmathematikern benutzt werden, zum Beispiel die vom großen Wert im praktischen See also:Leben sind, basieren auf statistischen Beobachtungen, aber den Tabellen, die See also:direkt von den Beobachtungen gebildet werden, sind "glatt gemacht worden", um Reihen zu erhalten, die in der See also:Form der Reihe von Werten der mathematischen Funktionen entsprechen. Es muß, auf jeden Fall im Fall von einer mathematischen Funktion angenommen werden, daß die "Eintragung" u ununterbrochen mit dem "Argument" x schwankt, d.h., daß es keine plötzlichen Brüche, Änderungen der Richtung, &c. gibt, in der Kurve, die das Diagramm von u ist. Verschiedene Methoden der Interpolation sind unten beschrieben. Das einfachste ist das, das die Grundregel der proportionalen Teile verwendet; und mathematische Tabellen werden normalerweise geordnet, um dieser Methode zu ermöglichen eingesetzt zu werden.

Wo dieses nicht möglich ist, basieren den Methoden irgendein auf dem Gebrauch von Theorem des Schneiders, das eine See also:

Formel gibt, die differentiale Koeffizienten mit einbezieht (sehen Sie INFINITESIMALCKalkül), oder auf den Eigenschaften der begrenzten See also:Unterschiede (sehen Sie UNTERSCHIEDE, KALKÜL VON). Theorem des Schneiders kann direkt an einer bekannten mathematischen Funktion nur angewendet werden; aber es kann, mittels der begrenzten Unterschiede, in den verschiedenen Fällen indirekt angewendet werden, in denen die Form der Funktion, die u in x ausgedrückt ausdrückt, unbekannt ist; und sogar wo die Form dieser Funktion bekannt, ist es manchmal bequemer, die differentialen Koeffizienten mittels der Unterschiede als festzustellen, sie direkt von ihren mathematischen Ausdrücken zu errechnen. Schließlich gibt es Fälle, in denen wir nicht Finite-differenceformeln sogar direkt einsetzen können. In diesen Fällen müssen wir irgendeine spezielle Methode annehmen; z.B. wir können anstelle von u irgendeine Funktion von u, wie seinem See also:Logarithmus tabellieren, der gefunden wird, um gewöhnlichen Prozessen zugänglich zu sein, dann stellen den Wert dieser Funktion fest, die dem bestimmten Wert von x entspricht und stellen darauf den entsprechenden Wert von u selbst fest. Wenn man Methoden der Interpolation betrachtet, wird es angenommen, es sei denn das Gegenteil angegeben wird, daß die Werte von x durch eine konstante Stufensprung fortfahren, die durch h bezeichnet wird. um zu sehen was Methode beschäftigt werden soll, ist es normalerweise notwendig, die gegebene Reihe von Werten von u in Form einer Tabelle zu ordnen, wie oben erklärt, und, den aufeinanderfolgenden Unterschieden von u. die Unterschiede der aufeinanderfolgenden Werte von u dann zu nehmen werden seine ersten Unterschiede benannt; diese bilden eine neue Reihe, dessen ersten Unterschiede die zweiten Unterschiede von u sind; und so See also:weiter. Die Systeme der See also:Darstellung der Unterschiede werden See also:kurz unten erklärt. Für die vollere Diskussion sollte Bezug genommen werden auf UNTERSCHIEDE, KALKÜL VON. I. INTERPOLATION VON DEN MATHEMATISCHEN TABELLEN A. Direct Interpolation. I.

Interpolation durch erste einfachste Fälle Differences.The sind die, in denen der erste Unterschied bezüglich u konstant ist, oder fast so. Z.B.: Beispiel See also:

r.(u = Maschinenbordbuchlox). Beispiel 2.(u = Maschinenbordbuchlox). x. u. 1. Diff. + 4,341 ' 6375898 ist 6376898 See also:I000 4,343 MOO 4,342 ' 6377898 6378898 I000 4,345,6379898 MOO 4'344 im Beispiel der erste Unterschied eines Entsprechens einem Unterschied von hm•ooi in x •000i000; aber, da wir gänzlich zu sieben Orten von Dezimalstrichen See also:arbeiten, ist es bequemer, ihm 1000 zu See also:schreiben. Dieses See also:System des Ignorierens des Dezimalkommas im Umgang mit Unterschieden wird während dieses Artikels angenommen. um u für einen Zwischenwert von x zu See also:finden nehmen wir die Grundregel der proportionalen Teile, d.h. wir annehmen an, daß der Unterschied bezüglich u zum Unterschied bezüglich x. folglich für x=4'342945 proportional ist, das der Unterschied bezüglich u •945 von MOO = 945 ist, damit a •6376898+.0000945='6377843 ist. Für x=4.34294482 würde der Unterschied bezüglich u 944'82 sein, damit der Wert von u anscheinend 6376898+.000094482 = 637784282. dieses sein würde, gleichwohl falsch seien Sie. An es muß erinnert werden, daß die Werte von u nur "beheben zu sieben Orten von Dezimalstrichen," d.h. jedes x.-u. 1.

Diff gegeben werden. I -- 7'40 Tabellierwert 7'44 des 87099 7'43 58 des 87040 7'42 59 des 86923 59 7'41 •86982 58 ' 87157 unterscheidet sich vom entsprechenden zutreffenden Wert durch eine tabellarische Störung, die jeden möglichen Wert bis zu t a 0000001 haben kann; und wir können nicht durch Interpolation ein Resultat folglich erreichen, das zu neun Plätzen korrekt ist. Wenn der interpolierte Wert von u in den Berechnungen verwendet werden muß, für die es wichtig ist, daß dieser Wert so genau sein sollte, wie möglich, kann es bequem sein, ihn im Form6376898+944 82=.6377842 82 oder 6376898+94432 = 6J77842g2 vorübergehend zu behalten; aber wir müssen zur Siebenplatzanordnung schließlich zurückkommen und sie als •6377843 schreiben. Das Resultat der Interpolation durch ersten Unterschied ist folglich normalerweise abhängig von zwei Ungenauigkeiten, dem ersten Sein die tabellarische Störung von u selbst und dem zweiten Sein See also:

Anhaltspunkt See also:zur Notwendigkeit der Justage der abschließenden See also:Abbildung des addierten (proportionalen) Unterschiedes. Wenn die Tabellierwerte zu sieben Orten von Dezimalstrichen korrekt sind, ist der interpolierte Wert, wenn die abschließende Abbildung justiert ist, innerhalb •000000l seines zutreffenden Wertes. In Beispiel 2 scheinen die Unterschiede nicht auf den ersten Blick, regelmäßig zu See also:laufen, aber dieser liegt nur an der Tatsache, daß die abschließende Abbildung in jedem Wert von a darstellt, wie im letzten Punkt, ein Näherungswert erklärt zum zutreffenden Wert. Die allgemeine Grundregel, auf der wir fortfahren, ist dieselbe; aber wir verwenden den tatsächlichen Unterschied, der dem See also:Abstand entspricht, in dem der Wert von x liegt. So für x=7.41373 sollten wir u=.86982+(•373 von 58)=•87004 haben; dieses Resultat, das innerhalb des 00001 korrekt ist. 2. Interpolation durch zweites Differences.If, das die nachfolgenden ersten Unterschiede von a nicht, wir ungefähr gleich sind, muß den folgenden See also:Auftrag von Unterschieden berücksichtigen. Z.B.: Beispiel 3.(u = See also:Maschinenbordbuch,ox). In solch einem Fall wird die Vorrückenunterschiedformel im Allgemeinen verwendet.

Die Darstellung ist wie folgt. Die Reihen von Werten von x und von u sind beziehungsweise xo, XI, x2. . . und uo, u2. und die aufeinanderfolgenden Unterschiede von a werden von Au, 6.ù bezeichnet. . . So bezeichnet Auo u, uo, und aùo bezeichnet Au, Auo=u2ù, +uo. Der Wert von x, für den a gesucht wird, soll zwischen xo und XI liegen. Wenn wir ihn gleich xo+B(xixo) = xo+Bh schreiben, damit 0 zwischen See also:

O und 1 liegt, können wir es durch x9 und den entsprechenden Wert von a bezeichnen durch u9. Wir haben dann 0(10) 0(10)(20) See also:Ito=uo+Bauo-ì Aùo+ I aåto... (i). 3!

Tabellen der Werte der Koeffizienten von aùo und von Aúo zu drei Orten der Dezimalstriche für verschiedene Werte von 0 von O bis I werden in den gewöhnlichen Ansammlungen der mathematischen Tabellen gegeben; aber die Formel ist nicht wirklich bequem, wenn wir über aùo hinaus gehen müssen oder wenn aùo selbst mehr als zwei bedeutende Abbildungen enthält. um die Formel an Beispiel 3 für x=6.277 anzuwenden, haben wir 8 = •77, damit u9 = •79239+('77 von 695)0)89 von II) = 79239+ 535 15+0 98 = ' 79775. Hier, als anderwohin, benutzen wir zwei Extraabbildungen in den Zwischenberechnungen, mit dem See also:

Ziel die Justage der abschließenden Abbildung im entscheidenden Resultat. 3. Theorem.Where-Unterschiede des Schneiders über der Sekunde hinaus sind beteiligt, Theorem des Schneiders ist nützlich. Dieses Theorem (sehen Sie INFINITESIMALCKalkül), gibt die Formel B ' uo=uo+c, B-;-c22~+e33!+... (2), wo, diesseits c2, c3. sind die Werte für x=xo vom ersten, zweites, drittes. . . differentiale Koeffizienten von u hinsichtlich x. die Werte von c, c2. . Dose See also:gelegentlich wird von den analytischen Ausdrücken für die differentialen Koeffizienten von u errechnet; aber im Allgemeinen müssen sie von den Tabellierunterschieden errechnet werden. Zu diesem Zweck sind Formeln Zentralunterschiedes das beste.

Wenn wir µSuo = (Au°+Au _) 5ùo = Aù_i µb8u0 = I(A31t_1+aá2 (3) schreiben, &c. damit, wenn (wie im §§ wird I und 2) jeder Unterschied gegenüber von dem See also:

Raum zwischen die zwei Quantitäten gesetzt, von denen es der Unterschied ist, die Ausdrücke 6ùo, Sûo. . . bezeichnen Sie die Unterschiede des gleichmäßigen Auftrages in einer horizontalen Linie mit uo und µSuo, µ5ú0. bezeichnen Sie die Mittel der Unterschiede des ungeraden Auftrages sofort unter und über dieser Linie, dann (sehen Sie UNTERSCHIEDE, KALKÜL VON), werden die Werte von c1, e2r durch Cl- = µOttosµIÚo + 21oµ5üo Rippe µ57u0+.. gegeben. c2 = 5ùo 4'25îto+510S02to 5-6 ob$uo+. . c3=µ5úejµ5üo+i soLI7Uo --..., c4=b1Uobs1°uoµ571 F40Súo... Co = µ5Ü0û0+... co=öuo68uo+..., Wenn eine See also:Rechenmaschine benutzt wird, schriftlich die Formel (2) See also:am bequemsten u9 = uo+PIB P, = c,+ 4 P20 P2 = ci+P3B mit 0 als der Multiplikand in jedem Fall, die aufeinanderfolgenden Ausdrücke. P3, P2, P1, uo werden leicht errechnet. Als Beispiel Nehmen u- = Säurenummerx bis fünf Orte von Dezimalstrichen, die Werte von x fortfahrend durch einen Unterschied von I°. Es wird gefunden, daß das folgende ein See also:Teil der Tabelle ist: Beispiel 4. -- (it = Säurenummer x). x. u. 1. Diff.

2. Diff . 3. Diff . 4. Diff . + + + + 65° 2,14451 732 16 66° 2,24604 10153 828 96 19 I0981 115 67° 2'35585 943 18 zum Finden eines forx=66°23', haben wir 8=23/60=•3833333. Die folgenden Erscheinen die volle Funktion: in der tatsächlichen Praxis würde sie abgekürzt. Die See also:

Betriebe beginnen auf der rechten See also:Seite. Es wird beachtet, daß zwei Extraabbildungen gänzlich behalten werden. uo. µ0u0. 322.0, µ0ú0. Sûo. das 1I mit 2,24604 -- loo67°0 -- 8,.800 +iosö _, 00 _ See also:L L c3 - 1_'See also:s --- ci°+1054942 c2=+8261 - ' Í 10,550, 4=+X900 P19=-{-410507 _ P29=-See also:f- 1602 3P30=-1- 1371 1N2 ue=2.28710 P1=+1071044 P2+840,3 P3 = { - '' lo7 der Wert 2,2870967, erreichte, indem es die Extraabbildungen behielt, ist korrekt innerhalb des 7 von •0000i (§ 8), damit 2,28710 innerhalb •o000I I korrekt ist.

Wenn man diese Methode an den mathematischen Tabellen anwendet, ist es, wegen der tabellarischen Störung wünschenswert, daß die Unterschiede, die in Betracht in (4) genommen werden, mit einem Unterschied des gleichmäßigen Auftrages beenden sollten. Wenn, z.B. verwenden wir µ5ú0, wenn wir c, und c3, wir errechnen, sollen Vito für die Berechnung von c2 und von c4 auch verwenden, obwohl die Bezeichnung wegen Sûo unwesentlich sein würde, wenn Sûo genau bekannt. 4. Geometrisches und algebraisches Interpretation.In, welches die Grundregel der proportionalen Teile, in solch einem Fall wie anwendet, die vom Beispiel I, wir in Wirklichkeit das Diagramm von u als gerade Gerade behandeln. Wir sehen, daß die Extremitäten einer Anzahl von nachfolgenden Ordinanten ungefähr in einer geraden Geraden liegen: IE, das, wenn die Werte innerhalb des tZp korrekt sind, eine gerade Gerade durch See also:

Punkte führt, die innerhalb eines entsprechenden Abstandes der tatsächlichen Extremitäten der Ordinanten sind; und wir nehmen an, daß daß-dieses für Zwischenordinanten zutreffend ist. Algebraisch behandeln wir u als, seiend von der Form A+Bx, in der A und B die Konstanten sind, die durch die Werte von u an den Extremitäten des Abstands festgestellt werden, durch den wir interpolieren. In verwenden zuerst und in den zweiten Unterschieden behandeln wir u als, seiend von der Form A+Bx+C.x'2; d.h. wir führen eine Parabel (mit Mittellinienvertikale) durch die Extremitäten von drei nachfolgenden Ordinanten und betrachten, daß dieses das Diagramm von u ist, zum Grad von Genauigkeit gegeben durch die See also:Daten. Ähnlich, wenn wir Unterschiede eines höheren Auftrages verwenden, ersetzen wir das Diagramm durch eine Kurve deren Gleichung von der Form u = A+Bx+Cx2+Dx3+ ist. . . Die verschiedenen Formen, die Interpolation-Formelnehmen an den verschiedenen Grundregeln liegt, auf denen Ordinanten für die Bestimmung der Werte von A, B, C vorgewählt werden. . B. Umgekehrte Interpolation.

5. um den Wert von x zu finden, wenn u gegeben wird, um den Wert von 0 d.h. zu finden, wenn uo gegeben wird, verwenden wir die gleiche Formel wie für direkte Interpolation, aber See also:

fahren (wenn Unterschiede über dem ersten hinaus beteiligt sind), durch aufeinanderfolgenden Näherungswert fort. Theorem des Schneiders zum Beispiel gibt 0 = (u9u0)(c, +...) = (a9no)=P, (6), x. õ 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 U. 81291 •8o6i8 1. Diff des • 79934 des 77815 •78533 •79239. +718 +706 +695 +684 +673 2. Diff. I2 II II II finden wir zuerst einen ungefähren Wert für 0: errechnen Sie dann PU und finden Sie durch (6) einen genaueren Wert von 0; dann rechnen Sie wenn notwendig PU und darauf 0 und so weiter nach. II. See also:AUFBAU DER TABELLEN DURCH ABSTÄNDE 6 SUBDIVISION OF. Wenn die Werte von u für die Werte von x fortfahrend durch einen Unterschied h tabelliert worden sind, ist es häufig wünschenswert, eine Tabelle abzuleiten, in der die Unterschiede von x h/n sind, in denen n eine Ganzzahl ist.

Wenn n gleichmäßig ist, kann es ratsam sein, eine Zwischentabelle zu bilden, in der die Abstände 4h sind. Zu diesem Zweck haben wir u } = s (Uo+UI) U=u-85ù+i!65û-i-Ala6u+... = u-See also:

e(bù-'cfb'u-za(56u -...) } ] ist das folgende ein Beispiel; die Daten sind die Werte der Orte Säurenummer x bis fünf von Dezimalstrichen, der Abstand in x, das i-° ist., das die Unterschiede des ungeraden Auftrages für Bequemlichkeit des Druckes ausgelassen werden. Beispiel 5. = u-bräune ich x. 5ù. Sou. 56u. U.-vualuesmeanof Uof. x. x. + + + 73° 3.27o85 2339 100 5 3,26794 95 3'37594 731° 740 3,48741 2808 132 23 3,48392 9 8 ' 3,60588 744° 75° 3,73205 3409 187 18. 3,72783 17 3,86671 754-4° 76° 4,01078 4197 260 51 4,00559 22 77° 4'33148 5245 384 64 4'32501 07 4'16530 762°, wenn eine neue Tabelle von diesen Werten gebildet wird, die Abstände, die 2° sind, wird es gefunden, daß Unterschiede über dem Fourth hinaus unwesentlich sind. um 11 in kleinere Abstände als 4h zu unterteilen, können verschiedene Methoden verwendet werden.

Eins soll die Sätze der Quantitäten errechnen, die bezüglich der neuen Tabelle die aufeinanderfolgenden Unterschiede sind und entspricht uo, uI. . . und die Vermittlerbezeichnungen durch aufeinanderfolgende Hinzufügung finden. Eine bessere Methode soll eine Formel wegen See also:

J. D. See also:Everett verwenden. Wenn wir 0=1 -0 schreiben, ist Formel Everetts, in seiner symmetrischsten Form, ue=But++1)0'0-1)42 +(0+2)(0+1)010-1)(O-2)5ûI+... 3• 5• +duo+(0+1)3(-1)52110+(0+2)(0+1)5 (0-i)((a -2)5ûo+..., Für tatsächliche Berechnungen kann eine weniger symmetrische Form benutzt werden. Bezeichnung (0+1)0(0-I)S214+(0+2)(O+1)0(0-1)(0-2)bût+... (io) 3! 5! durch WI haben wir, für Interpolation zwischen uo und uI, See also:as=See also:ur:-I-O uo+OVI+1_OVo (ii), die aufeinanderfolgenden Werte von 0 seiend 1/n, 2/n,..

(n-I)/n. für Interpolation zwischen ui und u2, die wir haben, mit der See also:

gleichen See also:Reihenfolge von Werten von 0, ut.e=uI+eVI, V2+1_eVI - (12). Die Werte von I-eVi in (12) sind genau dieselben wie die von WI in (ii), aber im Rückauftrag. Der Prozeß ist folglich, der (i.) wir finden die aufeinanderfolgenden Werte von uo+0 uo, &c., d.h. konstruieren wir eine Tabelle, mit den angeforderten Abständen von x, als ob wir, erste Unterschiede nur in Betracht zu ziehen hatten; (ii.) konstruieren wir, in einer parallelen Spalte, eine Tabelle, welche die Werte von eVI, &c. gibt; (iii.) wiederholen legen wir diese letzten Werte und den See also:Satz, der jedem Abstand h in den Abstand gehört, der ihm folgend folgend ist, und die Werte in den Rückauftrag schreibend; und (iv.) indem wir See also:horizontal hinzufügen, erhalten wir die abschließenden Werte für die neue Tabelle. Als Beispiel nehmen Sie die Werte von Säurenummer x durch Abstände von in x, wie oben gefunden (Ex. 5). Das erste Diagramm folgend ist ein Teil dieser Tabelle, mit den Unterschieden, und die Sekunde zeigt die Berechnung der Bezeichnungen von (ii), um eine Tabelle zu erhalten, in der die Abstände 0,1 von I° sind. Die letzte Spalte aber eine im zweiten Diagramm wird für Bequemlichkeit der Berechnung eingeführt. Beispiel 6. x. u- = Säurenummerx. See also:BU B.t.u. b'u. 18û. + + + +11147 • 62 740,0 3'48741 700 8 11847 7 0 74°'5 3,60588 770 9 12617 79 - i x t_eVo uo+ODuo eVI.. BVI f I~Vo. u.

. 73°.6 -22 35. 73°'7 -39 11 73°'8 -44 71 730.9'0 -33 54 74 3'48741 00 3,48741 74°.1 13,51110 40 -24 58 -33 54 -58 12 3,51052 74°.2 3,53479 8o -43 02 -44 71 -87 73 3'53392 74° 3 355849 20 -49 18 -39 See also:

bin ich I -88 29 3'55761 74 ' 4 õ -36 89 -22 35 -59 24 3'5$159 740-5 3'60588 8 3,60588 3'5821 00 das folgende die Werte der Koeffizienten von Tit, gesetzt, von 5û1, und S6ui in (9) für bestimmte Werte von n. für die Berechnung der vier Bezeichnungen wegen des b'ut im Fall von n=5, das es beachtet werden sollte, daß die dritte Bezeichnung zweimal die erste ist, der Fourth, ist das Mittel von dem ersten und der Third und die Sekunde ist das Mittel vom dritten und der Fourth. In Tabelle 1 und in der letzten Spalte von Tabelle 2, werden die Koeffizienten in der letzten Abbildung behoben. Co. U. Co. 5Û U. Co.. Co. ~6U. 00633600135168 des 032 •2 = I/7ô ca.. 011648 mit 6 064 des 010752 ' 00226304 = 1/442 •4 •056 •00239616 = 1/417 008064 mit 8 048 •00160512 = 1/623, •cTabelle 2.-n=10.

Co. U. Co. 5ù. Co. 5û. Co. 56u. + - + - 00633600 •001351680 des 00329175 •000704591 •2 •0320 •1 •oi65 ' 3 01075200 des 045500889525 •001887064 •4 •0560 ' 002263040 01171875 •002441406 •o6ô •01164800 •002396160 des 5 •o625 ' 7 ' 0595 048000806400 •001605120 •01044225 •002115799 •8 ' 9 u. Co. 5ù. Co. 5û. Co des 028500454575000886421 Co.. Yu. des 039062500007690430 •001636505 4/12 des 005363726 •027006173 •001145822 3/12 des 013792438002753699000589623 2/12 des 057388117010979463 •002307357 6/12 des 049382716 •009602195 •002032211 5/12 064139660011736667002419911 1/12 des 062500000 •011718750 •002441406 7/12 8/12 •061728395 ' 010973937 des 042438272007014103001387048 11/12 des 001888275 10/12 des 054687500 •009399414 des 002235432 9/12 003855178 •024402006 •000748981 7.

Ableitung von Formulae.-TheVorrückenunterschiedformel (i) kann, in die symbolical Darstellung der begrenzten Unterschiede, ue=(1+A)°uo=E°uo (13) geschrieben werden; und es ist eine Verlängerung des Theorems, das, wenn n eine positive Ganzzahl ua=uo+nAuo+nl Zi I)~ùo+... (14) ist, die Reihe, die fortgefahren wird, bis die Bezeichnungen verschwinden. Die Formel (14) ist identisch zutreffend: die Formel (13) oder (i) ist nur formal zutreffend, aber seine Anwendbarkeit zu den konkreten Fällen liegt an der Tatsache, daß die Reihe in (i), wenn sie für eine definitive Anzahl von Bezeichnungen genommen wird, vom zutreffenden Wert von u° durch einen "See also:

Rest" sich unterscheidet, der in den meisten Fällen sehr See also:klein ist, wenn diese definitive Zahl von Bezeichnungen richtig gewählt wird. Formel Everetts (9) und die Zentralunterschiedformel, die erreicht wird, indem sie von (4) in (2) ersetzen, sind Änderungen einer Standardformel 1B=uo+0üliOr 21 I)bùo+(0+113'0-1)5úI+ (0+I)O(07I)(O-2)SquO+... (I.-î wo (8). (die als eine Verlängerung des Theorems nur von x-=-õ° zu x=8o° ähnlich angesehen werden kann, könnten wir die Tabelle von dem dann durchführen, wenn n eine positive Ganzzahl ist, Unterschiede durch das Bilden der Eintragungen unten gezeigt in den Italics. nnZtO+nSnz~-n(n-I)SZUO-I-(n-l-I)n(n-I)Súl+... (16). 21 3t a dort sind andere Zentralunterschiedformeln außer denen, die oben erwähnt werden; der allgemeine symbolical Ausdruck ist u9 = (cosh OhD+sinh 0hD)u, 5 cosh ZhD=µ, sinh 2hD=28 8. Vergleichbare Accuracy.-Central-differenceformeln sind normalerweise genauer als Vorrückenunterschiedformeln, ob wir die Ungenauigkeit wegen der Auslassung des "Restes betrachten", der im letzten Punkt oder in der Störung wegen des mative Buchstabens des approxi• der Tabellierwerte erwähnt wird. Das letzte ist das wichtigere. Wenn jeder Tabellierwert von u innerhalb Zp des entsprechenden zutreffenden Wertes ist und wenn die Unterschiede, die in den Formeln verwendet werden, die tabellarischen Unterschiede sind, d.h. ist die tatsächlichen aufeinanderfolgenden Unterschiede der Tabellierwerte von u, dann das Verhältnis von der See also:Begrenzung auf Störung von u5, wie von den ersten r-Bezeichnungen der Reihe in (i) errechnet, zu AP die Summe der ersten r-Bezeichnungen der Reihe I+o+0(I -0)+0(1-0)(2-0)+hO(I -0)(2-0)(3-0)+ ' -, 0(1-0)(2-0)(3-0)(4-0)+s'sae(I -0)...

(5-8)~ -., während das entsprechende Verhältnis für den Gebrauch von Unterschieden bis zu 52puo einschließlich in (4) oder bis bis 82pu1 und zum o'puo in (9) (d.h. in Wirklichkeit, bis zu 629+'u;) ist die Summe der ersten p+t-Bezeichnungen der Reihe 1+0(I -0)+(1+0)0(1-0)(2-0)+. (21)2 (2+0)(1+0)0(1 I 0)(2 -- 0)(3-0)+...; (3•) es - sollend in jedem Fall, daß 0 zwischen O und 1 liegt. Die folgende Tabelle gibt einen Vergleich der jeweiligen Begrenzungen auf Störung; die Linien I. und II. geben die Störungen wegen des Vorrückenunterschiedes und der Zentralunterschiedformeln, und der Koeffizient p wird gänzlich ausgelassen. Störung wegen des Gebrauches der Unterschiede bis zu und des Mit.einschließens 1. 2.. 3. 4.. 5. 6.. 7.. I. 813 I•o86 1,497 Des 500 •625 2,132 3'147 ' 5 II.

696 •745 •745 I. '500 Des 625 •696 Des 500 •625. 1 3,042 1 II. 58o 624 Mit 5 •58o 1,624 6S353 6 ~3 5 5 553 2,265 Des 812 I•I04 1 Des 620 •500 Des 624624 I. 3,422 ' 4 II. I •500 •6ò des 734734 I. des 620 •688 •688 788 1,024 des 620 •500 1,366 1,886 2,700 6 II. •500 •6ò 734734 1 des 6ò •688 •688 8 des 500580580 •624 '624 des 969 I.213 I.582 II. des I.-500580676 •800 653 •653 in einigen Fällen die tabellierten Unterschiede sind die nicht tabellarischen Unterschiede, aber die behobenen Unterschiede; d.h. ist jeder Unterschied, wie jeder Wert von u, innerhalb Zp korrekt. Er folgt nicht, daß diese Unterschiede für Interpolation verwendet werden sollten. Was Formel eingesetzt wird, sollte der erste Unterschied der tabellarische erste Unterschied, nicht der behobene erste Unterschied immer sein; und weiter wenn eine Zentralunterschiedformel verwendet wird, sollte jeder Unterschied des ungeraden Auftrages der tabellarische Unterschied der behobenen Unterschiede des folgenden niedrigeren Auftrages sein. (dieses letzte Resultat wird indirekt erzielt, wenn Formel Everetts. verwendet wird), Mit diesen Vorkehrungen (i.) die Zentralunterschiedformel wird etwas durch das Verwenden behoben anstelle von den tabellarischen Unterschieden verbessert, und (ii.) wird ist die Vorrückenunterschiedformel groß verbessert und besser als die Zentralunterschiedformel mit tabellarischen Unterschieden nicht so gut, aber noch als der letzte mit behobenen Unterschieden. Für werden e = 5 zum Beispiel angenommem wir zu den 5. Unterschieden, zu den Begrenzungen 1,497 und zu •696 gehen müssen, wie oben gegeben, t •627 und $ '575 beziehungsweise.

9. Beendigung der Tabelle von Differences.-If keine Werte von u außerhalb der Strecke, innerhalb deren wir interpolieren müssen, die Reihe von Unterschieden gegeben werden, ist an beiden Enden unvollständig. Sie kann in jeder Richtung fortgesetzt werden, indem man als Konstante behandelt, die der extreme Unterschied des höchsten Auftrages miteinbezog; und Zentralunterschiedformeln können während der vollständigen Strecke dann gleichmäßig eingesetzt werden. Nehmen Sie zum Beispiel daß die Werte von Säurenummer x in extendedExample 7 des § 6 an. x. u- = Säurenummerx. ü. Stu. Sú. 6û. Sbu. S6u. + + - F + + + 6775 34 õ° 1,73205 425 9 7200 43 61° 1,80405 468 9 7668 52 62° 1,88073 520 9 8188 61 71 64° 2,05030 63° 1,96261 581 bis 8769 652 9 75° 3'73205 3409 187 18 27873 788 73 76° 4,01078 4197 2õ 51 32070 1048 124 77° 4'33148 5245 384 64 37315 1432 188 78° 4,70463 6677 572 64 43992 2004 252 79° 5,14455 8681 824 64 52673 2828 316 8o° 5,67128 11509 1146 64 64182 3968 38o für das Interpolieren zwischen x=60° und x=61° sollten wir das gleiche Resultat erreichen, indem wir Formel Everetts an diesem Tabelle wie anwenden, indem wir die Vorrückenunterschiedformel verwenden; und ähnlich am anderen See also:

Ende für die Zurücktretenunterschiede. Interpolation durch ersetzte Tabellierung. zu. Die Relation von u bis x kann so sein, daß die aufeinanderfolgenden Unterschiede von u sich See also:schnell erhöhen, damit Interpolation-Formeln nicht direkt eingesetzt werden können.

Andere Methoden haben dann verwendet zu werden. Die beste Methode soll u durch irgendeinen Ausdruck See also:

V ersetzen, der eine Funktion von u so ist, daß (i.) der Wert von v oder von u kann für jeden möglichen gegebenen Wert von u oder von v festgestellt werden, und (ii.), wenn v in x ausgedrückt die Unterschiede tabelliert wird, verringern Sie sich schnell. Wir können v und darauf u, für jeden Zwischenwert von x dann errechnen. Wenn zum Beispiel wir Säurenummer x für einen Wert von x erfordern Sie, das fast 9o° ist, wird es gefunden, daß die Tabelle von Tangenten nicht für Interpolation verwendbar ist. Wir können es in eine Tabelle von Cotangents in ungefähr gleiche Zahl der bedeutenden Abbildungen jedoch umwandeln; von diesem können wir cot x leicht errechnen und bräunen darauf x. I. Diese Methode ist für statistische Daten besonders verwendbar, in denen die aufeinanderfolgenden Werte von u den See also:Bereich einer Abbildung der Frequenz bis zu den aufeinanderfolgenden Ordinanten darstellen. Wir haben zuerst, durch Kontrolle, eine Kurve festzustellen, die eine allgemeine Ähnlichkeit zur unbekannten Kurve der Frequenz trägt und deren Bereich und See also:Abszisse so bezogen werden, die irgendein mit der anderen bereitwillig errechnet werden kann, bekannt. Dieses kann genannt werden die zusätzliche Kurve. Durch See also:g die Abszisse dieser Kurve bezeichnend, die Bereich u entspricht, finden wir den Wert von L: jedem von entsprechen die Werte von u. dann gegeben, z tabellierend; in x ausgedrückt haben wir eine Tabelle, in der, wenn die zusätzliche Kurve gut gewählt worden ist, Unterschiede von E nachdem die erste oder an zweiter See also:Stelle unwesentlich sind. Wir können E und darauf u, für jeden Zwischenwert von x folglich finden. Verlängerungen.

12, Aufbau des Formulae.-Anyunterschiedes von u des rthauftrages bezieht nachfolgende Werte r+1 von u mit ein, und er konnte durch die Suffixe ausgedrückt werden, die diese Werte anzeigen. So konnten wir die Tabelle von u. 1. Diff schreiben der Unterschiede x.. 2. Diff . 3. Diff . 4. Diff . (- I, O) (-2, - I, O, I) XA-uo (-1, O, I) (-2, - I, 0, I, 2) (O, I) (- I, 0, I, 2) x1 u1 (0, I, 2) (- I, 0, I, 2, 3) (I, 2) (0, I, 2, 3) X2 U2 (I, 2, 3) (0, I, 2, 3, 4) (2, 3) (I, 2, 3, 4) wo (17), (18). Die Formeln (0 und (15) konnten u=uo+x-hx°(o, 1)+x Fx° ' i--'(o, 1 dann schriftlich, 2) + xxoxxl xx2(o, 1, 2, 3)+...

(19), h SH' 3h %°uo x x0(C, • 2h I(-1, O, I)-1-x-xo xxi x 1)x x0 x es 2h. 3h (- I, 0, 1, 2) +. . . (ò). Die allgemeine Grundregel, auf der diese Formeln konstruiert werden und der verwendet werden kann, andere Formeln zu konstruieren, ist, daß (i.) wir beginnen mit jedem möglichem Tabellierwert von u, (ii.) wir überschreiten zu den aufeinanderfolgenden Unterschieden durch Schritte, von denen jeder sein kann entweder abwärts oder aufwärts, und (iii.) stellt das neue Suffix, das an jedem See also:

Schritt eingeführt wird, den neuen See also:Faktor fest (x) für Gebrauch in die folgende Bezeichnung mit einbeziehend. Für irgendeinen bestimmten Wert von x jedoch alle Formeln, die mit dem gleichen Unterschied des rthauftragsgebens das gleiche Resultat beenden, vorausgesetzt tabellarische Unterschiede verwendet werden. Wenn zum Beispiel wir nur zu den ersten Unterschieden gehen Sie, haben wir hx-(o des xto-~ x, 1) = ui-I-x hx'(0, i) identisch. 13, Ordinanten nicht Equidistant.When die aufeinanderfolgenden Ordinanten im Diagramm von u sind nicht äquidistant, d.h., wenn die Unterschiede der aufeinanderfolgenden Werte von x nicht gleich sind, trifft die oben genannte Grundregel noch zu, vorausgesetzt die Meinungsverschiedenheiten in einer bestimmten Weise gebeilegt werden. See also:Lassen Sie die Werte von x, für die u ist a=xo+ah, b=xo+Gh, c=xo+-yh tabelliert wird. . . Dann wird die Tabelle gebeilegte Meinungsverschiedenheiten. x. u. 1.

Diff. 2. &c Diff _. a=x°u° (a-,/3) b=xp oben (a, l3, y) 7) c=xy uy in dieser Tabelle jedoch (a-,/3) bedeutet nicht oben - u°, aber (herauf - u°) (/á); (a-,/3, y) Mittel { ((3, y)-•(a,/3)1=(7a); und, im Allgemeinen irgendeine Quantität (' q. . . ¢) in der Spalte geht "rthdiff." voran, wird erreicht, indem man vorbei den Unterschied der anliegenden Quantitäten in der vorhergehenden Spalte teilt (4 --,i)jr., wenn die Tabelle auf diese See also:

Art gebildet wird, können wir die Grundregel von § I2 anwenden, um Formeln wie u=u°+x ha zu erreichen. (a, (3)+x h ein x2b-• (a, /3, y)+... (21), u=uy+ h x cm. (R, y)+xh c. xzhb (a, Q, y)+... (22). Das folgende Beispiel veranschaulicht die Methode, h, das genommen wird, um 1 Beispiel 8 zu sein.

x. a=See also:

sin X. 1. Diff. 2. Diff . 3. See also:Vorwahlknopf '. (justiert). (justiert). (justiert). 20° •3420201 162932 50 22° ' 3746066 1125 00 161245 00 48 75 23° 3907311 1222 50 158800 00 48 30 26° •4383711 1303 00 156194 00 47 49 27° 4539905 1445 47 151857 õ 46 00 32° 5299193 1583 48 145523 67 35° 5735764 zum Finden von u für x=31°, verwenden wir die Werte für 26°, 27°, 32° und 35° und erreichen • 2(-144547)+ 5 u='4383711004156194 00)+I 4 1. 2.

-4600)•5150380, 1 3, das nur falsch in der letzten Abbildung ist. (L A) (L ua B) (lc) (23). Dieses bekannt als Formel Lagranges, aber sie soll zu See also:

Euler See also:passend. Es ist nicht für praktischen Gebrauch bequem, da sie nicht zeigt, wieviele Bezeichnungen in jedem bestimmten Fall genommen werden müssen. 14, Interpolation von den Tabellen doppelten Entry.When u ist eine Funktion von x und von y und wird in x ausgedrückt und von y gemeinsam, seine Berechnung für ein Paar Werte tabelliert, die nicht in der Tabelle gegeben werden, kann entweder eine Tabelle von Werten von u zuerst bilden in y für den bestimmten Wert von x ausgedrückt und u von dieser Tabelle für den bestimmten Wert von y. für direkte Interpolation dann feststellen direkt oder durch erfolgt werden, betrachten, daß A das Differencing darstellt, indem es x in x+i ändert, und A ', das indem sie y in y+I differencing ist, ändert. Dann ist die Formel uz, y = (1+o)s(i+.

End of Article: INTERPOLATION (vom Lat.-interpolare, ändern oder etwas einsetzen frisch, angeschlossen an pollee, an ein Poliermittel)

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