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KORRESPONDENZ

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V11, Seite 694 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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KORRESPONDENZ . HOMOGRAPHISCH UND See also:

PERSPEKTIVE ERSTRECKT SICH § 25. Zwei Reihen, p und p ', die eins die See also:Projektion vom anderen See also:sind (wie in fig. See also:5), Standplatz in einer definitives Relation miteinander, kennzeichneten durch die folgenden Eigenschaften. 1. jedem See also:Punkt in irgendeinem entspricht ein Punkt im anderen; das heißt, werden jene See also:Punkte gesagt, um zu entsprechen, die Projektionen von einer andere sind. 2. Das See also:Kreuz-Verhältnis aller möglicher vier Punkte in einem entspricht dem See also:der entsprechenden Punkte im anderen. 3. Die Linien, die das Entsprechen verbinden, zeigt See also:allen Durchlauf durch den See also:gleichen Punkt. Wenn wir die entsprechenden gekennzeichneten Punkte annehmen und die Reihen in jede mögliche andere Position holten, dann See also:treffen die Linien, die entsprechende Punkte verbinden, nicht mehr in einem allgemeinen Punkt, und folglich hält der Third der oben genannten Eigenschaften nicht irgendwie länger; aber wir haben noch eine Korrespondenz zwischen den Punkten in den zwei Reihen, welche die ersten zwei Eigenschaften besitzen. Solch eine Korrespondenz ist eine one-onekorrespondenz genannt worden, während die zwei Reihen, zwischen denen solche Korrespondenz hergestellt worden ist, projektiv oder homographisch sollen.

Zwei Reihen, die jede die Projektion von der anderen sind, sind folglich projektiv. Wir sehen momentan auch daß alle zwei projektiven Reihen in solch eine Position immer gelegt werden können, daß man als die Projektion vom anderen erscheint. Wenn sie in solch einer Position sind, sollen die Reihen in Perspektiveposition oder, in der Perspektive See also:

einfach zu sein. § 26. Der Begriff einer one-onekorrespondenz zwischen Reihen kann auf die flachen und axialen Bleistifte verlängert werden, nämlich wird ein flacher See also:Bleistift gesagt, um zu einem flachen Bleistift projektiv zu sein, wenn jedem See also:Strahl im ersten ein Strahl in der Sekunde entspricht und wenn das Kreuz-Verhältnis von vier Strahlen in einem dem der entsprechenden Strahlen in der Sekunde entspricht. Ähnlich kann ein axialer Bleistift zu einem axialen Bleistift projektiv sein. Aber ein flacher Bleistift kann zu einem axialen Bleistift projektiv auch sein, oder jeder Bleistift kann zu einer See also:Reihe projektiv sein. Die See also:Definition ist dieselbe in jedem See also:Fall: es gibt eine one-onekorrespondenz zwischen den Elementen, und vier Elemente haben das gleiche Kreuz-Verhältnis wie das Entsprechen. § 27. Es gibt auch in jedem Fall eine spezielle Position, die Perspektive genannt wird, nämlich. t. Zwei projektive Reihen sind Perspektive, wenn sie in der gleichen Fläche liegen und wenn die eine Reihe eine Projektion von der anderen ist.

2. Zwei projektive flache Bleistifte sind perspective(I), wenn sie in der gleichen Fläche liegen, und haben eine Reihe als allgemeiner See also:

Abschnitt; (2) wenn sie im gleichen Bleistift (im See also:Raum) liegen und beide Abschnitte See also:des gleichen axialen Bleistifts sind; (3) wenn sie im Raum sind und eine Reihe als allgemeiner Abschnitt haben oder beide Abschnitte des gleichen axialen Bleistifts sind, einer der Bedingungen, welche den anderen mit einbeziehen. 3. Zwei projektive axiale Bleistifte, wenn ihre Äxte treffen und wenn sie einen flachen Bleistift als allgemeiner Abschnitt haben. 4. Eine Reihe und ein projektiver flacher Bleistift, wenn die Reihe ein Abschnitt des Bleistifts ist, jeder Punkt, der in seiner entsprechenden See also:Linie liegt. 5. Eine Reihe und ein projektiver axialer Bleistift, wenn die Reihe ein Abschnitt des Bleistifts ist, jeder Punkt, der in seiner entsprechenden Linie liegt. 6. Eine See also:Ebene und ein projektiver axialer Bleistift, wenn das ehemalige ein Abschnitt vom anderen ist, jeder Strahl, der in seiner entsprechenden Fläche liegt. Daß in jedem Fall die Korrespondenz, die durch die angezeigte Position hergestellt wird, wie ist, ist projektiv folgt sofort von der Definition benannt worden. Es ist nicht so offensichtlich, daß die Perspektiveposition immer erreicht werden kann.

Wir zeigen im §ó dieses für die ersten drei Fälle. Zuerst jedoch geben wir einige Theoreme, die auf der allgemeinen Korrespondenz beziehen, nicht See also:

zur Perspektiveposition. § 28. Zwei Reihen oder Bleistifte, See also:flach oder axial, die zu einem Third projektiv sind, sind miteinander projektiv; dieses folgt sofort von den See also:Definitionen. § 29. Wenn zwei Reihen oder zwei Bleistifte, entweder flach oder axial oder eine Reihe und ein Bleistift, projektiv sind, können wir zu allen möglichen drei Elementen in dem die drei entsprechenden Elemente im anderen annehmen, und dann wird die Korrespondenz einzigartig festgestellt. Für, wenn in zwei projektiven Reihen wir annehmen, daß die Punkte A, B, See also:C im ersten den gegebenen Punkten A ' entsprechen, entspricht B ', C ' in dem zweiten, dann zu irgendeinem 4. Punkt See also:D im ersten ein Punkt D ' in der Sekunde, damit (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) = (A'B ', C'D '). Aber es gibt nur einen Punkt, D ', das das Gleichgestellte des Kreuz-Verhältnisses (A'B ', C'D ') zur gegebenen Zahl (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) bildet. Die gleiche Argumentation hält in den anderen Fällen. § 30. Wenn zwei Reihen Perspektive sind, dann zeigt die Linien, die das Entsprechen verbinden, alles Treffen in einem Punkt, die Mitte der Projektion; und der Punkt, in dem die zwei Unterseiten der Reihen schneiden, während ein Punkt in der ersten Reihe mit seinem entsprechenden Punkt in der Sekunde übereinstimmt.

Dieses folgt von der Definition. Die des Gegenteils Einflüsse auch, nämlich. Wenn zwei projektive Reihen solch eine Position haben, daß ein Punkt in dem mit seinem entsprechenden Punkt im anderen übereinstimmt, dann sind sie Perspektive d.See also:

h. die Linien, die entsprechende Punkte aller Durchlauf durch einen allgemeinen Punkt verbinden und bilden einen flachen Bleistift. Für lassen Sie A, B, C, D. . . seien Sie Punkte in dem und A ', B ', C ', D '. . . das Entsprechen zeigt in die andere Reihe und ließ A gebildet werden, um mit seinem entsprechenden Punkt A übereinzustimmen '. See also:Lassen Sie See also:S der Punkt sein, in dem das Treffen der Linien BB ' und cm ' und uns verbinden S zum Punkt D in der ersten Reihe ließ. Diese Linie schneidet die zweite Reihe in einem Punkt D ", damit A, B, C, D von S in die Punkte A projiziert werden, B ', C ', D ". Das Kreuz-Verhältnis (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) ist folglich Gleichgestelltes (AB ', C'D") und durch See also:Hypothese, die es gleich ist (A'B ', C'D '). Folglich (A'B ', C'D") = (A'B ', C ' I) ') ist d.h. D "der gleiche Punkt wie D '.

§ 31. Wenn zwei sich projizierten, sind flache Bleistifte in der gleichen Fläche in der Perspektive, dann entspricht die Durchschnitte der entsprechenden Linienform eine Reihe und die Linie, welche die zwei See also:

Mitten als Linie im ersten Bleistift verbindet, der gleichen Linie wie eine Linie in der Sekunde. Und andererseits, wenn zwei projektive Bleistifte in der gleichen Fläche, aber mit unterschiedlichen Mitten, haben Sie eine Linie in der, die mit seiner entsprechenden Linie in der anderen, dann die zwei Bleistifte zusammentreffend ist, sind Perspektive d.h. der See also:Durchschnitt der entsprechenden Linienlüge in einer Linie. Der See also:Beweis ist derselbe wie in § 30. § 32. Wenn zwei projektive flache Bleistifte im gleichen Punkt (Bleistift im Raum), aber nicht in der gleichen Fläche, Perspektive sind, dann rays die Flächen, die das Entsprechen verbinden, allen Durchlauf durch eine Linie (sie bilden einen axialen Bleistift), und die Linie, die für die zwei Bleistifte See also:allgemein ist (in, welchen ihre Flächen schneiden), entspricht sich. Und andererseits: Wenn zwei flache Bleistifte, die eine allgemeine Mitte haben, aber, nicht in einer allgemeinen Fläche liegen, werden, damit ein Strahl in dem mit seinem entsprechenden Strahl im anderen übereinstimmt, dann sie sind Perspektive d.h. die Flächen gesetzt, die entsprechende Linien aller Durchlauf durch eine Linie verbinden. § 33. Wenn zwei projektive axiale Bleistifte Perspektive sind, dann liegen der Durchschnitt der entsprechenden Flächen in einer Fläche, und die Fläche, die für die zwei Bleistifte allgemein ist (in welchen die Lüge mit zwei Äxten) entspricht sich. Und andererseits: Wenn zwei projektive axiale Bleistifte in solch eine Position gelegt werden, daß eine Fläche in der mit seiner entsprechenden Fläche übereinstimmt, dann sind die zwei Bleistifte Perspektive, d.h. treffen entsprechende Flächen in den Linien, die in einer Fläche liegen. Der Beweis ist wieder derselbe wie in § 30. § 34.

Diese Theoreme in bezug auf sind Perspektiveposition werden illusorisch, wenn die projektiven Reihen der Bleistifte eine Basisschaltung haben. Wir haben dann: In zwei projektiven Reihen auf dem gleichen lineand auch in zwei projektiv und in den konzentrischen flachen Bleistiften in der gleichen Fläche oder in zwei projektiven axialen Bleistiften mit einem allgemeinen axiseveryelement in dem mit seinem stimmt das Entsprechen See also:

Element im anderen überein, sobald drei Elemente in dem mit ihren entsprechenden Elementen im anderen übereinstimmen. Beweis (falls von zwei Elementen rows).Between vier A, B, C, D und ihre entsprechenden Elemente A ', B ', C ', D ' die Relation (ABCD) = besteht (A'B'C'D '). Wenn jetzt A ', B ', C ' beziehungsweise mit A, B, C übereinstimmen, erhalten wir (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) = (AB, DIGITALSCHALLPLATTE '), folglich D und D ' stimmen überein. Das letzte Theorem kann auch folglich angegeben werden: In zwei projektiven Reihen oder in Bleistiften die eine Basisschaltung haben, aber seien Sie nicht, nicht mehr identisch, als zwei Elemente in dem mit ihren entsprechenden Elementen im anderen übereinstimmen können. So können zwei projektive Reihen auf der gleichen Linie nicht mehr als zwei Paare der zusammentreffenden Punkte haben, es sei denn jeder Punkt mit seinem entsprechenden Punkt übereinstimmt. Es ist einfach, zwei projektive Reihen auf der gleichen Linie zu konstruieren, die zwei Paare der entsprechenden zusammentreffenden Punkte haben. Lassen Sie die Punkte A, B, C, wie die Punkte, die der einer Reihe gehören, A, B und C ' als Punkten in der Sekunde entsprechen. Dann stimmen A und B mit ihren entsprechenden Punkten überein, aber C nicht. Es ist jedoch nicht notwendig daß zwei solche Reihen zweimal einen Punkt haben, der mit seinem entsprechenden Punkt zusammentreffend ist; es ist möglich, daß dieses nur einmal oder überhaupt nicht geschieht. Von diesem sehen wir Beispiele später. § 35.

Wenn zwei projektive Reihen oder Bleistifte in Perspektiveposition sind, wissen wir sofort, die Element in einem jedem möglichem gegebenen Element im anderen entspricht. Wenn p und q (fig. 9) sind zwei projektive Reihen, damit See also:

K sich entspricht, und wenn wir wissen, daß das zu A und zu B in p A ' und B ' in q entsprechen, dann ist der Punkt S, in dem AA ' BB ' trifft, die Mitte der Projektion und folglich, zwecks den Punkt C zu See also:finden, ' C zu entsprechen, wir haben, C bis S nur zu verbinden; der Punkt C ', wo diese Linie q schneidet, ist der angeforderte Punkt. Wenn zwei flache Bleistifte, S1 und S2, in einer Fläche Perspektive (fig. Io) sind, müssen wir zwei Paare, a, ' und b, b ' nur kennen, der entsprechenden Strahlen, um die See also:Mittellinie s der Projektion zu finden. Dieses bekannt, ein Strahl c ' in S2, entsprechend gegeben, Strahl c in SI, wird gefunden, indem man S2 zum Punkt verbindet, in dem c die Mittellinie s schneidet. Ein ähnlicher See also:Aufbau hält in den anderen Kästen der Perspektiveabbildungen. Von diesem hängt die Lösung des folgenden allgemeinen Problems ab. § 6, drei Paare der entsprechenden Elemente in zwei projektiven Reihen oder Bleistifte, die gegeben werden, um für irgendein Element in einem das entsprechende Element im anderen festzustellen. Wir lösen dieses in den zwei Kästen von zwei projektiven Reihen und von zwei projektiven flachen Bleistiften in einer Fläche. Problem I.Let A, B, C ist Problem II.Let a, b, c ist drei Punkte in einer Reihe s, A ', B ', C ' drei Strahlen in einem Bleistift S, ', b ', c ', welches das Entsprechen in die entsprechenden Strahlen in einer Pro-projektiven Reihe s ' zeigt, beide, die in einem jective Bleistift S ', beide sind, die in der Fläche sind; es wird angefordert, für die gleiche Fläche zu finden; es wird zu irgendeinem Punkt D in s die entsprechenentdeckung für jeden möglichen Strahl d in S das corre -. ingpunkt D ' in s ' angefordert. sponding Strahl d ' in S '.

Die Lösung wird gebildet, um vom Aufbau einer zusätzlichen Reihe oder des Bleistifts abzuhängen, die Perspektive zu beiden gegebenen ist. Dieses wird gefunden, wie folgt: Lösung des Problems I.On die Linie, die zwei entsprechende Punkte, Sagen AA ' verbindet (fig. II), nehmen alle mögliche zwei Punkte, S und S ', als Mitten der zusätzlichen Bleistifte. Verbinden Sie die Durchschnittquerstation von SB und von S'B ' zum Durchschnitt C1 von Sc und von S'C ' durch die Linie SL. Dann ist eine Reihe auf See also:

Silikon Perspektive zu s mit S als Mitte der Projektion und zu s mit s als Mitte. Den Punkt D ' auf s jetzt finden, die einem Punkt D auf s entsprechen, das, wir, die PunktcDi nur festzustellen, in denen die Linie Sd Silikon schneidet und S'See also:DI zu zeichnen haben; der Punkt, in dem diese Linie See also:Willen s schneidet, ist regeired Punkt D ', Proof.The-Reihen s und s sind beide Perspektive zum Reihensilikon, folglich sind sie bis eins anders projektiv. A entsprechen B, C, D auf s KI, B1, Ci; D1 auf Silikon und zu diesen entsprechen A ', B ', C ', D ' auf s '; damit D und D ' entsprechende Punkte sind, wie angefordert. KI-Fig. II. Lösung 694 von Problem II. Durch den Durchschnitt rays A von zwei entsprechend a und ' (fig. 12), nehmen zwei Linien, s und s ', als Unterseiten der zusätzlichen Reihen.

Lassen Sie SI der Punkt sein, in dem die Linie b1, die B und B ' verbindet, das Liniencl schneidet, das C und C verbindet '. Dann ist ein Bleistiftsilikon Perspektive zu S mit s als Mittellinie der Projektion. Den Strahl d ' in s finden, die einem gegebenen Strahl d in S, geschnittenes d durch s an D entsprechen; projizieren Sie diesen Punkt von SI zu D ' auf s und verbinden Sie D ' zu S '. Dieses ist der angeforderte Strahl. Proof.That, das der Bleistift SI Perspektive zu S und auch zu s ist, vom Aufbau folgt. dem Linienal entsprechen b1, I, d1 in SI die Linien a, b, c, d in S und die Linien ', b ', c ', d ' in S ', damit d und d ' entsprechende Strahlen sind. In der ersten Lösung sind die zwei Mitten, S, S ', alle mögliche zwei Punkte auf einer Linie, die irgendwelche zwei entsprechenden Punkte verbindet, damit die Lösung des Problems von einem großem viele unterschiedliche Aufbauten erlaubt. Aber was Aufbau benutzt wird, muß der Punkt D ', entsprechend D, derselbe, entsprechend dem Theorem in § 29 immer sein. Dieses verursacht eine Anzahl von Theoremen, an denen jedoch wir nicht teilnehmen. Die gleichen Anmerkungen halten für das zweite Problem. § 37. Homological Triangles.See also:

As, das eine weitere Anwendung der Theoreme über Perspektive und Bleistifte rudert, wir das folgende wichtige Theorem prüfen. Theorem -- wenn See also:ABC und A'B'C ' (fig.

13) ist zwei Dreiecke, so, daß die Linien AA ', BB ', cm ' Treffen in einem Punkt S, dann die Durchschnitte von BC und B'C ', von Ca und von C'A ' und von AB und von A'B ' in einer Linie liegen. Solche Dreiecke sollen oder in der Perspektive homological. Die Dreiecke sind in der Tugend der See also:

Eigenschaft "koaxial", daß die Treffen der entsprechenden Seiten collinear und copolar sind, da die Linien, die entsprechende See also:Gipfel verbinden, gleichzeitig sind. Proof.Let a, b, c bezeichnen die Linien AA ', BB ', cm ', die bei S. Then, das diese als Unterseiten der projektiven Reihen genommen werden können, damit A, A ', Sohn entsprechen B.b ', S auf b und C, C ', S auf c. als dem Punkt S für alle allgemein ist treffen, irgendwelche zwei dieser Reihen sind Perspektive. Wenn SI die Mitte der Projektion von Reihen b und c, S2 c und a, S3 a und b ist und wenn die Linie See also:S1S2 a in See also:A1 und b im BI und c im Cl schneidet, dann ist Al, B1 entsprechende Punkte in a und in b, entsprechend Ci in c., aber a und b sind Perspektive, folglich muß die Linie A1BI, die SIS2 ist, entsprechende Punkte verbinden durch die Mitte der Projektion S3 von a und von b. SI, S2, Lüge S3 das heißt, überschreiten in einer Linie. Dieses ist Desargues' gefeiertes Theorem, wenn wir es folglich angeben: Theorem von Desargues.If jedes von zwei Dreiecken hat einen Gipfel auf jedem von drei gleichzeitigen Linien, dann von Durchschnitten der entsprechenden Seitenlüge in einer Linie, jene Seiten, die Entsprechen benannt werden, die gegenüber Gipfeln auf der gleichen Linie sind. Das gegenteilige Theorem hält auch, nämlich. Theorem.If die Seiten von einem Dreiecktreffen die von anderen in drei Punkten, die in einer Linie liegen, dann in den Gipfeln liegen auf drei Linien, die in einem Punkt treffen. Der Beweis ist fast derselbe wie vorher. § 38.

Metrische Relationen zwischen projektiver Rows.Every-Reihe enthält einen Punkt, der von allen anderen bemerkenswert ist, nämlich der Punkt an der Unbegrenztheit. In zwei projektiven Reihen dem Punkt I an der Unbegrenztheit in einer entspricht ein Punkt I' in der anderen, und dem Punkt See also:

J ' an der Unbegrenztheit in der Sekunde entspricht ein Punkt J im ersten. Die Punkte I' und J sind in allgemeinem begrenztem. Wenn jetzt A und B irgendwelche zwei Punkte in dem sind, A ', B ', welches das Entsprechen in das andere ro_w zeigt, dann (AB, JI) = (A'B ', J'I '), Sagen oder AJ/JB: AI/IB = A'J'/J'B ': AT/IT '. Aber, durch § 17, AI/IB = A'J'/7'B ' = - I; folglich die letzten Gleichungsänderungen in AJ. AN ' = BJ. B'I ', das ist zum Produkt say[PROJECTIVE Theorem.The der Abstände aller möglicher zwei entsprechenden Punkte in zwei projektiven Reihen von den Punkten, die den Punkten an der Unbegrenztheit in der anderen ist konstant, nämlich entsprechen. AJ. A'I'=k. See also:Steiner hat diese Zahl k die See also:Energie der Korrespondenz genannt. (die Relation AJ. A'I'=k zeigt, daß, wenn J, I' dann gegeben wird, der Punkt A ' entsprechend einem spezifizierten Punkt A bereitwillig gefunden wird; folglich A, A ' erzeugen homographische Strecken, von denen I und J ' den Punkten an der Unbegrenztheit auf den Strecken entsprechen.

Wenn wir irgendwelchen zwei Ursprung 0 nehmen, verringern 0', auf den Strecken und den Ausdruck AJ. A'I'=k zu seinem algebraischen Äquivalent, leiten wir eine Gleichung der See also:

Form axx'-See also:r/3x+yx ' d S = See also:o. andererseits, wenn eine Relation dieser Natur hält, zeigen dann das Entsprechen Lösungen in der x-, x-' Form homographische Strecken. ] ab, § 39. Ähnliches Rows.If, das die Punkte an der Unbegrenztheit in zwei projektiven Reihen, damit I' und J an der Unbegrenztheit sind, dieses Resultat entsprechen, verliert seine Bedeutung. Aber, wenn A, B, C irgendwelche drei Punkte in einem ist, A ', B ', C ' das Entsprechen auf der anderen Reihe, haben wir (AB, Ci) = (A'B ', C'I '), der auf AC/CB = A'C'/C'B ' oder AC/A'C'=BC/B'C ' sich verringert, d.h. sind entsprechende Segmente proportional. Andererseits wenn entsprechende Segmente proportional sind, dann zum Punkt an der Unbegrenztheit in einer entspricht der Punkt an der Unbegrenztheit in der anderen. Wenn wir solche Reihen ähnlich nennen, können wir angeben, daß die des Resultats projektiven Reihen folglich Theorem.Two ähnlich sind, wenn dem Punkt an der Unbegrenztheit in einer der Punkt an der Unbegrenztheit in der anderen entspricht, und andererseits, wenn zwei Reihen dann ähnlich sind, sind sie projektiv, und die Punkte an der Unbegrenztheit sind entsprechende Punkte. Von diesem folgen die weithin bekannten Angelegenheiten: Zwei Linien werden proportional (in den ähnlichen Reihen) durch eine Reihe Ähnlichkeiten geschnitten. Die Reihen sind Perspektive, mit Mitte der Projektion an der Unbegrenztheit. Wenn zwei ähnliche Reihen gesetzte Ähnlichkeit sind, dann überschreiten die Linien, die übereinstimmende Punkte verbinden, durch einen allgemeinen Punkt. § 40. Wenn zwei flache Bleistifte projektiv sind, dann besteht in irgendeinem, ein einzelnes Paar Linien senkrecht bis eine andere, so, daß die entsprechenden Linien im anderen Bleistift wieder senkrecht sind.

um dieses zu prüfen, wir legen die Bleistifte in Perspektiveposition (fig. 14) indem wir eine Strahlmünze cident mit seinem entsprechenden Strahl bilden. Entsprechende Strahlen treffen dann auf einer Linie P. und jetzt zeichnen wir den Kreis, der seine Mitte 0 auf p hat und der durch die Mitten S und s der zwei Bleistifte führt. Dieser Kreis schneidet p in zwei Punkten H und K. The zwei lüftet von Strahlen, h, k, und h ', k, diese Punkte zum s- und s-Willen verbinden sind Paare der entsprechenden Strahlen senkrecht.

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