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QUATERNIONS
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QUATERNIONS , in See also:der See also:Mathematik. Das Wort "quaternion" bedeutet richtig "einen See also: Wir Willensbaum von Surinam zu Ehren des Schwarzen Quassi oder Coissi, die die intensiv bittere Barke des Baums (Quassiaamara) als Hilfsmittel für Fieber einsetzten. Die ursprüngliche See also:Quassia wurde offiziell im Londonarzneibuch von 1788 erkannt. 1809 wurde sie durch das bittere See also:Holz oder die bittere Asche von See also:Jamaika, excelsa Picraena ersetzt, das gefunden wurde, um ähnliche Eigenschaften zu besitzen und in den Stücken der viel größeren Größe erreicht werden könnte. Seit diesem Datum ist dieses Holz im Gebrauch in Großbritannien unter dem Namen von Quassia zum Ausschluß der Surinamquassia fortgefahren, die jedoch noch in See also:Frankreich und in See also:Deutschland eingesetzt wird. Excelsa Picraena ist ein Baumö zu õ ft. in der Höhe und ähnelt der allgemeinen Asche im See also:Aussehen. Es hat großes Mittel verläßt bestanden aus vier sich begrenzt folglich, soweit seine Vorgänger betroffen werden, zu den Versuchen an der See also:Deutung, welches geometrische Anwendungen in der Ansicht hatte. Eine geometrische Deutung des negativen Zeichens von Algebra war gesehen, um bloße Umlenkung der Richtung entlang eine Linie zu sein frühes. So wenn ein See also:Bild durch einen flachen See also:Spiegel gebildet wird, ist der See also:Abstand irgendeines Punktes in ihm vom Spiegel See also:einfach das Negativ von dem des entsprechenden Punktes des Gegenstandes. Oder wenn See also:Bewegung in einer Richtung entlang eine Linie als Positiv behandelt wird, ist Bewegung in der entgegengesetzten Richtung entlang die gleiche Linie negativ. Im See also:Fall von der See also:Zeit, gemessen von der christlichen Ära, wird diese Unterscheidung sofort, durch die Buchstaben A.See also: 1815) haben wir +1815(490) = 2305 Jahre. Und es liegt auf der See also:Hand, daß der gleiche Prozeß in See also:allen Fällen zutrifft, in denen wir Quantitäten, die ab nur einem verwiesenen Maß, wie Abständen entlang einer Linie betrachtet werden können, Umdrehungen über eine See also:Mittellinie, &c beschäftigen. Aber es ist wesentlich, zu beachten, daß dieses auf keinen Fall von den Operatoren notwendigerweise zutreffend ist. um eine Linie durch einen bestimmten See also:Winkel in einer gegebenen Fläche zu See also:drehen, wird ein bestimmter Operator angefordert; aber, wenn wir sie durch einen gleichen negativen Winkel drehen möchten, dürfen wir nicht, im allgemeinen, das Negativ des ehemaligen Operators einzusetzen. Für das Negativ des Operators, der eine Linie durch einen gegebenen Winkel in einem gegebenen Flächewillen in allem Fallerzeugnis das Negativ des ursprünglichen Resultats dreht, das nicht das Resultat des Rückoperators ist, es sei denn der Winkel miteinbezog, seien Sie eine See also:ungerade Mehrfachverbindungsstelle eines rechten Winkels. Dieses ist, selbstverständlich auf der üblichen See also:Annahme, daß das Zeichen eines Produktes geändert wird, wenn das von irgendeinem seiner Faktoren geändert wird, der bloß thati bedeutet, ist mit allen weiteren Quantitäten auswechselbar. See also: Aber er nahm nicht die Frage der See also:Darstellung der Produkte oder der Quotienten der geverwiesenen Linien in See also:Angriff. Der See also:Schritt, den er unternahm, ist wirklich nichts mehr als die kinematische Grundregel des Aufbaus der linearen Geschwindigkeiten, aber ausgedrückt in dem algebraischen eingebildeten ausgedrückt. 1806 (das See also:Jahr der Publikation des Papiers Buees) See also:Jean veröffentlichte See also:Robert Argand ein pamphlet2, in dem genau die gleichen Ideen entwickelt werden, aber in einem beträchtlich grösseren See also:Umfang. Für eine Deutung wird dem Produkt von zwei geverwiesenen Linien in einer Fläche zugewiesen, wenn jedes als die Summe eines realen und Imaginärteils ausgedrückt wird. Dieses Produkt wird als eine andere geverwiesene Linie gedeutet und bildet die 4. See also:Bezeichnung eines Anteils, von dem das erste ausschließlich sprechende i, diese See also:Abbildung von Taits in der Störung durch Einheit ist, weil in unserem See also:Kalender es kein Jahr benannte See also:null gibt. So beträgt der Abstand zwischen See also:Juni das erste von i B.C. und Juni das erste von I A.D. ein Jahr und nicht zwei Jahre, da der See also:Text andeutet. (A.McA.) 2 surune Maniere de Representer Essai lesQuantites Imaginaires danslesaufbauten Geometriwues. Eine zweite See also:Ausgabe wurde von J. Houel (See also:Paris, 1874) veröffentlicht. Wird einem wichtigen See also:Anhang addiert, der aus den Papieren von Annales Gergonnes besteht, auf die im Text oben beziehen. Fast nichts kann, scheint es, wird erlernt Argands vom privaten See also:Leben, außer daß höchstwahrscheinlich, das er in See also:Genf in 1768.term See also:getragen wurde, ist die reale (positive) Maßeinheit-Linie, und die anderen zwei sind die Faktor-Linien. Arbeit Argands blieb unbemerktes, bis die Frage wieder in Annales Gergonnes aufgeworfen war, 1813, durch J. See also: Das Produkt, P, von zwei solchen Linien ist, wie wir gesehen haben, gegeben durch 1:a(cos 0-{-isin0): a'(cos0'-{-isin0'):P oder P=aa ' (See also:Lattich (0+0')+isin (0+ 0 ') seine Länge ist, folglich ist das Produkt der Längen der Faktoren und seiner Neigung zur realen Maßeinheit die Summe von denen der Faktoren. Wenn wir die Ausdrücke für die zwei Linien in die Form A+Bi, A'+B'i, das Produkt sind AA'BB'-See also: Und es ist ziemlich sicher, daß sie nicht durch gewöhnliche imaginaries dargestellt werden können. Etwas weit genauer analog zu den quaternions als alles in der Arbeit Argands soll durch Theorem De Ç$vloivres (1730) vorgeschlagen worden sein. Anstelle anstelle zu betrachten, wie Buee und Argand getan hatten, von den Ausdrucksa(cos 0 + i-Sin 0), während eine geverwiesene Linie, uns annehmen es, um den Operator darzustellen ließ, der, wenn Sie auf jede mögliche Linie in der Fläche zugetroffen werden, in der 0 gemessen wird, Umdrehungen es dadurch, daß Fläche durch den Winkel 0 und gleichzeitig seine Länge im Verhältnis a erhöht: 1. Vom neuen Gesichtspunkt sehen wir sofort, wie er war, warum es daß zutreffend ist (Sin Lattichs 0+ I 0)Y. = Sin m0 Lattichs m0+ I. Für diese Gleichung gibt bloß das in den turnings einer Linie durch aufeinanderfolgende gleiche Winkel, in einer Fläche, Geben das gleiche Resultat wie ein einzelnes Drehen durch See also: Folglich ist die einfachste Form eines Satzes ein "Paar"; und sie war zu den möglichen Gesetzen der Kombination der Paare, denen Hamilton zuerst seine See also:Aufmerksamkeit verwies. Es liegt auf der Hand, daß die Weise, in der die zwei unterschiedlichen Zeit-Schritte in die Paare miteinbezogen werden, diese See also:Gesetze der Kombination feststellt. Aber Hamiltons spezieller See also:Gegenstand erforderte, daß diese Gesetze wie zu bestimmte angenommene See also:Resultate führen sollen sollten; und er begann folglich, indem er diese annahm, und von der festgestellten Annahme, wie die unterschiedlichen Zeit-Schritte in die Paare mit einbezogen werden müssen. Es verwenden wir römische Buchstaben für bloße Zahlen, Kapitalien für Augenblicke der Zeit, griechische Buchstaben für Zeit-Schritte, und See also:Klammern, ein Paar, die Gesetze zu bezeichnen, die durch Hamilton angenommen werden, wie die Grundlage eines Systems waren, wie folgt: (B1, B2) (KI, A2) = (B, A, BÀ) = (a); (a, B) (a, 19) = (aab, 6, ba+a/3) 2 zum Zeigen, wie wir, durch solche Annahmen, eine reale Deutung zum gewöhnlichen algebraischen eingebildeten geben, nehmen das einfache Falla=See also:o, das b = das I und die Sekunde der oben genannten Formeln gibt (0, 1)(a, $)=(- Q, A). Multiplizieren Sie noch einmal mit den Zahl-Paaren (O, I) und wir haben (0,1)(0, 1)(a, 0)=(0, 1)(, a)=(a, R)=(I, 0)(a, 0)=(a, 0). So die Zahl-Paare (O, I), wenn es zweimal auf ein Schritt-Paar zugetroffen wird, ändert einfach sein Zeichen. Daß wir hier eine tadellos reale und verständliche Deutung vom gewöhnlichen algebraischen eingebildeten haben, wird leicht durch eine Abbildung gesehen, selbst wenn sie ein ein wenig extravagant ist. Etwas östliches potentate, besessen von der unbeschränkten Gewalt, covets der beträchtliche See also:Besitz von seinem See also:vizier und von seinem See also:Herrenfriseur. Er stellt fest, ihn beide zu berauben (ein Betrieb, der durch I) sehr zufriedenstellend ausgedrückt werden kann; aber, seiend ein Wag, wählt er seine eigene Weise des Tuns sie. Er vermindert seins, das zum Büro des Herrenfriseurs vizier ist und nimmt alle seine Waren im Prozeß; und Marken der Herrenfriseur seins vizier. See also:Am nächsten See also:Tag wiederholt er den Vorgang. Jedes der See also:Opfer ist zu seinem ehemaligen Rank wieder hergestellt worden, aber der Operator I ist an beiden angewendet worden. Hamilton, ruhig, vor ihm als sein großer Gegenstand die Erfindung einer Methode vorstehend halten, die auf Raum von drei Maßen anwendbar ist, fährt fort, die Eigenschaften der Dreiergruppen der Form x+iy+jz zu studieren, durch die er vorschlug, die geverwiesene Linie im Raum darzustellen, dessen Projektionen auf den Koordinierungsäxten x, y, See also: R., I. A. xvii. II. (1835). 3 vergleichen Sie diese mit den See also:lang-folgenden Ideen von Grassmann.addition ihrer einiger Projektionen, die mit der Annahme von Buee und von Argand für den See also:Kasten der koplanaren Linien übereingestimmt werden. Aber, die verteilende Grundregel annehmend, schien das Produkt von zwei Linien, dem Ausdrucksxx' yy ' zz'+i (yx'+xy ') +j (xz'+zx ') +ij (yz ' +zy ' zu geben) für das Quadrat von J, wie dem von i, wurde angenommen, um negative Einheit zu sein. Aber die Deutung von ij stellte einer difficultyintatsache die Hauptschwierigkeit des vollständigen investigationand See also:dar, das es besonders interessant ist, zu sehen, wie Hamilton es in Angriff nahm. Er sah, daß er einen Tip vom einfacheren Fall erhalten könnte, bereits gänzlich besprochen, bereitgestellt den zwei Faktorlinien war in einer Fläche durch die reale Maßeinheitslinie. Dieses erfordert bloß dieses y: z:: y ': z '; oryz'zy'=o; aber dann sollte das Produkt von der gleichen Form wie die unterschiedlichen Faktoren sein. So in diesem speziellen Fall, soll die Bezeichnung im ij verschwinden. Aber der numerische Faktor scheint, yz'+zy zu sein ', während es die yz'zy Quantität ' ist, die wirklich verschwindet. Folglich war Hamilton zuerst geneigtes zum Denken, daß ij als Null behandelt werden muß. Aber er sah bald, daß "eine weniger rauhe Vermutung" dem einfachen Fall entsprechen würde. Für seine Betrachtungen auf Sätzen hatte ihn bereits mit der Idee See also:vertraut gemacht, daß Vermehrung in bestimmten Fällen auswechselbar nicht sein konnte; damit, da die letzte Bezeichnung im oben genannten Produkt das ijyz mit zwei unterschiedliche Bezeichnungen ' und jizy ' besteht, die Bezeichnung von sich verschwinden würde, wenn die Faktor-Linien koplanares zur Verfügung gestelltes ij = ji, denn sind, es würde dann das ' zy ' Formij(yz annehmen). Er hatte jetzt den folgenden Ausdruck für das Produkt aller möglicher zwei geverwiesenen Linien: yy ' zz ' +i (yx ' + xy ') +j(xz ' +zx ') +ij(yz'zy ' des xx'). Aber sein Resultat mußte bei einem anderen Test, das See also:Gesetz eingereicht werden der Normen. Sobald er, durch Versuch fand, daß dieses Gesetz erfüllt war, unternahm er den abschließenden Schritt ", das dieser mich führte, "er sagt,", das möglicherweise zu begreifen, anstatt zu suchen, sich zu den Dreiergruppen zu begrenzen. . . wir sollen diese als nur unvollständige Formen von Quaternions ansehen. . . und das folglich meine alte Auffassung der Sätze konnte eine neue und nützliche Anwendung empfangen.", In einer sehr kurzen Zeit vereinbarte er seine grundlegenden Annahmen. Er hatte jetzt drei eindeutige Raum-Maßeinheiten, i, J, k; und die folgenden Bedingungen regulierten ihre Kombination durch See also:Vermehrung: z3=j'=k'=1, ij = ji = k, jk = kJ = i, ki=ik=j.3 und jetzt das Produkt von zwei quaternions konnten als drittes quaternion sofort ausgedrückt werden, so (a+ib+jc+kd) (a'+ib'-{-jc'+kd ') = A+iB+jC+kD, wo bd ' ' DCS ' A=aa'bb'cc'dd ', B = ab'+ba'+cd ', C = ac'+ca'+db, D = ad'+da'+bc'cb '. Hamilton fand sofort, daß das Gesetz der Normen hält und nicht beachtet, daß Euler hatte, See also:lange zuvor zerlegt dem Produkt von zwei Summen von vier Quadraten in dieses sehr eingestellt von vier Quadraten. Und jetzt kam eine geverwiesene Linie im Raum, als ix+jy+kz dargestellt zu werden, während das Produkt von zwei Linien das quaternion (xx ' +yy ' +zz ') +i(yz ' zy ') +j(zx ' xz ') +k(xy ' yx ') ist. Bis irgendein teilte mit, gleichmäßig in einem geringfügigen Umfang, mit den Elementen der kartesischen Geometrie von drei Maßen, ein flüchtiger Blick auf die extrem andeutenden Bestandteile der Erscheinen dieses Ausdruckes, wie gerade Hamilton zum Sagen erlaubt wurde: "wenn die Auffassung. . . war bis jetzt ausgebritten worden und geregelt in meinem Verstand, glaubte ich, daß das neue See also:Instrument für das Anwenden von Berechnung an der Geometrie, für die ich so lang gesucht hatte, jetzt, mindestens im Teil war, erreicht.", Das Datum dieser memorable See also:Entdeckung ist See also:Oktober 16, 1843. Nehmen Sie, für Einfachheit an, die Faktor-Linien zum Sein jede der Maßeinheitslänge. Dann drücken x, y, z, x', y ', z ' ihre Richtung-Kosinus aus. Auch wenn 8 der Winkel zwischen ihnen sind, und x", y ", z "die Richtung-Kosinus eines Liniensenkrechten zu jedem von ihnen, haben wir xx'+yy'+zz'=cos 0, yz'zy"=x" Sin 0, &c., damit das Produkt von zwei Maßeinheitslinien jetzt als coso+(ix"+jy"+kz-") Sin B. Thus ausgedrückt wird, wenn die Faktoren 3 es einfach sind, zu sehen, daß, anstelle von den letzten drei von diesen, wir das einzelne ijk schreiben können = -1. sind parallel oder B=o, das Produkt, das jetzt das Quadrat von irgendwelchen ist, die von Grassmann. Aber es soll beobachtet werden, daß Grassmann, (Maßeinheits) Linie i. ist und wenn die zwei Faktorlinien senkrechtes ~ zwar sind, er See also:praktisch Cauchy vom See also:plagiarism beschuldigten, nicht bis eins anders, oder 0=ir/2, das Produkt ist einfach ix"+jy''+kz ", das Maßeinheitsliniensenkrechte zu beiden. Folglich und diesbezüglich haben Lügen das Hauptelement der Symmetrie und der Einfachheit des quaternionkalküls, alle Systeme von drei gegenseitig rechteckigen Maßeinheitslinien im Raum die gleichen Eigenschaften, wie das grundlegende System I, J, k. das heißt, wenn das System (betrachtet als steifes) gebildet wird, um sich ungefähr zu drehen, bis der erste Faktor mit i und der Sekunde mit J übereinstimmt, das Produkt mit k. dieses grundlegende System übereinstimmt, folglich nicht notwendig wird; und die quaternionmethode nimmt auf jeden Fall seine Bezugslinien nur vom Problem, an dem sie angewendet wird. Sie hat folglich, wie sie war, ein einzigartiger interner See also: 
Dann kann das Produkt von zwei Linien, die die gleiche Richtung haben, nicht sein, gleichmäßig im Teil, eine verwiesene Quantität. Für, wenn das verwiesene Teil die gleiche Richtung wie die Faktoren haben, zeigt (b), daß es aufgehoben wird, indem man irgendein aufhebt, und folglich wird seine ursprüngliche Richtung zurückgewinnen, wenn beide aufgehoben werden. Aber dieses würde offensichtlich mit (a) inkonsequent sein. Wenn es zu den Faktorlinien senkrecht ist, zeigt (a), daß es jede solche Richtung gleichzeitig haben muß. Folglich muß es eine bloße Zahl sein. Wieder kann das Produkt von zwei Linien senkrecht bis eine andere nicht, sogar im Teil, eine Zahl zu sein. Für die Umlenkung jedes Faktors muß, durch (b), sein Zeichen ändern. Aber, wenn wir die zwei Faktoren in ihrer neuen Position durch das See also:Licht von (a) betrachten, sehen wir, daß das Zeichen nicht ändern darf. Aber es gibt nichts, sein zu verhindern darstellend durch eine geverwiesene Linie, wenn, wie weit Anwendungen von (a) und von (b) Erscheinen, das wir tun müssen, wir nehmen es senkrecht zu jeder der Faktorlinien. Hamilton scheint nie, mit der offensichtlichen Uneinheitlichkeit eines quaternion durchaus erfüllt worden zu sein und abhängt, wie es auf einem numerischen und verwiesenen Teil tut. Er gab sich vieler See also:Betrachtung hinsichtlich des Bestehens von einem Extra-räumlichen, von einer Maßeinheit, die das raisond'etre des numerischen Teils versorgen sollte, See also:hin und See also:macht das quaternion homogen sowie linear. Aber für dieses müssen wir auf seine eigenen See also:Arbeiten uns beziehen. Hamilton war nicht der einzige Arbeiter an der Theorie der Sätze. Das Jahr nach der ersten Publikation der quaternionmethode, dort geerschienen eine Arbeit der großen Originalität, von Grassmann, ' in, welchen Resultaten nah, die zu einigen von denen von Hamilton analog sind, gegeben wurden. Insbesondere wurden zwei Sorten Vermehrung ("inner "und" äußer") der geverwiesenen Linien in einer Fläche gegeben. Die Resultate dieser zwei Arten der Vermehrung entsprechen beziehungsweise den numerischen und verwiesenen Teilen des quaternionproduktes Hamiltons. Aber Grassmann Zustände deutlich in seiner Einleitung, daß er nicht die Freizeit zum Verlängern seiner Methode auf Winkel im Raum gehabt hatte. Hamilton und Grassmann, während ihre frühere Arbeit viel im See also:Common hatte, hatten sehr unterschiedliche Gegenstände in der Ansicht. Hamilton hatte geometrische Anwendung als sein Hauptzweck; als er das quaternionsystem verwirklichte, glaubte er, daß sein Gegenstand See also:gewonnen wurde, und begrenzte sich thenceforth zur Entwicklung seiner Methode. Gegenstand Grassmanns scheint gewesen zu sein, alle entlang, eines viel ehrgeizigeren Buchstabens,, wenn möglich, ein System oder Systeme nämlich zu entdecken, in denen jeder denkbare Modus des Beschäftigens Sätze enthalten sein sollte. Daß er sehr große Fortschritte in Richtung zur Erreichung dieses Gegenstandes alle bildete, gewährt; daß seine Methode, selbst als durchgeführt 1862, ihn völlig erreicht, ist nicht so sicher. Aber seine Ansprüche, gleichwohl groß sie sein können, können mit denen von Hamilton, dessen Modus keineswegs widersprechen des Multiplizierens der Paare (, in welchen die "innere" und "äußere" Vermehrung im Wesentlichen miteinbezogen werden) 1833 produziert wurde und in See also:wem quaternionsystem durchgeführt wurde und veröffentlicht, bevor Grassmann für Presse sogar die rudimentären Teile seines eigenen Systems ausgearbeitt hatte, in denen die wirkliche Schwierigkeit des vollständigen Themas, die Anwendung zu den Winkeln im Raum, waren nicht sogar angegriffen worden. Grassmann bildete • 1854 einen ein wenig See also:savage Onslaught auf Cauchy und De See also: Er spielt nicht nach Hamilton in der zweiten Ausgabe seiner Arbeit an. Aber 1877, im Mathematische See also:Annalen, XII, gab er ein See also:Papier "auf dem See also:Ort von Quaternions im Ausdehnungslehre," in, welchem er verurteilt, insoweit er Dose, die Bezeichnung und Methoden von Hamilton. Es gibt viele andere Systeme, basiert auf verschiedenen Grundregeln, die für Anwendung zur Geometrie der geverwiesenen Linien gegeben worden sind, aber die, die Produkte der Linien beschäftigen, sind alle von solcher Kompliziertheit hinsichtlich sind praktisch unbrauchbar in der Anwendung. Andere, wie das Barycentrische Calciil von Mobius und die DES-equipollences Methode von Bellavitis, geben elegante Modi der behandelnden Raumprobleme, solange wir zur projektiven Geometrie und zu den Angelegenheiten dieses Auftrages uns begrenzen; aber sie werden auf ihrem Gebiet begrenzt und brauchen folglich, nicht hier besprochen zu werden. Allgemeinere Systeme, nahe Analogien zu den quaternions habend, sind gegeben worden, seit Entdeckung Hamiltons veröffentlicht wurde. Wie Fälle wir Goodwins und O'Briens Papiere in den philosophischen Verhandlungen Cambridges für 1849 nehmen können. (sehen Sie auch ALGEBRA: spezielle Arten.) Relationen zu anderen Niederlassungen von Science.The über erzählenden Erscheinen, wie der Anschluß zwischen quaternions und der gewöhnlichen kartesischen Raum-Geometrie nah ist. Waren diese alle, der Gewinn durch ihre Einleitung würden bestehen hauptsächlich in einem freieren Einblick in die Einheit von koordinieren Systeme, rechteckige oder des nota sehr wichtige Hinzufügung zur Theorie, aber wenig Fortschritt, soweit praktische Anwendung betroffen wird. Aber bis jetzt haben wir nicht Nutzen aus der vollkommenen Symmetrie der Methode gezogen. Wenn das getan wird, wird der volle Wert von Hamiltons großartigem Schritt offensichtlich, und der Gewinn ist vom praktischen wie vom theoretischen Gesichtspunkt ziemlich so umfangreich. Hamilton tatsächlich Anmerkungen, 2 "sehe ich es als ein inelegance und eine Unvollkommenheit in diesem Kalkül oder eher im See also:Zustand an, dem es bisher ausgebritten worden ist, wann immer es wird, oder scheint zu werden, notwendig, Entschädigung zu haben. . . zu den Betriebsmitteln der gewöhnlichen Algebra, für die Lösung von Gleichungen in den quaternions.", Dieses bezieht sich den auf Gebrauch von dem x, y, z co-ordinates, -- dazugehörig selbstverständlich mit i, J, k. aber, wenn, anstelle vom in hohem Grade künstlichen Ausdruck ix-}-jy+kz, eine begrenzte geverwiesene Linie zu bezeichnen, wir einen einzelnen Buchstaben einsetzen, a (Hamilton verwendet das griechische Alphabet zu diesem Zweck) und finden Sie, daß wir die Erlaubnis gehabt werden, um es genau zu beschäftigen, wie wir den komplizierteren Ausdruck beschäftigt haben sollten, der unermeßliche Gewinn sind mindestens im offensichtlichen Teil. Irgendein quaternion kann in den zahlreichen einfachen Formen jetzt ausgedrückt werden. So können wir es als die Summe einer Zahl und der Linie, See also:ABA oder als das Produkt ansehen, (ý oder der Quotient, é - ', von zwei verwies Linien, &c., während in vielen Fällen wir es darstellen können, soweit es, durch einen einzelnen Buchstaben wie q, r angefordert wird, &c. Möglicherweise zum Kursteilnehmer gibt es kein Teil grundlegende Mathematik also repulsive, wie kugelförmige See also:Trigonometrie. Auch alles in bezug auf ist Änderung der Systeme der Äxte, wie zum Beispiel in der See also:Kinematik eines steifen Systems, in dem wir ständig, einen Satz Umdrehungen hinsichtlich der Äxte, die haben im Raum geregelt werden, und einen anderen Satz zu betrachten hinsichtlich der Äxte, regelte im System, ist eine See also:Angelegenheit der unangenehmen Kompliziertheit durch die üblichen Methoden. Aber jede quaternionformel ist eine Angelegenheit in der kugelförmigen (manchmal vermindernd, um zu planieren) Trigonometrie und hat den vollen See also:Vorteil der Symmetrie der Methode. Und einer von Hamiltons frühesten Fortschritten in der Studie seines Systems (ein Fortschritt unabhängig gebildet, nur einige Monate später, von See also:Arthur See also:Cayley) war die Deutung des einzigartigen Operatorq()q - ', wo q ein quaternion ist. Zugetroffen auf jede mögliche geverwiesene Linie, dreht dieser Operator sie sofort konisch durch einen definitiven Winkel, über eine definitive Mittellinie. So wird Umdrehung jetzt in den Symbolen mindestens so einfach ausgedrückt, wie sie mittels eines Modells ausgestellt werden kann. Hatte die quaternions, die mehr nichts bewirkt wurden, als dieses, sie ruhig ein vom notwendigsten eröffnet haben würde, und das anscheinend undurchführbar, von den Verbesserungen. Die physikalischen Eigenschaften eines heterogenen Körpers (bereitgestellt schwanken sie ununterbrochen von See also:Punkt zu Punkt), bekannt, um, in der Nähe irgendeines eines Punktes des Körpers, von einer quadratischen Funktion von abzuhängen koordiniert mit Bezug auf diesen Punkt. Die 2 Vorträge auf Quaternions, § 513. selbe ist von den körperlichen Quantitäten wie Potential, Temperatur, &c., während der kleinen Regionen zutreffend, in denen ihre Veränderungen ununterbrochen sind; und auch, ohne Beschränkung von Maßen, von Momenten der Schwungkraft, ist &c. folglich, zusätzlich zu seinen geometrischen Anwendungen auf Oberflächen des zweiten Auftrages, die Theorie der quadratischen Funktionen der Position vom grundlegenden Wert in der Physik. Hier zeigt die Symmetrie sofort auf die Vorwähler der drei Hauptäxte als die Richtungen für i, J, k; und sie würde auf den ersten Blick scheinen, als ob quaternions nicht vereinfachen konnten, obwohl sie in der Eleganz verbessern konnten, die Lösung von Fragen dieser See also:Art. Aber sie ist nicht so. Sogar Hamiltons in der früheren Arbeit wurde es gezeigt, daß all diese Fragen zur Lösung der linearen Gleichungen in den quaternions reduzierbar waren; und er prüfte, daß dieses der See also:Reihe nach von der Ermittlung eines bestimmten Operators abhing, der zwecks der Berechnung durch ein einzelnes See also:Symbol dargestellt werden könnte. Die Methode ist im Wesentlichen dieselbe wie entwickelte die, unter dem Namen von "Matrizen," von Cayley 1858; aber sie hat den eigenartigen Vorteil der Einfachheit, die die natürliche Konsequenz der gesamten See also:Freiheit von den herkömmlichen Bezugslinien ist. Genügend ist bereits gesagt worden, den nahen Anschluß zwischen quaternions und der Theorie von Zahlen zu zeigen. Aber ein wichtigster Anschluß mit moderner Physik muß unterstrichen werden. In der Theorie der Oberflächen, im hydrokinetics, See also:Hitze-Übertragung, Potentiale, &c., See also:treffen wir ständig was "Operator Laplaces genannt wird," nämlich ye d2 22 + dz2. Wir wissen, daß dieses ein unveränderliches ist; d.h. es ist von den bestimmten Richtungen unabhängig, die für das rechteckige gewählt werden, koordiniert Äxte. Hier ist dann ein Fall, der besonders dem Isotropy des quaternionsystems angepaßt wird; und Hamilton sah leicht daß das Ausdrucksidx +j -- +k-dcould wird, wie ix+jy+kz, effektiv durch einen einzelnen Buchstaben ausgedrückt. Er wählte zu diesem Zweck V. und wir sehen jetzt, daß das Quadrat von V das Negativ von Operator Laplaces ist; während V selbst, wenn es auf irgendeine numerische Größe zugetroffen wird, die begriffen wird als, einen definitiven Wert an jedem Punkt des Raumes habend, die Richtung und die See also:Rate der schnellsten Änderung dieser Quantität gibt. So zugetroffen auf ein Potential, gibt es die Richtung und die Größe der Kraft; zu einer See also:Verteilung der Temperatur in einem Leitkörper, gibt es (wenn Sie mit der Leitfähigkeit multipliziert werden), den Fluß der Hitze, &c. Kein besseres Zeugnis zum Wert der quaternionmethode könnte als der See also:konstante Gebrauch gewünscht werden, der von seiner Darstellung von den Mathematikern wie Clifford gebildet wurde (in seinem kinematischen) und von den Physikern wie Angestellt-Clerk-See also:Maxwell (in seiner Elektrizität und in Magnetismus). Keine dieser Männer erklärten, das Kalkül selbst einzusetzen, aber sie erkannten völlig die außerordentliche Klarheit des Einblickes, der gewonnen wird, sogar indem man bloß die schwerfälligen kartesischen Ausdrücke übersetzt, die in hydrokinetics und im Electrodynamics in die schwangere See also:Sprache von quaternions getroffen werden. (P. See also: Tait selbst kann als das Hauptmitwirkende zu diesem See also:Stadium angesehen werden. (3) geometrische Anwendungen, unterschiedlich in der Art zu, zwar mehr oder weniger verbunden worden zu, die, in See also:Zusammenhang mit denen die Methode entstanden wurde. Dieses umfassen Letztes (a) die projektiven geometrischen Anwendungen C. J. Jolys, die abfahren von der Deutung des quaternion als Punkt-Symbol;', diese Anwendungen können gesagt werden, um keine Hinzufügung zur quaternionalgebra zu erfordern; (b) Biquaternions und G. Combebiacs W. K. Cliffords Tri-quaternions, die die Hinzufügung von QuasiQuasi-scalars erfordern, unabhängig von einer anderen einer und der zutreffenden Scalars, und analog Scalars ausrichten. Wie algebraisches 1 es von erscheint. Joly~s und Macfarlanes Hinweise, denen J. B. See also:Shaw, in See also:Amerika, unabhängig von Joly, das quaternion gedeutet hat, wie quaternions eines point-symbol.method vom Anfang haben, der vieler Aufmerksamkeit von den Mathematikern empfangen wird. Ein Versuch ist vor kurzem unter dem Namen von multenions, diese Algebra zu systematisieren gebildet worden. Wir wählen für Beschreibungsstadium (3) oben, als die charakteristischste Entwicklung von quaternions in den letzten Jahren vor. Für (3) (a) werden uns begrenzt, den Leser auf Jolys eigenes Handbuch von Quaternions (1905) zu verweisen. Der See also:Antrieb von W. K. Clifford in seinem Papier von 1873 ("einleitende See also:Skizze von Bi-Quaternions, "von mathematischen Papieren, P. 181) scheint, vom Papier des Sirs R. S. Balls auf der Theorie der Schrauben gekommen zu sein, veröffentlicht worden 1872. Clifford gebraucht ein Quasiskalarw, das mit quaternions und so daß auswechselbar ist, wenn p, q, &c., quaternions sind, wenn p+wq = p'+wq ', dann notwendigerweise p=p ', q=q '. Er betrachtet zwei Kästen, nämlich See also:w2=1, das für nicht-Euklidischen Raum verwendbar sind, und w2=o, das für euklidischen Raum verwendbar ist; wir begrenzen uns zur Sekunde und werden das angezeigte Bi-quaternion p+wq ein octonion nennen. In den octonions wird die Entsprechung von Vektor Hamiltons im Umfang von zu einer unbestimmt See also:langen Mittellinie begrenzt werden beschränkt, die zu sich parallel ist und wird einen Rotor genannt; wenn p ein Rotor dann ist, ist wp parallel und gleich p und, wie Vektor Hamiltons, wp wird nicht beschränkt; wp wird folglich einen Vektor genannt, obwohl es vom Vektor Hamiltons sich dadurch unterscheidet, daß das Produkt aller möglicher zwei solchen Vektoren wp und wo- weil w2=o null ist. p+wo, in dem p, O Rotoren sind (d.h. p ist ein Rotor und ein coo- ein Vektor), wird einen Motor genannt und die geometrische Bedeutung des Schlüssels der See also:Kugel auf oder Torsion ungefähr, eine See also:Schraube hat. Clifford betrachtet ein octonion p+wq als der Quotient von zwei See also:Motoren p+wo, p'+wa '. Dieses ist die Grundlage einer Methode, die gänzlich zur quaternionmethode parallel ist; in der See also:Spezifikation der Rotoren und der Motoren ist es vom Ursprung unabhängig, den für diese Zwecke die quaternionmethode, See also:rein und einfach, erfordert. Combebiac ist nicht mit dem Loswerden den Ursprung unter diesen begrenzten Umständen zufrieden. Die grundlegenden geometrischen Auffassungen sind der Punkt, die Linie und die Fläche. Linien und Komplexe davon werden genug als Rotoren und Motoren behandelt, aber Punkte und Flächen können, nicht sein also behandelten. Er blickt auf Methoden Grassmanns flüchtig, aber wird abgestoßen, weil er eine Vereinheitlichengrundregel sucht, und er findet, daß Grassmann ihm nicht ein aber viele Grundregeln anbietet. Er kommt in dem Tri-quaternion als das verwendbare grundlegende Konzept an. Wir glauben, daß diese Tri-quaternion Lösung des sehr interessanten Problems, das von Combebiac vorgeschlagen wird, das beste ist. Aber die erste Sache, die ein anschlägt, ist, daß sie übermäßig schwierig scheint. Ein Punkt und eine flache See also:Verlegenheit eine Linie oder eine Mittellinie; nämlich das vom Senkrechten vom Punkt zur Fläche und folglich von einem Kalkül der Punkte und Fläche ist gerade dadurch ein Kalkül der Linien auch. um einen belasteten Punkt und eine belastete Fläche im euklidischen Raum zu reparieren benötigen wir 8 Scalars und nicht die 12 Scalars von einem Tri-quaternion. Wir sollten irgendeine Sorte biquaternion erwarten, um zu genügen. Und dieses ist der Fall. Lassen Sie r, Co ist zwei QuasiQuasi-scalars so daß n2=i, wn=w, rw=w2=o. Dann genügt das biquaternion 174+wr. Die Fläche ist vom vektorgrößenzVq, ist seine Gleichung zSpq=Sr, und sein Ausdruck ist das Bi-quaternion 17Vq+wSr; der Punkt ist Quadrat von der Skalargröße, und sein Positionsvektor ist 0, wo 1Vi3q=Vr (oder was dasselbe ist, [ Vr+q.Vr. q-']/Sq) und sein Ausdruck ist nSq+wVr. (Anmerkung, die die hier auftretenden 2 nur angefordert wird, um sicherzustellen See also:Harmonie mit Tri-quaternions von, welchem unsere anwesenden biquaternions, wie auch octonions, bestimmte Fälle. sind), Der Punkt dessen Positionsvektor Vrq-1 ist, ist auf der Mittellinie und kann benannt werden die Mitte des Bi-quaternion; es ist die Mitte eines Bereichs des See also:Radius Srg-1, mit Bezug auf den der Punkt und die Fläche in den polaren reciprocals der korrekten quaternionrichtung sind, d.h. der Positionsvektor des Punktes im Verhältnis zu der Mitte Srq 1 ist. Vq/Sq und das des Fusses des Senkrechten von der Mitte auf Fläche ist Srq '. Sq/Vq, das Produkt, das ist (radius)2, das ist (Srq^')2. die Mittellinie des Mitgliedes xQ+x'Q ' des zweitrangigen Komplexes Q, Q ' (wo Q=nq+wr, Q'=nq'+wr ' und x, x' Scalars sind), ist zu einer örtlich festgelegten Fläche parallel und schneidet ein örtlich festgelegtes transversales, nämlich die Linie parallel zu q'q-1, das die Äxte von Q und von Q schneidet '; die Fläche des Mitgliedes enthält eine örtlich festgelegte Linie; die Mitte ist auf einem örtlich festgelegten See also:Ellipse, der das transversale schneidet; die Mittellinie ist auf einer örtlich festgelegten angeordneten Oberfläche I See also:Sidney, See also:Spenser und See also:Daniel, sind wirklich quatorzains. Sie zu welchen die Fläche des Ellipse eine Tangentefläche ist, der Ellipse, der der See also:Abschnitt der angeordneten Oberfläche durch die Fläche ist; die angeordnete Oberfläche ist ein Cylindroid, der durch eine einfache See also:Schere verformt wird, die zum transversalen parallel ist. Im third-order Komplex wird der Mitteort eine begrenzte geschlossene quartic Oberfläche, mit drei (eine immer real) schneidenen Knotenäxten, von denen jeder flache Abschnitt ein trinodal quartic ist. Der Hauptdefekt der geometrischen Eigenschaften von diesen Bi-quaternions ist, daß der gewöhnliche algebraische Scalar keinen Platz unter ihnen findet, und infolgedessen ist Q-1 bedeutungslos. R setzend t7 = See also:E, erhalten wir Combebiacs Tri-quaternion unter der Form Q=%p-l-rlq+wr. Dieses hat ein wechselseitiges Q-1 = p-1=nq 1 wp-1rq 1 und verbundenes KQ (so daß K[QQ ' ] _ KQ'KQ, K[KQ]=Q), die durch KQ = EKq+i Kp+wKr gegeben werden; das Produkt QQ ' von Q und von Q ' ist Epp'+'ggq'+w(See also: Combebiac benutzt nicht K; und anstatt E, 77 verwendet er µ=r7E, damit µ2=1, wµ = µw = W, w2=o. Tri-quaternion Combebiacs kann von vielen vereinfachenpunkten der Ansicht betrachtet werden. So anstatt seines allgemeinen Tri-quaternion konnten wir Produkte einer ungeraden Zahl von Punkt-Fläche-Point-See also:plane-scalars beschäftigen (der Form µq+wr) die selbst Punkt-Fläche-Point-plane-scalars sind; und Produkte einer geraden Zahl, die octonions sind; der Quotient von zwei Punkt-Fläche-Point-plane-scalars würde ein octonion, von zwei octonions ein octonion, eines octonion durch ein C$punkt-Flächeskalar- oder das Gegenteil ein C$punkt-Flächeskalar sein. Wieder kann ein Maßeinheitspunktµ wie durch Vermehrung änderndes (a) betrachtet werden vom octonion zu C$punkt-Flächeskalar, (b) von C$punkt-Flächeskalar zum octonion, (c) von C$flächeskalar zum linearen Element, (d) vom linearen Element zu C$flächeskalar. Wenn Q=Upder74+cwr Und wir Q=(r+zwt)(Ep+nq)X (r+wt) 1 setzten, finden wir, daß das quaternion t 2f(r)/f(qp) sein muß, wo f(r)=rqKpr. Das Punktp=Vt kann genannt werden die Mitte von Q und die Längenstr. kann benannt werden der Radius. Wenn Q und Q ' d.h. auswechselbar sind wenn QQ ' = Q'Q, dann Q und Q ' die gleiche Mitte und den gleichen Radius haben. So Q-1, Q, Q2, Q3. . . haben Sie eine allgemeine Mitte und einen allgemeinen Radius. Q und KQ haben eine allgemeine Mitte und gleiche und gegenüberliegende Radien; das heißt, ist das t von KQ das negative Paronym von dem von Q. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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