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PYTHAGOREAN
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PYTHAGOREAN -See also:GEOMETRIE als die See also:Einleitung von Geometrie in See also:Griechenland ist durch die allgemeine Zustimmung, die Thales zugeschrieben wird, also werden alle vereinbart, daß das zu See also:Pythagoras die See also:Ehre See also:des Aufwerfens von See also:Mathematik zum See also:Rank einer See also:Wissenschaft See also:passend ist. Wir wissen, daß das frühe Pythagoreans nichts veröffentlichte und daß außerdem sie alles verwiesen, ihre Entdeckungen zurück zu ihrem See also: 3 Aristox. Fragm. AP. Stob. Eclog. Phys. i. 2, 6.Laert. viii. (See also: (i) Das Pythagoreans definieren einen See also:Punkt als "Einheit, die Position" hat (Verdichtereintrittslufttemperat P. 95 des Stoßes pp.). (2) hielten sie einen Punkt für analog dem See also:monad, eine See also:Linie zur Dyade, superficies zum Dreier und ein Körper zum Tetrad (ibid. P. 97). (3) zeigten sie, daß die Fläche um einen Punkt vollständig durch sechs equilateral Dreiecke gefüllt wird, vier Quadrate oder drei regelmäßige Hexagone (ibid. P. 305). (4) schreibt Eudemus ihnen die See also:Entdeckung des Theorems zu, daß die Innenwinkel eines Dreiecks zwei rechten Winkeln gleich sind und ihren See also:Beweis geben, der im wesentlichen derselbe wie der in See also:Euclid I. 32 6 war (ibid. P. 379). (5) informiert Proclus uns in seinem Kommentar auf Euclid I. 44, dem Eudemus sagt, daß die Probleme hinsichtlich sind der Anwendung von areaswhere die See also:Bezeichnung "Anwendung" nicht in seiner eingeschränkten Richtung (7rapa(óaii), in dem es in dieser See also:Angelegenheit verwendet wird, aber auch in seiner breiteren Bedeutung genommen werden soll und inrep$oX-i und €XXstsilikon umfaßt, in denen sie in den Stützen des Buches VI. verwendet wird. 28, 29are See also:alt und See also:Erfindungen des Pythagoreans? (ibid. P. 419). (6) wird dieses von See also:Plutarch, 8 bestätigt, wer, nach See also:Apollodorus, daß Pythagoras ein Rind auf dem See also:Finden des geometrischen Diagramms opferte, irgendein das in bezug auf die Hypothenuse sagt, nämlich, die das Quadrat auf ihm der Summe der Quadrate auf den Seiten gleich ist oder daß in bezug auf das Problem hinsichtlich ist der Anwendung eines Bereichs.', (7) schreibt Plutarch10 auch Pythagoras die Lösung des Problems, eine See also:Abbildung zu konstruieren zu, die bis eine gleich und einer anderen gegebenen Abbildung ähnlich ist. (8) gibt Eudemus an, daß Pythagoras den See also:Aufbau der regelmäßigen Körper entdeckte (OPVERDICHTEREINTRITTSLUFTTEMPERAT P. 65 des Stoßes). (9) wird Hippasus, das Pythagorean, gesagt, im See also:Meer wegen seines impiety umgekommen zu sein, insofern als er sich rühmte, daß er zuerst das Wissen des Bereichs mit den zwölf Pentagonen verbritt (das inscribed Ordinantendodecahedron): Hippasus nahm den See also:Ruhm der Entdeckung zu an, während alles gehörte ihm "für folglich sie kennzeichnen Pythagoras und anrufen ihn nicht namentlich.", 11 (1o) das dreifache verwobene See also:Dreieck oder die pentagramstar-geformten regelmäßigen pentagonwas, die als See also:Symbol oder Zeichen der Anerkennung durch das Pythagoreans verwendet wurden und wurden durch sie "See also:Gesundheit" benannt (iyteia).12 (ii) die Entdeckung des Gesetzes des Stoßes drei 4. OPVERDICHTEREINTRITTSLUFTTEMPERAT P. 45. 6 OPVERDICHTEREINTRITTSLUFTTEMPERAT P. 35. 6, die wir von einem Fragment von Geminus erlernen, das unten von Eutocius in seinem Kommentar auf dem Conics von See also:Apollonius übergeben worden ist (Apoll. Conica, ED. Halleius, P. 9), dem die alten Geometer zwei rechte See also:Winkel in jeder See also:Sorte Dreieck, im equilateral ersten, dann in isosceles beobachteten, und zuletzt in scalene, während neuere Verfasser das Theorem im Allgemeinen folglich "prüften, die drei internen Winkel jedes Dreiecks sind gleich zwei rechten Winkeln.", 7 die Wörter von Proclus sind "entsprechend Eudemus die Erfindungen interessant, welche die Anwendung respektieren, sind Überfluß und Defekt von Bereichen alt, und liegen See also:am Pythagoreans. Moderns, diese Namen borgend, brachte sie auf die sogenannten konischen Linien, die Parabel, die See also:Hyperbel, der See also:Ellipse, wie die ältere Schule, in ihrer Bezeichnung hinsichtlich ist der Beschreibung von Bereichen in der Fläche auf einer begrenzten rechten Linie, folglich betrachtet den Bezeichnungen: Ein See also:Bereich soll (7rapa-, BaXX8ty) zu einer gegebenen rechten Linie angewandt, wenn ein Bereich, der im Inhalt einigem gegebenes man gleich ist, darauf beschrieben wird; aber, wenn die See also:Unterseite des Bereichs grösser als die gegebene Linie ist, dann soll der Bereich übermäßig (87rep/36.XAety); aber, wenn die Unterseite kleiner ist, damit irgendein Teil der gegebenen Linie liegt ohne beschreiben, Bereich, dann soll der Bereich im Defekt (EXXElirEtv). Gebrauch Euclid auf diese See also:Art in seinem 6. Buch der Bezeichnungsüberfluß und -defekt. Die Bezeichnungsanwendung (7rapa/áXXEtv), das wir dem Pythagoreans verdanken, hat diese Bedeutung.", nicht suaviter vivi sek des posse 8. Epicurum, c. XI. 9 Toilxwpiovriffs 7rapa$oaiis Eire 7r0f3)in/à 7repi. Einige Autoren, die letzten fünf Wörter "hinsichtlich sind des Bereichs der Parabel übertragend," haben Pythagoras die See also:Quadratur der Parabel zugeschrieben, die eine der großen Entdeckungen von See also:Archimedes war. 10 Symp. viii., Quaest. 2, c. 4. n See also:Iamblichus, De Vit. Pyth. c. 18, § 88. 12 See also:Lucian, Prolapsu in salut.-§ 5; auch schol. auf Aristoph. Auswuchs. 611, Daß das Pythagoreans solche Symbole wir verwendete, erlernen Sie von Iamblichus (De Vit. Pyth. c. 33, §§ 237 und 238). Diese Abbildung ist bezogenes Pythagoras selbst, und im mittleren See also:Alter wurde Pythagoraefigura benannt; allerdings spät, während See also:Paracelsus es durch die Quadrate (Euclid I. d7) betrachtet wurde, See also:allgemein genannt ", Theorem von Pythagoras, "wird ihm durch viele Behörden zugeschrieben, von denen das älteste See also:Vitruvius.i (12) eins der Methoden des Findens der recht-winkligen Dreiecke ist, deren Seiten in den Zahlen ausgedrückt werden können (das triangles)that Pythagorean, das vom ungeraden numbersis darlegt, bezog sich auf Pythagoras durch See also:Heron von See also:Alexandria und von Proclus.', (13) wird die Entdeckung der vernunftwidrigen Quantitäten Pythagoras von Eudemus zugeschrieben (OPVERDICHTEREINTRITTSLUFTTEMPERAT Procl. P. 65). (14) die drei proportionsarithmetical, geometrisch und harmonicalwere bekannt Pythagoras.', (15) sagt Iamblichus', "früher, in der See also:Zeit von Pythagoras und von Mathematikern unter ihm, dort war das arithmetische onlythe mit drei Mitteln, das geometrische und der Third im Auftrag, der durch das Vor-Namenskonträre (for6PaPTia) bekannt, aber, das See also:Archytas und Hippasus das harmonical kennzeichneten, da es schien, die Verhältnisse hinsichtlich sind der See also:Harmonie und der See also:Melodie zu umfassen.", (16) der sogenannte vollkommenste oder musikalischste See also:Anteil, See also: . Maßeinheitsquadrate werden nacheinander, die längliche Form werden konserviert gelegt. (ò) war andere seiner Lehren, war das aller Körperabbildungen der Bereich das schönste und aller Flächeabbildungen der Kreis.', (21) entsprechend Iamblichus werden das Pythagoreans gesagt, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben.', er als Symbol der Gesundheit. Es wird gesagt, seinen speziellen Namen von den Buchstaben erhalten zu haben See also: Geom. und stereom. rel., ED. F. Hultsch, pp. 56, 146; Stoß. OP. Verdichtereintrittslufttemperat. P., 428, ist die Methode von Pythagoras, wie folgt: er nahm eine See also:ungerade Zahl als die wenige See also:Seite; dann erquadriert diese Zahl erquadriert hatte und das Quadrat durch Einheit vermindert, nahm er Hälfte See also:Rest als die grössere Seite, und indem er Einheit dieser Zahl hinzufügte, erreichte er die Hypothenuse, z.B. 3, 4, 5; 5, 12, 13. Nicom. See also:Ger. Intred. Ar. c. xxii 4 im arithmelicam Nicomachi, ED. S. Tennulius, P. 141. 6 OPVERDICHTEREINTRITTSLUFTTEMPERAT P. 168. Als Beispiel dieses Anteils See also:Nicomachus und, nach ihm, Iamblichus geben Sie die Nr. 6, 8, 9, 12, das harmonical und arithmetische Mittel zwischen zwei Zahlen, die einen metrischen Anteil des geo-àb a+b mit bilden, numeriert sich (a:z:: 2 B), Iamblichus bezieht See also:weiter (Positionsverdichtereintrittslufttemperat.) daß viel Pythagoreans diesen Anteil, als See also:Aristaeus von See also:Crotona, See also:Timaeus von See also:Locri, von Philolaus und von Archytas von See also:Tarentum und von vielen anderen und nach ihnen See also:Plato in seinem Timaeus gebrauchte (sehen Sie Nicom. See also:Installation arithm., ED. See also:Ast, P. 153 und Animadversiones, pp. 327329; und Iambi. OPVERDICHTEREINTRITTSLUFTTEMPERAT P. 172 folgend). 6 lrpayss Biwv, 4, i. 317, ED. C. Jacobitz. Ich habe pwvmittel, die durch, welches alles oder "Kriterium" bekannt; seine älteste konkrete Bedeutung scheint, das Quadrat des Tischlers (norma) zu sein durch das ein rechter Winkel bekannt. Folglich kam sie, ein Senkrechtes zu bezeichnen, von dem in der See also:Tat es der archaic Name war (Proclus, OP. Verdichtereintrittslufttemperat. P. 283). Gnomon ist auch ein See also:Instrument für messende Höhen, mittels deren der See also:Meridian gefunden werden kann; es bezeichnet, fördert, der See also:Index oder die Art von einem sundial, deren See also:Schatten die See also:Stunden unterstreicht. 
In der Geometrie bedeutet es das Quadrat oder das See also:Viereck über die Diagonale eines Quadrats oder das Viereck, zusammen mit den zwei complemehts, wegen der Ähnlichkeit der Abbildung zum Quadrat eines Tischlers; und dann, im Allgemeinen, die ähnliche Abbildung hinsichtlich irgendeines Parallelogrammes, wie von Euclid II. def. 2 definiert. Wieder in einer allgemeineren Bedeutung der Stille, bedeutet es die Abbildung, die, irgendeiner Abbildung, Konserven die ursprüngliche Form hinzufügend. Sehen Sie Heron, Definitiones (59). Wenn gnomons mehrmals hintereinander in dieser Weise einem quadratischen monad hinzugefügt werden, kann das erste gnomon als das angesehen werden, das aus drei quadratischen monads besteht und ist in der Tat der Bestandteil eines einfachen griechischen Gitterwerks; die Sekunde von fünf quadratischen monads, &c.; folglich haben wir die gnomonic Zahlen. 3 Diag. Laert. De Vit Pyth. viii. 19. 9 See also:Simplicius, im physicorumlibrosqualtuorpriorescommentaria Arislotelis, ED. H. Diels, P. 60. Auf Überprüfen der lediglich geometrischen Arbeit von Pythagoras und von seinen frühen disciples, wie in den vorangehenden Extrakten gegeben, beobachten wir, daß sie viel mit der Geometrie von Bereichen betroffen wird, und wir werden in der Tat mit seinem ägyptischen Buchstaben angeschlagen. Dieses erscheint im Theorem (3) hinsichtlich ist der Füllung herauf eine Fläche mit regelmäßigen figuresforfußböden, oder die Wände, die mit Fliesen der verschiedenen See also:Farben bedeckt wurden, waren in Ägypten allgemein; im Aufbau der regelmäßigen Körper werden (8), denn in einigen von ihnen in der ägyptischen See also:Architektur gefunden; in den Problemen hinsichtlich sind der Anwendung von Bereichen (5); und zuletzt, im Theorem von Pythagoras (ii), verbunden mit seiner See also:Richtlinie für den Aufbau der recht-winkligen Dreiecke in den Nr. (12). Wir erfahren von Plutarch, daß die Ägypter die geometrische Tatsache kannten, daß ist ein Dreieck dessen Seiten drei enthalten, vier und fünf Teile recht-winklig, und daß das Quadrat der größten Seite den Quadraten der Seiten gleich ist, die den rechten Winkel enthalten. Es ist auch wahrscheinlich, daß dieses Theorem zu ihnen im einfachen Fall bekannt, in dem das recht-winklige Dreieck isosceles ist, insofern als es sofort durch die See also:Betrachtung eines Fußbodens vorgeschlagen würde, der mit Quadratfliesen das Quadrat auf der Diagonale und der Summe der Quadrate auf den Seiten bedeckt wurde, enthalten Sie jede vier der recht-winkligen Dreiecke, in die eins der Quadrate durch seine Diagonale geteilt wird. Es ist See also:einfach jetzt, zu sehen, wie man das Problem ein Quadrat, das der Summe von zwei Quadraten gleich ist, könnte in einigen Fällen numerisch gelöst werden konstruiert. Von der Beobachtung von a chequered See also:Brett, das es wahrgenommen würde, daß das See also:Element in der aufeinanderfolgenden Anordnung der Quadrate das gnomon- oder Tischlerquadrat ist. Jedes gnomon besteht aus einer ungeraden Zahl der Quadrate, und die aufeinanderfolgenden gnomons entsprechen den aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen und umfassen folglich alle ungeraden Quadrate. Nehmen Sie jetzt zwei Quadrate werden gegeben, eins an, das aus sechzehn bestehen und das andere von neun Maßeinheitsquadraten, und das wird es vorgeschlagen, um von ihnen ein anderes Quadrat zu bilden. Es ist, daß das quadratische Bestehen aus neun Maßeinheitsquadraten die Gestalt des 4. gnomon annehmen kann, das, setzend ringsum das ehemalige Quadrat, erzeugt ein neues Quadrat offensichtliches, das fünfundzwanzig Maßeinheitsquadrate enthält. Ähnlich kann es beobachtet worden sein, daß das zwölfte gnomon, bestehend aus fünfundzwanzig Maßeinheitsquadraten, in ein Quadrat jedes umgewandelt werden könnte von dessen Seiten fünf Maßeinheiten enthält, und folglich kann es andererseits, daß das letzte Quadrat, indem es die gnomonic oder erzeugende Gestalt in Bezug auf das Quadrat auf zwölf Maßeinheiten als Unterseite annahm, das Quadrat von dreizehn Maßeinheiten produzieren würde, und so weiter gesehen worden sein. Diese Methode, die, angefordert wird nur generalisiert zu werden, um Pythagoras zu ermöglichen, zu seiner Richtlinie für das Finden der recht-winkligen Dreiecke zu kommen deren Seiten können in den Zahlen, die ausgedrückt werden, werden wir erklärt, darlegen von den ungeraden Zahlen. Das nth Quadrat zusammen mit dem nth gnomon bildet (n+See also: Der Aufbau der regelmäßigen Körper wird deutlich Pythagoras selbst von Eudemus (8) zugeschrieben. Von diesen fünf sehen Io Bretsch. Würfel Geom. Vor Euklides, P. 82; Camerer, elem Euclidis. i. 444, und die Hinweise dort gegeben. II wurde das See also:dodecahedron dem 5. Element, quintsgleichheiten, See also:aether oder zugewiesen, wie einige, dem Universum denken. (Sehen Sie PIIltotaus.), Körperthreethetetraeder, der Würfel und das octahedronwere, das die Ägypter bekannt ist und sollen in ihrer Architektur gefunden werden. See also:Lassen Sie uns jetzt überprüfen, was für den Aufbau des anderen icosahedron mit zwei solidsthe und des dodecahedron angefordert wird. In der Anordnung des Tetraeders drei und in dem des Octahedron vier, entsprechen Sie equilateral Dreiecken war gesetzt worden mit einem allgemeinen Gipfel und angrenzenden Seiten, die zusammentreffend sind; und es wurde gewußt, daß, wenn sechs solche Dreiecke ringsum einen allgemeinen Gipfel mit ihren angrenzenden zusammentreffenden Seiten gesetzt wurden, sie in einer Fläche liegen würden und daß folglich kein Körper in dieser Weise von ihnen gebildet werden könnte. Es blieb dann zu versuchen, ob fünf solche equilateral Dreiecke an einem allgemeinen Gipfel auf ähnliche Art und Weise gesetzt werden konnten; auf Versuch würde es gefunden, daß sie sein konnten also gesetzt und daß ihre Unterseiten ein regelmäßiges Pentagon bilden würden. Das Bestehen eines regelmäßigen Pentagons würde folglich bekannt werden. Es bekannt auch von der Anordnung des Würfels, daß drei Quadrate in eine ähnliche Weise mit einem allgemeinen Gipfel gelegt werden konnten; und das, weiter, wenn drei gleich und regelmäßige Hexagone ringsum einen Punkt als allgemeiner Gipfel mit den angrenzenden zusammentreffenden Seiten gesetzt wurden, würden sie eine Fläche bilden. Sie blieb in diesem Fall auch nur zu versuchen, ob drei gleiche regelmäßige Pentagone mit einem allgemeinen Gipfel und in eine ähnliche Weise gelegt werden konnten; dieses auf Versuch würde möglich gefunden und würde zu den Aufbau des regelmäßigen dodecahedron führen, dem das regelmäßige feste Letzte ankam an war. Wir sehen, daß der Aufbau des regelmäßigen Pentagons für die Anordnung jeder dieser beiden regelmäßiger Körper angefordert wird und daß folglich es eine Entdeckung von Pythagoras gewesen sein muß. Wenn wir jetzt überprüfen, was Wissen von Geometrie für die Lösung dieses Problems angefordert wurde, sehen wir, daß sie von Euclid IV. zu abhängt, das auf Euclid II. II verringert wird, die Problem werden verringert auf dem folgenden: Eine gegebene gerade Geraden, damit das Viereck unter der vollständigen Linie, die folglich produziert werden und dem produzierten Teil dem Quadrat auf der gegebenen Linie, gleich ist oder, in der See also:Sprache der ancients produzieren, an einer gegebenen geraden Geraden ein Viereck anwenden, das einem gegebenen areain dieser Fall das Quadrat auf dem gegebenen lineand gleich ist, das durch ein Quadrat übertrieben ist. Jetzt soll es beobachtet werden, daß das Problem in dieser Weise von Euclid (VI. 30, 1. Methode) gelöst wird und daß wir im Auftrag Eudemus, daß die Probleme hinsichtlich sind der Anwendung von Bereichen und von ihrem Überfluß und von Defekt alt sind und der Erfindungen des Pythagoreans (5) wissen. Folglich die Aussagen über Iamblichus hinsichtlich ist Hippasus (9)that verbritt er den Bereich mit dem pentagonsand zwölf von Lucian und von scholiast auf See also:Aristophanes (1o)that das pentagram wurde als Symbol der Anerkennung unter dem Pythagoreansbecome des grösseren Wertes verwendet. Weiter wird die Entdeckung der vernunftwidrigen Größen Pythagoras von Eudemus (13) zugeschrieben, und diese Entdeckung ist überhaupt als eine von den größten des Altertums angesehen worden. Es wird allgemein angenommen, daß Pythagoras zu diese Theorie von der Betrachtung des isosceles recht-winkligen Dreiecks geführt wurde. Es scheint dem anwesenden Verfasser jedoch wahrscheinlicher, der die Entdeckung von incommensurable Größen eher infolge von dem Problem war: Eine Linie im extremen und Mittelverhältnis schneiden. Von der Lösung dieses Problems folgt es sofort, daß, wenn auf dem grösseren Segment einer Linie also geschnitten einem Teil gleiches kleiner genommen Sie seien, dem grösseren Segment, angesehen als eine neue Linie, eine ähnliche Weise eingeschnitten wird; und dieser Prozeß kann ohne See also:Ende fortgesetzt werden. Andererseits wenn eine ähnliche Methode im See also:Kasten irgendwelcher zwei Linien angenommen wird, die numerisch dargestellt werden können, würde der Prozeß beenden. Folglich würde die Unterscheidung zwischen den commensurable und incommensurable Quantitäten entstehen. Ein Hinweis auf Euclid X. 2 zeigt, daß die Methode oben die ist, die verwendet wird, um zu prüfen, daß zwei Größen incommensurable sind; und in Euclid X. 3 wird es gesehen, daß das größte allgemeine Maß von zwei commensurable Größen durch diesen Prozeß des anhaltenden Abzugs gefunden wird. Es scheint wahrscheinlich, daß Pythagoras versuchte, dem eine der Richtlinien für das Darstellen der Seiten der recht-winkligen Dreiecke in den Zahlen zugeschrieben wird, die Seiten eines isosceles recht-winkligen Dreiecks numerisch zu finden und daß, ausfallend im Versuch, er vermutete, daß die Hypothenuse und eine Seite kein allgemeines Maß hatten. Er kann das incommensurability der Seite eines Quadrats und seiner Diagonale demonstriert haben. Die Natur des alten proofwhich bestand aus einem reductioanzeigenabsurdum und zeigte, daß, wenn das diagonale mit der Seite commensurable ist, sie folgen würde, daß die gleiche Zahl ungerade und even'makes es wahrscheinlicher jedoch sein würde daß dieses durch seine Nachfolger vollendet wurde. Das Bestehen vom vernunftwidrigen sowie das des regelmäßigen dodecahedron scheint, durch die Schule als eine ihrer Hauptentdeckungen angesehen worden zu sein, und als See also:Geheimnis konserviert worden zu sein; es ist auch bemerkenswert daß eine Geschichte, die der erklärt wird von Iamblichus von Hippasus ähnlich ist, von der Person berichtet wird, die zuerst die See also:Idee vom vernunftwidrigen veröffentlichte, nämlich, daß er Schiffswrack erlitt, schreibt &c.2 Eudemus die Probleme hinsichtlich sind der Anwendung der Abbildungen dem Pythagoreans zu. Die einfachsten Fälle von den Problemen, ' für diesen Beweis, sehen Euclid X. 117; sehen Sie auch Aristot. Analyt. Fotorezeptor i. c. 23 und c. 44. 2 Knoche, Faserwürfel Untersuchungen neuaufgefundenen su Euclids Elementen, pp. 20 und 23 DES Proklus Diadochus Scholien (See also:Herford, 1865). Euclid VI. 28, 29those, nämlich in, welchem das gegebene Parallelogramm ein squarecorrespond zum Problem ist: Eine gegebene gerade Geraden innerlich oder außen schneiden, damit das Viereck unter den Segmenten einer gegebenen rectilineal Abbildung gleich ist. Die Lösung dieses problemin, die die Lösung einer quadratischen Gleichung implizit containeddepends auf dem Problem, Euclid II. 14 ist und die Theoreme, Euclid II. 5 und 6, zusammen mit dem thedrem von Pythagoras. Es ist wahrscheinlich, daß das Finden eines Mittels, das zwischen zwei gegebenen Linien proportional ist, oder der Aufbau eines Quadrats, das einem gegebenen Viereck gleich ist, an Pythagoras selbst liegt. Die Lösung des allgemeineren Problems, Euclid VI. 25, wird auch ihm von Plutarch (7) zugeschrieben. Die Lösung dieses Problems hängt von der des bestimmten Falles und von der Anwendung von Bereichen ab; sie erfordert außerdem ein Wissen der Theoreme: Ähnliche rectilineal Abbildungen sind miteinander als die Quadrate auf ihren übereinstimmenden Seiten (Euclid VI. 20); und, wenn drei Linien im geometrischen Anteil sind, ist der erste zum Third, während das Quadrat auf dem ersten zum Quadrat auf der Sekunde ist. Jetzt See also:Hippocrates von See also:Chios, ungefähr 440 B.C., das in der Geometrie durch das Pythagoreans angewiesen wurde, besaß dieses Wissen. Wir werden folglich gerechtfertigt wenn man die Lösung des allgemeinen Problems, wenn nicht (mit Plutarch) Pythagoras, mindestens zu seinen frühen Nachfolgern zuschreibt. Das Theorem, daß ähnliche Polygone miteinander im doppelten Verhältnis ihrer übereinstimmenden Seiten sind, bezieht eine erste See also:Skizze mindestens der See also:Lehre des Anteils und der Ähnlichkeit Abbildungen.' mit ein, Daß wir die Grundlage und die Entwicklung der Lehre des Anteils zu Pythagoras und zu seiner Schule verdanken, wird durch das Zeugnis von Nicomachus (14) und von Iamblichus bestätigt (15 und 16). Von diesen Durchgängen scheint es, daß das frühe Pythagoreans nicht nur die arithmetischen und geometrischen Mittel zwischen zwei Größen kannten, aber auch mit ihrem harmonical Mittel, das wurde dann genannt "subcontrary.", Das Pythagoreans wurden viel mit der See also:Darstellung von Zahlen durch geometrische Abbildungen besetzt. Diese Betrachtungen entstanden mit Pythagoras, das die Summierung der natürlichen Zahlen, der ungeraden Zahlen und der geraden Zahlen kannte, die zur geometrischen Darstellung fähig sind. Sehen Sie den Durchgang in Lucian (17) und in der Richtlinie für die Supra Beobachtungen darauf finden Dreiecke Pythagorean (12) und. Andererseits es gibt keinen Beweis zum Stützen der Aussage über Montucla, der Pythagoras die Grundlage der Lehre von isoperimetry legte, indem man die aller Abbildungen prüft, die den gleichen Umkreis haben, den der Kreis das größte ist und die aller Körper, welche die gleiche Oberfläche der haben, Bereich das größte ist. Wir müssen auch verweigern Pythagoras und seinem Schule ein Wissen der konischen Abschnitte und insbesondere der Quadratur der Parabel, zugeschrieben ihm von einigen Autoren; und wir haben das Mißverständnis beachtet, das diese fehlerhafte Folgerung verursachte. Bestimmte Zusammenfassungen können von der vorangehenden Prüfung der mathematischen Arbeit von Pythagoras und von seiner Schule See also:gezeichnet werden, die uns ermöglichen, eine Schätzung des Zustandes von Geometrie über 48o B.c zu bilden. Zuerst hinsichtlich der Angelegenheit. Sie bildet den Hauptteil der ersten zwei Bücher von Euclid und umfaßt eine Skizze der Lehre von proportionwhich wurde begrenzt vermutlich auf commensurable magnitudestogether mit einigem des Inhalts des 6. Buches. Sie enthält, auch, die Entdeckung vom vernunftwidrigen (aoyov) und den Aufbau der regelmäßigen Körper, der letzte die Beschreibung bestimmter regelmäßiger polygonsthegrundlage tatsächlich des 4. Buches von Euclid erfordernd. Zweitens hinsichtlich der Form. Das Pythagoreans trennten zuerst Geometrie von den Notwendigkeiten des praktischen Lebens und behandelten sie als liberale Wissenschaft, gaben Definitionen und stellen die Weise des Beweises vor, der seitdem im Gebrauch gewesen ist. Weiter unterschieden sie zwischen den getrennten und ununterbrochenen Quantitäten und sahen Geometrie als eine See also:Niederlassung von Mathematik an, von der sie die vierfache Abteilung bildeten, die zum mittleren agesthequadrivium (vierfache Weise zum Wissen) von See also:Boetius und von gelehrten See also:Philosophie dauerte. Und es kann beobachtet werden, daß der Name von "Mathematik," sowie den "der Philosophie," ihnen zugeschrieben wird. See also:Drittens hinsichtlich der Methode. Ein See also:Leiter, der von der mathematischen Arbeit von Pythagoras charakteristisch ist, war es wird einig ge$$$wesen über alle Hände, daß diese zwei Theorien ausführlich mit Pythagoras und seiner Schule behandelt wurden. Es ist fast sicher, jedoch daß die Theoreme in ankamen, wurden für nur commensurable Größen nachgewiesen, und wurden, um gut zu halten für alle angenommen. Das Pythagoreans selbst scheinen, beachtet zu haben, daß ihre Beweise nicht rigoros waren, und zum ernsten Einwand geöffnet waren; diesbezüglich können wir die Erklärung der Geheimhaltung haben, die durch sie zur Idee von incommensurable und zum pentagram angebracht wurde, das beteiligt und in der Tat dargestellt, diese Idee. Jetzt ist es bemerkenswert, daß die Lehre des Anteils zweimal in den Elementen von Euclidfirst, in einer allgemeinen Weise behandelt wird, damit incommensurables, in Buch V. umfassen, das Tradition See also:Eudoxus zuschreibt, und dann arithmetisch in Buch vii., das, da Hankel angenommen hat, die Behandlung des Themas durch das ältere Pythagoreans enthält. See also:Kombination von Arithmetik mit Geometrie. Die Begriffe einer Gleichung und des proportionwhich sind für beide allgemein, und enthalten die erste Mikrobe von algebrawere eingeführt unter dem Griechen von Thales. Diese Begriffe, besonders der letzte, wurden durch Pythagoras und seine Schule ausgearbeitt, damit sie den Rank einer zutreffenden wissenschaftlichen Methode in ihrer Theorie des Anteils erreichten. Zu Pythagoras dann ist die Ehre des Lieferns einer Methode passend, die für alle Niederlassungen von Mathematik allgemein ist, und in dieser Hinsicht ist er mit Descartes völlig See also:vergleichbar, dem wir die entscheidende Kombination von Algebra mit Geometrie verdanken. Sehen Sie G. See also: J. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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