Online Enzyklopädie

Suchen Sie über 40.000 Artikeln von der ursprünglichen, klassischen Enzyklopädie Britannica, 11. Ausgabe.

R2(rt-s2)

Online Enzyklopädie
Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V14, Seite 548 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
» Bilden Sie eine Korrektur zu diesem Artikel.
» Fügen Sie Informationen oder comments diesem Artikel hinzu.
Spread the word: del.icio.us del.icio.us it!

See also:

R2(rt-s2) - RI (I +q2)See also:r-2Pgs+(I +p2)t)/(1 +p2+q2) +(I+p2+q2)2=See also:o. 44, Das Problem Änderung von Variablen wurde zuerst von Brook Taylor in seinem incrementorum Methodus betrachtet. Durch im See also:Fall See also:con-Ändern Sie von sidered Taylor, den y als Funktion von See also:z ausgedrückt wird und z-Variablen. als Funktion von x und sie wird gewünscht, die unterscheiden ential Koeffizienten von y in Bezug auf x auszudrücken, ohne z. zu beseitigen, welches das Resultat sofort erreicht werden kann durch die Richtlinien für das Unterscheiden eines Produktes und See also:der Funktion einer Funktion. Wir haben dydy dzdxdzdx ' d2ydy.d2z d2y (dz)2-ermöglicht dx2 De, dx ' dz3dz2-dx dx2+dz3 ' See also:des dx dýdy.d2z+ See also:d,dz d2z dý (dz) dx2 dz2 die See also:Einleitung der teilweisen differentialen Koeffizienten uns, allgemeinere Fälle von der Änderung von Variablen als die zu beschäftigen, die oben betrachtet wird. Wenn u, See also:v neue Variablen und x See also:sind, werden y mit ihnen durch Gleichungen des Artx=fi(u, V), y=See also:f2(u, V) angeschlossen, (i.) während y entweder eine ausdrückliche oder implizite Funktion von x ist, haben wir das Problem des Ausdrückens der differentialen Koeffizienten der verschiedenen Aufträge von y in Bezug auf x in den differentialen Koeffizienten von v ausgedrückt in Bezug auf u., das wir haben (~at'2 See also:Handels /, dx au av du au av DU (Li+ I (lv) durch die See also:Richtlinie des Gesamtdifferentials. In der See also:gleichen Weise mittels der Differentiale der höheren Aufträge, können wir d2y/dx2 ausdrücken und so See also:weiter. Gleichungen wie (i.) kann als Bewirken einer See also:Umwandlung gedeutet werden, durch die ein See also:Punkt (u, V) wird gebildet, um einem Punkt (x, y) zu entsprechen. Die vollständige Theorie von Umwandlungen und Funktionen oder differentiale Ausdrücke, die unter Gruppen Umwandlungen unveränderlich bleiben, ist vollständig von Sophus Lie studiert worden (sehen Sie insbesondere von seines der Theorie Transformationsgruppen, von des Leipzigs, von 1888-1893). (sehen Sie auch DIFFERENTIALGLEICHUNGEN und GRUPPEN). Ein allgemeineres Problem Änderung von Variablen wird dargestellt, wenn es gewünscht wird, um die teilweisen differentialen Koeffizienten einer Funktion V in Bezug auf x, y auszudrücken. . . in denen in Bezug auf u ausgedrückt, v.

. wo u, v. werden an x, y angeschlossen. . durch irgendwelche Funktionsrelationen. Wenn es zwei Variablen x, y und u gibt, werden v Funktionen von x, y gegeben, haben wir des Handels Handels See also:

Axt-Au ax+av Auhandels Handels Axt ' das ay Au ay. Handels des aVaVauaVav ay ' und die differentialen Koeffizienten der höheren Aufträge sollen gebildet werden durch wiederholte Anwendungen der Richtlinie für das Unterscheiden eines Produktes und der Richtlinien von das Arta_auaavarind = Axt au+ax Handels, wann x, y Funktionen von u, v gegeben werden. . . wir haben, anstelle vom oben genannten, solche Gleichungen, die auay Au Handels__handelsaxthandelsder ay Au-Axt ' und aV/ax, aV/ay gefunden werden können, indem man diese Gleichungen löst, vorausgesetzt das a(x Jacobian, y)/a(u, V) nicht See also:null ist. Die Verallgemeinerung dieser Methode für den Fall mehr als zwei Variablen braucht, nicht uns zurückzuhalten. In den Fällen mögen Sie, daß hier gehalten für es manchmal bequemer, ist die Gleichungen nicht zu betrachten, x, y anzuschließen mit u, v als Bewirken einer Punktumwandlung, aber, die Orte u=const., v=const zu betrachten. als zwei "Familien" der Kurven. Dann in irgendeiner Region der Fläche von (x, y), in dem das a(x Jacobian, y)/a(u, V) nicht verschwindet oder wird See also:endlos, irgendein Punkt (x, y) wird einzigartig durch die See also:Werte u und v festgestellt, die den Kurven der zwei Familien gehören, die durch den Punkt überschreiten. Solche Variablen wie u, v werden dann als ' ' jcurvilinear Koordinaten "des Punktes beschrieben.

Diese Methode ist auf jede mögliche Zahl von Variablen anwendbar. Wenn das Ortu=const sich senkrecht schneiden, sind die Variablen "orthogonale" krummlinige Koordinaten. Dreidimensionale Systeme solcher Koordinaten haben wichtige Anwendungen in der mathematischen Physik. Bezug kann genommen werden auf See also:

G. Lame, surlescoordonneescurvilignes Leyans (See also:Paris, 1859) und auf G. Darboux, surlescoordonneescurvilignes Lecons und systemesorthogonaux (Paris, 1898). Wenn eine solche Koordinate wie u mit x angeschlossen wird und y durch eine Funktionsrelation des Formf(x, y, u) = O, sind die Kurven u=const. eine Kurvenschar, und diese See also:Familie kann so sein, daß keine zwei Kurven der Familie einen allgemeinen Punkt haben. Wenn dieses nicht der Fall ist, neigen die See also:Punkte, in denen ein Kurvenf(x, y, u) = O durch ein Kurvenf(x, y, ein u+Au) = O geschnitten wird, zum Begrenzen von Positionen, während DU unbestimmt vermindert wird. Der See also:Ort dieser Begrenzungspositionen ist der "Umschlag" der Familie, und im allgemeinen berührt er alle Kurven der Familie. Es ist See also:einfach, zu sehen, daß, wenn u,v die Parameter von zwei Kurvenscharen sind, die Umschläge haben, das a(x Jacobian, y)/a(u, V) an See also:allen Punkten auf diesen Umschlägen verschwindet. Es ist einfach, auch zu sehen, daß an irgendeinem Punkt, in dem das wechselseitige a(u Jacobian, v)/a(x, y) verschwindet, eine Kurve der Familie u eine Kurve der Familie V berührt. In Bezug auf wenn drei Variablen x, y, z durch ein Funktionsrelationsf(x, y, z) = O angeschlossen werden, kann eine von ihnen, z-Sagen, als eine implizite Funktion der anderen zwei angesehen werden, und die teilweisen differentialen Koeffizienten von z x und y können durch die Richtlinie des Gesamtdifferentials gebildet werden. Wir haben az _ See also:L von az von.

See also:

f _ - ay/ex Axt/das ay az ' = az ' und dort ist keine Schwierigkeit beim Fortfahren, die höheren differentialen Koeffizienten auszudrücken. In Bezug auf entsteht das Problem des Ausdrückens der teilweisen differentialen ausgedrückt Koeffizienten von x in Bezug auf y und z in denen von z x und y. das Problem bekannt als das "des Änderns der abhängigen Variable.", Es wird gelöst, indem man die Richtlinie des Gesamtdifferentials anwendet. Ähnliche Betrachtungen sind auf alle Fälle anwendbar, in denen n-Variablen durch weniger als n-Gleichungen angeschlossen werden. 45, Theorem des Schneiders kann auf Funktionen einiger Variablen verlängert werden. Im Fall zwei Variablen benennt der General für Verlängerungsmula, mit einem See also:Rest nach n, kann der of'Taylors im Formtheorem einfach schriftlich. f(a+See also:h, b+See also:k) = f (a, B) +df (a, B) + 2 d2f(a, B) +... + ist n I I)id''-'f(a, b)+dnf(a+Oh, b+Bk), d'f(a, B) = [ (hdx+See also:kay)'f(x, in dem y')]y_a n und d"f (a+6h, b+6k) _ (h +kayl) f (x) ] = +en, v-b+Px der letzte Ausdruck der Rest nach n-Bezeichnungen, und in ihm bezeichnet 0 irgendeine bestimmte Zahl zwischen O und i. die See also:Resultate für drei oder mehr Variablen kann in die gleiche See also:Form geschrieben werden. Die Verlängerung des Theorems des Schneiders wurde von See also:Lagrange (1797) gegeben; die Form, die oben geschrieben wird, liegt an See also:Cauchy (1823). Für die Gültigkeit des Theorems in dieser Form, die es, daß alle differentialen Koeffizienten bis zu nth in einer Region ununterbrochen sein sollten, die durch x = ein ' h gesprungen wird, y = b t k. notwendig ist, wenn alle differentialen Koeffizienten, egal wie hoch der See also:Auftrag ununterbrochen sind, in solch einer Region, das Theorem, führt zu eine Expansion der Funktion in einer mehrfachen Potenzreihe. Solche Expansionen sind in der See also:Analyse, geometry.and-See also:Mechaniker wie Expansionen der Funktionen von einer Variable gerades so wichtiges.

End of Article: R2(rt-s2)

Zusätzliche Informationen und Anmerkungen

Es gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
Bitte Verbindung direkt zu diesem Artikel:
Heben Sie den Code unten, rechtes Klicken, hervor und wäen Sie "Kopie." vor, Kleben Sie sie dann in Ihr website, in email oder in anderes HTML.
Stationieren Sie Inhalt, Bilder und Layout copyright © 2006 - Net Industries, weltweit.
Kopieren Sie nicht, downloaden Sie, bringen Sie oder wiederholen Sie anders den Aufstellungsortinhalt ganz oder teilweise.

Verbindungen zu den Artikeln und zum Home Page werden immer angeregt.

[back]
R02C 		[next]
R6Y31F

Seite © 2006 - Net Industries