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COE

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V27, Seite 275 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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COE ist 2(CD). Die Summe See also:

der Stoßjections Ods und See also:des Des auf OA ist der von OE gleich, und die Summe der Projektionen von OC und von See also:CER ist der von OE gleich; folglich ist die Summe der Projections von OC und von Od zweimal die von ODER oder See also:Lattich See also:C+cos See also:D=2 Lattich I(C+D) Lattich 2(CD). Der Unterschied der Projektionen See also:O A Ods und des OC ein OA-FIG. ¢. ist zweimal dem von ED gleich, folglich haben wir die See also:Formel Lattich Dcos C = der See also:Sin 2 Sin I(C+D) 2(CD). Die anderen zwei Formeln werden erreicht, indem man sich schräg auf eine gerade Geraden geneigtes +l7r zu OA projiziert. Als ein anderes Beispiel des Gebrauches von Projektionen, See also:finden wir die Summe der See also:Reihe Lattich a+cos (a+See also:fl)+cos (a+29)+. +cos (a+nIS). Summe von nehmen an, daß Polygon jeder See also:Winkel, von dem die in einem Kreis einzuschreibende Reihe von > rp ist, und See also:lassen Sie A, See also:A1, See also:A2, Seri See also:s O in A3, A. ist nachfolgende eckige See also:Punkte n+i unclosed; Arthmet/cal ließen D der See also:Durchmesser des Kreises sein; und nehmen Sie eine gerade Geraden der Weiterentwicklung an, die einen Winkel a mit AA1, dann a+$, a+2/3 bildend See also:gezeichnet wird. . . See also:sind die Winkel es Marken mit Al A3, A2, A3. . wir haben durch projections AA "Lattich (a+2nI, See also:e) = AA ' { Lattich a+ Lattich a+See also:R+..•+See also:Cosa+(nI/31, auch AA1=D-Sin See also:z,See also:5 ', AA"=d-Sin In/3; folglich ist die Summe der Reihe von Kosinus cosec Z,8 des Sin 20 Lattichs (a+%nI 13). Durch eine doppelte Anwendung der Hinzufügungsformeln können wir den Formelsin (A1+A2+A3) = Sinal Lattich als Alsin Lattichs A3 +cos als Al Lattich Lattichs A3+cos als Sin-Alsin des Sin A3 als Sin A1 erreichen; Lattich (A1+A2+A3) = Lattichal Lattich als Alsin Lattichs A3 Lattich als Al Lattich des Sin A3sin als Sin-Alsin des Sin A3 als Lattich A3.

Wir Dose durch See also:

Induktion verlängern diese Formeln auf den See also:Fall von den n-Winkeln. Nehmen Sie Sin an (A1+A2+... +An)=S1S3+S3. . Lattich (A1+A2+... +A") = SoS2+Ss... wo Sr die Summe der Produkte der Sinus von r der Winkel und der Kosinus von den restlichen nrwinkeln bezeichnet; dann haben wir Sin (A1+A2+. . . +A"+An+1)=cos A"+1(sß3+s5...) +sin A, +1(SoS2+Ss...). Die rechte See also:Seite dieser Gleichung kann geschrieben werden (Sin A SçosAsia +So sinA"+1)(5énsA"+1 +S2, +1)+ -. oder S'1S'3+• -. wo S ', die Quantität bezeichnet, die cqrresponds für n+i zum Sr für n-Winkel winkelt; ähnlich können wir der Kosinusformel fortfahren. Die Theoreme sind für 1S=2 und n=3 zutreffend; so sind sie im Allgemeinen zutreffend. Die Formelformeln Lattich À = COs "- ein sinÀ = A I = 12 Sin ' A 2 Lattichs, für Säurenummer A und Vorsin À der Mehrfachverbindungsstelle 2 = 2 Sin A Lattich A, Säurenummer À = i-Zapfen, die eine Mehrfachverbindungsstelle winkelt.

Sin Á = 3 Sin A -4 sin3 A, Lattich Á = cosA 4 cos3 A -3, Sin Na = n Lattich "ein n(n I I(n -2)ensn`3 A sin3 A+. des Sin A.. 3• +(I)rtt(nI). . (n2r) (2r +) (Lattich "ein des nA=cos^An(nI)cos"'See also:

g A sine'+1 A Lattich Sin ' 2! +. . } ()rn(nI)... Sin des n2r+i-) cos""r A ' * A+.... 2r! können alle von den Hinzufügungsformeln abgeleitet werden, indem man die Winkel ganz gleich bildet. Von den letzten zwei Formeln erreichen wir durch Säurenummer A - n(n der See also:Abteilung n - 1 ' (n - 2) bräunen Sie sich, A +... + (- 1)rn(n - 1)... (n - 2r) tan''-r+1 A+... bräunen Sie Na 3' (2r+1)!

Im bestimmten Fall von n=3 haben wir Säurenummer Á = -3 See also:

Ameise A A Säurenummer A Säurenummer 3 die See also:Werte von Sin IA, Lattich IA, werden Säurenummer IA in Lattich A ausgedrückt durch den Formelsin ein A=(I)n(1 2s A) I Lattich À = gegeben (1)Q(I 2s A) See also:L See also:f-Säurenummer 2 A=(i) (ich I Lattich Lattich A 1 \ A) A ', wo p der wesentliche Bestandteil von A/27r, von q der wesentliche Bestandteil von A/2r+1 und von r der wesentliche Bestandteil von A/7r ist. Sin IA, Lattich IA sind given'{inbezeichnungen von Sin A durch den Sin ZA=(I)P'(I+sin A)F+(I)4'(Isin A)+, 2 Lattich der Formeln 2 IA = (I)i1'(I+sin A)Ir(sin A)t, wo p ' der wesentliche Bestandteil von A/27r+4 und von q ' der wesentliche Bestandteil von A/ear 6 ist. In jedem flachen See also:Dreieck-See also:ABC bezeichnen wir die Längen der Seiten BC, des Ca, der AB durch a, des b, des c beziehungsweise und der Winkel BAC, ABC, ein See also:COLUMBIUM durch A, B, C beziehungsweise. Die Tatsache, daß die projec-tionseigenschaften von b und von c auf einem Senkrechten der geraden Geraden zu von Tpreriangles. seitliches a. bis eine andere gleich sind, wird durch den SinC=c des equa-tion b Sin B ausgedrückt; diese Gleichung und die, die durch hervorstehendes c und a auf einem Senkrechten der geraden Geraden zu a erreicht wird, können a/sin A=b/sin B=c(sin C. The schriftlich, Gleichungs, diea=b Lattich C+c Lattich B die Tatsache ausdrückt, daß die Seite a der Summe der Projektionen der Seiten b und c auf sich gleich ist; so erhalten wir die Gleichungen a = b Lattich C+c Lattich B b- = c-Lattich A+a Lattich C c=acosB+b cosA, wenn wir das erste dieser Gleichungen mit a, der Sekunde mit b und des Third mit c multiplizieren, und addieren die resultierenden Gleichungen, erreichen wir die Formel b'+cà2=2bc Lattich A oder Lattich A=(b'-l-cà')/2bc, der den Kosinus eines Winkels in den Seiten ausgedrückt gibt. Von diesem Ausdruck für Lattich A sind die Formeln (s-b)(sc) L Lattich IA S(sa) 1 i-Sin À = sind Säurenummer IA = (Sin A=be{s(sa)(sb)(sc) des s-s(s)(a) c) See also:J }, wo s z(a+b+c) bezeichnet, können mittels der dimidiary Formel abgeleitet werden. Von jeder allgemeinen Relation zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreiecks können andere Relationen durch verschiedene Methoden der See also:Umwandlung abgeleitet werden, von denen wir zwei Beispiele geben. a. In jeder allgemeinen Relation zwischen den Sinus und den Kosinus der Winkel A, B, C eines Dreiecks können wir pA+gB+rC, rA+pB+qC, qA+rB+pC ersetzen für A, B, C beziehungsweise, wo p, q, r irgendwelche Quantitäten so sind, daß p+q+r+1 eine positive oder negative Mehrfachverbindungsstelle von 6 ist, vorausgesetzt daß wir die Zeichen aller Sinus ändern. Nehmen Sie p+q+r+i = ñ, dann die Summe der drei Winkel 2n7r (PA +qB +rC), 2n7r (Ra +pB +qC), 2nir (gArB +pC) ist 7r an; und, da die gegebene Relation von der See also:Bedingung A+B+C = 7r folgt, können wir für A, B, C ersetzen beziehungsweise alle mögliche Winkel, von denen die Summe ar ist; so ist die Umwandlung zulässig. 0. Es kann leicht gezeigt werden, daß die Seiten und die Winkel des Dreiecks, indem sie die Füße der Senkrechten von den eckigen Punkten A, B, C auf den gegenüberliegenden Seiten des Dreieck-ABCS verbanden, sind beziehungsweise ein Lattich A, b Lattich B, c Lattich C, 7rÀ, 7r2B, 7r2C sich bildeten; wir können diese Ausdrücke für a, b, c, A, B, C folglich ersetzen beziehungsweise in jeder allgemeinen Formel.

Indem wir die Senkrechten dieses zweiten Dreiecks zeichnen und ihre Füße wie vor verbinden, erhalten wir ein Dreieck, von dem der Seitenbereich Lattich A Lattich À, b Lattich B Lattich 2B, c Lattich C Lattich 2C und die Winkel Â7r, 4B7r, 4C7r sind; wir können diese Ausdrücke für die Seiten und die Winkel des ursprünglichen Dreiecks folglich ersetzen; z.B. erreichen wir folglich die Formel Lattich  = À b ' Lattich ' A Lattichs eines ' Lattichs - 2C 2bc Lattich B Lattich C Lattich 2B Lattich 2C C Lattichs 2Bc2 Lattichs B Lattichs, das diese Umwandlung offensichtlich vom weiteren exten-See also:

sion zuläßt. Lösung (i) der drei Seiten eines Dreieck-ABCS, das, Dreiecke die Winkel gegeben wird, kann durch die Formel L See also:Maschinenbordbuch des Maschinenbordbuches Säurenummer zA=1o+2 (Sb) +z (s-c)2 Maschinenbordbuch s festgestellt werden; loggen Sie (sa) und zwei entsprechende Formeln für die anderen Winkel. Formeln für Sinus und Kosinus der Summe Winkel. 1 Säurenummer n(n2 1), A+... +(- 1)rn(, 1) * "((Zapfen A+ n 2r-1 1)..., Kugelförmige See also:Trigonometrie. 7. Wir nehmen gänzlich solche grundlegende Angelegenheiten in der kugelförmigen See also:Geometrie an, wie für die See also:Untersuchung der Formeln angefordert werden, die unten gegeben werden. Ein kugelförmiges Dreieck ist der See also:Teil der Oberfläche eines Bereichs, der durch drei See also:Bogen der großen Kreise des Bereichs gesprungen wird. Wenn BC, Ca, AB diese Bogen bezeichnen, subtended das kreisförmige Maß der Definitionswinkel durch diese Bogen beziehungsweise an der kugelförmigen Mitte des Bereichs sind die Seiten a, b, c des kugelförmigen Dreieckdreieck-ABCS; und, wenn die Teile der Flächen, die durch diese Bogen und die Mitte des Bereichs überschreiten, gezeichnet werden, sind die Winkel zwischen den Teilen der Flächen, die an A, B, C beziehungsweise schneiden, das Winkel4, B, C des kugelförmigen Dreiecks. Es ist nicht notwendig, Dreiecke zu betrachten, in denen eine Seite grösser als,r ist, da wir solch eine Seite durch den restlichen Bogen des großen Kreises zu dazugehörigem ersetzen können, das er gehört. Da zwei große Kreise Dreiecke in zwei Punkten schneiden, gibt es acht Dreiecke, von denen die Seiten Bogen der See also:gleichen drei großen Kreise sind. Wenn wir ein von ABC dieser Dreiecke für das grundlegende halten, dann ist eins von den anderen in jeder Hinsicht ABC gleich, und die restlichen sechs haben jeder einer Seite, die gleich sind, oder See also:Common mit, einer Seite des Dreieck-ABCS, der gegenüberliegende Winkel, der dem entsprechenden Winkel von ABC gleich sind, und die anderen Seiten und die Winkel, die zu den entsprechenden Seiten Ergänzungs sind und die Winkel von ABC. Diese Dreiecke können genannt werden die dazugehörigen Dreiecke des grundlegenden 4BC.

Es folgt dem von jeder allgemeinen Formel, die die Seiten und Winkel, eines kugelförmigen Dreiecks enthält, das, wir andere Formeln erreichen können, indem wir zwei Seiten und die zwei Winkel gegenüber ihnen 1,y ihre Ergänzungen ersetzen, der restlichen Seite und des restlichen Winkels, die unverändert ist, denn solche Formeln werden erreicht, indem man die gigen-Formeln an den dazugehörigen Dreiecken anwendet. Wenn 4', B ', C ' jene See also:

Pfosten der Bogen BC sind, wird Ca, AB beziehungsweise eine hichlüge nach den gleichen Seiten von ihnen wie die Entgegengesetztwinkel A, B, C, dann das Dreieck A'B'C ' das polare Dreieck A A des Dreieck-ABCS genannt. Die Seiten des polaren Dreiecks sind,rA,rB,rC und die Winkel,ra,rb,rc. folglich von jeder allgemeinen Formel die Seiten und Winkel eines kugelförmigen Dreiecks anschließt, das wir eine andere Formel erreichen können, indem wir jede Seite in die Ergänzung in das gegenüberliegende des Armbandes und jeder Winkel in die Ergänzung der gegenüberliegenden Seite ändern. 8. Lassen Sie 0 die Mitte des Bereichs sein, auf dem das kugelförmige Senkrechte Dreieck-ABC.

End of Article: COE

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