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PORISM

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V22, Seite 103 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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PORISM . Das Thema von porisms ist perplexed durch die See also:

Menge See also:der unterschiedlichen Meinungen, die von den Geometern hinsichtlich vertreten worden See also:sind ein was porism wirklich war und sind. Die See also:Abhandlung, die die Kontroversen auf diesem Thema verursacht hat, ist das Porisms von See also:Euclid, der Autor der Elemente. Für, soviel wie, wir von dieser verlorenen Abhandlung wissen, die wir See also:zur See also:Ansammlung von Pappus von See also:Alexandria verschuldet sind, das sie zusammen mit anderen geometrischen See also:Abhandlungen erwähnt und eine Anzahl von den Lemmas gibt, die für das Verstehen sie notwendig sind. Pappus gibt, daß die porisms von Euclid weder Theoreme noch Probleme sind an, aber ist in irgendeinem Artvermittler, damit sie entweder als Theoreme oder als Probleme dargestellt werden können; und sie wurden dementsprechend von vielen Geometern, die bloß der See also:Form der Erklärung betrachteten, als Theoreme wirklich seiend angesehen, oder Probleme, zwar die See also:Definitionen, die von den älteren Verfassern gegeben wurden, zeigten, daß sie verstanden die Unterscheidung zwischen den drei Kategorien von Angelegenheiten verbessern. Die älteren Geometer sahen ein Theorem als verwiesen auf die Prüfung was vorgeschlagen wird an, ein Problem, wie verwiesen auf das Konstruieren, was vorgeschlagen wird und schließlich ein porism, wie verwiesen auf das See also:Finden, was vorgeschlagen wird (wie ropur durch avro"uro"u 7rpomtvo EVOV). Pappus fährt fort, zu sagen, daß diese letzte See also:Definition von bestimmten neueren Geometern geändert wurde, die ein porism aus den See also:Grund einer versehentlichen See also:Eigenschaft als Rb Xe'irov ixoKo-und roirocou OEwpitµaros definierten, das, das von einem See also:Ort-Theorem durch See also:Hypothese a (oder in seinem) unterschreitet. See also:Proclus unterstreicht, daß das Wort in zwei Richtungen verwendet wurde. Eine Richtung ist die "der logischer Folge," infolgedessen unsought, wie sie war, aber gesehen, um von einem Theorem zu folgen. Auf dem "porism" in der anderen Richtung fügt er nichts der Definition "der älteren Geometer" ausgenommen Sagen hinzu (was nicht wirklich Hilfe), die das Finden der Mitte eines Kreises und das Finden See also:des größten allgemeinen Masses porisms sind (Proclus, ED. Friedlein, p.•301). Pappus gibt eine komplette Erklärung eines porism, das von Euclid abgeleitet wird, und eine Verlängerung von ihm zu einem allgemeineren See also:Fall.

Dieses porism, ausgedrückt in der modernen See also:

Sprache, erklärt thatgiven vier gerade Geraden, von denen Umdrehung drei über die See also:Punkte, in denen sie den Fourth See also:treffen, wenn zwei der pcints des Durchschnitts der Lüge dieser Linien jedes auf einer örtlich festgelegten geraden Geraden, der restliche Koinzidenzpunkt auch auf einer anderen geraden Geraden liegen. Die allgemeine Erklärung trifft auf jede mögliche Zahl der geraden Geraden, Sagen (n-{-1), von denen n über da viele Punkte sich See also:drehen kann, die auf geregelt werden (n+1)th. Schnitt, zwei und zwei dieser Geraden n geraden, innen in den Punkten (n-1), beim (n-1) Sein eine dreieckige Zahl zu deren See also:Seite ist (n-1). Wenn, dann, sie gebildet werden, um sich über die Fixpunkte n zu drehen, damit irgendwelche (n-1) ihrer innen Koinzidenzpunkte (n-1), gewählt abhängig von einer bestimmten Beschränkung, auf (n-1) gegebenen örtlich festgelegten geraden Geraden liegen, dann beschreibt jeder der restlichen Koinzidenzpunkte, 2 (n-1) (n-See also:z) zahlreich eine gerade Geraden. Pappus gibt auch eine komplette Erklärung von einem porism des ersten Buches der Abhandlung Euclids. Dieses kann folglich ausgedrückt werden: Wenn ungefähr zwei Fixpunkte P, Q wir Umdrehung zwei gerade Geraden bilden, die auf einer gegebenen geraden Geraden See also:L treffen und wenn eine von ihnen ein Segment morgens von einer örtlich festgelegten See also:AXT der geraden Geraden See also:abschnitt, gegeben in Position, wir eine andere örtlich festgelegte gerade Geraden und einen See also:Punkt B VORBEI feststellen, der kann auf ihm geregelt wird, so, daß das Segmentschwerpunktshandbuch ', das durch die zweite bewegliche See also:Linie auf dieser zweiten örtlich festgelegten Linie gemessen wird von B gebildet wird, ein gegebenes Verhältnis X zum ersten Segment morgens hat. Der See also:Rest der Erklärungen, die von Pappus gegeben werden, sind unvollständig, und er sagt bloß, daß er thirty-eightlemmas für die drei Bücher von porisms gibt; und diese umfassen 171 Theoreme. Die Lemmas, die Pappus in See also:Zusammenhang mit den porisms sind interessant See also:historisch gibt, weil er (1) das grundlegende Theorem gibt, das das See also:Kreuz, oder ein harmonisches Verhältnis eines Bleistifts von vier geraden Geraden, die in einem Punkt treffen, ist für alle transversals konstant; (2) der See also:Beweis der harmonischen Eigenschaften eines kompletten Vierecks; (3) das Theorem daß, wenn die sechs See also:Gipfel einer Hexagonlüge drei und drei auf zwei geraden Geraden, die drei Punkte von concourse 9f gegenüber von Seiten auf einer geraden Geraden liegen. Während der letzten drei Jahrhunderte scheint dieses Thema, große See also:Faszination für Mathematiker gehabt zu haben, und viele Geometer haben versucht, die verlorenen porisms wieder herzustellen. So sagt See also:Albert See also:Girard in seinem Traite de See also:Trigonometrie (1626) dieser er hofft, eine Wiederherstellung zu veröffentlichen. Ungefähr gleiche See also:Zeit P. de See also:Fermat schrieb eine kurze See also:Arbeit unter das euclidaeorumrenovatadoctrina TitelPorismatum und Vordas formaisagogesrecentioribusgeometeisexhibita (sehen Sie Oeuvres de Fermat, i., See also:Paris, 1891); aber zwei mindestens der fünf Beispiele von porisms, die er gibt, fallen nicht innerhalb der Kategorien, die von Pappus angezeigt werden. See also:Robert See also:Simson war der erste zum Werfen des realen Lichtes nach dem Thema.

Er folgte zuerst, mit, die einzigen drei Angelegenheiten zu erklären, die Pappus mit jeder möglicher Vollständigkeit anzeigt. Diese Erklärung wurde in den philosophischen Verhandlungen 1723 veröffentlicht. Später forschte er das Thema von porisms im Allgemeinen in einer Arbeit nach, die traclatus De Porismatibus erlaubt wurde; quodoctrinamporisrnatumsatisexplicatam und obliviontutamim vordersperatauctor des posterum AB und veröffentlicht nach seinem See also:

Tod in einer See also:Ausgabe, Operenquaedamreliqua Roberti Simson (See also:Glasgow, 1776). Abhandlung Simsons, De Porismatibus, fängt mit Definitionen des Theorems, des Problems, des Bezugspunktes, des porism und des Ortes an. Das porism Simson respektierend, sagt, daß Definition Pappuss zu See also:allgemein ist, und folglich ersetzt er für sie das folgende: Propositio Porisma est im quaproponitur zeigen Mühelosigkeit Rem-aliquamvelpluresBatas, cuivelquibus, ut und der rebusinnumeris des cuilibet sed ex quidemdatis nicht, des quaedatensunteandem der quaeanzeige See also:EA habent relationem, convenireostendendumest-affectionemquandamcommunem im propositionedescriptam. Etiam Porisma im formaproblematisenuntiari potest, quibusdatendemonstrandatante des Silikonnimirum ex, inveniendaproponantur.", Ein Ort (sagt Simson), ist eine See also:Sorte porism. Folgt dann einer lateinischen Übersetzung von See also:Anmerkung Pappuss über die porisms und den Angelegenheiten, die den Hauptteil der Abhandlung bilden. Diese sind thirty-eightlemmas Pappuss in bezug auf die porisms, 10 Fälle von der See also:Angelegenheit hinsichtlich ist vier gerader Geraden, twenty-nineporisms, zwei Probleme in der See also:Abbildung und einige einleitende Lemmas. See also:Spiel-angemessene Abhandlung Johns (Soc. Trans. See also:Roy. Edin., 1794, Vol. iii.), eine See also:Art der Folge zur Abhandlung Simsons, hatte für seinen speziellen See also:Gegenstand, den die Anfrage über den wahrscheinlichen Ursprung von porismsthat ist, in die Schritte, die die alten Geometer zur See also:Entdeckung von ihnen führten.

Phoenix-squares

See also:

Playfair erwähnte, daß die vorsichtige See also:Untersuchung aller möglichen bestimmten Fälle von einer Angelegenheit zeigen würde, daß (1) unter bestimmten Bedingungen ein Problem unmöglich wird; (2) unter bestimmten anderen Bedingungen, unbestimmt oder fähig zu einer endlosen Anzahl von Lösungen. Diese Fälle konnten separat ausgesprochen werden, waren zwischen Theoremen und Problemen in gewissem Sinne Zwischen und wurden benannt "porisms.", Playfair definierte dementsprechend ein porism folglich: "eine Angelegenheit, welche die Möglichkeit des Findens solcher Bedingungen bestätigt, wie See also:macht ein bestimmtes Problem unbestimmt oder fähig zu den unzählbaren Lösungen.", Zwar scheint diese Definition eines porism, in See also:England See also:am meisten bevorzugt zu werden, ist Ansicht Simsons im Allgemeinen auswärts angenommen worden und die Unterstützung der großen Berechtigung von See also:Michael See also:Chasles hat. Jedoch See also:Journal-de Mathematiques Liouvilles in den pures und in den appliquees (Vol. xx, See also:Juli, 1855), P. Breton veröffentlichte nouvellessurlesporismesd'Euclide Recherches, in dem er eine neue Übersetzung des Textes von Pappus gab, und gesucht, eine Ansicht der Natur eines porism in Übereinstimmung mit den Definitionen in Pappus darauf genauer zu gründen. Dieses wurde in das gleiche Journal und in Lawissenschaft von einer Kontroverse zwischen Bretonen und A. See also:J. See also:H. See also:Vincent gefolgt, die die See also:Deutung diskutierten, die durch das ehemalige des Textes von Pappus gegeben wurde, und zugunsten der See also:Idee von Schooten erklärte, vorgebracht in seinen exercitationes Mathematicae (1657), in denen er den Namen von "porism" zu einem Abschnitt gibt. Entsprechend See also:F. van Schooten, wenn die verschiedenen Relationen zwischen geraden Geraden in einer Abbildung in Form von Gleichungen oder Anteile, dann notiert werden, die See also:Kombination dieser Gleichungen in See also:allen möglichen Weisen und der neuen Gleichungen, die folglich von ihnen abgeleitet werden, führt zu die Entdeckung der unzählbaren neuen Eigenschaften der Abbildung, und hier haben wir "porisms.", Die Diskussionen jedoch zwischen Bretonen und Vincent, auf die See also:C. auch verbundenes See also:Housel, nicht die Arbeit der Wiederherstellung von Porisms Euclids vortrug, das für Chasles gelassen wurde. Seins bearbeiten (See also:d'Euclide See also:Les See also:Troia livres de Porismes, Paris, 18õ) der Marken Gebrauch voll von dem ganzem Material, das in Pappus gefunden wird. Aber wir können sein Sein bezweifeln eine erfolgreiche See also:Wiedergabe von Euclids tatsächlicher Arbeit. So angesichts der untergeordneten Relation, in der Lemmas Pappuss im Allgemeinen zu den See also:Arbeiten stehen, auf denen sie verweisen, scheint es unglaublich, daß die ersten sieben aus thirty-eightlemmas heraus (während Chasles sie bildet), bis Euclids erste sieben Porisms wirklich See also:gleichwertig sein sollten. Wieder scheint Chasles, falsch gewesen zu sein, wenn er die 10 Fälle von der Vierlinie Porism bildet, anfangen das See also:Buch, anstelle von abfangen-Porism völlig ausgesprochen durch Pappus, auf dem die "Lemma zum ersten Purism" intelligibly bezieht und ist ein bestimmter Fall von ihm.

Ein ' Zwischen-See also:

Essen von Hypothese hinsichtlich des Porisms wurde von H. See also:G. Zeuthen vorgebracht (Würfel Lehre von Den Kegelschnitten im Altertum, 1886, See also:ch. viii.). Z.B. daß ist abfangenSie, noch zutreffend, wenn die zwei Fixpunkte Punkte auf einem konischem sind und die geraden Geraden, die durch sie, schneiden See also:gezeichnet werden auf dem konischen anstelle von an einer örtlich festgelegten geraden Geraden, Zeuthen zu beobachten vermutet, daß das Porisms eine Nebenerscheinung einer völlig entwickelten projektiven See also:Geometrie von conics waren. Es ist eine Tatsache, daß Lemma 31 (zwar bildet sie keine Erwähnung von einem konischem), genau Methode Apolloniuss der See also:Bestimmung der Foki von einem zentralen konischem entspricht (Conics, iii. 45-47 mit 42). Die drei porisms angegeben von See also:Diophantus in seinen arepropositions Arithmetica in der Theorie der See also:Zahlen, die alle in der Form ausgesprochen werden können, ", das wir Zahlen finden können, so zu erfüllen und solcher Bedingungen "; sie sind folglich dem geometrischen porism genug analog, wie in Pappus und in Proclus definiert. Ein wertvolles See also:Kapitel auf porisms (von einem philological Standpunkt) wird in der Faser Euklid (See also:Leipzig, 1882) Litterargeschichtliche Studien J. L. Heibergs umfaßt; und die folgenden Bücher oder die Flächen können auch erwähnt werden: Aug. See also:Richter, nachSimson Porismen bearbeitet (See also:Elbing, 1837); See also:M. Cantor, "WürfelPorismen Ueber DES Euklid und deren Divinatoren," in Zeitsch Schlomilchs.

f. Mathe . u. Phy. (1857) und Literaturzeitung (1861), P. 3 folgend; Th Leidenfrost, DES Euklid (derRealschule See also:

Programm zu See also:Weimar, 1863) WürfelPorismen; FeldBach-See also:mappe, Euclids Porismen und See also:Daten (der kgl. Landesschule See also:Pforta, 1866 Programm). (T. L.

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