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BLEISTIFT VON

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V11, Seite 706 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

BLEISTIFT VON CONICS-§ 87. Durch vier See also:Punkte A, B, See also:C, See also:D in einer Fläche, von See also:der Lüge des Nr. drei in einer See also:Linie, eine endlose Zahl von conics See also:gezeichnet werden kann, nämlich durch diese vier Punkte und irgendein See also:5. ein einzelnes konisches. Dieses See also:System von conics wird einen Bleistift von conics genannt. Ähnlich reparierte alles conics, das vier berührt, Linienform ein System so, daß jede mögliche 5. Tangente ein und nur eins feststellt, die konisch See also:sind. Wir haben hier die Theoreme: Die Paare der Punkte, in denen die Paare der Tangenten, die jede mögliche Linie durch ein System geschnitten wird von, von einem See also:Punkt zum conics durch vier Fixpunkte gezeichnet werden können ein System von conics vier berührend, sind in Einwicklung reparierten Linien sind in der Einwicklung. Wir prüfen nur das erste Theorem. See also:Lassen Sie ABCD (fig. 6) ist der Vierpunkt, dann schneidet jede mögliche Linie t Wechselstrom mit zwei gegenüberliegenden Seiten, BD in den Punkten See also:E, E ', die PaarcAnzeige, BC in Punkten See also:F, F ', und irgendwelche konischen See also:des Systems in See also:M, in N und in uns haben A(CD, MN)=B(CD, See also:Mangan). Wenn wir diese Bleistifte durch t schneiden, erhalten wir (EF, MN)=(F'E ', Mangan) oder (EF, Mangan) = (E'F ', NM). Aber dieses ist, entsprechend § 77 (7), der See also:Zustand, den M, N entsprechende Punkte in der Einwicklung sind, die durch die Punktpaare E, E ', F festgestellt wird, F ' in, welchem die Linie t Paare der gegenüberliegenden Seiten des Vierpunktes ABCD schneidet. Diese Einwicklung ist vom bestimmten konischen gewählt unabhängig.

§ 88. Folgen einigen wichtigen Theoremen: Durch vier Punkte kann zwei, ein oder kein conics gezeichnet werden, die jede mögliche gegebene Linie berühren, insofern die Einwicklung, die durch den gegebenen Vierpunkt auf der Linie festgestellt wird, die realen, zusammentreffenden oder eingebildeten Foki hat. Zwei, ein oder kein conics kann gezeichnet werden, die vier gegebene Linien berühren und durch einen gegebenen Punkt überschreiten, insofern die Einwicklung, die von der gegebenen Vierseite See also:

am Punkt festgestellt wird, die realen, zusammentreffenden oder eingebildeten fokalen Strahlen hat. Für die konischen durchgehenden vier Punkte, das sich berührt, hat eine gegebene Linie seinen Punkt des Kontaktes an einem See also:Fokus der Einwicklung, die durch den Vierpunkt auf der Linie festgestellt wird. Wie ein spezieller See also:Fall, den wir erhalten, durch das Nehmen der Linie an der Unbegrenztheit: Durch vier Punkte, von denen keines an Unbegrenztheit entweder zwei ist oder keine Parabeln kann gezeichnet werden. Das Problem des Zeichnens konischer durchgehender vier Punkte und des Berührens einer gegebenen Linie wird gelöst, indem man die Punkte des Kontaktes auf der Linie d.See also:h. feststellt indem man die Foki der Einwicklung feststellt, in der die Linie die Seiten des Vierpunktes schneidet. Die entsprechende See also:Anmerkung hält für das Problem des Zeichnens des conics, die vier Linien berühren und durch einen gegebenen Punkt überschreiten. die die Fläche See also:r im See also:gleichen Punkt, oder See also:treffen in im ersten Fall der Punkt des Kontaktes, hyperbolisch soll, in der gleichen Linie entsprechen. In diesem Fall entspricht jede Fläche durch See also:Mitten SI und S2 der zwei Bleistifte sich. Wenn diese Bleistifte in irgendeine andere Position geholt werden, sind sie projektiv (aber nicht See also:Perspektive). Die See also:Korrespondenz zwischen zwei projektiven Bleistiften wird einzigartig festgestellt, wenn zu vier Strahlen (oder zu den Flächen) in dem die entsprechenden Strahlen (oder die Flächen) im anderen gegeben werden, vorausgesetzt daß keine drei Strahlen der auch nicht eingestellten Lüge in einer Fläche. Lassen Sie a, b, c, d ist vier Strahlen in dem, ', b ', c ', d, ', welches das Entsprechen im anderen Bleistift rays.

Wir zeigen, daß wir für jeden See also:

Strahl e im ersten einen einzelnen entsprechenden Strahl e ' in der Sekunde See also:finden können. dem axialen Bleistift a (b, c, d...) gebildet durch die Flächen, die a bis b, c.d... verbinden, entspricht beziehungsweise der axiale Bleistift ' (b ', c ', d '...), und diese Korrespondenz wird festgestellt. Folglich die Fläche ein ' e ', das den flachen ae wird festgestellt entspricht. Ähnlich kann das flache b'e ' gefunden werden und beide stellen zusammen den Strahl e ' fest. Ähnlich wird die Korrespondenz zwischen zwei wechselseitigen Bleistiften festgestellt, wenn für vier Strahlen in dem die entsprechenden Flächen im anderen gegeben werden. § 93. Wir können § jetzt kombinieren. zwei wechselseitige Bleistifte. Jeder Strahl schneidet seine entsprechende Fläche in einem Punkt, der See also:Ort dieser Punkte ist, eine quadratische Oberfläche. 2. Zwei projektive Bleistifte. Jede Fläche schneidet seine entsprechende Fläche in einer Linie, aber ein Strahl als Regel schneidet nicht seinen entsprechenden Strahl. Der Ort der Punkte, in denen ein Strahl seinen entsprechenden Strahl schneidet, ist ein verdrehtes Kubik.

Die Linien, in denen eine Fläche seine entsprechende Fläche schneidet, sind Sekanten. 3. Drei projektive Bleistifte. Der Ort des Durchschnitts der entsprechenden Flächen ist eine Kubikoberfläche. Von diesen betrachten wir nur die ersten zwei Fälle. § 94. Wenn zwei Bleistifte wechselseitig sind, dann einer Fläche in irgendeinem entspricht eine Linie in der anderen, einem flachen Bleistift ein axialer Bleistift und so See also:

weiter. Jede Linie schneidet seine entsprechende Fläche in einem Punkt. Wenn SI und S2 die Mitten der zwei Bleistifte sind und P ein Punkt ist, in dem ein Linienal im ersten seine entsprechende Fläche See also:a2 schneidet, dann ist die Linie b2 im Bleistift S2, dem Durchläufe durch P seine entsprechende Fläche t31 in P. For b2 treffen, eine Linie in der Fläche a2. Das entsprechende flache tai muß durch das Linienal, folglich durch P folglich überschreiten. Die Punkte, in denen die Linien in SI die Flächen schneiden, die ihnen in S2 entsprechen, sind folglich dieselben wie die Punkte, in denen die Linien in S2 die Flächen schneiden, die ihnen in See also:Silikon entsprechen.

Der Ort dieser Punkte ist eine Oberfläche, die durch eine Fläche in einem konischem oder in einem Linie-Paar und durch eine Linie in nicht mehr als zwei Punkten geschnitten wird, es sei denn sie zusammen auf der Oberfläche liegt. Die Oberfläche selbst wird folglich eine quadratische Oberfläche oder eine Oberfläche des zweiten Auftrages genannt. um dieses zu prüfen betrachten wir jede mögliche Linie p im See also:

Raum. Der flache Bleistift in SI, den Lügen in der Fläche, die durch p und den entsprechenden axialen Bleistift in S2 gezeichnet wird, auf projektiven Reihen p zwei feststellen und jene Punkte in diesen, die mit ihren entsprechenden Punkten übereinstimmen, liegen auf der Oberfläche. Aber bestehen nur zwei oder eine oder keine solche Punkte, es sei denn jeder Punkt mit seinem entsprechenden Punkt übereinstimmt. Im letzten Fall liegt die Linie zusammen auf der Oberfläche. Dieses prüft auch, daß eine Fläche die Oberfläche in einer Kurve des zweiten Auftrages schneidet, da keine Linie mehr als zwei Punkte im See also:Common mit ihr haben kann. um zu zeigen, daß dieses eine Kurve der gleichen See also:Art ist, wie die vor betrachteten, müssen wir zeigen, daß sie durch projektive flache Bleistifte erzeugt werden kann. Wir prüfen zuerst, daß dies für jede mögliche Fläche durch die Mitte von einem der Bleistifte gilt, und danach, daß jeder Punkt auf der Oberfläche als die Mitte solchen Bleistifts genommen werden kann. Gelassenes dann See also:a1 ist eine Fläche durch Silikon zum flachen Bleistift in SI, den er entspricht in S2 ein projektiver axialer Bleistift mit See also:Mittellinie a2 enthält und dieser a1 in einem zweiten flachen Bleistift schneidet. Diese zwei flachen Bleistifte in a1 sind und, im das allgemeinen projektiv, weder konzentrisch noch Perspektive. Sie erzeugen folglich ein konisches.

Aber, wenn die Linie ¢2 durch SI überschreitet, haben die Bleistifte SI als allgemeine Mitte und können zwei oder eine oder keine Linien folglich haben, die mit ihren entsprechenden Linien See also:

vereinigt werden. Der See also:Abschnitt der Oberfläche durch das flache Al ist dementsprechend ein Linie-Paar oder eine einzelne Linie, oder sonst hat das flache Al nur den Punkt SI im Common mit der Oberfläche. Jedes Linienli durch SI schneidet die Oberfläche in zwei Punkten, nämlich zuerst in SI und dann am Punkt, in dem es seine entsprechende Fläche schneidet. Wenn jetzt die entsprechende Fläche durch SI überschreitet, wie im gerade betrachteten Fall, dann stimmen die zwei Punkte, in denen Li die Oberfläche schneidet, an Silikon und an der Linie wird benannt eine Tangente See also:zur Oberfläche mit SI als Punkt des Kontaktes überein. Folglich, wenn 11 eine Tangente sind, liegt sie in dieser Fläche r1, die der Linie S2S1 als Linie im Bleistift S2 entspricht. Der Abschnitt dieser Fläche ist gerade betrachtet worden. Er folgt dem, alle Tangenten zur quadratischen Oberfläche in der Mitte von einem der wechselseitigen Bleistifte liegt in einer Fläche, die die Tangentefläche zur Oberfläche an diesem Punkt als Punkt des Kontaktes genannt wird. der Linie entspricht das Verbinden der Mitten der zwei Bleistifte als Linie in einer in der anderen die Tangentefläche in seiner Mitte. Die Tangentefläche zu einer quadratischen Oberfläche entweder schneidet die Oberfläche in zwei Linien, oder sie hat nur eine einzelne Linie oder sonst nur einen einzelnen Punkt im Common mit der Oberfläche. X". 23 zweite Parabolische, im dritten elliptischen. § 95.

Es bleibt nachgewiesen zu werden, daß jeder Punkt See also:

S auf der Oberfläche als Mitte von einem der Bleistifte genommen werden kann, welche die Oberfläche erzeugen. Lassen Sie S irgendein Punkt auf dem OberflächenI' sein, das durch das wechselseitige Bleistiftsilikon und -S2 erzeugt wird. Wir müssen eine wechselseitige Korrespondenz zwischen den Bleistiften S und SI herstellen, damit die Oberfläche, die durch sie erzeugt wird, mit 4h. identisch ist, dies zu tun, das wir zwei und der Flächen a1/í durch Silikon zeichnen und die Oberfläche 4 schneidet, im which des conics zwei bezeichnen wir auch durch Al und t31. Dieses conicstreffen an SI und an etwas anderem Punkt T, in dem die Linie des Durchschnitts des Als und des t31 die Oberfläche schneidet. Im Bleistift S zeichnen wir irgendeine Fläche, die durch T überschreitet, aber nicht durch SI oder S2. Es schneidet das conics zwei zuerst an T und folglich an jedem an etwas anderem Punkt, den wir A und B beziehungsweise nennen. Diese, die wir zu S durch Linien a und b verbinden und stellen jetzt die angeforderte Korrespondenz zwischen den Bleistiften SI her und S, während follows:To SITZEN, entspricht die Fläche a, dem flachen Al die Linie a und bis $1 die Linie b, folglich dem flachen Bleistift im Al der axiale Bleistift a. diese Bleistifte projektiv durch Hilfsmittel vom konischen im Al gebildet werden. Auf die gleiche Weise wird der flache Bleistift in hallo projektiv zum axialen Bleistift b durch Hilfsmittel vom konischen in RI, die entsprechenden Elemente gebildet, die die sind, die auf dem konischen treffen. Dieses stellt die Korrespondenz fest, denn wir wissen für mehr, als vier Strahlen in SI die entsprechenden Flächen in Bleistiften S S. The zwei und in SI wechselseitig folglich gebildet eine quadratische Oberfläche erzeugen, die durch den Punkt S und durch das Al des conics zwei und F31 überschreitet. Die zwei Oberflächen.1 und haben folglich die Punkte S und SI und das conics an und hallo im Common. um zu zeigen, daß sie identisch sind, zeichnen wir eine Fläche durch S und S2 und schneiden jedes des conicsals und des RI in zwei Punkten, die immer möglich sind.

Diese Fläche schneidet 4' und 43' in conics zwei, die den Punkt S und die Punkte, in dem es Al und t31 im Common schneidet, der ist fünf Punkte in See also:

allen haben. Das conics stimmen folglich überein. Dieses prüft daß alles jenes Punkte P auf Lüge auf See also:Di, welches haben See also:Eigenschaft, daß die Fläche SS2P schneidet, des conics a1,/31 in je zwei Punkten. Wenn die Fläche SS2P nicht diese Eigenschaft hat, dann zeichnen wir eine Fläche SSIP. Dieses schneidet jede Oberfläche in einem konischem, und dieses haben conics im Common die Punkte S, SI, ein Punkt auf jedem des conicsals, 0'1 und einen Punkt auf einem des conics durch S und S2, die auf beiden Oberflächen liegen, folglich fünf Punkte. Sie sind folglich zusammentreffend und unser Theorem wird nachgewiesen. § 96. Die folgenden Angelegenheiten folgen: Eine quadratische Oberfläche hat an jedem Punkt eine Tangentefläche. Jeder flache Abschnitt einer quadratischen Oberfläche ist ein konisches oder ein Linie-Paar. Jede Linie, die drei Punkte im Common mit quadratische Oberflächenlügen auf der Oberfläche hat. Jedes konische, das fünf Punkte im Common mit quadratische Oberflächenlügen auf der Oberfläche hat. Durch conics zwei, die in den unterschiedlichen Flächen liegen, aber haben Sie zwei Punkte im Common, und durch einen externen Punkt kann immer eine quadratische Oberfläche gezeichnet werden.

§ 97. Jede Fläche, die eine quadratische Oberfläche in einem Linie-Paar schneidet, ist eine Tangentefläche. Für jede Linie in dieser Fläche durch die Mitte des Linie-Paares (der Koinzidenzpunkt der zwei Linien) schneidet die Oberfläche in zwei zusammentreffenden Punkten und ist folglich eine Tangente zur Oberfläche, die Mitte des Linie-Paares, das der Punkt des Kontaktes ist. Wenn eine quadratische Oberfläche eine Linie, dann jede Fläche durch Schnitte dieser Linie die Oberfläche in einem Linie-Paar enthält (oder in zwei zusammentreffenden Linien). Für diese Fläche kann nicht die Oberfläche in einem konischem schneiden. Folglich, wenn eine quadratische Oberfläche eine Linie p dann enthält, enthält sie eine endlose Zeilenzahl, und durch jeden Punkt Q auf der Oberfläche, kann eine Linie q gezeichnet werden, die P. für die Fläche durch den Punkt Q schneidet und die Linie p die Oberfläche in einem Linie-Paar schneidet, das durch Q führen müssen und, welchem p eine Linie ist. Nr., zwei, die solche Linien q auf der Oberfläche treffen können. Für, da beide p treffen, ihre Fläche würde p enthalten und folglich die Oberfläche in einem See also:

Dreieck schneidet. Jede Linie, die drei Linien q schneidet, ist auf der Oberfläche; für sie hat drei Punkte im Common mit ihm. Folglich sind die Funktion zweiter Ordnungoberflächen, die Linien enthalten, dieselben wie die angeordneten quadratischen Oberflächen, die in §§ 89-93, aber mit einer wichtigen Ausnahme betrachtet werden. In der letzten See also:Untersuchung haben wir aus See also:Betrachtung heraus die Möglichkeit einer Fläche gelassen, die nur eine Linie hat (zwei zusammentreffende Linien) im Common mit einer quadratischen Oberfläche. § 98.

um diesen Fall nachzuforschen nehmen wir zuerst an, daß es einen Punkt A auf der Oberfläche gibt, durch die zwei unterschiedliche Linien a, b gezeichnet werden können, die zusammen auf der Oberfläche liegen. Wenn P irgendein anderer Punkt auf der Oberfläche ist, die weder auf a noch b liegt, dann schneidet die Fläche durch P und a die Oberfläche in einem zweiten °line ', das durch P überschreitet und das a. ähnlich schneidet, dort eine Linie b ' durch P ist, das b. diese zwei Linien ' schneidet und b ' kann übereinstimmen, aber dann müssen sie mit PA übereinstimmen. Wenn dieses für einen Punkt P geschieht, geschieht es für jeden anderen Punkt Q. For, wenn zwei unterschiedliche Linien durch Q gezeichnet werden konnten, dann durch dasfolgernde selbe die Linie PQ würde sein zusammen auf der Oberfläche, folglich würden zwei Linien durch P gegen die See also:

Annahme gezeichnet. Von diesem folgt: Wenn es einen Punkt auf einer quadratischen Oberfläche gibt, durch die eine, aber nur eine, Linie auf die Oberfläche gezeichnet werden kann, dann durch jede Linie des Punktes einer können II gezeichnet werden, und alle diese Linien treffen in einem Punkt. Die Oberfläche ist ein See also:Kegel des zweiten Auftrages. Wenn durch einen Punkt auf einer quadratischen Oberfläche, zwei und nur zwei, Linien auf die Oberfläche gezeichnet werden können, dann durch Linien jedes Punktes zwei kann gezeichnet werden, und die Oberfläche ist eine angeordnete quadratische Oberfläche. Wenn durch einen Punkt auf einer quadratischen Oberfläche keine Linie auf der Oberfläche gezeichnet werden kann, dann enthält die Oberfläche keine Linien. Mit den See also:Definitionen am See also:Ende von § 95, können wir auch sagen: Auf einer quadratischen Oberfläche sind die Punkte alle hyperbolisch ganz elliptisch, oder ganz Parabolisch, oder. Als Beispiel einer quadratischen Oberfläche mit elliptischen Punkten, erwähnen wir den See also:Bereich, der durch zwei wechselseitige Bleistifte erzeugt werden kann, wo zu jeder Linie in einer entsprechen das Flächesenkrechte ihm in der anderen. § 99.

See also:

Polen und polare Planes.The-Theorie der See also:Pfosten und der polars hinsichtlich eines konischen wird leicht auf quadratische Oberflächen verlängert. Lassen Sie P ein Punkt im Raum nicht auf der Oberfläche sein, die wir, um annehmen ein Kegel nicht zu sein. Auf jeder Linie durch P, das die Oberfläche in zwei Punkten schneidet, stellen wir das harmonische Paronym Q von P hinsichtlich der Koinzidenzpunkte fest. Durch eine dieser Linien zeichnen wir zwei Flächen a und Ort S. The der Punkte Q in a ist eine Linie a, das polare von P hinsichtlich des konischen in, welchem Schnitte die Oberfläche. Ähnlich ist der Ort von Punkten Q in $ eine Linie b., das dieser a schneidet, weil die Linie des Durchschnitts von a und von f enthält, aber ein Ort Punktq. The aller Punkte Q folglich eine Fläche ist. Diese Fläche wird die polare Fläche des Punktes P, hinsichtlich der quadratischen Oberfläche genannt. Wenn P auf der Oberfläche liegt, nehmen wir das Tangenteflugzeug von P, wie sein polar. Der folgende Angelegenheitseinfluß: I. Jeder Punkt hat eine polare Fläche, die konstruiert wird, indem man die polars des Punktes hinsichtlich des conics zeichnet, in dem zwei Flächen durch den Punkt die Oberfläche schneiden. 2.

Wenn Q ein Punkt im polaren von P ist, dann ist P ein Punkt im polaren von Q, weil dieses hinsichtlich des konischen zutreffend ist in, welchem eine Fläche durch PQ die Oberfläche schneidet. 3. Jede Fläche ist die polare Fläche von einem Punkt, der den Polen der Fläche genannt wird. Der Pfosten zu einer Fläche wird gefunden, indem man die polaren Flächen aus drei Punkten in der Fläche konstruiert. Ihr See also:

Durchschnitt ist der Pfosten. 4. Die Punkte, in denen die polare Fläche von P die Oberfläche schneidet, sind Punkte des Kontaktes von Tangenten gezeichnet von P zur Oberfläche, wie leicht gesehen wird. Folglich: 5. Die Tangenten, die von einem Punkt P zu einer quadratischen Oberflächenform ein Kegel des zweiten Auftrages, denn gezeichnet werden, die polare Fläche von P schneidet ihn in einem konischem. 6. WENN der Pfosten eine Linie a beschreibt, dreht sich seine polare Fläche über eine andere Linie ', wie folgt von 2. Diese Linien a und ' sollen onjugate hinsichtlich der Oberfläche.

auch. Der Pfosten der Linie an der Unbegrenztheit wird die Mitte der Oberfläche genannt. Wenn er an der Unbegrenztheit liegt, ist die Fläche an der Unbegrenztheit eine Tangentefläche, und die Oberfläche wird ein Paraboloid genannt. Die polare Fläche zu irgendeinem Punkt an der Unbegrenztheit überschreitet durch die Mitte und wird eine diametrische Fläche benannt. Eine Linie durch die Mitte wird ein See also:

Durchmesser benannt. Sie wird in der Mitte halbiert. Das Linienparonym zu ihm liegt an der Unbegrenztheit. Wenn ein Punkt entlang einen Durchmesser bewegt, zeichnen seine polaren flachen Umdrehungen über das verbundene an der Unbegrenztheit; das heißt, verschiebt er Ähnlichkeit auf sich, seine Mitte, die auf der ersten Linie sich verschiebt. Die mittleren Punkte der parallelen Spannweiten liegen in einer Fläche, nämlich in der polaren Fläche des Punktes an der Unbegrenztheit, durch die die Spannweiten gezeichnet werden.

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