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MAXIMA UND MINIMUM

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V17, Seite 920 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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MAXIMA UND MINIMUM , in See also:

der See also:Mathematik. Durch den maximalen oder Mindestwert eines Ausdruckes oder der Quantität wird hauptsächlich das "größte" oder "wenigem" Wert bedeutet, die sie empfangen kann. Im allgemeinen jedoch gibt es See also:Punkte, an denen sein Wert aufhört, sich zu erhöhen und fängt an sich zu verringern; sein Wert an solch einem See also:Punkt wird ein Maximum genannt. So es gibt Punkte, an denen sein Wert aufhört, sich zu verringern und fängt an sich zu erhöhen; solch ein Wert wird ein Minimum genannt. Es kann einige Maxima oder Minimum geben, und ein Minimum ist nicht notwendigerweise kleiner als ein Maximum. Zum Beispiel der Ausdruck (x2+x+ 2)/(x I) kann alle See also:Werte von 00 bis 1 und von + 7 zu nehmen +, aber hat, solange x real ist, kein Wert zwischen -1 und + 7. Hier ist -1 ein Maximalwert, und + ist 7 ein Mindestwert See also:des Ausdruckes, obwohl er grösser gebildet werden kann oder weniger als irgendeine bestimmbare Quantität. Die erste allgemeine Methode des Nachforschens von Maxima und von Minimum scheint, in A.See also:D. 1629 von See also:Pierre See also:Fermat veröffentlicht worden zu sein. Bestimmte Fälle waren besprochen worden. So findet See also:Euclid in See also:Buch III. der Elemente die größten und wenigen geraden Geraden, die von einem Punkt zum Umkreis eines Kreises See also:gezeichnet werden können, und in Buch VI. (in einer See also:Angelegenheit im Allgemeinen ausgelassen worden von den See also:Ausgaben seiner See also:Arbeiten) findet das Parallelogramm des größten Bereichs mit einem gegebenen Umkreis. See also:Apollonius forschte das größte und wenige Abstände eines Punktes vom Umkreis eines konischen Abschnitts nach und entdeckte sie, um die normals zu sein und daß ihre Füße die Durchschnitte vom konischen mit einer rechteckigen See also:Hyperbel waren.

Einige bemerkenswerte Theoreme auf maximalen Bereichen werden Zenodorus zugeschrieben und konserviert durch Pappus und See also:

Theon von See also:Alexandria. Die bemerkenswertesten von ihnen See also:sind die folgenden: I. Von den Polygonen von n versieht mit einem gegebenen Umkreis mit Seiten, den der regelmäßige See also:Polygon den größten See also:Bereich umgibt. 2. Von zwei regelmäßigen Polygonen des See also:gleichen Umkreises, umgibt das mit der grösseren Zahl Seiten den grösseren Bereich. 3. Der Kreis umgibt einen grösseren Bereich als jeder möglicher Polygon des gleichen Umkreises. 4. Die Summe der See also:Bereiche von zwei isosceles Dreiecken auf gegebenen Unterseiten, die Summe, deren Umkreise gegeben wird, ist See also:am größten, wenn die Dreiecke ähnlich sind. See also:5. Von den Segmenten eines Kreises des gegebenen Umkreises, umgibt das Halbrund den größten Bereich. 6 der Bereich ist die Oberfläche des gegebenen Bereichs, der die größte See also:Ausgabe umgibt.

See also:

Serenus von Antissa forschte das ein wenig trifling Problem des Findens des Dreiecks des größten Bereichs nach dessen Seiten durch die Durchschnitte mit der See also:Unterseite und der gebogenen Oberfläche eines rechten kreisförmigen Kegels einer Fläche gebildet werden, die durch seinen See also:Gipfel gezeichnet wird. Das folgende Problem auf Maxima und Minimum, von denen es scheint, jede mögliche Aufzeichnung zu geben, tritt in einem Buchstaben von See also:Regiomontanus zu Roder (See also:Juli 4, 1471) auf und ist ein bestimmtes numerisches Beispiel des Problems des Findens des Punktes auf einer gegebenen geraden Geraden, an der zwei Punktsubtend einen maximalen See also:Winkel gegeben. N. See also:Tartaglia in seinem allgemeinen Trattato de Numeri und mesuri (See also:c. 1556) gibt, ohne See also:Beweis, eine See also:Richtlinie für das Teilen einer Zahl in zwei Teile so, daß das anhaltende Produkt der See also:Zahlen und ihres Unterschiedes ein Maximum ist. Fermat forschte Maxima und Minimum mittels der Grundregel, die in der Nähe eines Maximums oder eines Minimums die See also:Unterschiede der Werte einer Funktion unempfindlich sind, einer Methode See also:praktisch dasselbe wie die der Differentialrechnung und des großen Gebrauches im Umgang mit geometrischen Maxima und Minimum nach. Seine Methode wurde von See also:Huygens, von See also:Leibnitz, vom See also:Newton und von anderen und insbesondere von See also:John Hudde entwickelt, der Maxima und Minimum Funktionen von mehr als eine unabhängige Variable nachforschte, und irgendeinen Versuch bildete, zwischen Maxima abzusondern und Minimum, eine Frage zuerst vereinbarte definitiv, soweit eine Variable betroffen wird, durch See also:Colin See also:Maclaurin in seiner See also:Abhandlung auf Fluxions (1742). Die Methode der Differentialrechnung wurde von See also:Euler und von See also:Lagrange vervollkommnet. Berühmtes Problem Johns Bernoullis dem "See also:brachistochrone," oder Kurve des schnellsten Abfalls von einem Punkt zu anderen unter der Tätigkeit von Schwerkraft, vorgeschlagen 1696, verursachte eine neue See also:Art maximales und minimales Problem, in der wir eine Kurve und nicht Punkte auf einer gegebenen Kurve See also:finden müssen. Aus diesen Problemen entstand die "Variationsrechnung.", (Sehen Sie VERÄNDERUNGEN, KALKÜL VON.), Die einzigen allgemeinen Methoden der angreifenden Probleme auf Maxima und Minimum sind die der Differentialrechnung oder, in den geometrischen Problemen, was praktisch Methode Fermats ist. Einige Probleme können durch Algebra gelöst werden; so, wenn y=See also:f (X) = 4) (X), in dem f (X) und 4) (X) polynomische in x sind, die Begrenzungen auf die Werte von y von der See also:Betrachtung gefunden werden kann daß die Gleichung y4) (x)f (X) = See also:O müssen reale Wurzeln haben. Dieses ist eine nützliche Methode im See also:Fall, in dem 4) (X) und f (X) quadratische Gleichungen sind, aber kaum überhaupt in jedem möglichem anderen Fall. Das Problem des Findens des maximalen Produktes der positiven Quantitäten n deren Summe gegeben wird, kann auch gefunden werden algebraisch so.

Wenn a und b sind, irgendwelche zwei realen ungleichen Quantitäten was auch immer { 2(a+b)}2>ab, damit wir das Produkt erhöhen können, welches die Summe unverändert verläßt, indem wir alle mögliche zwei Bezeichnungen um eine Hälfte ihre Summe ersetzen, und solange irgendwelche zwei der Quantitäten wir ungleich sind, kann das Produkt erhöhen. Jetzt können die Quantitäten, die, das Produkt ganz positiv sind, nicht ohne See also:

Begrenzung erhöht werden und müssen ein Maximum und keine andere See also:Form des Produktes, als irgendwo erreichen das, in dem sie alle gleich sind, das Maximum sein kann, damit das Produkt ein Maximum ist, wenn alle sie Gleichgestelltes sind. Sein Mindestwert ist offensichtlich See also:null. Wenn die Beschränkung, daß alle Quantitäten positiv sind, entfernt wird, kann das Produkt gleich gebildet werden jeder möglicher Quantität, Positiv oder Negativ. So andere Theoreme von Algebra, die als Theoreme auf Verschiedenheiten angegeben werden, können als algebraische Lösungen von Problemen auf Maxima und Minimum betrachtet werden. Für lediglich geometrische Fragen ist die einzige allgemeine Methode, die vorhanden ist, praktisch die, die von Fermat eingesetzt wird. Wenn eine Quantität von der Position etwas Punktes P auf einer Kurve abhängt und wenn sein Wert bei zwei benachbarten Punkten P und P ' gleich ist, dann in irgendeiner Position zwischen P und P ' erreicht er ein Maximum oder ein Minimum, und diese Position kann gefunden werden, indem man unbestimmt p- und p-' Annäherung bildet. Nehmen Sie zum Beispiel das Problem Regiomontanus ", um einen Punkt auf einer gegebenen geraden Geraden zu finden, die subtends ein maximaler Winkel bei zwei gegebenen Punkten A und B.", See also:Lassen Sie P und P ' zwei nahe Punkte auf der gegebenen geraden Geraden sein so, daß die Winkel APB und AP'B gleich sind. Dann ABPP-' Lüge auf einem Kreis. Indem wir p- und p-' Annäherung bilden, sehen wir, daß für einen maximalen oder Mindestwert des Winkels APB, P ein Punkt ist, in dem ein Kreis, der durch AB gezeichnet wird, die gegebene gerade Geraden berührt. There+are zwei solche Punkte und es sei denn die gegebene gerade Gerade zu AB senkrecht ist, die zwei erreichten Winkel sind nicht dieselben. Es wird leicht, daß beide Winkel Maxima sind, eins für Punkte auf der gegebenen geraden Geraden auf einer See also:Seite seines Durchschnitts mit AB, der andere für Punkte auf der anderen Seite gesehen. Für weitere Beispiele dieser Methode zusammen mit den meisten anderen geometrischen Problemen auf Maxima und Minimum jedes möglichen Interesses oder Wert kann der Leser ein solches Buch wie Afolge See also:J.

See also:

W. Russells See also:zur grundlegenden See also:Geometrie (See also:Oxford, 1907) beraten. Die Methode der Differentialrechnung ist theoretisch sehr See also:einfach. Lassen Sie u eine Funktion einiger Variablen x1, x2, x3 sein... x, gesollt für das unabhängige See also:Geschenk; wenn u ein Maximum oder ein Minimum für den See also:Satz der Werte x1 ist, wird x2, x3... x, und u u+Su, wenn XI, x2, x3. . x"empfangen ' kleine Stufensprünge Soh, 8x2. . . 6x,; dann muß Su das gleiche Zeichen für alle möglichen Werte von 8x1, 8x2 haben. &See also:e. 2 See also:z jetzt Su=1bz1Sxi+ Ebzi20x12+ÈSxIbx2Sx18x2. . +. . Das Zeichen dieses Ausdruckes im allgemeinen ist das von E(Su/Sxi)Sxi, das nicht ein-unterzeichnet werden kann, wenn XI, x2... x"kann alle möglichen Werte, für einen Satz Stufensprünge 8x1, 8x2 nehmen..., U. gibt ein gegenüberliegendes Zeichen zum setSxi, 0x2..., Sx. folglich E(See also:bu/oxi)Sxi muß für alle Sätze Stufensprünge Sxi verschwinden. . .

Sx "und da diese unabhängig sind, müssen wir bu/0x1=o, Su/0x2=o, Su/Sx"=o haben. Ein Wert von u gegeben durch einen Satz Lösungen dieser Gleichungen wird ein "kritischer Wert" von u. benannt, das der Wert von BU jetzt 3 Eaz 22 8x32+2 Z wird; damit u ein Maximum oder ein Minimum dieses muß das samesign immer haben ist. Für den Fall von einer einzelnen Variable x, entsprechend einem Wert von x gegeben durch die Gleichung du/dx=o, ist u ein Maximum oder ein Minimum, da dù/dx2 negativ oder positiv ist. Wenn dù/dx2 verschwindet, dann gibt es kein Maximum oder minimun, es sei denn dú/dx3 verschwindet, und es gibt ein Maximum oder ein Minimum, insofern dû/dx4 negativ oder positiv ist. Im Allgemeinen wenn der erste differentiale Koeffizient, der nicht verschwindet, gleichmäßig ist, es ein Maximum oder ein Minimum gibt, insofern dieses negativ oder positiv ist. Wenn es See also:

ungerade ist, gibt es kein Maximum oder Minimum. Im Fall einiger Variablen, das quadratische bxibxz z ESx 2bxi2+2 3xi3x2 +... muß ein-unterzeichnet werden. Die See also:Bedingung für dieses ist, daß die See also:Reihe der discriminants, die, ein I alles ist ein a13 a21 a22 a21 a22 a23 sind, wo apq Stu/SapSaq bezeichnet, ganz positiv sein sollte, wenn die quadratische Gleichung immer positiv ist, und wechselnd negativ und positiv, wenn die quadratische Gleichung immer negativ ist. Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, ist der kritische Wert ein Minimum, wenn die Sekunde es ein Maximum ist. Für den Fall zwei Variablen sind die Bedingungen 6ù 8ù/02ù)2 6x128x22 > 8xi6x2 für ein Maximum oder ein Minimum an See also:allen und Sù/8x12 und 6ù/8x22, die Negativ für ein Maximum beides ist, und beides Positiv für ein Minimum. Zu beachten ist wichtig, daß das durch das quadratische ein-unterzeichnend bedeutet wird, das es nicht gebildet werden kann, um zu verschwinden ausgenommen, wenn 8x1, 8x2...

Rind "alles verschwinden. Wenn, im Fall zwei Variablen, Sù Sù 82, 2 8x12 8x22 = (Sxlax ' ') dann die quadratische Gleichung ein-unterzeichnet wird, es sei denn es, aber verschwindet, der Wert von u ist nicht notwendigerweise ein Maximum oder ein Minimum, und die Bezeichnungen von der dritten und vielleicht 4. See also:

Auftrag müssen berücksichtigt werden. Nehmen zum Beispiel die Funktion u x2xy2+y3. Hier erfüllen das Wertx=o, y=o die Gleichungen Su/Sx=o, Su/Sy=o, damit null ein kritischer Wert von u ist, aber es weder ein Maximum noch ein Minimum ist, obgleich die Bezeichnungen des zweiten Auftrages sind (8x)2 und sind nie negativ. Hier Su=8x2SxOy2+0y3 und indem wir 6x = O oder ein Infinitesimal des gleichen Auftrages wie 0y2 uns setzen, können wir das Zeichen von Su von dem von 0y3 abhängen lassen, und sind so positiv oder Negativ als wir bitte. Andererseits wenn wir die Funktion u.=x2 xy2+y4 nehmen, bilden x=o, y=o null einen kritischen Wert von u und hier Su=0x2SxOy2+Sy4, das immer positiv ist, weil wir es als die Summe von zwei Quadraten See also:schreiben können, nämlich (6x4Sy2)2+4 6y4; damit in diesem Fall null ein Mindestwert von u ist. Ein kritischer Wert gibt normalerweise ein Maximum oder ein Minimum im Fall von einer Funktion von einer Variable und häufig im Fall einiger unabhängiger Variablen, aber alle Maxima und Minimum, besonders See also:absolut größte und wenige Werte, sind nicht notwendigerweise kritische Werte. Wenn z.B. x eingeschränkt wird, um zwischen den Werten a zu liegen und b und '(x) = O keine Wurzeln in diesem See also:Abstand hat, folgt er, daß o'(x) ein-unterzeichnet wird, während x von a bis b erhöht, damit cti(x) ist, vermindernd erhöhend oder die ganze See also:Zeit, und die größten und wenige Werte von 0(x) sind (ti(a) und ¢(b), obwohl keine von ihnen ein kritischer Wert ist. Betrachten Sie das folgende Beispiel: Eine See also:Person in einem Boot, das See also:Meilen vom nächsten Punkt des Strandes ein Meilen des Punktes b von diesem Punkt entlang dem See also:Ufer schnellstmöglich erreichen möchte. Das Verhältnis seiner See also:Rate des Gehens zu seiner Rate des Ruderns ist cosec a., in dem er landet sollte? Lassen Sie hier AB die Richtung des Strandes, des A der nächste Punkt zum Boot 0 sein und des B der Punkt, den er erreichen möchte.

Offenbar muß er See also:

landen, wenn an allen, zwischen A und B. Suppose er bei P. Let landet, das der Winkel AOP B ist, damit Säurenummer B. If OP=a sek 0 und PB=ba seine Rate des Ruderns See also:v-Meilen pro See also:Stunde seine Zeit ist, eine sek O/V+ ist (See also:Stunden des See also:Sin a/V Basäurenummer B). Benennen Sie dieses T. Then zur ersten See also:Energie von 80, 0T = secÒ (a/V) (a)SB SinBsin, damit, wenn AOB>a, Str. und SB gegenüber von Zeichen von 0=o zu 0=a und den gleichen Zeichen von 0 = a bis B = AOB haben. Damit, wenn AOB > a ist, T von B = 0 auf 0=a und dann Zunahmen sich verringert, damit er an einem entfernten Punkt eine Säurenummer a von A landen sollte, es sei denn ein Säurenummera>b. Wenn dieses der Fall ist, haben Str. und 00 gegenüber von Zeichen während der vollständigen Strecke 0, damit T als Zunahmen 0 sich verringert, und er sollte See also:direkt zu B. In den ersten See also:Kasten See also:rudern, den der Mindestwert von T auch ein kritischer Wert ist; im zweiten Fall ist er nicht. Die größten und wenige Werte der verbiegenden Momente der geladenen Stangen sind häufig an den Extremitäten der Abteilungen der Stangen und nicht an den Punkten, die durch kritische Werte gegeben werden. Im Fall von einer Funktion einiger Variablen, x1, x2... x., nicht unabhängig aber durch See also:m-Funktionsrelationsui=o, U 2 angeschlossen 0 u,, =o, konnten wir fortfahren, m der Variablen zu beseitigen; aber Lagranges "Methode der unbestimmten Vervielfacher" ist eleganter und im Allgemeinen nützlicher. Wir haben Sul = O, 6 1 1 2 = O..., Summe = o. betrachten anstelle von Su, was die gleiche Sache ist, nämlich Su+X1Su1+X2ü2- + ••• + -XmOum, wo X2.

Xm, sind willkürliche Vervielfacher. Die Bezeichnungen des ersten Auftrages in diesem Ausdruck sind Su Su,, bxl 0x1 ex1, das wir See also:

a1 wählen können..., A,, die Koeffizienten von 6x1, 6x2, bxm zu bilden, verschwinden, und das restliche bxm+1 zum Behauen kann betrachtet werden, wie unabhängig, damit, wenn u einen kritischen Wert hat, ihre Koeffizienten auch verschwinden müssen. Damit wir bx setzen, + sollen X15 +... + x"`bxm für alle Werte von See also:r. diese Gleichungen mit den Gleichungen u, =o,.. um = O genau genug A feststellen. überprüfen x,, damit wir kritische Werte von u finden, und die Bezeichnungen des zweiten Auftrages, um zu entscheiden, ob wir ein Maximum oder ein Minimum erhalten. Eine sehr einfache See also:Abbildung nehmen; betrachten Sie das Problem der See also:Bestimmung der Maximum- und Minimumradiusvektoren des Ellipsoids x2, 'See also:a2+y2lb2+z2/c2 = 1, wo a2 > b2 > O. Here wir die maximalen und Mindestwerte von x2 +y2 +z2 wo x2la2+y2lb2+z2ç2 = r erfordern. Wir haben Su=2x0x (I ¢2) + 2yby (I + b2/+ 2111 (I + +Sx2 (1 + ~) + by2 (1 +)-O + bZ2 (I + -)c;). um die Bezeichnungen vom ersten Auftrag verschwinden zu lassen, haben wir die drei Gleichungen: x(1 +X/a2) = O, y(1 +N/b2) = O, z(1 +X/c2) = O. Diese haben drei Sätze Lösungen, die mit den Zuständen x2/a2+y2/b2+z2/c2=1, a2 > b2 > c2, nämlich gleichbleibend sind: (') y=o, z=o, A=a2; (2) z=o, x=o, X = b2; (3) x=o, y=o, A=c2. Im Fall von (i) bu=0y2 (1a2/b2) + Sze (Ia2/c2), das immer negativ ist, damit u = a2 ein Maximum gibt. Im Fall von (3) Su=0x2 (ç2/a2)+Sy2 (ç2/b2), das immer positiv ist, damit u=c2 ein Minimum gibt. Im Fall (2) von Su=Sx'(I-b2/a2)Sz2(b2/c2r), der positiv oder negativ gebildet werden kann entweder, oder sogar von null, wenn wir in die Flächen x2(1b2/a2)=z2(b2/c2-1) umziehen, die weithin bekannt sind, die zentralen Flächen des kreisförmigen Abschnitts zu sein.

Damit u = b2, obwohl ein kritischer Wert, weder ist, teilen ein Maximum noch Minimum und die zentralen Flächen des kreisförmigen Abschnitts das See also:

Ellipsoid in vier Teile in zwei, von denen ein 2> r 2> b2 und in den anderen zwei b 2> r 2> O. (A. E.

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