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SCHLECHTES, BCD

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V27, Seite 278 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

SCHLECHTES, BCD , haben wir Lalattich-Kennzeichnungscosec See also:des See also:Sin A See also:Lattich 2y = ISCOSEC 2y des Sin See also:C Lattich See also:lbs Lattich; woher;c=cos des Sin C Lattich lbs Lattich des Sin A Lattichzd ist, ist dieses die See also:Angelegenheit, die See also:der Relation A+C=irfor ein flaches See also:Viereck entspricht. Auch wir erreichen in einer ähnlichen Weise den ib_ Sin A Lattich Identifikation des Sin B Lattich des Theoremsinlxsin;y, der dem Theorem für ein flaches Viereck, das analog ist, welches die Diagonalen zu den Sinus der See also:Winkel gegenüber ihnen proportional See also:sind. Auch die Spannweiten AB BC CD, DA sind dem La mit 2 Sin, 2 Sin 2b, 2 Sin 4c, See also:Kennzeichnung mit 2 Sin beziehungsweise gleich, und das flache Viereck, das durch diese Spannweiten gebildet wird, ist im See also:gleichen Kreis wie das kugelförmige Viereck inscribed; folglich durch Theorem Ptolemys für ein flaches Viereck erreichen wir das analoge Theorem für einen kugelförmigen Sin des Sin Ix ' -, y=sin als Sin 2d des Sin zc+sin lbs. Ihm ist von Remy gezeigt worden (Journ. in Crelles, Vol. III.) das für irgendein Viereck, wenn See also:z der kugelförmige See also:Abstand zwischen den mittleren Punkten der Diagonalen ist, Lattich a+cos b+cos c+cos See also:d = 4 sz Lattichs %x Lattich Zy Lattich. Dieses Theorem ist dem Theorem für jedes flache Viereck, das, welches die Summe der Quadrate der Seiten der Summe der Quadrate der Diagonalen gleich ist, zusammen mit zweimal dem Quadrat auf der geraden Geraden analog, welche die mittleren See also:Punkte der Diagonalen verbindet. Ein Theorem für ein recht-winkliges kugelförmigen See also:Dreieck, analog dem Theorem in See also:Pythagorean, ist von gegeben worden Gudermann (Journ. Crelles, Vol. xlii.). Analytische See also:Trigonometrie. 17, Analytische Trigonometrie ist diese See also:Niederlassung der mathematischen See also:Analyse innen, die die analytischen Eigenschaften der trigonometrical See also:Periode! - unctions werden nachgeforscht. Diese Funktionen leiten ihre See also:Stadt des Wertes in der Analyse von der Tatsache ab, daß sie die plest einzeln periodischen Funktionen der sim-Funktionen sind und folglich der See also:Darstellung der undulating Größe angepaßt werden.

Der Sinus, der Kosinus, die Sekante und der Cosecant haben die einzelne reale Periode 2,See also:

r; d.See also:h. jedes ist im Wert durch die Hinzufügung von 2r See also:zur Variable unverändert. Die Tangente und der Cotangent haben die Periode See also:w. der Sinus, Tangente, Cosecant und Cotangent gehören der Kategorie der ungeraden Funktionen; das heißt, ändern sie Zeichen, wenn das Zeichen der Variable geändert wird. Der Kosinus und die Sekante sind gleichmäßige Funktionen, da sie unverändert bleiben, wenn das Zeichen der Variable reversed.of diese Gleichung ist. See also:Lassen Sie P1 der See also:Punkt dessen bezogenes rechteckiges Axtrind, koordiniert Oy sein sind XI, y '; dann wird der Punkt-PU eingesetzt, um die Zahl xi+tyi darzustellen. In diesen Modus oder Darstellung werden reale See also:Zahlen entlang der See also:Mittellinie von x und die eingebildete entlang der Mittellinie von y, die Hinzufügung gemessen, die entsprechend dem Parallelogramm-See also:Gesetz durchgeführt werden. Die Punkte A, KI stellen die Nr. 1, die Punkte a See also:dar, Al die Zahlen See also:L. Let P2 den Ausdruck xz+ty2 darstellen und P das • des Ausdruckes (xi+-iyi) (x2+ iy2) die Quantitäten r1, 01, See also:r2, 82 sind der Winkel P1OA das polare. So lassen wir den folgenden geometrischen See also:Aufbau für die Ermittlung des Punktes P. On OP2 ein Dreieck zeichnen, das dem Dreieck OAPs ähnlich ist, damit die Seiten OP2, OP zu den Seiten OA, OPi übereinstimmend sind und damit der Winkel POP2 positiv ist; dann stellt der See also:Gipfel P das Produkt der Zahlen dar, die von Pi, P2 dargestellt werden. Wenn xz+ty2 durch xi+Lyi geteilt werden, welches sollten das Dreieck OP'P2 auf die negative See also:Seite von P2 See also:gezeichnet würde, ähnlich dem Dreieck OAPs und Haben der Seiten, die ' OP sind, des OP2, das zu OA übereinstimmend sind, des OP1 und des P ' würde den Quotienten darstellen. 18, Wenn wir das oben genannte auf komplizierte Zahlen n durch kontinuierliche See also:Wiederholung eines ähnlichen Betriebes verlängern, haben wir (Lattichbi + t-Sinquerstation) (Lattich 02 + t-Sin 02)..

(Lattich B "+ t-Sin B") Theorem De Moivres. Lattich (Bi = 02 +. . . + 0,a) + t-Sin (Bi + 02 +. . . +0")r, wenn 01=02 =..., = wird B "= 01, diese Gleichung (Sin Lattichs 0+t B)" = Sin n0 Lattichs nO+t; dieses zeigt, daß Lattich 0 +i-Sin 0 ein Wert von ist (Sin n0 Lattichs nO+i). Wenn jetzt wir 0 in See also:

Sortierfach ändern, sehen wir, daß Sin 0/n Lattichs B/n+i ein Wert von ist (Sin B)n Lattichs B+t; jede dieser Quantitäten zu jeder positiven integralen See also:Energie innen anhebend, ist Sin mO/n Lattichs me/n+t ein Wert von (Sin 0)11 Lattichs 0+t. Auch Lattich (me/n) + t-Sin (m0/n) = Lattich mb/n - See also:F L Sin mO/n ' folglich ist der Ausdruck der linken Seite ein Wert von (Sin Lattichs B+ t 0) r "wir haben folglich Theorem De Moivres, daß Sin KB Lattichs kB+t immer ein Wert von ist (Lattich 8-I -- t-Sin B)See also:k, wo k jede rationale Zahl ist. Dieses Theorem kann auf den See also:Fall verlängert werden, in dem k vernunftwidrig ist, wenn wir daß ein Wert von fordern (Lattichbezeichnet 0+t Sin 0)k die See also:Begrenzung auf eine See also:Reihenfolge der entsprechenden See also:Werte von (Sin 0)k Lattichs B+t, wo ki, k2•..k... eine Reihenfolge der rationalen Zahlen ist, auf die k die Begrenzung ist, und See also:weiter beobachten, daß als Lattich k0+t Sin k0 die Begrenzung auf Lattich k ist, 0+t Sin k,B. Der Hauptzweck des Theorems De Moivres ist, uns zu ermöglichen, alle Werte eines Ausdruckes der See also:Form (a+tb)""", zu See also:finden wo See also:m und n positive Ganzzahlenhöchste Vollkommenheit miteinander sind. Das n verwurzelt, wenn a=r Lattich See also:e, b=rsin 0, wir die Werte von erfordern (Sin 0)"° Lattichs B+t ' ". Ein Wert ist sofort Pelzofa(ompiex nished durch das Theorem; aber wir beobachten, daß, da der Sin 0 Quantitätsausdrucks-Lattichs 0+t unverändert ist, indem es jede mögliche Mehrfachverbindungsstelle von 2rr 0 hinzufügt, die n-/mthenergie von r'"t "(Sin m.0+2sa/n Lattichs m.0+2swln+t) a+tb ist, wenn See also:s irgendeine Ganzzahl ist; folglich ist dieser Ausdruck einer der angeforderten Werte.

Nehmen Sie an, daß für zwei Werte SL und s2 von s die Werte dieses Ausdruckes dieselben sind; dann müssen wir m.B+2siir/nm.0+2s2~-/n haben; eine Mehrfachverbindungsstelle von 21r oder Sße müssen eine Mehrfachverbindungsstelle von n. folglich sein, wenn wir s die Werte See also:

O geben, 1, 2..nsuccessively, erhalten wir n unterschiedliche Werte von (a+tb)''", und diese wird wiederholt, wenn wir s andere Werte geben; folglich all d Wert von (26) See also:Entdeckung sin zE = n ri(cos 01+t sin 01) Xr2(cos 0,2+1 sin 02) = r1 r2(cos 01+02 ± sin 01+02). Wir können jetzt, in Übereinstimmung mit dem üblichen Modus des Darstellens der komplizierten Zahlen, von einer geometrischen See also:Deutung der Koordinaten der Bedeutung P PU und P2 beziehungsweise, bezogenen von 0 als Ursprung und von des Rindes zu geben als Ausgangslinie; die oben genannte Gleichung stellt dar, daß dieses ri 1'2 und 01+02 die polaren koordiniert von P sind; folglich OA: OPi:: OP2. OP und der Winkel POP2 ist gleich (a+tb)m/n werden erreicht, indem man s die Werte O, 1, 2... Ni im Ausdrucksr"o ' (Lattich m.0 + 2sa/n + 6 des t-Sin m + 2sa/n) gibt, wo r=(a'-+b2)l und 0=arc b/a bräunen. Wir kommen jetzt zur geometrischen Darstellung der komplizierten Zahlen zurück. Wenn das Punktbi, B2, Bs... B, die expres darstellt -; See also:sion x+Ly, (x+ty)2, (x+ty) ', ' (x+ty)"beziehungsweise, die Dreiecke OAB1, OB1B2..., OBn_1Bn sind alles ähnlich. Von gelassen (x+ty)n=a+tb, dann das See also:con-Verseproblem des Findens der nth See also:Wurzel von a+tb ist mit dem geometrischen Problem des Beschreibens solch einer See also:Reihe Tri See also:gleichwertig Winkel, daß OA die erste Seite das erste Dreieck und OBn die zweite Seite von nth ist. Jetzt liegt es auf der See also:Hand, daß dieses geometrische Problem mehr Lösungen als eine, da irgendeine Zahl der kompletten Umdrehungen ringsum 0 im Spielraum gebildet werden kann, der von B1 zu B See also:ling ist. die erste Lösung ist das, in dem der vertikale Winkel jedes Dreiecks B ist, OA/n hat; die Sekunde ist- die, in der jede ist (B"OA+21r)/n, in diesem Fall ein komplettes revo-lution, das ringsum 0 gebildet wird; der Third hat (BnOA+47r)/n für den vertikalen Winkel jedes Dreiecks; und so weiter. Es gibt n-Sätze Dreiecke, die die angeforderten Bedingungen erfüllen. Für Einfachheit nehmen wir den Fall vom determina-tion der Werte von (Lattich 6 + t-Sin 0)1. Nehmen Sie B an, um den Sin 0 darzustellen Ausdruckslattichs 0+ t.

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SCHLEGEL, AUGUST WILHELM VON (1767-1845)

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