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I25

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À l'origine apparaissant en volume V22, page 403 de l'encyclopédie 1911 Britannica.
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I25 . Une application particulièrement parfaite de la See also:

loi normale de l'See also:erreur dans plus d'une See also:dimension est eue See also:les moyens par les mouvements See also:des molécules dans un See also:gaz homogène. Une idée générale du rôle joué par des probabilités dans la normale d'explication de See also:ces mouvements peut être obtenue sans trlbution entrant de dans See also:le plus compliqué et controverted des parties de moléculaire le sujet, sans aller au delà de la supposition abstraite de vitesses d'initiale très des sphères égales parfaitement élastiques. Pour la convenance de l'énonciation nous pouvons nous confiner à deux dimensions. Laissez nous imaginer, puis, une énorme billiard-table avec les coussins parfaitement élastiques et un See also:tissu sans friction sur lequel les millions de boules parfaitement élastiques se précipitent ici et thither à randomcolliding avec chaque See also:chaos homogène d'othera, avec See also:cette sorte d'uniformité au See also:milieu de la diversité qui est caractéristique des probabilités. Sur cette hypothèse, si nous fixons l'See also:attention sur des boules de n prises au randomthey n'ayez pas besoin d'être, selon certains qu'elles ne doivent pas être, le contiguousif n est très grand, les propriétés moyennes sera approximativement les mêmes que ceux de tout le mélange. En See also:particulier l'énergie See also:moyenne des boules de n peut être égalisée à l'énergie moyenne de tout le nombre de boules, la parole T/n, si T est la tous les énergie et N tout le nombre de boules. Maintenant si nous observons n'importe quel un des boules de spécimen de n See also:assez See also:longtemps pour qu'il subisse un See also:grand nombre de collisions, nous observons que l'un ou l'autre de ses See also:vitesse-composants, indiquent See also:cela dans la direction de x, à savoir u, reçoit des accessions d'un immense nombre de causes indépendantes de See also:mode aléatoire. Nous pouvons présumer, donc, que ceux-ci seront distribués (parmi les boules de n) selon la loi de l'erreur. La loi ne sera pas du See also:type qui a été supposé la première fois, où la "See also:diffusion" augmente continuellement car le nombre d'éléments est increased.° ni volonté il soit du type qui a été après mentionné "où la diffusion diminue à mesure que le nombre d'éléments est augmenté. La fonction linéaire par laquelle les éléments sont agrégés est ici d'un type intermédiaire; tels que la See also:place moyenne de la déviation correspondant à la vitesse See also:demeure See also:constante. Entre la méthode de See also:composition pourraient être illustrés par le See also:processus de prendre des chiffres de r au hasard des tables mathématiques ajouter les différences chaque See also:chiffre et 4,5 la valeur moyenne des chiffres, et la See also:division de la See also:somme par 1/r. Voici quelques figures obtenues en prenant au hasard des séries de chiffres de seize de l'expansion de 7r, soustrayant 16 x 4,5 de la somme de chaque See also:groupe, et divisant le See also:reste d'ici 1116: 14 See also:cf. ci-dessus, par. 102.

16 Cf. L'See also:

enthousiasme de See also:Galton, See also:transmission normale, p. 66. 16 un rapport lucide le See also:manuel les méthodes et des résultats des probabilités appliquées à l'See also:artillerie est donnés dans officiel d'Gunnery (1902). 1'See also:Venn, Journ. Lamelle. Soc. (1891), p. 443. '8 inverseurs d'cEd (1850), xcii. 23. "Cf.

See also:

Dalton, Phil. Magnétique. (1875), xlix. 44. 2° ci-dessus, par. 112. "Ibid. +I.25, +0,75, I, I, +5,5, -2,75, +0,75, -2, +1'75, +3'25, +0,25, -2,75, -2'25, -0,5, +4'75, +0,25. Si, au See also:lieu de seize, million de chiffres allaient à chaque groupe, le caractère général de la série serait plus ou moins identique; les figures globales continueraient à planer environ zéro avec un écart type de 8,25, une erreur probable presque de 2. Ici par exemple sont See also:sept agrégats constitués par la recombinaison 252 sur les 256 chiffres ci-dessus utilisés dans des séries de 36 selon la règle prescrite: à savoir soustrayant 36X4.5 de la somme de chaque série de 36 et divisant le reste par s/36: - -0,5, +3'3, +2,6, o•6, +1,5, -2, +I. L'See also:illustration introduit dans la vue la circonstance qui bien que le système des molécules puisse commencer par une See also:distribution des vitesses autres que la normale, pourtant par des collisions répétées la distribution normale sera superinduced. Si les vitesses u et v sont distribués selon la loi de l'erreur pour une dimension, nous pouvons présumer de que les valeurs communes u et v se conforment à la See also:surface normale.

Ou nous pouvons raisonner ordonner que pendant que la paire de vitesses u et v se compose d'un grand nombre de paires élémentaires (coordonne dans chacune dont n'ont pas besoin, au commencement au moins, soyez non-corrélatif supposé) la loi de la fréquence pour des valeurs concourantes de u et v doit être de la See also:

forme normale qui peut être écrite Y2 xY Z = 2 J (kilomètre 1. 1 See also:r2) mJ de l'See also:eXp Lk2 2r km+/2(1 r2). Il peut présumer que r, le coefficient de la corrélation, est zéro, pour, dû à la symétrie des influences par lesquelles le chaos moléculaire est provoqué, il ne doit pas être supposé qu'il y ait n'importe quel raccordement ou repugnance entre une direction de u, de parole du sud au See also:nord, et d'une direction de v, parole occidentale à l'est. Pour a comme la See also:raison k doit être ainsi égal supposé au m. le velocity=2k See also:moyen; ce que multiplié par m, la masse d'une sphère, est être égalisée à l'énergie moyenne T/n. Le raisonnement peut être prolongé avec See also:confiance à trois dimensions, et avec prudence aux molécules contiguës. 126, La corrélation ne peut pas être ignorée dans une autre application de la loi beaucoup de-dimensionnée l'erreur, son utilisation dans des enquêtes biologiques à Norma) étudient les relations entre différentes générations. Corrélation Galton a trouvé l'au sujet de que les tailles et autre dans des attributs mesurables de See also:biologie des See also:enfants des mêmes See also:parents s'étendent un moyen qui n'est pas celui des tailles parentales, mais au sujet plus près la moyenne de la See also:population générale. La quantité de cette "régression" est simplement proportionnelle à la distance de la See also:taille du "See also:mi-See also:pare" de la moyenne générale. C'est un See also:cas de la loi très générale qui régit entre les relations non seulement entre les membres de la même See also:famille, mais également entre les membres de la même organization, et généralement deux (ou plus) coexistants ou de quelque façon a coordonné des observations, chacune appartenant à un groupe normal. Laissez x et y être les See also:mesures d'une paire constituée ainsi. Alors 2 il peut prévoir pour que la See also:conjonction des valeurs particulières x et y obéira approximativement les which'has normaux deux-dimensionnés de loi déjà exhibé (voir le par. 114). 11 7.

Régression-See also:

lignes. Dans l'expression au-dessus de donné, mettez l/I kilomètre = r, et l'équation pour la fréquence des paires ayant des valeurs de l'attribut See also:sous la See also:mesure devient 1 1(x a)2 (xa)(yb) (z=àrs de yb)2l/km/IrèxpL k -2r k SLM + m/2(1 r2). Cette See also:formule est d'application très générale.' Si deux ensembles de mesures étaient faits sur la taille, ou tout autre See also:dispositif mesurable, du "See also:Goodwin proverbial See also:ponce" et "See also:Tenterden See also:Steeple," et la première mesure d'un ensemble a été couplée à la première de l'autre ensemble, la seconde avec l'en second lieu, et ainsi de See also:suite, les paires de grandeurs présentées ainsi changeraient sans aucun doute selon la loi au-dessus-écrite, seulement dans ce cas r serait vraisemblablement zéro; l'expression pour z réduirait au produit des deux probabilités indépendantes que les valeurs particulières x et y devraient concourir. Mais de légères interdépendances entre les choses censées pour être totalement non liées seraient souvent découvertes par cette loi d'erreur dans deux dimensions ou plus.' Elle peut être See also:mise sous une forme plus commode en remplaçant (xa)/./k et n pour (le m. de yOhl l'équation de la surface puis devient z = (I/ìrsl1 r2) exp[E2 2rl;tf+272]/2(I r2). Si la fréquence des observations à proximité d'un See also:point est représentée par le nombre de See also:points dans un See also:petit incrément de See also:secteur, quand le r=o les points sera distribué uniformément au sujet de l'origine, les courbes de la probabilité égale seront des cercles. Quand r est différent de zéro 'en haut, par. 114, et ci-dessous, par. 127. 2 de la pluralité de causes indépendantes est presumable. la proposition a priori de 3 See also:Herschel au sujet de la loi de l'erreur dans deux dimensions (au-dessus de, par. 99) pourrait encore être défendue en tant que généralement vraie, ainsi beaucoup de phénomènes ne montrant aucune trace de l'interdépendance, ou selon le principe ce qui justifie notre 1 de mise pour une probabilité qui est inconnu (au-dessus de, par. 6), ou 5 pour une position décimale qui est négligée; corrélation étant également être positif ou négatif.

La dernière sorte d'explication peut être offerte pour le contraste moins sérieux entre la See also:

preuve a priori et empirique de la loi de l'erreur dans une dimension (ci-dessous, par. 158). l''cf. ci-dessus, des points de par. 115.the sera distribué de sorte que la majorité soit amassée dans deux quarts de See also:cercle: dans ceux pour lesquels t et +1 sont positif ou les deux négatif quand r est positif, dans ceux pour lequel et n ayez See also:vis-à-vis des signes le moment où r est négatif. Dans le cas de See also:limitation, quand r = I le centre serveur entier seront amassés suivant la See also:ligne chaque déviation t étant occupée avec une déviation égale n. en général, à n'importe quelle déviation d'un des variables 'là correspond un ensemble ou un "choix" (See also:Pearson) de valeurs de l'autre variable; pour ce que la fréquence est indiquée en substituant k 'pour Z dans l'équation générale. La See also:section obtenue ainsi s'avère être une probabilité-courbe normale avec l'écart type SL (I r2). La valeur la plus probable de 21 correspondant à la valeur assignée de est au sujet de '. L'équation +See also:tr, ou plutôt ce qui il devient quand traduit de nouveau à notre See also:original coordonne (yb)/o2 = r(xa)Qi, où Qi, 0-2 sont notre SL k, Jm respectivement, 's'appelle souvent une régression-équation. Une vérification doit donner les See also:statistiques citées ci-dessus, que See also:Weldon a obtenues en moulant des séries de See also:matrices. Si les matrices étaient parfaites, r (= défectuosité/kilomètre) égalerait 2, et pendant que les matrices s'avéraient ne pas être très imparfaites, le coefficient est sans aucun doute un p p r o X I - m par t e l y =. En conséquence, nous pouvons compter que, si des haches X et y sont dessinées par le point de maximum-fréquence au centre du See also:compartiment contenant 244 observations, correspondant à n'importe quelle valeur de x, la parole 2ì (où I est le côté de chaque compartiment carré), la valeur la plus probable de y devrait être vi, et correspondant à y=2vi la valeur la plus probable de x devrait être vi. Et en fait ces régression-équations sont assez bonnes accomplies pour les valeurs de nombre entier de v (plus que qui ne pourraient pas être prévus des observations discrètes): par exemple quand x = +î, la valeur de y, pour laquelle la fréquence (25) est un maximum, est pendant qu'il doit être + ì; quand x = -ì le maximum (119) est à y = I; quand x = -î le (16) maximum est à y = -ì; quand y est + ì le maximum (138) est à x = +i; quand l'isì de y le maximum (117) x = I, et dans aux deux cas (x = +ì et y = +î), où l'accomplissement n'est pas exact, l'échec n'est pas très sérieux.

128, Les rapports analogues jugent bon pour le cas de trois dimensions ou plus d'erreur.' La loi normale de l'erreur pour tout nombre de variables, XI x2 x3, peut être mise sous la forme z = (I (2, exp de r)n/2 f i) [ Rnxi2 + Rnx22 + &See also:

amp;c. + 2R12x1x2 + &c.]/2p où 0 est la cause déterminante: Je See also:cale ri3 r21 I r.. rí r32 1.. 'chaque r, par exemple 1,23 (= r32), est le coefficient de la corrélation entre deux des variables, par exemple X2, x3; R1i est See also:premier See also:mineur de la cause déterminante constituée en omettant le premier la rangée et la première See also:colonne; R22 est premier mineur constitué en omettant le deuxième la rangée et la deuxième colonne, et ainsi de suite; L'See also:installation (= R21) est le premier mineur constitué en omettant le premier la colonne et la deuxième rangée (ou See also:vice versa). Le principe de la corrélation joue un rôle important en See also:histoire naturelle. Il a remplacé la notion qu'il y a une proportion See also:simple entre la taille des See also:organes par la See also:conception appropriée qu'il y a des proportions simples existant entre la déviation de la moyenne d'un See also:organe et la valeur la plus probable pour la déviation coexistante de l'autre organe attributs de sa moyenne des 'favorisés par choix "normal" ou autre s'avèrent pour être corrélées avec d'autres attributs qui ne sont pas directement choisis. Le point auquel les attributs d'un individu dépendent de ceux de ses ancêtres comme mesurés par corrélation.' Le principe est instrumental à la plupart "des contributions mathématiques" importantes que See also:professeur Pearson a apportées à la théorie d'evolution.9 dans des enquêtes sociales, aussi, les promesses de principe une See also:moisson riche. Comme là où les nombreuses causes de fluctuation vont produire un résultat le paupérisme ou l'immunité à partir de la variole, la méthode idéale d'éliminer la See also:chance serait de construire des "régression-équations" avec du type suivant: "See also:changez % dans le paupérisme [ dans la décennie 18711881 ] dans les zones rurales = -27,07%, +o•299 (% de rapport de dehors-See also:soulagement de changement), +0,271 (changement, % sur la proportion de vieux), + le 064 (changement % de population)."10 129. Afin de déterminer les meilleures valeurs des coefficients impliqués dans la loi de l'erreur, et See also:examiner la valeur de l'ina- de Deterof les résultats obtenus en employant toutes les valeurs, recours doivent tion être doivent probabilité inverse. Constantes par 130. Le problème le plus simple sous cette tête est l'See also:inverse où le quaesitum est un vrai See also:objet simple et les données de méthode se composent d'un grand nombre d'observations, XI, x2. . x,,, tels que si le nombre étaient indéfiniment augmentés, la série réalisée formerait une probabilité-courbe normale avec le point vrai en tant que son centre, et ayant un See also:module donné c. il est comme si nous avions observé la position des dints faits cf. See also:note par fragments 'à par.

98, en haut. 'Phil. Magnétique. (1892), p. 200 seq.; 1896, p. 211; Pearson, See also:

Transport. See also:Roy. Soc. (1896), 187, p. 302; Burbury, Phil. Magnétique. (1894), p.

145. 'Pearson, "sur la reconstruction des courses préhistoriques," transport. Roy. Soc. (1898), A, p. 174 seq.; Proc. Roy. Soc. (1898), p. 418. 8 Pearson, la loi de l'hérédité héréditaire, "transport. Roy.

Soc.; Proc. Roy. Soc. (1898). 9 papiers dans la société royale depuis 1895. 19 un exemple instructively discuté par Yule, Journ. See also:

Statut. Soc. (1899). d'une See also:coquille éclatante autant que savoir la distance de chaque See also:marque a mesuré (d'une origine) suivant une bonne ligne, dites la ligne d'une fortification prolongée, et on l'a See also:su que la coquille était perpendiculaire mise le See also:feu à la fortification d'une arête éloignée parallèle à la fortification, et que la coquille était d'une sorte de laquelle les fragments sont dispersés selon une loi normale 1 avec un coefficient connu de See also:dispersion; la question est à quelle position sur l'arête éloignée était le See also:pistolet de l'ennemi placé probablement? Par des principes reçus la probabilité, la parole P, que l'ensemble indiqué d'observations devrait avoir résultée de mesurer (ou de viser) un objet dont la vraie position était entre x et x +Ax est exp du dx J [ (x -- x1)2 + (x x2)2 + &c.]/c2; +cs où J est une constante obtenue par l'égalisation à l'unité f _ Pdx m (puisque l'ensemble indiqué d'observations doit avoir résulté d'une certaine position sur l'See also:axe de x). La valeur dont de x, l'ensemble indiqué d'observations a résulté le plus probablement, est obtenue en faisant à P un maximum.

Mettant dP/dx = o, nous prenons pour le maximum (d2P(dx2 étant négatif pour cette valeur) la moyenne arithmétique des observations données. L'exactitude de la détermination est mesurée par une probabilité-courbe avec le module c V n. ceci au cours d'un siège très long si chaque cas dans lequel le groupe donné de coquille-marques x1, x2. . . x,, a été présenté pourrait être étudié, il serait constaté que le See also:

canon de l'ennemi a été mis le feu du x'de position, (juste de point vis-à-vis) la moyenne arithmétique du See also:silicium, x2, &c., x,, avec une fréquence assignée par l'équation z = (SL n/1/lrc) le n(x x')2/c2 d'exp. Le raisonnement est applicable sans modification matérielle le cas dans auquel les données et le quaesitum ne sont pas des quantités absolues, mais des proportions; par exemple, donné le pourcentage des boules blanches dans plusieurs grands groupes au hasard d'une immense See also:urne contenir dessiné les boules noires et blanches, pour trouver le pourcentage des boules blanches dans le problème inverse d'urnthe s'est associé au nom de Bayes. 131, Tout simple que cette See also:solution est, il n'est pas celui qui a le plus recommandé à See also:Laplace. Il envisage le quaesitum pas tellement comme que le point qui est le plus probablement le vrai, en tant que ce point qui peut le plus avantageusement être mis pour le vrai. Dans notre illustration il est comme si on ne l'a exigé pour découvrir d'un See also:certain nombre de tirer-marques pas le point 'qui au cours d'un See also:long siège serait le plus fréquemment la position du canon qui avait dispersé les fragments observés mais le point au lequel il serait le meilleur pour traiter en tant que ce feu de positionto par exemple avec une vue d'amortir le respect gunhaving de l'ennemi pas tellement à la fréquence avec laquelle la direction adoptée est exacte, quant au point auquel il est erroné à la See also:longue. Comme mesure du détriment de l'erreur, Laplace 'prend à "La valeur moyenne de 1'erreur un craindre," la première See also:puissance moyenne des erreurs prises franchement de chaque côté du vrai point. See also:Gauss propose les pièces de rechange moyennes des erreurs comme criterion.4 n'importe quelle puissance moyenne en effet, l'intégrale de n'importe quelle fonction qui augmente dans la grandeur absolue avec l'See also:augmentation de son variable, prise à mesure que la mesure du détriment, mèneront à la même conclusion, en cas de la loi normale.' 132, Encore une autre difficulté spéculative se produit dans le plus simple, et se reproduit dans le problème inverse plus compliqué. En mettant P comme probabilité, déduite des observations que le vrai point lequel ils représentent est x (entre x et x +Ox), on le suppose tacitement qu'avant l'observation une la valeur de x est aussi probable que des autres. Dans notre illustration il doit supposer que le pistolet de l'ennemi était aussi pour être à un point que des autres (une certaine région de) de l'arête de laquelle elle a été mise le feu. Si, indépendamment de l'évidence des coquille-marques; il y avait n'importe quelle raison de penser à que le pistolet a été situé un point plutôt que des autres, la formule exigerait pour être modifié. Cette probabilité a priori est parfois fondue sur notre See also:ignorance; selon une autre vue, le procédé est justifié par une See also:connaissance générale approximative qu'au-dessus d'une région de x pour laquelle P est sensible une valeur de x se produit environ aussi souvent que des autres.' 1 si normalement dans toute direction indifferently selon deux-ou loi trois-dimensionnée d'erreur, puis normalement dans une dimension le moment où rassemblé et distribué dans des ceintures perpendiculaires à une bonne ligne horizontale, comme dans l'exemple cité ci-dessous, par.

155. 2 ou petit See also:

intervalle (cf. section précédente). 3 "reelle négatif de See also:perte d'une d'ou de desavantage du comme un de consideree de See also:titre de doit de soit positif de soit d'erreur de Toute un quelconque de See also:jeu d'un," See also:analytique de Thiorie, See also:art. 20 seq., particulièrement art. 25. Quant à ce qu'il est intensément remarqué par Bravais (CIT See also:op p. 258), "laisse simple de regle de Cette un rigoureuse de démonstration d'une de desirer, d'etre d'échine de des jeux de hasard est de celui d'avec d'actuel de car 1'analogue du cas complet." Combinationis de Theoria, § 6 de la See also:pinte i.. See also:Simon See also:Newcomb est de remarquable par la marche de la manière Laplace et gauss dans sa préférence du plus avantageux aux déterminations les plus probables. Avec le gauss il postule que "le mal d'une erreur est proportionné à la place de sa grandeur" (See also:journal américain de mathématiques, See also:vol. viii. Numéro 4) comme discuté par l'auteur actuel, Camb. Phil. Transport.

(1885), vol. xiv pinte ii. 0. 161. Cf. See also:

Glaisher, Mem. Astronom. Soc. xxxix. I08. La position adoptée par l'auteur actuel sur l'"See also:philosophie de la chance," à l'esprit (188o; approuvé par professeur Pearson, See also:grammaire 133. Sujet aux difficultés spéculatives semblables, la solution qui a été obtenue peut être See also:sortie au problème analogue dans lequel le quaesitum n'est pas la valeur réelle d'une grandeur observée, mais le moyen auquel une série de statistiques indéfiniment prolongées converge.' 134, Après, laissez le module, toujours supposé donné, pour ne pas être les mêmes pour toutes les observations, mais c1 pour x1, C2 pour x2, &c. Alors P devient proportionnel à l'exp [ (x - x1)2/c12 + (x x2)2/c22 + &c. ].

Et la valeur x qui est le plus probable et "le plus avantageux du" est (x1/c12 -1-x2/c22 +&c.) /(I/c32 +1/c22 +&c.) chaque observation étant pesée avec la méthode inverse de place moyenne des observations faites sous le See also:

con- semblable moindre ditions.s ceci est la règle prescrite par les "places de méthode. de des moindres carrés "; mais car la règle dans ce cas-ci a été déduite par la probabilité inverse véritable, le problème n'exemplifie pas ce qui est le plus caractéristique dans cette méthode, à savoir, qu'une règle déductible de l'hypothèse que les erreurs des observations obéissent la loi normale de l'erreur est utilisée dans les cas où la loi normale n'est pas connue, ou même est connue pas, pour juger bon. Par exemple, laissez la courbe de l'erreur pour chaque observation être de la forme de z = [ I/l (2rc) ] l'exp de X [ x2/c2 2j(x/c 2x3/3c3) ], où j est une petite fraction, de sorte que z puisse également jaillir soyez (DANS, rc)[I -2j(x/c -2x3/3c3) ] l'exp égalisé x2/c2, une loi qui est réellement très répandue. Puis, selon la méthode inverse véritable, la valeur la plus probable de x est indiquée par l'équation quadratique - a fait la See also:notation de d P = o, où notation P = const. (xxr)2/c,2- E2j[(xxr)3/cr3 2(xxr)3/3crÍ, dénotant l'excédent d'addition toutes les observations. Selon l'"méthode de des moindres carrés," la solution est la moyenne arithmétique pesée des observations, le See also:poids de n'importe quelle observation étant inversement proportionnelle à la place moyenne correspondante, c.-à-d. cr2/2 (les See also:limites de l'intégrale qui impliquent j disparaissant), qui serait la solution si les j sont chacun des zéro. Nous mettons pour la solution du cas donné ce qui est connu pour être la solution d'un cas essentiellement différent. Comment ce See also:paradoxe peut-il être justifié? 135, Plusieurs des réponses qui ont été données à cette question semblent venir à ceci. Quand les données sont unmanageable, elles sont légitimes pour s'occuper une pièce en, et pour déterminer (ou "le plus avantageux") la valeur la plus probable le quaesitum, et le degré de son exactitude, de la See also:partie choisie des données de comme si elles ont formé le tout. Ceci qui jette par dessus See also:bord d'une partie des données afin d'utiliser le reste a souvent pour être recouru à dans le cours approximatif des probabilités appliquées. Ainsi un See also:bureau d'assurance tient See also:compte seulement l'âge et quelques autres attributs simples de ses clients, de bien qu'une meilleure See also:affaire pourrait être faite en particulier à des cas en tenant compte de tous les détails disponibles. La nature de la méthode est particulièrement claire dans le cas où l'ensemble indiqué d'observations se compose de plusieurs groupes, des observations dans n'importe quel groupe s'étendant en vertu de la même loi de la fréquence avec x moyen et place moyenne de Kr d'erreur, de la fonction et des constantes différentes pour différents groupes; alors si nous confinons notre attention à ces parties des données que qui sont du x'r de type et 14 ignorant quoi encore peuvent être donnés quant aux See also:lois de l'errorwe peuvent traiter les x'r en tant que tant d'observations, chacun s'étendant en vertu de la loi normale de l'erreur avec son coefficient de dispersion; et appliquez les règles appropriées à la loi normale.

Comme ces règles s'est appliqué aux données, a considéré comme ensemble d'observations dérivées chacun constitué par une série des observations originales) ramenées à une moyenne, donnent plus probable (et également See also:

combinaison la plus avantageuse des observations la moyenne arithmétique pesée selon la place moyenne inverse concernant chaque observation, et pour la loi de l'erreur à laquelle la détermination est exposée la loi normale avec l'écart type 9 (d'Ek/n)the les règles très qui sont prescrites par la méthode de des moindres carrés. 136, Le principe impliqué pourrait être illustré par la proposition pour rendre l'économie des informations moins See also:rigide: pour pour utiliser, pas en effet tous, mais peu plus de notre materialsnot seulement la place moyenne de l'erreur chaque série, mais également le See also:cube moyen d'erreur. Pour commencer par le cas simple d'un groupe homogenous simple: supposez que dans notre exemple les fragments de la coquille ne sont plus dispersés selon la loi normale. Par la méthode de des moindres carrés il était toujours approprié de mettre la moyenne arithmétique aux observations données pour le point vrai exigé, et de mesurer l'exactitude de cette détermination par une probabilité-courbe de laquelle le module est I (2k), où k est à angle droit moyen de déviation (des fragments de leur moyen). Si on le pense que souhaitable pour utiliser plus des données là est disponible, la proposition qui la moyenne arithmétique de a de la Science, 2ème ED p. 146). Voir également "les probabilités a priori," Phil. AG. (See also:septembre 1884), et Camb. Phil. Transport. (1885), vol. xiv pinte II. P.

147 Seq. Au-dessus de, pairs. 6, 7. L'exp de la place moyenne f}0v (x2/sl au sujet de) x2/c2dx = c2/2. 9 l'écart type concernant un ensemble (n/r) d'observations composées, chacun ont dérivé des observations originales de n en faisant la moyenne d'un groupe numérotant en r, est - (k/r)/Rl (n/r)• = - (k/n), quand les observations données sont tout le même poids; mutatis mutandis quand les poids diffèrent. ensemble nombreux d'observations, parole X, x2. . . le x"(pris comme un échantillon provenant d'obéir indéfiniment grand de groupe tout la même loi de la fréquence) change de l'ensemble à l'ensemble approximativement selon le \c suivant 3c3 de l'alaexp C c +2nj de la loi (être établi plus See also:

tard) z/d'où c2/2 la place moyenne de la déviation, et j = le cube moyen déviation, et j/ca, la parole j, est petit. Puis, par l'See also:abstraction analogue à cela qui a été juste attribuée à la méthode de des moindres carrés, nous pouvons considérer les informations comme une observation, la moyenne arithmétique (d'une série d'échantillon d'observations) sujet à la loi de l'erreur z = un f(x simples). La valeur la plus probable du quaesitum est donc indiquée par le f'(xx d'équation ') o, où x 'est la moyenne arithmétique des observations données. De l'équation quadratique résultante, mettant x = x'+ e, et rappelant qu'e est petit nous avons c = jc. C'est la correction due à l'utilisation du cube moyen d'erreur.

La solution la plus avantageuse ne peut pas maintenant être déterminée, 'f(x) étant unsymmetrical, sans assumer une forme particulière pour la fonction du détriment. Cette méthode de des moindres carrés plus des cubes peut facilement être prolongée au cas de plusieurs groupes. 137, Cette application des probabilités pas aux données réelles mais à une partie choisie en, cette économie de la méthode inverse, est-il largement pratiqué dans des statistiques diverses, où l'objet est-il de déterminer si l'See also:

anomalie entre deux ensembles d'observation est accidentelle ou significative d'une vraie différence? Par exemple, laissez les données être des âges à la mort des individus de deux classes (par exemple tempéré ou pas aussi, See also:urbain ou rural, le &c.) qui ont été sous l'observation, depuis l'âge par exemple de 20. Reconnaissant que les âges à la mort se conforment à la loi de Gompertz; la détermination de l'âge modal à la mort, cet âge à laquelle la proportion du See also:total a observé la mort (par unité de See also:temps) est un maximum pour chaque See also:classe, le plus parfaitement serait effectuée par la méthode inverse véritable. Cette méthode nous permettra également de déterminer la probabilité que les deux modes devraient avoir différé jusqu'au degré observé par See also:seul See also:accident.' Selon la méthode abrégée elle suffit pour procéder comme si nos données se sont composées le x'de deux observations et le y ', les âges moyens à la mort des deux classes, chaque moyenne obéissant la loi normale de l'erreur, avec les modules respectifs ci = [ (x'x1)2 + (x 'de x2)2 + de &c.]2/n, C2 = l [ (y 'yl)2 + (y 'y2)2 + &c.]2/n, où x1, x2, &c., le yl y2, &c., sont les ensembles respectifs d'âges observés à la mort; comme suit de la loi de l'erreur, quoi que la loi de la distribution des observations données. Selon une propriété bien connue de la loi normale, la différence entre les moyennes de n et observations de n les 'respectivement s'étendront sous une probabilité-courbe avec le Cl2 du module v + le c22, la parole c. d'où pour la probabilité qu'une différence aussi grande qu'observée, la parole e, devrait s'être produite par hasard nous ont 2[I8(r) ], où r = e/c, et 8(x) est l'intégral 2/sl3r(exp = xz)dx, donné dans beaucoup de traités. 138. * Cette sorte de raccourcissement peut être sortie à d'autres genres de moyenne sans compter que l'arithmétique, en particulier la médiane (ce point abrégé qui a l'autant de des observations indiquées ci-dessus comme méthodes au-dessous d'elle). Par See also:induction simple nous savons que la médiane d'un grand échantillon d'observations est une valeur probable pour la médiane vraie; comment le probable est déterminé comme suit à partir d'un choix de nos données. Supposez d'abord que toutes les observations sont du même poids. Si le x'étaient la médiane vraie, la probabilité qu'autant de pendant que + r des observations devrait tomber de chaque côté de ce point est donné par la loi normale pour laquelle l'exposant est -2r2/n.4 cette probabilité que la médiane observée différera de la vraie par un certain nombre d'observations est reliée à la probabilité de qu'ils différeront par une certaine ampleur de l'See also:abscisse, par la proposition qui le nombre d'observations contenues entre la médiane vraie et apparente est égal à la petite différence entre elles a multiplié par la densité des observations au medianin le cas la normale et les courbes généralement symétriques la plus grande ordonnée. C'est les deuxièmes informations que nous exigeons pour choisir. Dans le cas de la courbe normale elle peut être calculée à partir du module lui-même, déterminé par induction d'un choix des données.

_ Si les observations ne sont pas toute la même valeur, le poids peut être assigné en comptant une observation comme si il s'est produit oftener que des autres. C'est l'essence de la méthode de Laplace de Situation.6 '1 que l'utilisation des cubes est également contrastée avec See also:

celle des places (seulement) à cet égard: que ce n'est plus une question de l'indifférence lesquelles des observations originales nous assignons au groupe duquel le moyen constitue l'observation (composée) simple. 2 l'objet du See also:papier de l'auteur sur des "méthodes de statistiques" dans le nombre de jubilé du Journ. Statut. Soc. (1885). 'voyez sur l'utilisation de la méthode inverse de déterminer le mode d'un groupe, le papier de l'auteur actuel sur "des erreurs probables" dans le Journ. Lamelle. Soc. (septembre 1908). 4 ci-dessus, par. 103.

analytique de s Theorie, 2ème suppl.. p. 164, See also:

celeste de Mecanique, ô de bk. iii. art.; sur ce qui voient la note dans la See also:traduction de Bowdich. La méthode peut être prolongée à d'autres percentiles. Voir Le Czuber, Beobachtungsfehle, Le § 58. Cf. Phil. Magnétique. (1886), p. 375; et See also:Sheppard, 139. Sous sa forme plus simple, où toutes les observations données sont de poids égal, cette méthode est d'applicabilité large. Comparé à la méthode inverse véritable, il est toujours plus commode, rarement beaucoup moins précis, parfois bien plus précis.

Si les observations données obéissent la loi normale, la précision de la médiane est moins que la précision de la moyenne arithmétique seulement d'environ 25% par anomalie pas très sérieuse où seulement une évaluation grossière de la valeur d'une moyenne est exigée. Si les observations n'obéissent pas la normale lawespecially si les extrémités sont anormalement la précision de divergentthe de la médiane peut être plus grande que cela de la moyenne arithmétique.' 140, Encore un autre exemple du contraste entre l'See also:

inversion véritable et abrégée est eu les moyens par le problème pour déterminer le module aussi bien que le moyen pour un ensemble d'observations Determinknown d'obéir la loi normale; de ce que le premier problème 'See also:anonyme devient quand le coefficient de la dispersion n'est pas donné. Fréquence-Par la probabilité inverse nous devons dans ce cas, en outre constantes. à l'équation dP/dx = o, pour mettre dP/dc = o. d'où C2 = 2 [ (x 'x)2 + (x 'x2)2 + &c. + (x 'x)2]/n, et x '= (XL + x2 + &c. + x")/n. Cette solution diffère de cela qui est souvent donnée dans les manuels dans cela là, dans l'expression pour le C2, (n. I) se produit dans le dénominateur au lieu du n. que la différence est expliquée par le fait que les autorités visées déterminent c, pas par inversion véritable, mais par induction See also:ordinaire, par une See also:condition qui certainement serait remplie à la longue, mais n'exprime pas la totalité de nos données; une condition aiment à cet égard l'équation de c à J 1r(Ee)/n, entre où e est la différence (prise franchement, sans See also:souci de son signe) n'importe quelle observation et la moyenne arithmétique de toutes les observations 141. Naturellement la détermination de la valeur la plus probable est sujette aux difficultés spéculatives appropriées à la probabilité a priori: ce qui frappent en particulier dans ce cas-ci, car il semble également normal à la prise comme que la constante, dont les valeurs sont également probables a priori, le k(= le c2/2), ou le h(even10 = l'I/c2), la mesure de poids, car en fait Laplace a fait;11 pourtant non deux de ces prétentions peuvent être exactement true.12 142. Une détermination plus commode est obtenue à partir de l'induction simple par l'equating le module à quelques informations du groupe observé auquel ce serait égale si le groupe étaient détail de completein à la distance de la médiane de percentile (ou point qui coche un certain pourcentage, par exemple 25 des observations données) multiplié par un See also:facteur correspondant au percentile disponible à une table familière. M. Sheppard a fourni des preuves intéressantes 13 que nous ne pouvons pas par des percentiles obtenir de tels bons "résultats pour les fréquence-constantes comme, par l'utilisation" de la place moyenne et moyenne "[ la méthode prescrite par la probabilité inverse) 143. Les mêmes subtleties philosophiques, avec de plus grandes complications mathématiques, nous rencontrent quand nous mourons au cas de deux quaesita ou plus. Le problème sous ce See also:chef qui a principalement empêtré exercé les auteurs plus âgés était de déterminer un certain nombre de quantités inconnues de mesure, données un plus grand nombre, n, des tions de l'equa- ments. les impliquant.

144, Supposer les valeurs vraies approximativement connues, en substituant les valeurs approximatives dans les équations données et l'extension selon le théorème du See also:

tailleur, là sera obtenu pour les corrections, la parole X, y..., des équations linéaires de n du • de la forme alx+bly. = See also:fi a2x+See also:bey '. = le See also:F2, où chaque a et b est un coefficient connu, et chaque f est une observation faillible. Supposez que l'erreur à laquelle chacune est exposée obéisse la loi normale, et que le module concernant chaque observation est le dernier état de samewhich peut être fixé en multipliant chaque équation par un approprié factorthen si le x'et le y 'sont les valeurs vraies du quaesita, la fréquence avec laquelle (See also:aix '+ b,y l''Floride) suppose que différentes valeurs est indiquées par l'équation z = i/(sl, au sujet ') de l'exp [ aix + la Floride biy ] 2/c, ', où c, est une constante qui, transport. Roy. Soc. (1889), 192, p. 135, anté, où l'incident d'erreur à ce genre de détermination est assuré avec beaucoup de précision. 6 Cf. Phil. Magnétique. (1887), xxiv.

269 seq., où la médiane est prescrite en cas d'observations (hétérogènes)"discordantes". Si le remède plus énergique de rejeter une partie des données est recouru à la méthode de Sheppard d'exécution cette opération peut être recommandée (Prot. Lond. Maths. Soc. vol. 31). Il prescrit pour les cas auxquels la médiane peut ne pas être appropriée, à savoir, la détermination d'autres fréquence-constantes sans compter que le moyen des observations. Au-dessus de, par. 134. 8 par exemple bien aéré, théorie d'erreurs, art. õ. 9 c'est un point See also:

gentil qui l'expression pour le C2, qui a (n '1) au lieu de n pour le dénominateur, bien que pas plus le plus probable, peut encore être le plus avantageux (à supposer qu'il y avait n'importe quelle différence sensible entre les deux). Cf.

Camb. Phil. Transport. (1885), vol. xiv pinte ii. p. 165; et "erreurs probables," Journ. Statut. Soc. (See also:

juin 1908). 1° ci-dessus, par. 96, note. analytique de u Theorie, 2ème suppl.. ED.

1847, p. 578. 12 voyez la matière discutée dans Camb. Phil. Trans., transport de l'See also:

endroit CIT 1a. Roy. Soc. (1899), A, cxcii. 135. 14 bon comme examiné par une comparaison des places moyennes des erreurs dans le déterminé fréquence-constant par les méthodes comparées. = f(x), parole; si non connu à l'avance, peut être impliqué, comme dans le cas plus simple, d'un ensemble d'observations. Rapports semblables se tenant pour les autres équations, la probabilité que l'ensemble indiqué d'observations fi, F2, &c., devrait avoir résulté d'un système particulier des valeurs pour x, y.

est l'exp I(aix+b, yfi)2/ci2+(a2x+b2Yf2)2/c22+&c.1 de J, où J est déterminé un-constant selon le même principe que dans les cas plus simples analogues.' La condition que P devrait être un maximum donne autant d'équations linéaires pour la détermination du x'y '. car il y a des quantités inconnues. 145, La solution appropriée au cas où les observations sont connues pour arranger selon la loi normale peuvent être prolongées à de nombreuses observations s'étendant en vertu de n'importe quelle loi, selon les principes qui justifient l'utilisation de la méthode de des moindres carrés dans le cas d'un quaesitum simple. 146, Comme dans ce cas simple, de le principe de l'économie justifiera maintenant l'utilisation de la médiane est-ce que, par exemple dans le cas du quaesita deux, la mise pour les valeurs vraies x et y qui se dirigent pour ce que la somme des perpendiculaires a laissé tombent d'elle sur chacun d'un ensemble de lignes représentant les équations indiquées (correctement pesées) est un minimum? 147, Les auteurs plus âgés ont exprimé l'erreur en détermination d'un des variables sans référence à l'erreur dans le Norma! autre. Mais l'erreur d'une variable peut être latlon.as considéré corrélée avec celle des autres; c'est-à-dire, si l'See also:

orm X, y de système. . . forme la solution des équations données, tandis que x'+f, y'd-n. . . est le vrai système, (les See also:petites) valeurs de k, n.... qui concourra à la longue des systèmes desquels l'ensemble indiqué de résultat d'observations sont normalement corrélés. De ce point de vue Bravais, en 1846, a été mené à plusieurs théorèmes qui sont applicables au cas maintenant plus important de la corrélation dans lequel et n sont donnés (pas en général petit) des déviations des moyens de deux membres corrélés ou plus (des organes ou des attributs) constituant un groupe normal.

148, Pour déterminer les fréquence-constantes d'un tel groupe il est approprié de procéder sur l'See also:

analogie du cas simple de l'erreur un-dimensionnée. Dans le cas de deux dimensions, par exemple, la probabilité p, qu'une paire indiquée d'observations (XI, y ') devrait avoir résultée d'un groupe normal duquel les moyens sont le x'y 'respectivement, les écarts type o, et O2 et le coefficient de la corrélation r, peuvent être écrits l'exp -1E2 d'AxAyAo, d'AoÀr(I/22r) sloes-20 r2), où E2 = (x 'xi)2/o, 2 2r(x 'x, 'Y')/o)(Y, 02 + (Y 'yi)2/022. Un rapport semblable tient l'un pour l'autre la paire d'observations (x2y2), (xý3)... avec des expressions analogues pour p2, p3... D'où, comme dans le cas plus simple, nous avons p, X picoseconde X&c. X p"/J (une constante) pour P, a posteriori la probabilité que les observations données devraient avoir résulté d'un système assigné des fréquence-constantes. Le système le plus probable est déterminé en faisant à P un maximum, et en conséquence égalisant à zéro de chacun du dx suivant de DP de DP de DP de DP de DP d'expressions, dy, ', la daine, DR. Les valeurs de la moyenne arithmétique et de l'écart type pour chacun variable sont ce qui ont été obtenus en cas simple d'une dimension. La valeur de r est E(x'x)(y'yr)/o'o2.' L'erreur probable de la détermination est assignée sur la prétention que les erreurs auxquelles elle est exposée soient petites. * De tels coefficients ont été déjà calculés pour un grand nombre de cas intéressants. Par exemple, le coefficient de la corrélation entre la stature et le fémur humains est 0,8, entre le fémur droit et See also:gauche est 0,96, entre les statures des See also:maris et les épouses est 0•28.' 149, Cette application de la probabilité inverse pour déterminer des corrélation-coefficients et l'erreur à laquelle la détermination est exposée a été en grande partie utilisée par le professeur Pearson° et d'autres auteurs récents. L'utilisation de la formule normale de mesurer l'incident d'improbableerrors de probableand à de telles déterminations est justifiée par le raisonnement apparenté à cela qui a été utilisé dans la preuve générale de la loi de l'erreur? Professeur Pearson a précisé une circonstance qui semble être de grande importance dans la théorie d'évolution: que l'incident d'erreurs à la détermination de différents fréquence-coefficients sont susceptible d'être mutuellement corrélé. Ainsi si un choix aléatoire soit fait à partir d'une certaine population, le corrélation-coefficient qui s'adapte les organes de cela a placé est susceptible de différer du coefficient approprié au groupe complet dans le même See also:sens que quelques autres fréquence-coefficients.

Phoenix-squares

150, La dernière remarque s'applique également à la détermination des coefficients, en particulier ceux de la corrélation, par des méthodes abrégées, selon des principes expliqués concernant le cas simple; par exemple par la formule r=En/El;, là où et est la somme (certains ou tous) de 'en haut, par. 1ó. 2 Voir Le Phil. Magnétique. (1888), "sur une See also:

nouvelle méthode de réduire des observations"; en ce qui concerne là où une comparaison la convenance et l'exactitude avec la méthode reçue est essayée. 3 correspondant au k/elm des pairs. 14, 127 ci-dessus. * Pearson, Transport. Roy. Soc., A, 191, P. 234. 5 Pearson, grammaire de la Science, 2ème ED p. 402, 431. transport de °.

Roy. Soc. (1898), A, vol. 191; Biometrika, ii. 273. 7 ci-dessus, par. 107. Comparez la preuve "de la loi subsidiaire de l'erreur," comme la loi à cet égard peut s'appeler, dans le papier sur "des erreurs probables," Journ. Lamelle. Soc. des déviations (de juin 1908).positive (ou le négatif) des valeurs pour un organe ou attribut a mesuré par le module concernant ce See also:

membre, et l'en est la somme des valeurs de l'autre membre, qui sont associées aux constituants d'cEe. Cette variété de cette méthode est certainement beaucoup moins ennuyeuse, et est peut-être pas beaucoup moins précise, que la méthode prescrite par inversion véritable.

151, Une méthode de rejeter des données analogues à l'utilisation des percentiles dans une dimension est pratiquée quand, donné la fréquence des observations pour chaque incrément de secteur, par exemple chaque See also:

hache Ay, nous utilisons seulement la fréquence pour des secteurs intégraux. M. Sheppard a donné une solution élégante du problème: pour trouver la corrélation entre deux attributs, donnés les médianes L, et M, d'un groupe normal pour chaque attribut et la distribution du groupe total, comme thus.8 au-dessous de L, au-dessus de L, au-dessous de M, P R au-dessus de M, R P si See also:cos D est mis pour r, le coefficient de la corrélation, on le constate que D = vrR/(P+R). Par exemple, laissez le groupe de statistiques concernant des matrices °cited déjà de professeur Weldon soit arrangé dans quatre quarts de cercle par une ligne horizontale et verticale, dont chacune sépare les groupes totaux dans deux moitiés: lignes dont les équations s'avèrent être respectivement y=6.11 et x=6.156. Pour R nous prenons 1360,5, et pour P 687,5 rudement. D'où D=srXo•66; r = cos 0,66 Xir = I presque, en tant que lui devez; le signe négatif exigé par la circonstance que la partie plus inférieure du See also:diagramme de M. Sheppard's montré dans fig. 12 correspond à la partie supérieure du diagramme de professeur Weldon's montré dans par. 115. 152, La nécessité plutôt que la convenance est parfois le See also:motif pour la ressource aux percentiles. Professeur Pearson entre a appliqué la méthode médiane pour déterminer la corrélation les maris et les épouses en ce qui concerne l'obscurité de l'See also:oeil-See also:couleur, un caractère qui n'admet pas du repére exact: d'"nos See also:nombres référez-vous simplement à certains groupements, disposés, il est vrai, dans l'obscurité croissante couleur, mais nullement See also:correspondance aux augmentations égales de colour-intensity."1° des données de cette sorte, ayant établi le nombre de maris aux oeil-See also:couleurs au-dessus de la teinte médiane qui épousent des épouses avec l'oeil-couleur au-dessus de la teinte médiane, trouvailles de professeur Pearson pour r le coefficient de la corrélation +o•1. Une méthode générale pour déterminer les fréquence-constantes quand les données sont, ou sont prises pour être, de la sorte intégrale a été donnée par professeur Pearson." L'attention devrait également être attirée au traitement de M. de Yule's du problème par une sorte de calcul See also:logique sur les lignes See also:Boole et See also:Jevons.12 153.

Lorsqu'il s'agit de la corrélation qui ont été jusqu'ici considérés, on l'a présupposé que les choses ont corrélé la See also:

gamme selon la loi normale de l'erreur. Mais maintenant, supposez la loi anormale de la distribution pour être plus normale: par exemple, cela les points sur le See also:plan de xy, "représentation chaque une paire de membres de corrélation, ne sont plus groupés en anneaux elliptiques (ou circulaire) de la fréquence égale, que le lieu de la déviation du maximum y, correspondant à une déviation assignée de x, n'est plus une bonne ligne. Comment l'interdépendance de ces déviations va-t-elle à formuler? On le See also:soumet que de telles données peuvent être traitées comme si elles étaient normales: par une See also:prolongation de la méthode de des moindres carrés, dans deux dimensions ou plus." Ainsi quand la quantité de paupérisme ainsi que la quantité de soulagement extérieur est tracée dans plusieurs syndicats on obtient une distribution loin de normale. Néanmoins si le paupérisme moyen et le soulagement extérieur moyen sont pris pour des quintettes ou des syndicats aggregatessay de decadesof pris au hasard, il peut prévoir que ces moyens se conformeront à la loi normale, aux coefficients obtenus à partir des données originales, selon la règle qui est appropriée au cas de la loi normale." Par l'obtention fait la moyenne conformément à la loi normale, comme par l'application simple de la méthode de des moindres carrés, nous ne devrions pas en effet avoir utilisé la totalité de nos données, mais nous mettrons une partie d'elle dans un transport 8 très utile. Roy. Soc. (1899), A, 192, p. 141. °Above, par. 115. grammaire 1° de la Science, p.

432. transport de u. Roy. Soc., A, vol. 195. À cet égard la référence devrait également être faite à la théorie de Pearson d'"éventualité" dans sa treizième contribution "à la théorie mathématique d'évolution '(les mémoires de recherches de Company de Drapers'). 'transport 2. Roy. Soc. (1900), A, 194, p. 257; (1901), A, 197, p. 91.

1'ci-dessus, par. 127. "en haut, par. 116. '5 si de l'ensemble donné d'observations de n (chacune correspondant à un point sur l'See also:

avion xy) on dérive un ensemble d'observations de n/s chacun obtenu en faisant la moyenne d'une numérotation s en lots de l'observation originale; le coefficient de la corrélation pour le système dérivé est identique à cela qui concerne le système original. Quant à l'écart type pour le nouveau système voir la note à par. 135. 1 7! 72 le T2 2s 9 72 72 72 EST forme de 3 n n o. Bien que les régression-équations obtenues n'adaptent pas exactement le matériel original, pourtant elles aurait une certaine correspondance là-dessus. Quelle sorte de correspondance. peut être illustré par un exemple dans les jeux de hasard, que professeur Weldon a fournis.

Trois See also:

demi-douzaines de matrices ayant été jetées, le nombre de matrices avec 2 plus de trois points dans cela douzaine qui se compose du premier et la deuxième demi-douzaine est prise pour y, le nombre de sixes dans la douzaine composée à la première et troisième demi-douzaine, sont prises pour le x. que chaque observation See also:double (xy) est ainsi la somme de six éléments doubles, dont chacun est sujet à une loi de quency de fre- représentée dans fig. 13; là où 1 les figures extérieur dénotent les jujubes numériques des succès de chacun See also:aimable, pour l'ordonnée le nombre de matrices • avec b 'plus de trois points (hors d'une See also:fonte of=i1/5/18; o2=i/J2; r=I/00. D'où pour l'régression-équation qui donne la valeur de l'ordonnée le plus probablement associée à une valeur assignée de l'abscisse nous prenons y=xXro2/oi=o.3x; et pour l'autre régression-équation, x=y/6. en conséquence, dans les statistiques de professeur Weldon's, qui sont reproduites dans le diagramme annexé, quand X=3 les 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 I 11 4 3 3 3 I 10 3 17 15 13 10 4 3 I 9 12 51 59 61 36 14 5 3 8 36 135 154 150 64 21 5 2 7 74 195 260 179 112 35 5 I 6 90 248 254 170 75 26 3 5 93 220 230 124 51 8 2 4 86 162 127 75 19 4 I 3 37 86 56 17 6 2 2 14 23 23 4 3 1 2 4 0 valeurs les plus probables de y doivent être I. et en fait cette espérance est vérifiée, x et y de l'étant mesuré le long des lignes tracées par le centre du compartiment, qui doit avoir le maximum du contenu, représentant l'See also:accord une douzaine avec deux sixes et encore douzaine avec six matrices ayant chacun plus de trois points, le compartiment qui contient en fait 254 (presque le contenu maximum). En l'See also:absence des observations à x = -í ou y = t 6i, les régression-équations ne peuvent pas être encore vérifiés. Au moins ils ont commencé à être vérifiés par des groupes composés de six éléments, tandis qu'ils ne sont pas vérifiables du tout pour les éléments simples. La formule normale décrit les statistiques données pendant qu'elles se comportent, pas quand par lui-même, mais une fois amassé dans les foules: l'régression-équation ne nous indique pas que si le x'est l'importance d'un membre l'importance de la plus probable l'autre membre associé en conséquence est rx ', mais que si x 'est la moyenne de plusieurs groupes du premier membre, alors le rx 'est la moyenne la plus probable pour les spécimens de l'autre membre lié à ces échantillons. La proposition de M. Yule's pour construire des régression-équations selon la règle normale "sans préoccuper pour étudier la normalité de la distribution" 2 admet de ceci entre d'autres explications.' Propre vue de M. Yule's du sujet est bien See also:digne de l'attention. 'cf. ci-dessus, par. 115. 2 Prot. Roy.

Soc., vol. õ, p. 477, 'ci-dessous, par. 168. 154, Dans la détermination de la See also:

standard-déviation appropriée à la loi l'erreur (et d'autres constantes appropriées à d'autres lois de la fréquence) il se produit généralement de que sans compter que l'inexactitude, les sheppard qui a été estimée, dus au manque des données de corrections, il y a une inexactitude due à leur ter discret de charac-: la circonstance que la mesure, par exemple des tailles humaines, sont indiqué dans les unités comparativement grandes, par exemple pouces, alors que les vrais objets sont plus parfaitement gradués. M. Sheppard a prescrit un remède pour cette imperfection. Pour l'écart type laissez µ2 soit la valeur approximative obtenue sur la supposition que les observations sont amassées à des intervalles d'unité de longueur (pas diffusion dehors sans interruption, car les mesures idéales seraient); puis la valeur appropriée, l'intégrale moyenne de la déviation a ajusté, la parole (µ2) = 112 -1 ', h2, où h est la taille d'une unité, par exemple See also:pouce. Il ne doit pas être opposé à cette correction qu'il devient nugatory quand il est moins que l'erreur probable à laquelle la mesure est exposée à cause du manque des observations. Pour, pendant que la correction est toujours dans une direction, celle de la soustraction, il tend à la longue à être avantageux quoiqu'en particulier les exemples masqués par de plus grandes erreurs de fluctuation.' 155, Professeur Pearson a donné une belle application de la théorie de corrélation pour examiner l'évidence empirique qu'un groupe indiqué se See also:conforme à une formule proposée, par exemple la loi du Pearson normal de l'erreur.' Critère de supposer: les constantes de la fonction proposée à Bmpirkai soient knownin le cas de la loi normale le moyen metic d'arith- et le moduluswe pourrait déterminer la position de n'importe quel percentile, par exemple la médiane, la parole a. maintenant la probabilité qui si n'importe quelle numérotation n d'échantillon étaient prises au hasard du groupe complet, la médiane de l'échantillon, ', se trouverait à une telle distance d'qu'il devrait y avoir des observations de r entre le ~ a d'Ir~ et 'est 2%7rn exp-2r2/n, 6 si, alors, l'ensemble observé a un excès qui rend l'intégrale ci-dessus écrite très petite, l'ensemble n'a pas été probablement constituée par un choix aléatoire de le groupe complet donné supposé. Pour sortir cette méthode au cas de deux, ou généralement n, percentiles, formant (n + I) des compartiments, il doit observer que les excès indiquent e et e ', ne sont pas indépendant mais corrélé. Pour mesurer la probabilité d'obtenir une paire d'excès respectivement aussi grands qu'e et e ', nous avons maintenant (correspondant à l'extrémité de la probabilité-courbe dans le cas simple) la See also:teneur pleine d'une certaine probabilité-surface en dehors de la courbe de la probabilité égale qui traverse les points sur le xy d'avion assigné par e, e '(et les autres données). Ce double, ou en général multiple, intégral, indiquent P, est exprimé par professeur Pearson avec la grande élégance en termes de facteur quadratique, appelé par lui x2, qui forme l'exposant de l'expression pour le • de probabilité qui un système particulier des valeurs du e corrélé, e ', &c., devrait concourir 1 Fe _ X2dX +~Ze_lx de P=1/z/1r '[ X +. X3.

+. . . + (J x See also:

LI I.3 1,3 de 7r. (N2) quand n est See also:impair; avec une expression différente sous la forme, mais presque coïncidente dans le résultat, quand il est égal. La règle See also:pratique a dérivé de ce théorème général peut être énoncée ainsi. Trouvez des observations données les valeurs probables des coefficients concernant la formule qui est censée représenter les observations. Calculez à partir des coefficients un certain nombre, la parole n, des percentiles; divisant de ce fait l'ensemble donné en sections de n +I, dont n'importe lequel, selon le calcul, doit contenir la parole m des observations, alors qu'en fait il contient m '. See also:Mettez e pour le m'm; puis xi=Eel/m. Professeur Pearson a donné dans une table apposée les valeurs de P correspondant aux valeurs de n + I jusqu'à 20, et les évalue de x2 jusqu'à 70. Il ne See also:cache pas qu'il y a un certain laxity impliqué dans la circonstance que les coefficients utilisés ne sont pas connu exactement, seulement impliqué avec la probabilité '156. Voici un d'illustrations de professeur Pearson's. La table de la See also:page suivante donne la distribution des projectiles de MOO mis le feu à une ligne dans une See also:cible, les coups étant arrangés dans des ceintures dessinées sur la cible parallèle à la ligne.

"la distribution normale" est obtenue à partir d'une courbe normale, de laquelle les coefficients sont déterminés à partir des observations. De la valeur of x2, à savoir 45,8, et de (n+I), à savoir. II, nous déduisons, avec l'exactitude suffisante de la table de professeur Pearson's, ou plus exactement de la formule sur laquelle la table est basée, ce • P=.x00,001,5. "en d'autres termes, si des projectiles sont distribués sur une cible selon la loi normale, alors une distribution telle que cela citée pourrait seulement être prévue pour se produire sur une moyenne environ 15 ou 16 fois dans 10.000.000." 157, "une telle distribution" dans cet See also:

argument doit être interprétée comme distribution pour laquelle on le réclame que les les observations sont tout l'indépendantes de l'un l'autre. Supposez le critère qu'il y avait seulement 500 observations indépendantes, le reste critiqué étant simplement des reproductions de ces 50o. Alors dans les 4 ci-dessus justes comme le déplacement d'un impôt tend à être à la longue salutaire au consommateur, bien que l'See also:avantage à n'importe quelle occasion particulière puisse être masqué par des fluctuations de See also:prix dues à d'autres causes. 6 Phil. Magnétique. (See also:juillet, 1900). B comme montré ci-dessus, par. 103. 7 endroit CIT p.

166. ajournez les colonnes pour la distribution normale et pour l'anomalie e si chacun est divisé en deux; et en conséquence la colonne pour e2/m devrait être divisée en deux. Ainsi e2/m étant réduit à 22,9, P comme trouvé de la table de professeur entre Pearson's est 995 et 629. C'est-à-dire, une telle distribution pourrait être prévue pour se produire une fois sur une moyenne certains une fois ou deux fois en quelques See also:

cent fois. Si réel la duplication de cette sorte n'est pas See also:commune dans les statistiques; pourtant dans toutes telles applications de la See also:ceinture. E. normal observé z/fréquence. Distribution. un m. Je J'I O O 2 4 6 2 0. 667 3 à 27 -17 10,704 4 89 67 +22 7,224 5 190 162 +28 4'839 6 212 242 le -ó 3'719 7 204 240 -36 5,400 8 193 157 +36 8,255 9 79 70 + 9 1,157 E/S 16 26 à 3,846 II 2 2 O O courtisent le criterionand de 1000 45,811 Pearsonian dans d'autres calculs impliquant le nombre d'observations, en particulier les déterminations de l'erreur probable que une bonne marge doit pour être partie pour la possibilité que les observations de n ne sont pas parfaitement indépendantes: par exemple les accidents le See also:vent ou le See also:nerf qui a affecté un projectile ont pu avoir affecté d'autres projectiles juste avant ou ensuite. 158, (2) la loi généralisée d'Error.That que la loi normale de l'erreur ne devrait pas être exactement accomplie pas disconcerting à ceux qui a rectifié la loi sur la pluralité de causes indépendantes. Sur cette vue la loi normale serait seulement exacte quand les nombres d'éléments desquels elle est produite est très grand.

En général, quand ce nombre est grand, mais pas indéfiniment grand, 'on exige une correction dû à une ou autre des imperfections suivantes: que les éléments ne flottent pas selon la loi normale de la fréquence; que leurs fluctuations ne sont pas indépendantes de l'un l'autre; que la fonction par lequel elles soient agrégées n'est pas linéaire. La correction est constituée par une série de limites descendant dans l'See also:

ordre de grandeur. 159, La première See also:limite de cette série peut être écrite -2 (k/c')[x/c -2x'/3ca ]; pour pour pour là où c2/2 est à angle droit moyen de déviation le composé et également la somme des places moyennes des déviations pour les éléments composants, le kilolitre est le cube moyen de déviations le deuxième de ndhd d'cEd composé et la somme des cubes en moyen maïs-et des ponents de hirda- de T, et les éléments sont censés être tels et des effondrements. si nombreux que k, /c 'est de l'ordre n. cette deuxième approximation, d'abord donné par See also:Poisson, a été redécouvert par De Forest.' L'auteur l'a obtenue 'par une variété de méthodes. Par une autre prolongation de ces méthodes tiers et unes autre approximations peuvent être trouvés. La loi normale corrigée est alors de la forme 'z (expz2) [ 12k (X3ca) +k2 (3+io~ 3 C 4 9 8 x "Cb) (cz 3 c4) 20 2 a + - - +k2 -2 z+ '- 'd'd'où k =, de k/c ', k2 = k2/c4, k1 et c sont définis comme ci-dessus, k2 est la somme des différences respectives pour chaque élément entre sa quatrième puissance moyenne erreur et trois fois sa place moyenne erreur, 'et également la différence correspondante pour le composé. La formule peut être vérifiée par le cas du See also:binomial, considéré comme cas simple de la loi de grands nombres. Ici C2 = 2npq, k1 = npq (qp), k2 = np4 (1 6p4)? 1 il est fréquent dans les statistiques des See also:salaires. 'voyez à ce sujet, en plus du papier sur la "loi de l'erreur" déjà citée (Comb. Phil. Trans., 1905), un autre papier par l'auteur actuel, sur "la loi généralisée de l'erreur," dans le Journ. Lamelle. Soc.

(septembre, 1906). 'l'See also:

analyste (Iowa), vol. IX. 4 Phil. Magnétique (fév., 1896) et See also:peigne. Phil. Transport. (1905). 6 la partie de la troisième approximation affectée avec k2 peuvent être trouvés par la marche à suivre à une autre étape dans la méthode décrite (Phil. mag., 1896, p. 96). La partie restante de la troisième approximation est trouvée par la même méthode (ou la variante sur la page 97) de l'aquat différentiel partiel 4, où k2, est l'ence de différer sur le nouvel ence des See also:Di 24 de dx entre puissance de moyen réel la quatrième de la déviation et ce qu'il serait si la loi normale jugeait bon. D'autres approximations peuvent être obtenues selon le même principe.

Ã4 - 31222 dans la notation que professeur Pearson a faite à familier. 1 Cf. Pearson, Transport. Roy. Soc. (1895), A, clxxxvi. les valeurs 347.These étant remplacées les coefficients dans la formule générale, résulte là une expression qui peut être obtenue directement en continuant 'à augmenter l'expression pour une limite du binomial. Dans la vertu de la deuxième approximation un ensemble d'observations ne doit pas être exclu de l'affinité à la courbe normale parce que, comme la courbe des tailles barométriques, 9 il est légèrement asymétrique. Dans la vertu de la troisième approximation il n'est pas exclu parce que, comme le groupe de tirer-marques au-dessus d'examiné, il est, bien que presque parfaitement symétrique, à d'autres égards apparent quelque peu anormaux. 160, Si la troisième approximation n'est pas satisfaisante il reste-t-il disponible un See also:

quart, ou un degré plus élevé encore d'approximation.10 l'expression générale pour y que (multiplié par le See also:boeuf) le FF, elle représente la probabilité une erreur se produira aux lions d'un point d'Approximaparticular (dans un petit intervalle particulier) peut être écrite des 4 I t --2 I que d \ yo de I (boeuf) +k44 e k+1~...? (densité double x)... + (I) k1 t+2)!

(dxd) où le yo est (l'ex2/2k normal, k est à angle droit moyen de l'erreur-fonction) T 5w) de déviation; k1, k2..., &c., sont des coefficients formés des See also:

puissances moyennes de la déviation selon la règle que k1 est la différence entre la puissance moyenne de tth car il est réellement et ce qu'il serait si (l'approximation de t1)See also:th étaient parfaitement correcte. Ainsi k1 est la différence entre puissance de moyen réel la troisième et ce que le troisième powel serait si la première approximation, la loi normale, étaient parfaitement correcte, c.-à-d., la différence entre puissance de moyen réel la troisième, souvent écrite le µa, et zéro, qui est à mesure que de même le KX est la différence entre puissance de moyen réel la quatrième de la déviation, la parole A3, et ce que cette puissance moyenne serait si la deuxième approximation étaient parfaitement correcte, à savoir 3k '. Ainsi k2=µ23kz. Les séries k1, ka, k6, &c., k, k2, k4, &c., forment chaque une See also:succession des limites descendant dans l'ordre de grandeur, quand chaque k, par exemple k1 a été divisé par la puissance correspondante, c.-à-d. la puissance (t+2) le paramètre ou le module c (2k), que la division est fixé par le successif diffèrent des entiations de de d) \ du 'yo, auquel chaque k est associé, par exemple ko avec (dx d'ailleurs, la première limite de la série impaire de k une fois divisé par la puissance appropriée du paramètre, à savoir c 'est petit en comparaison du premier la limite la série égale, à savoir k, referreddivided correctement par c '(= 2k). 161, Celui que le degré d'approximation ait utilisé, il doit être rappelé que la loi en général soit seulement applicable à un certain caractère de l'approximation. 162, La loi généralisée ainsi peut être prolongée, avec les réservations semblables, à deux dimensions ou plus, par exemple, la deuxième approximation dans deux dimensions peut être écrite le zo 3! (dxdyz dxdy +o'ak d'ajustements dy) olor de MOR 1, 8.0 -- k + 32.1 k + 31.2 k où le zo est (l'erreur-fonction normale) plus de slons de Dimen- I (x'2rxy+y2). en de 2r(I I2) (I _ r2) x et y sont (en tant qu'avant) coordonne mesuré à partir du centre de la gravité du groupe comme origine, chacune s'est rapportée (divisé près) à son module approprié; r est le coefficient ordinaire de la régression; 3, correct est la valeur moyenne du x'de cubes, 2,1k est la valeur moyenne des produits x2y, et ainsi de suite; tous ces k étant quantités d'un ordre moins que l'unité. Cette forme se prête aisément à la détermination d'une deuxième approximation à la régression-courbe, qui est le lieu de ce y, qui est la valeur la plus probable de l'ordonnée correspondant à une valeur assignée de forme de x. le See also:logarithme de l'expression au-dessus-écrite (pour la fréquence-surface); et différenciez que le logarithme en ce qui concerne le x. le lieu exigé est donné en égalisant ceci en haut, Q 103, se rapportant à Todhunter, l'histoire, art. 993. Troisième (ou en second lieu additionnelle limite de) l'approximation pour le binomial, donnée explicitement par professeur Pearson, transport. Roy. Soc.

(1895), A, apostille de la page 347, s'avérera pour être conforme à la formule générale au-dessus de donné, quand on l'observe que la correction affectant la limite absolue, son yo, disparaît dans sa formule par division. ° Journ. Statut. Soc. (1899), p. 550, se rapportant à Pearson, transport. Roy. Soc. (1898), A. 10 pratiquement aucun doute la loi n'est pas disponible au delà de la troisième ou quatrième approximation, pour une raison donnée par Pearson, concernant sa probabilité-courbe généralisée, que l'incident probable d'erreur à la détermination des moments plus élevés devient très grand. u cette considération ne présente pas la détermination des moments vrais de l'ensemble complet d'observations si homogène, selon que le système des éléments remplit conditions plus ou moins parfaitement certaines. la gamme de la grandeur composée ici a représenté par l'abscisse x.11 la courbe de l'erreur, même lorsque généralisé comme ici proposé, coïncide seulement avec le See also:

corps central de portionthe, comme distingué des extrémités du lieu réel; un plus grand ou moins de proportion.

différentiel à zéro (le deuxième différentiel étant toujours négatif). L'équation résultante est du rxTaxe 2$xy de ya de forme -- yy2=e, où T, a, le Ti, y sont tout de petites, linéaires fonctions des k. Car y est presque égal à r X, il est légitime pour substituer r X à y, quand y est multiplié par un petit coefficient. La courbe de la régression réduit ainsi à une parabole avec l'équation de la forme yT=rxqx2; de là où q est un linéaire fonctionnent les troisième puissances moyennes et les moments du groupe indiqué. 163, La See also:

dissection de certain Groups.Under hétérogène la tête de la loi de l'erreur peut être placée le cas dans lequel des statistiques concernant deux (ou plus) différents types, chacun qui se conforme séparément à la loi normale, sont mélangés ensemble; par exemple, les mesures des tailles humaines dans un See also:pays comportant deux courses distinctes. Dans ce cas-ci le quaesita sont les constantes dans une courbe de la forme: y = cxp d'as de a (I/117c1) exp(xa)2/cie+0(1N) (x b)2/c22 où a et Floride sont les tailles proportionnées des deux groupes (a+13 = 1); a et b sont les centres de la gravité respectifs; et c, C2 les modules respectifs. Les données aux sont des mesures chacune dont se relie une ou autre de ces courbes composantes. Une solution splendide de ce problème difficile a été donnée par professeur Pearson. Les cinq quantités inconnues sont reliées par lui au centre de la gravité des observations indiquées, et les puissances moyennes deuxième, de tiers, quatrième et cinquième de leurs déviations de ce centre de la gravité, par certaines équations algébriques raisonnables, qui réduisent à une équation dans une variable de la neuvième dimension. Dans un exemple travaillé à côté de professeur Pearson cette équation fondamentale a eu trois racines possibles, dont deux ont donné les solutions très justes du problème, alors que le tiers suggérait qu'il pourrait y a une solution négative, important que le système donné serait obtenu par un de soustraction des groupes normaux de l'autre; mais les coefficients pour la solution négative se sont avérés imaginaires "dans le cas des fronts des crabes, donc, nous ne pouvons pas représenter la courbe de fréquence pour leur longueur de front comme différence de deux courbes normales." Dans un autre cas, qui a à première vue semblé normal, professeur Pearson a constaté que "chacune des neuf racines du nonic fondamental mène aux solutions imaginaires du problème. La meilleure et la plus précise représentation est la courbe normale." 164, Cette méthode laborieuse de séparation semble plus adaptée aux cas dans lesquels on le connaît à l'avance que les statistiques sont un mélange de deux groupes normaux, ou au moins ceci est fortement suggéré par le caractère two-headed du groupe donné. Autrement la loi généralisée moins ennuyeuse de l'erreur peut être préférable, car il est approprié tous les deux au mélange des groupes differentnormal de twonot très largement, et également les autres cas de composition. Même lorsqu'un groupe de statistiques peut être cassé vers le haut en deux ou trois courbes de fréquence de l'abnormaltype de normalor pas très, le groupe peut encore être en juste proportion représenté par une courbe simple du type "généralisé", à condition que l'hétérogénéité ne soit pas très grande, assez non grand pour empêcher les constantes k, k2, k3, &c., d'être petites. supposez ainsi le groupe donné se composer de deux courbes normales chacune qui a le même module c, et que la distance entre les centres est considérable, si considérable en tant que juste pour faire devenir la partie centrale du groupe total seller-soutenue.

Ce phénomène place dedans entre le moment où la distance le centre de la gravité du système et le centre de l'un ou l'autre composant = J 2c.1 même dans ce cas-ci k2 est onlyo•125; k4 est 0,25 (les k impairs sont zéro). Section II.Laws de la fréquence. 165, Professeur Pearson sous la la désignation "de la probabilité-courbe généralisée propose une formule beaucoup plus complète que la loi normale corrigée." "la See also:

terre et la portée Générales-de la nouvelle loi ne peuvent pas être meilleures/zed Praha-indiqué que dans les mots de l'auteur: "la pente du bltity la courbe normale est donnée par une relation la courbe de forme." Le dx c1 d'Idyx y la pente de la courbe corrélée avec le binomial oblique, comme courbe normale avec le binomial symétrique, est donné par une relation du dx dy c1+c2x de la forme x y en conclusion, la pente de la courbe corrélée à la série hypergeometrical (qui exprime une distribution de probabilité dans laquelle les causes contribuantes ne sont pas indépendantes, et pas également probable donnez les déviations égales supérieures et le défaut), comme courbes ci-dessus à leurs binomials respectifs, est donné par une relation cf. Journ de forme '. Statut. Soc. (1899), lxii. 131. Une substitution semblable de la loi généralisée de l'erreur peut être recommandée de préférence à la méthode de traduire une loi normale de l'erreur (mettant le x=f(x), où il obéit la loi normale de l'erreur) suggérée par l'auteur actuel (Journ. Stat. Soc., 1898), et indépendamment par professeur J. C.

Kapteyn (courbes de fréquence obliques, 1903). I _ cette dernière courbe du dx y x c1+c2x+csx2 dy 'comporte les deux autres en tant que cas spéciaux, et, autant que See also:

mes investigations sont encore allées, See also:couvre pratiquement toutes les statistiques homogènes que j'ai dû traiter. Quelque chose plus générale peut encore être imaginable, mais je n'ai trouvé aucune nécessité pour elle." 2 "série hypergeometrical," elle devrait être expliquée, était apparue comme représentant de la distribution des boules noires, 'boules de la prise n dans cas suivant les "dans un See also:sac, duquel n sont See also:noir et le qn sont See also:blanc, et a laissé des boules de r être tirées et le nombre de noir soit enregistré. Entre si r > PN, la gamme des boules noires se trouveront o et PN; le fréquence-See also:polygone résultant est donné par une série hypergeometrical." D'autres raisons en faveur de sa construction sont données par professeur Pearson dans un paper.4 postérieur "l'immense majorité, si pas la totalité, de distributions de fréquence dans l'See also:exposition matérielle homogène, quand la fréquence est indéfiniment augmentée, une tendance de donner une courbe See also:lisse caractérisait par les propriétés suivantes. (I.) La fréquence commence à partir de zéro, grimpe lentement ou rapidement jusqu'à un maximum et See also:tombe alors encore à zeroprobably à l'des rateas tout à fait différents le caractère lequel la fréquence est mesurée est solidement augmentée. C'est la distribution unimodal presque universelle de la fréquence de la série homogène. . (ii.) dans le prochain endroit il y a généralement See also:contact de la fréquence-courbe aux extrémités de la gamme. Ces caractéristiques suggèrent immédiatement le suivant de la courbe de fréquence, si mesure de yax la fréquence tombant entre x andx+Sx: le dx dy F(x) du __ y _ (x+a)"'nous a maintenant laissés supposer que F (x) peut être augmenté par le théorème de See also:Maclaurin's. Alors notre équation à la fréquence sera 1 dx dy See also:bo+blx+bzx2+. de x+a y.. L'expérience prouve que la forme (x) [ "gardant bo, b1, b2, seulement" ] suffit pour certainement la grande majeure partie de distributions de fréquence." 166, Les présents "ont généralisé probabilité-courbe" deux formes See also:principales 6. y = yo(I +x/a1)See also:rat) I x/See also:a2)va2, 1 e tari-lx/a. et y=yo(1+x2/a2)me quand a1, a2, v sont tout finis et positifs, la première forme représente, en général, une courbe oblique, avec la gamme limitée dans les deux directions; dans le cas particulier, quand a1=a2, une courbe symétrique, avec la gamme limitée dans les deux directions. Si a2 = Co, la courbe réduit représenter l'â de y = de yo asymmetr(ìca+lx/a1binarIomial x) avec v=2µ2fµ3, et 21 = 2/222/µáµ3/µ2, à 142 et à ao, étant puissance moyenne respectivement deuxième et de moyen la troisième de la déviation mesurée à partir du centre de la gravité. Dans le cas particulier, quand de même que petit, cette forme réduit à ce qui s'appelle ci-dessus la courbe "quasi-normale"; et quand µ3 est zéro, a1 devenant See also:infini, à la courbe normale simple. La forme générale See also:enceinte rapporte deux formes moins familières susceptibles de représenter des courbes du caractère montré dans les figues.

14 de et 15the un se produisant dans un bon nombre exemples, tels que les décès infantiles, les valeurs des maisons, le nombre de pétales en certaines See also:

fleurs; l'autre par moins familiarily illustré Consumptivity et opacité? La deuxième solution représente une courbe oblique avec la gamme illimitée dans les deux directions.' Professeur Pearson s'est avec succès appliqué ces formules à un certain nombre de See also:beaux spécimens cueillis dans les domaines les plus See also:divers des statistiques. La flexibilité avec laquelle la probabilité-courbe généralisée s'adapte à chaque variété de groupes existants aucun doute lui donne un grand avantage par rapport à la courbe normale, même. sous sa forme prolongée. Elle est seulement en ce qui concerne l'évidence a priori qui les derniers precedences 167 de réclamation de bidon. Correlation.Professor oblique Pearson a prolongé le transport de BRI 2. Roy. Soc. (1895), A, p. 381, 'Ibid. P. 3õ. 4 "contributions mathématiques à la théorie évolution biométrique" (mémoires de recherches de Company de Drapers', de série II.), xiv 4. endroit CIT 'Ibid de P. 7.

p. 367, 7 Pearson, endroit CIT, p. 364, et Proc. Roy. Soc. 8 une exposition lucide de diverses méthodes de professeur Pearson's dans est donnés par W. Palin Elderton les Fréquence-courbes et le Correlation (1906). 9 Journ. Statut. Soc. (1895), p. 506.

méthode aux fréquence-lieux de deux dimensions;1 construisant pour la courbe de la régression (comme produit de remplacement pour la bonne ligne normale), dans le cas "de la corrélation oblique," une parabole, 'avec des constantes basées sur les moments plus élevés du groupe donné. 168, À cet égard la référence peut encore être faite à la méthode de M. Yule's de traiter les surfaces obliques comme si elles étaient normales. Il est certainement remarquable que la corrélation devrait être tellement bien représentée par une propriété de linethe des cas d'un surfacein de normale desquels la normalité ne peut pas être affirmée: par exemple, les statistiques of de du nombre maris (ou épouses) vivant à chaque âge qui ont des épouses (ou des maris) vivre à différents âges.' Il a peut-être suggéré que bien que dans ce cas-ci il y ait une cause dominante, la diminution continuelle de la population, contradictoire avec la pluralité de causes postulées pour la loi de l'erreur, pourtant il y ait un degré suffisant de variation accidentelle pour réaliser une propriété au moins du lieu normal. 169, Il y a probablement une classe d'étendue les phénomènes desquels la fréquence dépend en grande partie des causes fortuites, pourtant pas les relations tellement complètement quant au présent la loi véritable de l'erreur.' entre cette classe mélangée des phénomènes pourrait être la fréquence favorable à un genre de loi de la fréquence de la laquelle soyez différent et Proba-, pourtant a une certaine affinité à, la loi de l'See also:

enfouissement d'erreur. Le double caractère peut être pris comme définition des lois appropriées à la section actuelle. La définition de la classe est plus distincte que son ampleur. Considérez par exemple les statistiques qui représentent les nombres hors de million né qui meurent dedans tous les ans de l'âge après trente de la dernière pièce de fortythe de la colonne à une vie-table. Ceux-ci sont bien représentés par une espèce de probabilité-courbe généralisée de professeur Pearson's ", "son type iii. du 1X de la forme x1a)7'e _ que les statistiques se prêtent également à la formule de Gompertz-Makeham pour le nombre vivant à l'âge est = l'ancienne loi, l'espèce la plus simple" de la probabilité-courbe généralisée, "peuvent jaillir soient attribués en partie à l'opération d'un plexus des causes de ce type qui est susceptible de produire de la loi de l'erreur. En fait, une Haute Autorité, professeur Lexis, a vu dans les ces le statisticsor les statistiques que continentales épluchent dedans l'accomplissement de materiaa de la loi normale des erreurs elles accomplis au moins tolérablement la loi généralisée de l'erreur au-dessus de décrit. Mais la formule de Gompertz-Makeham ne doit pas ainsi être expliquée; au moins ce n'est pas ainsi qu'il a été considéré par ses découvreurs. Gompertz justifie sa loi 'par "une déduction hypothétique conforme avec beaucoup d'effets normaux," comme l'épuisement d'See also:air par une See also:pompe; et Makeham a suivi dans la même voie de l'explication par des lois normales. Naturellement on ne lui nie pas que la mortalité est sujette à l'accident.

Mais la loi de Gompertz-Makeham prétend être accomplie malgré, pas en raison de, les agences fortuites. La formule est expliquée pas près l'interaction des causes passagères qui est caractéristique de la probabilité, mais par des causes de cela la sorte ordinaire dont la See also:

recherche constitue la plupart de la science normale. Les lois de la fréquence conçues ainsi n'appartiennent pas à la théorie de probabilités. '"contributions," non xiv (au-dessus de cité). s pas la même parabole que cela proposé à par. 162. See also:recensement 3 de rapport général de l'Angleterre et du Pays de See also:Gales (See also:morue 2174), p. 226. Cf. p. 70, quant au raisonnement du phénomène. Un bon exemple entre dans du mélange suggéré la loi et la chance est présenté par une hypothèse que Benine (un passage visé ci-dessus, par. 97) a vroposed pour expliquer la See also:revenu-courbe de Pareto. "contributions, 'numéro ii., Phil. Transport.

(1895), vol. 186, A. 8 Lexis, Massenerscheinungen, § 46. Cf. Venn, cité ci-dessus, par. 124. 'Phil. Transport. (1-25). See also:

magasin de 8 assurances (1866), XI 315. 403 "Produisant Des Fonctions." Non toutes les parties comme de See also:livre sont en tant que récompense introduction (éditée séparément en tant que probabilites de DES de philosophique d'Essai) et quatrièmes et suivants chapitres du deuxième livre. Parmi nombreux Wahrscheinlichkeitstheorie général de E.

Czuber's (1899) de traités peut être noté comme laconique, lucide et abondante en références. D'autres autorités peuvent être mentionnées par rapport aux différentes parties du sujet comme au-dessus de divisé. Les premiers principes sont discutés avec la perspicacité remarquable par J. Venn dans la logique de la chance (1er ED, 1876, 3èmes ED, 1888) et par J. v. Kries dans le der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1886) de Principien. En tant qu'un répertoire des problèmes ordonnés impliquer le calcul de Choice de W. A. Whitworth's et de chance (dans 5ème ED, 1901) de probabilité et d'espérance, et DCC. Exercises... le choix et la chance (1897) méritent la mention. Mais cet avantage est donné dedans presque en tant que grande See also:

perfection par des travaux plus complets. Les probabilites de DES de Calcul de See also:Bertrand (1889) abonde en exemples bien choisis, alors qu'il excelle dans presque chaque autre See also:branche du sujet. La mention spéciale est également méritée par des probabilites de DES de Calcul de H. See also:Poincare's (les icônes professe, 1893-1894).

Sur professeur local ou géométrique See also:

Morgan Crofton de probabilité est un des plus Hautes Autorités. Son papier sur "la probabilité locale" dans Phil. Transport. (1868), et sur "des théorèmes géométriques," Proc. Prêtez. Maths. Soc. (1887), viii., devrait être lu en liaison avec la section sur "la probabilité locale" en son See also:article sur la "probabilité" dans la 9ème édition de l'Ency. Brit., lequel de la section plusieurs paragraphes ont été See also:bloc transféré d'en à la section sur des applications géométriques dans l'article actuel. La matière est traitée exhaustivement par Czuber dans Geometrische Wahrscheinlichkeiten et Mittelworten (1884). Czuber doit également être mentionné en tant qu'auteur de der Beobachtungsfehler de Theorie, dans lequel il s'est reproduit, souvent avec l'amélioration, ou visé, presque tout d'importance dans le travail de ses prédécesseurs. Elements de A. L.

Bowley's des statistiques, pinte 2 (2èmes ED, 1902), formes une introduction à la loi de l'erreur qui mène le débutant facilement, pourtant loin. Des références à d'autres auteurs sont données dans la section I. de la partie II. ci-dessus. Une See also:

liste d'écritures sur la matière apparentée, la méthode de des moindres carrés, a été donnée par See also:Merriman (le Connecticut trans. vol. iv.). Sur des lois de la fréquence, comme au-dessus de défini, professeur Karl Pearson est la plus Haute Autorité. Ses "contributions à la théorie mathématique d'évolution," de ce qui sont apparus douze dans le transport. Roy. Soc. (1894-1903) et d'autres sont édités par Company de Drapers', coulent avec de See also:nouvelles théories dans les probabilités. (F. Y.

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