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FALL I

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V17, Seite 1003 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

FALL I . If n ein Divisor von N ist, a=N; b=N/n; See also:c -- EL. (20) FALL 2. Wenn See also:der größte allgemeine Divisor von N und von n See also:d ist, eine Zahl kleiner als n, damit n=md, N = Md; dann a=mN=Mn=Mmd; b=See also:M; c=m., (21) FALL 3. Wenn N und n miteinander See also:Haupt See also:sind, a=nN; b=N; c=n., (22) gilt es als wünschenswert durch millwrights, angesichts der Bewahrung der Gleichförmigkeit der See also:Form von den Zähnen eines Paares Räder, daß jeder gegebene See also:Zahn in einem See also:Rad mit so vielen unterschiedlichen Zähnen im anderen Rad möglich See also:arbeiten sollte. Sie studieren folglich, daß die See also:Zahlen Zähnen in jedem Paar Rädern, die zusammen arbeiten, entweder miteinander Haupt sind, oder werden ihren größten allgemeinen Divisor haben, der so See also:klein ist, wie mit einem Geschwindigkeitsverhältnis gleichbleibend ist, das zu den Zwecken der See also:Maschine entsprochen wird. § 45. Schleifkontakt: Formen der Zähne der See also:Sporn-Räder und der Zahnstangen -- eine See also:Linie See also:des Anschlußes von zwei Stücken in Schleifkontakt ist ein Liniensenkrechtes zu ihren Oberflächen an einem See also:Punkt whet * sie berühren sich. Dieses im Verstand, in der Grundregel der vergleichbaren See also:Bewegung eines Paares Zähne tragend, die einem Paar Sporn-Rädern oder einem Sporn-Rad und einer See also:Zahnstange gehören, wird gefunden, indem man die Grundregeln anwendet, die im Allgemeinen in §§ 6 und 37 zum See also:Kasten der parallelen Äxte für ein Paar Sporn-Räder und zum Fall von einem Mittelliniensenkrechten an der Richtung der Verschiebung für ein Rad und eine Zahnstange angegeben werden. In fig. 101, See also:lassen Sie Ci, C2 ist die See also:Mitten eines Paares Sporn-Räder; Teile B1IB1 ', BÌB2 ' ihrer Werfenkreise, berührend an I, der Werfenpunkt. Lassen Sie das Rad I der See also:Treiber sein und das Rad 2 der Nachfolger.

Flo. 100 (al+See also:

a2), es; (26) damit es grösser ist, das See also:weiter, der Punkt des Kontaktes ist von der Linie der Mitten; und See also:am Moment, wenn dieser Punkt die Linie der Mitten führt und stimmt mit dem Werfenpunkt überein, ist die See also:Geschwindigkeit des Schiebens ungültig, und die Tätigkeit der Zähne ist, für das Moment, die des Rollenkontaktes. IV. Der Weg des Kontaktes ist die Linie, welche die verschiedenen Positionen des Punktes T. überquert, If die Linie des Anschlußes immer die gleiche Position konserviert, der Weg des Kontaktes mit ihm übereinstimmt, und gerade ist; in anderen Fällen wird der Weg des Kontaktes gekurvt. Er wird durch den Werfenpunkt I in den See also:Bogen mit zwei partsthe oder in Linie der Annäherung beschrieben von T geteilt, wenn man der Linie der Mitten sich nähert, und den, Bogen oder die Linie der See also:Aussparung beschrieben von T die Linie der Mitten nachher führend. Während der Annäherung fährt die Flanke D1BI des treibenden Zahnes das See also:Gesicht D2B2 des folgenden Zahnes, und die Zähne schieben in Richtung zu einander. Während der Aussparung (in, welchem die Position der Zähne in der See also:Abbildung durch die Kurven illustriert wird, die mit betonten Buchstaben gekennzeichnet werden), fährt das Gesicht B1'See also:A1 ' des treibenden Zahnes die Flanke B2'A2 ' des folgenden Zahnes; und die Zähne schieben von einander. Der Weg des Kontaktes wird gesprungen, wo die Annäherung durch den See also:Anhang-Kreis des Nachfolgers beginnt und wo die Aussparung durch den Anhang-Kreis des Treibers beendet. Die Länge des Weges des Kontaktes sollte so sein, daß es immer mindestens ein Paar Zähne im Kontakt gibt; und es ist die bessere Stille zum Bilden sie so See also:lang, daß es immer mindestens zwei Paare Zähne im Kontakt gibt. See also:V. Der Obliquity der Tätigkeit der Zähne ist der See also:Winkel EIT = See also:ICI PU = Ç2P2.

In der Praxis wird es wünschenswert, daß der Mittelwert des Obliquity der Tätigkeit während des Kontaktes der Zähne nicht 15° übersteigen sollte, noch dem Maximalwert 30° gefunden. Es ist nicht notwendig, unterschiedliche Abbildungen und Demonstrationen für inneres Getriebe zu geben. Die einzige Änderung, die in den Formeln angefordert wird, ist, das in Gleichung (26), das der Unterschied der Winkelgeschwindigkeiten für ihre Summe ersetzt werden sollte. § 46. Verwickelte einfachste Form Teeth.The des Zahnes, der die Zustände von § 45 erfüllt, wird in der folgenden Weise erhalten (sehen Sie fig. 102). Lassen Sie Cl, C1 ist die Mitten von zwei Rädern, BIIB1 ', BÌB2 ' ihre Werfenkreise, I der Werfenpunkt; lassen Sie den Obliquity der Tätigkeit von theteeth konstant sein, damit die gleiche gerade Gerade PjIPz sofort die See also:

konstante Linie des Anschlußes der Zähne und des Weges von Kontakt darstellt. Zeichnen Sie CIP1, Senkrechtes C2P2 zu PIIP2 und mit jenen Linien, wie Radien über die Mitten der Räder die Kreise DIDI ' beschreiben, D2D2 ', genannt See also:Unterseite-Kreise. Es ist offensichtlich, daß die Radien der Unterseite-Kreise miteinander die See also:gleichen Anteile wie die Radien der Werfenkreise tragen, und auch daß C1P1 = ICI. Obliquity des Lattichobliquity C2P2=IC2. See also:Lattich (der Obliquity, der gefunden wird, um gut zu beantworten, ist in der Praxis über 142°; sein Kosinus ist ungefähr und sein Sinus über.3. diese See also:Werte zwar nicht See also:absolut genau, sind nahe genug See also:zur Wahrheit zu den praktischen Zwecken.), Nehmen Sie die Unterseite-Kreise an, um ein Paar kreisförmige Riemenscheiben zu sein, die mittels eines Netzkabels angeschlossen werden dessen Kurs von See also:Riemenscheibe zu Riemenscheibe P1IP2 ist. Da die Linie des Anschlußes jener Riemenscheiben dieselbe wie die der vorgeschlagenen Zähne ist, See also:drehen sich sie mit dem angeforderten Geschwindigkeitsverhältnis.

Jetzt nehmen Sie einen verfolgenpunkt T an, zum See also:

Netzkabel geregelt zu werden, damit entlang dem Weg des Kontaktes PIIP2, den Punkt auf einer Fläche, die verfolgt zusammen mit dem See also:Teil des Rades I vom verwickelten des Unterseite-Kreises D1DI ' sich dreht, und auf einer Fläche See also:getragen zu werden, die zusammen mit dem Rad 2 Teil vom verwickelten des Unterseite-Kreises D2D2 ' dreht; und die zwei Kurven also verfolgt berühren immer each anderes im angeforderten Punkt von Kontakt T und erfüllen folglich die See also:Bedingung, die durch Grundregel I. von § 45 angefordert wird. Infolgedessen ist eine der Formen, die für die Zähne der Räder verwendbar sind, eines Kreises das verwickelte; und der Obliquity der Tätigkeit solcher Zähne ist der Winkel dessen Kosinus das Verhältnis des See also:Radius ihres Unterseite-Kreises zu dem des Werfenkreises des Rades ist. Alle verwickelten Zähne des gleichen Taktabstandes arbeiten glatt zusammen. Die Länge des Weges des Kontaktes vom Werfenpunkt I auf beiden Seiten See also:finden, soll es beobachtet werden, daß der See also:Abstand zwischen den Frontseiten von zwei aufeinanderfolgenden Zähnen, wie entlang P1IP2 gemessen worden, kleiner als der See also:Taktabstand im Verhältnis von Lattichobliquity ist: 1; und infolgedessen ist das, wenn die Abstände, die zum Taktabstand gleich sind, von jeder Weise von I in Richtung in Richtung PU und zu P2 beziehungsweise, als die Extremitäten des Weges des Kontaktes abgehakent werden und wenn, entsprechend Grundregel IV. von § 45, die Anhang-Kreise beschrieben werden, durch die See also:Punkte also gefunden, dort immer mindestens zwei Paare Zähne in der Tätigkeit sofort. In der Praxis ist es üblich, den Weg vom Kontakt, nämlich von ungefähr 2,4mal ein wenig länger zu bilden der Taktabstand; und mit dieser Länge des Weges und dem Obliquity, der bereits von 142° erwähnt wird, ist der Anhang über 3•I des Taktabstandes. Die Zähne einer Zahnstange, richtig zu arbeiten mit den Rädern, die verwickelte Zähne haben, sollten die flachen Oberflächen haben, die zur Linie des Anschlußes und mit der Richtung der Bewegung der Zahnstangenwinkel infolgedessen bilden senkrecht sind, die der Ergänzung des Obliquity der Tätigkeit gleich sind. § 47. Zähne für einen gegebenen Weg des Kontaktes: Sang Method.In den vorhergehenden See also:Abschnitt, den die Form der Zähne gefunden wird, indem man eine Abbildung für den Weg des Kontaktes annimmt, nämlich die gerade Geraden. Irgendeine andere bequeme Abbildung kann für den Weg des Kontaktes und die entsprechenden Formen der Zähne angenommen werden, die indem man gefunden werden, was Kurven ein Punkt T, das Bewegen entlang den angenommenen Weg des Kontaktes, auf zwei Scheiben verfolgt, die ringsum die Mitten der Räder mit den Winkelgeschwindigkeiten sich drehen, die diese Relation zur Teilgeschwindigkeit von T entlang TI tragen, das von Principle II. von § 45 gegeben wird, and'by Gleichung (25) feststellt. Diese Methode des Findens der Formen der Zähne von Rädern bildet das Thema der durchdachten und meisten interessanten See also:Abhandlung durch See also:Edward Sang. Alle Räder, die Zähne vomselben haben, werfen, verfolgt vom gleichen Weg des Kontaktes, arbeiten richtig zusammen und werden, dem gleichen See also:Satz zu gehören gesagt. § 48.

Zähne verfolgten durch Rolling Curves.If jede mögliche Kurve See also:

R (fig. 103) auf dem Innere des Werfenkreises BB eines Rades gerollt Sie seien, es scheint, von § 30, daß die taneous See also:Mittellinie des instan- der Rollenkurve irgendwie am Augenblick am Punkt I, wo sie den Werfenkreis während des Momentes berührt und daß infolgedessen die Linie AN, verfolgt durch einen Verfolgenpunkt T ist, befestigt an der Rollenkurve nach der Fläche des Rades, ist überall Senkrechtes zum TI der geraden Geraden; damit die verfolgte Kurve am See also:Willen für die Flanke eines Zahnes verwendbar ist, in dem T der Punkt des Kontaktes entsprechend der Position I des Werfenpunktes ist. Wenn DITBIA1, D2TBÀ2 ist die Positionen, an einem gegebenen Augenblick, der verantwortlichen Oberflächen eines Paares Zähne im Treiber und im Nachfolger beziehungsweise lassen Sie und an T sich berühren; die Linie des Anschlußes von, jene Zähne ist PIPi, das zu ihren Oberflächen bei T. Let C1 P1 senkrecht ist, C2P2 ist Senkrechte ließ Fall von den Mitten der Räder auf der Linie des Kontaktes. Dann durch § 6, ist das eckige Geschwindigkeit-Verhältnis a2/ai=CIP1/C2P2. (23) regulieren die folgenden Grundregeln die Formen der Zähne und ihrer Verwandtbewegungen: I. Das Winkelgeschwindigkeitverhältnis wegen des Schleifkontakts der Zähne ist dasselbe mit dem wegen des Rollenkontaktes der Werfenkreise, wenn die Linie des Anschlußes der Zähne die Linie der Mitten am Werfenpunkt schneidet. Für, lassen Sie P1P2 die Linie der Mitten an I schneiden; dann durch ähnliches a1: a2: C2P2: Cipi: IC2: ICI; (24), der auch das Winkelgeschwindigkeitverhältnis wegen des Rollenkontaktes der Kreise BIIB1 ' ist, BÌB2 '. Diese Grundregel stellt die Formen aller Zähne der Sporn-Räder fest. Sie stellt auch die Formen der Zähne der geraden Zahnstangen fest, wenn eine der Mitten entfernt wird und eine gerade Gerade EIE ', Ähnlichkeit zur Richtung der Bewegung der Zahnstange und Senkrechtes zu C1IC2, für einen Werfenkreis ersetzt wird. II. Der Bestandteil der Geschwindigkeit des Punktes von Kontakt der Zähne T das nach Anschluß ist KI.

CjPI = a2 Dreiecke des • C2Pz. (25), (27) die gleiche Rollenkurve R, mit dem gleichen Verfolgenpunkt T, werden auf der Außenseite jedes möglichen anderen Werfenkreises, es haben das Gesicht eines Zahnes gerollt, der verwendbar ist, mit der Flanke AN zu arbeiten. Auf ähnliche See also:

Art und Weise wenn entweder denselben oder irgendeiner anderen Rollenkurve R ' die gegenüberliegende Weise, auf der Außenseite des Werfenkreises BB gerollt werden, damit der verfolgenpunkt T, ' von A abfährt, verfolgt, das sie das Gesicht AN ' eines Zahnes, der verwendbar ist, mit einer Flanke zu arbeiten, die indem sie die gleiche Kurve R ' mit dem gleichen Innere des Verfolgenpunktes T ' jeder möglicher andere Werfenkreis verfolgt wird, See also:rollen. Die Abbildung des Weges des Kontaktes ist die, die auf einer örtlich festgelegten Fläche durch den Verfolgenpunkt verfolgt wird, wenn die Rollenkurve in eine solche Weise wie immer gedreht wird, um eine örtlich festgelegte gerade Geraden EIE (oder See also:E'I'E ', da der Fall sein kann), an einem Fixpunkt I (oder I') zu berühren. Wenn die gleiche Rollenkurve und -punkt benutzt werden, um die Gesichter und die Flanken der Zähne einer Anzahl von Rädern der unterschiedlichen Größen aber des gleichen Taktabstandes zu verfolgen, arbeiten alle jene Räder richtig zusammen und bilden einen Satz. Die Zähne einer Zahnstange, des gleichen Satzes, werden verfolgt, indem man die Rollenkurve auf beiden Seiten einer geraden Geraden rollt. Die Zähne der Räder irgendeiner Abbildung, sowie der kreisförmigen Räder, indem das Rollen der Kurven auf ihren Werfenoberflächen verfolgt werden kann; und alle Zähne vomselben werfen, verfolgt durch die gleiche Rollenkurve mit dem gleichen Verfolgenpunkt, arbeiten zusammen richtig, wenn ihre Werfenoberflächen im Rollenkontakt sind. § 49. Epicycloidal ist die meiste bequeme Rollenkurve Teeth.The der Kreis. Der Weg des Kontaktes, den sie verfolgt, ist mit sich identisch; und die Flanken der Zähne sind interne und ihre der Gesichter externe epicycloids für Räder, und sind Flanken und Gesichter Zykloiden für eine Zahnstange. Für einen Werfenkreis zweimal des Radius des Rollens oder des Beschreibenkreises (da es benannt wird), ist das interne See also:epicycloid eine gerade Gerade und ist tatsächlich ein See also:Durchmesser des Werfenkreises, damit die Flanken der Zähne für solch einen Werfenkreis die Flächen sind, die von der Mittellinie ausstrahlen. Für einen kleineren Werfenkreis würden die Flanken See also:konvex und in-curved oder unterschnitten sein, die ungünstig sein würden; folglich sollte das kleinste Rad eines Satzes seinen Werfenkreis des Radius des beschreibenden Kreises zweimal haben, damit die Flanken entweder gerade oder See also:konkav sein können. In fig.

104 lassen Sie BB ' ein Teil des Werfenkreises eines Rades mit den epicycloidal Zähnen sein; Cic ' die Linie der Mitten; I der Werfenpunkt; EIE '. eine gerade Tangente zum Werfenkreis an diesem Punkt; R das interne und R ' die gleichen externen beschreibenden Kreise, hinsichtlich der See also:

Note den Werfenkreis und so gesetzt bei I. Let DID ' sind der Weg des Kontaktes und bestehen aus dem Bogen von AnnäherungscDi und dem Bogen der Aussparung Identifikation '. So See also:dass es mindestens zwei Paare Zähne in der Tätigkeit immer geben kann, sollte jeder jener Bogen dem Taktabstand gleich sein. Der Obliquity der Tätigkeit, wenn es die Linie der Mitten führt, ist nichts; der maximale Obliquity ist der Winkel See also:EID=E'ID; und der Mittelobliquity ist Hälfte dieses Winkels. Es scheint von der Erfahrung, daß der Mittelobliquity nicht 15° übersteigen sollte; folglich sollte der maximale Obliquity über 30° sein; folglich die GleichgestelltbogencDi und die Identifikation ', wenn jedes one-sixth eines Umkreises ist; folglich sollte der Umkreis des beschreibenden Kreises sechsmal sein der Taktabstand. Er folgt, daß der kleinste Zahntrieb eines Satzes in welchem Zahntrieb die Flanken gerade sind, zwölf Zähne haben sollte. §ö. Fast Epicycloidal Zähne: Method.To Williss erleichtern die See also:Zeichnung der epicycloidal Zähne in der Praxis, des See also:Willis, das wie man zu ihrer Abbildung mittels des arcsone mit zwei Rundschreiben gezeigt wird, das, für die Flanke und den anderen konvexen Körper, für das faceand jedes konkav ist, das, für seinen Radius den Mittelradius von Biegung des epicycloidal Bogens hat approximiert. Formeln Williss werden auf den folgenden Eigenschaften von epicycloids gegründet: Lassen Sie R der Radius des Werfenkreises sein; r das vom beschreibenden Kreis; B der Winkel, der durch das normale TI zum epicycloid an einem gegebenen Punkt T, mit a Tangente- zum Kreis bei Ithat gebildet wird, ist, der Obliquity der Tätigkeit an T. Dann ist der Radius der Biegung des epicycloid an T für ein internes epicycloid, p = See also:Sin 4r, ODER _ ~ (28) für ein externes epicycloid, p'=4rsinoR+2r auch, die Position der Mitten der Biegung zum Werfenkreis verhältnismäßig zu finden, haben wir und bezeichnen die Spannweite des beschreibenden KreiscTi durch c, c=2r-Sin 0; und folglich für die Flanke, genehmigte Sin R p c=2r See also:O R2r R (29) für das Gesicht, R+ 2r des p'c=2r-Sin O für die Anteile durch Willis, Sin 0=i fast; r = p (der Taktabstand) fast; c=Jp fast; und, wenn N die Zahl Zähnen im Rad ist, r/R = 6/N fast; folglich ungefähr c=a ' N-12 p c=2 ' N+i2 p P folglich der folgende See also:Aufbau (fig. 105). Lassen Sie BB ein Teil des Werfenkreises sein, und der Punkt, wo ein Zahn ihn kreuzen soll.

Stellen Sie weg vom ab=ac=ip ein. Zeichnen Sie Radiusbd, See also:

Cer; zeichnen Sie FB, CG und Winkel von 75 bilden; ° mit jenen Radien. Bilden Sie bf=p'c, cg=p c. von See also:f, mit dem Radiusfa, abgehobener Betrag der kreisförmige Bogen ah; von See also:g mit dem Radiusga, zeichnen Sie das kreisförmige Bogenak. Dann ah ist das Gesicht und ak, welches die Flanke des Zahnes erforderte. um die Anwendung dieser See also:Richtlinie zu erleichtern, veröffentlichte Willis Tabellen von p c und von p ' c und erfand ein See also:Instrument, das genannt wurde the"odontograph.", § 51. Trundles und Pin-Wheels.If ein Rad oder ein Trundle haben zylinderförmige Stifte, oder Dauben für Zähne, die Gesichter der Zähne eines Rades, das für das See also:Fahren es verwendbar ist, werden durch externe epicycloids der ersten See also:Verfolgung, indem man den Werfenkreis des See also:Stift-Rades oder des Trundle auf dem Werfenkreis des Fahrenrades, mit der Mitte einer Daube für einen Verfolgenpunkt und die dann zeichnenden rollt, Kurven, die und innerhalb zu den epicycloids parallel sind, in einem Abstand von ihnen gleich dem Radius einer Daube beschrieben. Die Trundles, die nur sechs Dauben haben, arbeiten mit großen Rädern. § 52. Rückseiten der Zahn- und Spaces.Toothed-Räder, die im das allgemeinen soll jede Weise drehen, die Rückseiten der Zähne sind, werden ähnlich den Frontseiten gebildet. Der See also:Raum zwischen zwei Zähnen, gemessen auf dem Werfenkreis, wird über das Teil Ith gebildet, das des Zahnes auf dem Werfenkreis -- das heißt, Stärke des Zahntaktabstandes breiter als die Stärke ist; See also:Breite des Raumes = 1 Taktabstand. Der Unterschied von Itr des Taktabstandes wird das Zahnflankenspiel genannt. Der Abstand, der zwischen den Punkten der Zähne und der Unterseiten der Räume zwischen den Zähnen des anderen Rades erlaubt wird, ist ungefähr Zehntel des Taktabstandes.

§ 53. Getretenes und schraubenartiges Teeth.R. See also:

J. See also:Hooke erfand das Bilden der Frontseiten der Zähne in einer See also:Reihe von Schritten angesichts der See also:Zunahme die Glattheit der Tätigkeit. Ein folglich gebildetes Rad ähnelt in der Form ein Reihe gleiche und ähnliche gezahnte Scheiben gesetzte See also:Seite durch See also:s-De, mit den Zähnen von jedem wenig See also:hinter denen des vorhergehenden c-isk. Er erfand auch, mit dem gleichen See also:Gegenstand, Zähne deren Frontseiten, anstatt, zur Linie des Kontaktes der Werfenkreise parallel zu sein, sie schief kreuzen, damit zu sein von a See also:Schraube-wie oder von schraubenartiger Form. In Rad-arbeiten Sie von dieser Art, die der Kontakt jedes Paares Zähne am vordersten See also:Ende der schraubenartigen Frontseite beginnt und endet am aftermost Ende; und die See also:Schnecke ist von solch einem Taktabstand, den der Kontakt von einem Paar Zähnen nicht beendet, bis der des folgenden Paares begonnen hat. Getretene und schraubenartige Zähne haben den gewünschten Effekt der Erhöhung der Glattheit der Bewegung, aber sie erfordern schwierigere und kostspieligere Kunstfertigkeit als allgemeine Zähne; und schraubenartige Zähne sind außerdem geöffnet zum Einwand, daß sie einen seitlich schiefen See also:Druck anwenden, der neigt, Widerstand zu erhöhen, und belasten übermäßig die Maschinerie. § 54. Zähne der verantwortlichen Oberflächen Bevel-Wheels.The der Zähne von Schrägfläche-Rädern sind von der konischen Art, erzeugt durch die Bewegung einer Linie, die durch die allgemeine See also:Spitze der Werfenkegel überschreitet, während seine Extremität ringsum die umreißen des Querschnitts der Zähne getragen wird, die durch einen See also:Bereich gebildet werden, der über diese Spitze beschrieben wird. Die See also:Betriebe des Beschreibens der genauen Abbildungen der Zähne von Schrägfläche-Rädern, ob durch involutes oder indem sie Kurven rollen, sind in jeder Hinsicht denen für das Beschreiben der Abbildungen der Zähne von Sporn-Rädern analog, außer daß im Kasten der Schrägfläche-Räder sollen alle jene Betriebe an der Oberfläche eines Bereichs durchgeführt werden, der an über die Spitze anstelle anstelle einer Fläche, von stituting See also:Pfosten für Mitten und großen Vorkreisen 0 für gerade Geraden beschrieben wird.

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