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J1(P)

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V25, Seite 658 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

J1(P) = - dJoP(P), dYo(p) 22 Yi(P). Funktionen Bessels als Koeffizienten in einem Expansion.It ist klar, daß e'P See also:LATTICH 4' = See also:e'x- oder e'Psir ' 0=e, "die Differentialgleichung (31) erfüllen, folglich, wenn diese exponentials in See also:Reihe Kosinus und Sinus von Mehrfachverbindungsstellen von ¢ See also:erweitert werden, müssen die Koeffizienten Funktionen Bessels sein, die es See also:einfach ist, zu sehen ist von See also:der ersten See also:Art zum Erweitern von e'Psin 4 ', setzte e'4 ' = t, wir hat dann, e_P('_ zu erweitern, i) in den See also:Energien von t. zusammen See also:absolut konvergent multiplizierend zwei Reihe \ e °7-1ml(2)mtm, e LP` - (tm See also:des See also:m~m 12p1, erreichen wir für den Koeffizienten von tm im Produkt See also:L \ 2.201+2+2.4.2171+2.2m+4-... } oder Jm(P), folglich die Funktionen Bessels wurden von Schlomilch als die Koeffizienten der Energien von t in der Expansion elp(7-i ') definiert, und viele der Eigenschaften der Funktionen können von dieser Expansion abgeleitet werden. Durch das Unterscheiden beider Seiten von (32) in Bezug auf t und die Gleichstellung der Koeffizienten, von t "' - ' auf beiden Seiten, See also:finden wir die Relation See also:J.-1(p) +Jm+i(P)=2p Jm(P), die drei nachfolgende Funktionen anschließt. Wieder indem wir beide Seiten von (32) in Bezug auf p unterscheiden, und die Koeffizienten der entsprechenden Bezeichnungen gleichstellen, finden wir 2dr (P)-m ließ 1(P)-Jmi(P) - innen (32), t=e b und stellt das reale gleich und Imaginärteile, haben wir dann Lattich (See also:Sin des p-Sin 0)=Jo(P)+2Jz(p) Lattich 24)+2J3(P) Lattich 30+... (p-Sin 0) = 2Ji(p) Sin 30+, des Sin ¢+2J3(p)., kleines Stueck erreichen Expansionen Lattichs (p Lattich 0), Sin (p Lattich 0), indem wir 4) in 1-4 ändern. Auf Vergleichen dieser Expansionen mit See also:Fourier-Reihen, finden wir Ausdrücke für J,, (P) als definitive Integrale, so Jo(P) = J u Lattich (psin¢)See also:d¢, J,, (P) _; cosmrbdetz der fcos (p-Sin 0). (m gleichmäßig) des J-Sin Jm(P) =,See also:r Sinm¢d¢ ' (p-Sin ¢) (m See also:ungerade). Es kann leicht abgeleitet werden daß, wenn m irgendeine positive Ganzzahl I ist, (P) = jo Lattich (m0-psin 0)1¢. 23 Funktionen Bessels als Begrenzungen auf Functions.The-See also:System Legendres der orthogonalen Oberflächen deren Parameter See also:sind, Zylinderkoordination können als Grenzfall von denen erreicht werden deren Parameter koordiniert polar sind, wenn die Mitte der See also:Bereiche auf einem unbestimmten See also:Abstand vom See also:Teil des Raumes wegnimmt, der erwogen wird. Es würde folglich erwartet, daß der Normal e-±(Jm(Xp)See also:s bildet, die nm4) als Begrenzungen auf r-nd'IPn derivable sein würde (Lattich 8)s MIPS und wir zeigen, daß dieses wirklich der See also:Fall ist. Wenn 0 die Mitte der Bereiche ist, nehmen Sie als neuer Ursprung ein See also:Punkt See also:C auf der See also:Mittellinie von See also:z, so daß OC = a; See also:lassen Sie P ein Punkt sein dessen polare Koordinaten r sind, 0, 4) bezogen 0 als Ursprung, und Zylinderkoordination p, z, 4) bezogenes C als Ursprung; wir haben p- = r-Sin B, z = r Lattich 0 - a, folglich (a) "P"(cose) = See also:see() (1+0" P"(cos 0).

Lassen Sie jetzt 0 See also:

Bewegung weg zu einem endlosen Abstand von C, damit a wird (L M-1 (2) ((/II(nni)II(n) 2) z "" = 0 (31) oder folglich haben wir e'P('-d-1) = Jo (P) +tJ1(P) +. -. +tmJ m (P) +... t 1Ji(n)+. +(I)'"t-mJ, n(P) (32) = See also:F'tmJm(P), das und ließ endlos ist gleichzeitig, n See also:endlos werden, so daß n/a einen begrenzten Wert X. Then als n L sek "B=L hat (sek A) = 1, L (t +a!) = bleiben EM ' und es, den Grenzwert von P, von (cos 0 zu finden). Von der Reihe (15), kann es sofort nachgewiesen werden, daß Ps(cos 0) = - (n+!) n (Sin 2) 2+.. 1 (1)m8(n+mlz.2(m2m+I) (Sinist 2) zm, wo S irgendeine Zahl numerisch kleiner ist, als Einheit und m eine örtlich festgelegte begrenzte große Quantität genug; auf Fortfahren See also:zur See also:Begrenzung, haben wir Langspielplatte ', (LATTICHNP) = I ---+224,1-... +(-I)m8122 42 (2m)2, wo See also:Silikon kleiner als Einheit ist. Folglich L Pn (cos?P) = Jo(7sP)• n-a0 n d (- h2) m, d(See also:PL)m folglich L n "' Pn (Lattich P) = J (-2)mPm (), (p)• n also n kann es gezeigt werden, daß Yo (P) als die Begrenzung auf Qs erreichbar ist (Lattich N) die zonenartige Harmonik der zweiten Art; und dieses Ym(p) = Ln "' Q: (Lattich). 24. Definitive integrale Lösungen von Gleichung Bessels -- Gleichung Bessels von See also:Auftrag m, in dem m uneingeschränkt ist, wird durch das Ausdrucksp'° f e"e'(12- I)m-Idt erfüllt, wo der Weg der Integration jeder eine Kurve ist, die auf der Oberfläche des Riemanns geschlossen ist, auf der der Integrand dargestellt wird, oder wird zwischen Begrenzungen genommen, an von denen jeder e, Pi(t2-1)TM+f See also:null ist.

Die Gleichung wird auch durch das ewP(t des expres-See also:

sion vor f - I 1)t erfüllt TM-1dt, dem das Integral entlang einem geschlossenen Weg wie genommen wird, oder zwischen Begrenzungen an erwerben Sie von, welchem e12P(t-t 1)t_m_I verschwindet. Die folgenden definitiven integralen Ausdrücke für Funktionen Bessels sind von diesen grundlegenden Formen derivable. Ich ~e'Plattich-Ci-Sin 2 i P) m f "' J M(P)=II(-i)II(ma) 0, wo das reale Teil von m+z positiv ist. Ym(p)+zai.emn'sec ma.J"(p) m1n0 n(1) (2) ' "ecpcosh f See also:O +See also:k r. 4, sinh 2mOdd) wo die realen Teile von m+i, p positiv sind; wenn p lediglich eingebildet ist und Positiv die obere Begrenzung kann durch Co ersetzt werden. Ym(p) ar.en sek m7r.Jm(p) 2mnil"I(-- in) (P) rn/' _ e II(-);pasinh 2'4;4 Ln Millimeter 2 J O ist für sie eingeführt worden. Wir bezeichnen die zwei Lösungen der Gleichung durch Io(r), Ko(r) wenn Io(r) = Jo(1r) = 1+See also:5 + 22'-424- +... _! cosh f O (r Lattich 0)4 und Ko(r) = Yo(or)+212rJo(Ir) = f: e`r Lattich See also:h+dsp = f 1 Lattich (r-sinh 1/')d #. das bestimmte integrale Ko(r) wird so gewählt, das es verschwindet, wenn r real und endlos ist; es wird auch durch a0 Lattich See also:V J O (v2+See also:r2)dv, (U e - "" J.° I (u2-1)du. die Lösungen des uo der Gleichung dr2+s See also:Dr (I +5) werden von Im(r), (Km(r), wo)) bezeichnet, } Im(r)=2mII(m) I+2.2m-{-2+2.4.2m+2.2m+4+... = (2r)" See also:w"Io(r))) wenn m eine Ganzzahl ist, und Km(r) _ dargestellt (2Y)md 2), nKo(r) = e-#lm+r. Ym(ir)+ZwrJm(4r) 26. Die asymptotische Reihe für Functions.It Bessels kann, mittels der definitiven integralen Ausdrücke für die Funktionen Bessels gezeigt werden, daß j() } Jm(P) = P P Lattich (211+50 + q-Sin (2~+i-p) Ym(P) =. "' sek MA P Sin (2'r+ - P) - Q Lattich (2F+ - P), wo P und Q das 2 ReihencPus _ (4m2-12)(4mn2-32) I bezeichnen.

(8p)2 + (4m2 - 12) (4m2 - 32) (4m2 - 52) (4m2 - 72) I.2.3.4(8p) ' _ (4m2-12)(4m2-32) (4m2-52) q 4m5-12 I.Bp I.2.3.(8p)3 - ~.. diese Reihen für P, Q sind unterschiedlich, es sei denn m Hälfte ein ungerade Ganzzahl ist, aber es kann gezeigt werden, daß sie für die Berechnung der See also:

Werte der Funktionen benutzt werden können, da sie die See also:Eigenschaft haben, die, wenn in der Berechnung wir an irgendeiner See also:Bezeichnung stoppen, die Störung im Wert der Funktion sind kleiner als die folgende Bezeichnung; so, wenn wir die Reihe für Berechnung verwenden, müssen wir an einer Bezeichnung stoppen, die See also:klein ist. solcher Reihe erhöht sich der See also:Rest, nachdem n-Bezeichnungen ein Minimum für etwas Wert von n hat und für grössere Werte von n über allen Begrenzungen hinaus; solche Reihen werden See also:halb-konvergent oder asymptotisch genannt. Wir haben als bestimmte Fälle solcher Reihen: Jo(P) I ein 12.(-8p32)2+ 11,22,332,,52,72 = \1, ~d2p Lattich (4 - P)) I.24(8p)4.. Wieder, da wir P ':(cos P) = Sin "' Bd"P haben, (cos 0) dTMPn LnmPn (Lattich der d(cos 0)"m ') = (Lattich!) dù I du Dr2+r Dr-=o-=o und vorbei finden wir auch Im(r) - "1 3.5.. (sinzm¢d¢ Km(r) des cosh 2m 1),Jo (r Lattich) 0 (- f° I)mrm. 5 3. . . (2m - I) sinh 2,4.4 O e rcosh4 I = (- 1)"'3.5.. 2m-Ir"`au Lattich u O (u2+r2)n+f u. unter den See also:gleichen Beschränkungen wie im letzten Fall; wenn p eine negative imaginäre Zahl ist, können wir für die obere Begrenzung so uns setzen.

End of Article: J1(P)

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