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VEKTORCAnalyse

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V27, Seite 964 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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VECTOR See also:

ANALYSE , in See also:der See also:Mathematik, das Kalkül von Vektoren. Die Position eines Punktes B im Verhältnis zu anderen See also:Punkt A wird mittels der geraden Geraden spezifiziert, die von A zu B. It See also:gezeichnet wird, kann gleichmäßig hervorquellen wird spezifiziert durch jede gleiche und parallele See also:Linie, die in der See also:gleichen Richtung gezeichnet wird (Sagen) See also:C bis See also:D, da die Position von D relative.to C dieselbe wie ist, die von der relative.to A. A geraden Geraden B begriffen auf diese See also:Art als, von einer definitiven Länge, von Richtung und von einer Richtung habend, aber keine definitive Position im See also:Raum, wird einen Vektor genannt. Sie kann bezeichnet werden durch AB (oder CD), oder (wann kein Durcheinander wahrscheinlich ist zu entstehen), See also:einfach durch AB folglich kann ein Vektor verwendet werden, um eine Versetzung der Übersetzung (ohne Umdrehung) eines steifen Körpers zu spezifizieren. Wieder See also:sind eine Kraft, die auf einem Partikel, der See also:Geschwindigkeit oder dem Momentum eines Partikels, dem See also:Zustand der elektrischen oder magnetischen Polarisation an einem bestimmten Punkt eines Mittels fungiert, Beispiele der körperlichen Wesen, die natürlich durch Vektoren dargestellt werden. Die Quantitäten, tun die andere See also:Hand, mit der wir in der gewöhnlichen arithmetischen Algebra See also:vertraut sind und der bloß Größe haben Sie und, ohne irgendeinen tatsächlichen Hinweis auf Richtung See also:unterzeichnen Sie, als Scalars unterschieden werden, da sie vollständig durch ihre Position auf der korrekten See also:Skala See also:des Maßes spezifiziert werden. Die See also:Masse eines Körpers, der See also:Druck eines Gases, die See also:Aufladung von electrified See also:Leiter, sind Fälle von Skalargrößen. Es ist bequem, diese Unterscheidung durch einen Unterschied der See also:Darstellung hervorzuheben; so können skalare Größen nach Italicart, Vektoren bezeichnet werden (wenn sie durch einzelne Symbole dargestellt werden), durch "See also:Schwarzes" oder Art See also:Clarendon ". Es gibt bestimmte Kombinationen von Vektoren miteinander und mit Scalars, die wichtige geometrische oder körperliche Bedeutung haben. Verschiedene Systeme "der vektoranalyse" sind geplant worden, mit dem See also:Ziel diese methodisch beschäftigen; wir begrenzen uns hier bis das, das See also:zur See also:Zeit im meisten allgemeinen Gebrauch ist. Irgend solches Kalkül muß mit See also:Definitionen der grundlegenden Symbole und der See also:Betriebe selbstverständlich anfangen; diese sind im ersten See also:Fall die ziemlich willkürlichen Versammlungen, aber es ist bequem so, sie zu gestalten, daß die See also:Analogie mit den Prozessen der gewöhnlichen Algebra soweit wie möglich beibehalten werden kann.

Wie bereits erklärt worden, werden zwei Vektoren, die durch die gleichen und parallelen geraden Geraden dargestellt werden, die in die gleiche Richtung gezeichnet werden, als identisch betrachtet. Wieder wird das Produkt eines Skalarm in einen Vektor A natürlich da der Vektor definiert dessen Richtung dieselbe wie die von A ist, aber dessen Länge zu der von A im Verhältnis See also:

m ist, die Richtung (außerdem) seiend dieselbe wie die von A oder die Rückseite, insofern m positiv oder negativ ist. Wir bezeichnen es durch MA. Der bestimmte Fall, wo m=I bezeichnetes byA ist, damit eine Änderung des Zeichens einfach die Richtung eines Vektors aufhebt. Was Kombinationen von zwei Vektoren betrifft, haben wir an erster See also:Stelle, welches das man durch See also:Aufbau von Versetzungen in der See also:Kinematik vorschlug oder von Kräfte oder Paare im See also:statics. Durch so, wenn ein steifer Körper nacheinander zwei empfangen die Übersetzungen, die AB und BC, ist das abschließende Resultat dargestellt werden, mit der Übersetzung See also:gleichwertig, die von AC dargestellt wird. Es ist, folglich, Wechselstrom wie in einer Richtung zu betrachten die "geometrische Summe" von AB und BC, bequem und AB+BC=AC zu See also:schreiben. Dieses setzt die See also:Definition der geometrischer Addition fest; und es ist sofort von fig. I offensichtlich, der BC+AB=AD+DC=AC=AB+BC. Folglich A und B, das alle mögliche zwei Vektoren ist, haben wir A+B=B+A, (i) d.See also:h. Hinzufügung von Vektoren, wie gewöhnlicher arithmetischer Hinzufügung, sind abhängig von dem "auswechselbaren See also:Gesetz.", Was See also:Abzug betrifft definieren wir A -8 als das Äquivalent von A+(B); so in fig. I, wenn AB=A, BC=B, wir A+B=AC haben, AB=DB.

Wenn die Summe (oder der Unterschied) von zwei Vektoren als einzelnen Vektor See also:

weiter behandelt werden soll, kann dieses durch den Gebrauch der gebogenen See also:Haltewinkel angezeigt werden, See also:z.B. (A+B). Es wird leicht von einer See also:Abbildung gesehen, die (A+B)+C=A+(B+C). . . . (2) und so weiter; d.h. hält das "vereinigende Gesetz" von Hinzufügung auch. Wieder wenn m irgendeine skalare Größe ist, haben wir m(A+B) = MA-]-mA-]-mB. . . . (3) oder, in den Wörtern, die See also:Vermehrung einer geometrischen Summe durch einen Scalar folgt dem "verteilenden Gesetz.', Die Wahrheit von (3) liegt auf Hinweis auf den ähnlichen Dreiecken in fig. 2, wo OP= -- a, P'Q=B, OP'=mA, P'Q'=mB auf der Hand. Von es wird beachtet, daß die Beweise (i) und (3) das grundlegende Postulat der euklidischen See also:Geometrie miteinbeziehen. Die Definition "der See also:Arbeit" in den Mechanikern gibt uns einen anderen wichtigen Modus der See also:Kombination von Vektoren. Das Produkt der absoluten Größen A, B (Sagen) von zwei Vektoren A, B in den Kosinus des Winkels a zwischen ihren Richtungen wird das Skalarprodukt der zwei Vektoren genannt und wird durch ein B- Oder einfach AB-folglich AB=AB cosh=BA bezeichnet.

. . . (4) damit das "auswechselbare Gesetz der Vermehrung" hier wie in der gewöhnlichen Algebra hält. Das "verteilende Gesetz" ist auch gültig, denn wir haben A(B+C) = AB+AC. . (See also:

5) der See also:Beweis dieser See also:Aussage, die mit der des statischen Theorems identisch ist, daß die Summe der See also:Arbeiten von zwei Kräften in jeder möglicher Versetzung eines Partikels der Arbeit ihres Endergebnisses gleich ist. Für eine Abbildung des folgenden Modus der Kombination von Vektoren können wir Entschädigung zur geometrischen Theorie der Umdrehung des arigidkörpers über einen Fixpunkt See also:O., See also:As haben, das unter MEC:IANICS, der Zustand der See also:Bewegung irgendwie See also:am Augenblick erklärt wird, durch einen Vektor spezifiziert wird 01, der die Winkelgeschwindigkeit darstellt. Die blitzschnelle Geschwindigkeit irgendeines anderen Punktes P des Körpers wird vollständig durch die zwei Vektoren OI und VON festgestellt, nämlich ist es ein vektornormal zur Fläche von OI und VON, dessen absolute Größe der See also:Sin B mit 01 0P. Ist, in dem 0 die Neigung von OP bis 01 bezeichnet, und seine Richtung die wegen einer rechtshändigen Umdrehung über 01 ist. Ein Vektor, der entsprechend dieser See also:Richtlinie von See also:allen möglichen zwei gegebenen Vektoren A abgeleitet wird, B wird ihr vektorprodukt genannt und wird durch A x B oder vorbei bezeichnet [ AB ]. Diese Art der Kombination ist im See also:Elektromagnetismus häufig; so, wenn C der Strom und das B ist, wird die magnetische See also:Induktion, an irgendeinem Punkt eines Leiters, die mechanische Kraft auf der letzten durch den Vektor [ See also:COLUMBIUM ] dargestellt. Es wird im oben genannten kinematischen Beispiel beachtet, daß, wenn die See also:Rollen der zwei Vektoren OI, OP ausgetauscht wurden, der resultierende Vektor die gleiche absolute Größe wie vor haben würde, aber seine Richtung würde aufgehoben. Folglich [ AB ] = [ BA ]. ..

. (6) damit das auswechselbare Gesetz nicht in Bezug auf vektorprodukte hält. Andererseits trifft das verteilende Gesetz zu, denn wir haben [ A(B+C) ] = [ AB]+[AC ]. . . (7) wie ohne Schwierigkeit indem das Betrachten der kinematischen See also:

Deutung nachgewiesen werden kann. Verschiedene Arten der dreifachen Produkte können das wichtigste Sein auch sich darstellen das Skalarprodukt von zwei Vektoren, ein von _, das selbst als vektorprodukt gegeben wird. So ist A[BC ] im Absolutwert der See also:Ausgabe des Parallelepiped gleich, der auf drei Rändern OA, OB konstruiert wird, OC gezeichnet von einem Punkt 0, um die Vektoren A, B, C beziehungsweise darzustellen, und es ist positiv oder Negativ, insofern die Linien OA, OB, OC einem anderem im rechten oder linkshändigen zyklischen See also:Auftrag folgen. Es folgt diesem A[BC ] = B[CA ] _ B[AC ] = &c.. (8), um die See also:Korrespondenz zwischen den Stenographiemethoden von vektoranalyse und die vertrauteren Formeln der kartesischen Geometrie, nehmen wir ein rechtshändiges See also:System Rindes mit drei des gegenseitig Senkrechtäxten, Oy, See also:Unze und nehmen drei grundlegende Maßeinheit-Vektoren ',Lk auszustellen an und haben die positiven Richtungen dieser Äxte beziehungsweise. Was die Skalarprodukte dieser Maßeinheit-Vektoren betrifft, haben wir, durch (4), I'=See also:f = k2=1, Jk=kJ=1i=o.. . . (9) wird irgendein anderes Vektor A in seinen Skalarprojektionen ausgedrückt wie, See also:A2 ausgedrückt, wie auf den Koordinierungsäxten durch die See also:Formel A=iAi+JA2+kAs (See also:niedrig) für das Skalarprodukt aller möglicher zwei Vektoren wir AB = haben (iA, +JAs+kAs) (FBi - I JBZ+kBs) = A1BI+A:Bs+AsBs, (I I) wie erscheint auf dem Entwickeln des Produktes und dem Gebrauchen (9). Insbesondere das Skalarquadrat von A bildend haben wir A2 = Ai2+A22+AP, (12), wo A den Absolutwert von A bezeichnet.

Phoenix-squares

Wieder gibt die Richtlinie für vektorprodukte, angewendet an den grundlegenden Maßeinheiten, a-See also:

Wiederholung des Betriebes p gibt vÒ = eine See also:Axt +,57 o. (19) ay az = [ See also:Pl-Langspielplatte ] = WI-oi [ jk ] = [ ki1 = [ ik ] = See also:J, WI = [ Ji ] = See also:k. c (13) folglich [ AB ] _ [ (iAi+JAs+kAs) (iB, +JB2+kB) ] = i(A, BÁsB2) +J(A, Bi A, Bs)+k(AIB%A, Bi) = - [ BA ] (14) ist die Korrespondenz mit den Formeln, die in der analytischen Theorie von Umdrehungen auftreten, &c., See also:offenkundig. Wenn wir das Skalarprodukt eines dritten Vektors C in [ AB ] bilden, erreichen wir C[AB ] = Bs, Cl, Bs, C2. . . (15) wie, B, Cs in Übereinstimmung mit die geometrische Deutung bereits gegeben. In solchen Themen wie See also:Hydrodynamik und Elektrizität werden wir zum Begriff der Scalar- und vektorfelder eingeführt. Mit jedem Punkt P der Region in Erwägung gibt es dazugehörige bestimmte Scalars (z.B. See also:Dichte-, elektrisches oder magnetischespotential) und Kraft der Vektor (z.B. flüssige Geschwindigkeit, elektrisches oder magnetische) die betrachtet werden, während Funktionen der Position von P. If wir den Teilweisdifferentialoperator *, a/ax, a/ay, a/az behandeln, wo x, y, z sind, koordiniert von P, als ob sie skalare Größen waren, wir werden geführt zu einige bemerkenswerte und des signifi schräge Ausdrücke. So, wenn wir See also:v = schreiben (riff ey+kaz), (16) und See also:lassen Sie an eine Skalarfunktion 0, wir erreichen den Vektor = iax~-See also:Jay+kaa. See also:laufen. (17) wird dieses die Steigung von 4 genannt und bezeichnet manchmal durch "grad 4,"; seine Richtung ist die, in der 4, See also:schnell Zunahmen und sein magnitude der entsprechenden See also:Rate von incre1ase gleich ist. So wird (1$) in der Theorie der Anziehungen dieser Ausdruck als Messen des Grads der Verminderung von der Quantität 4 an P gedeutet; wenn wir das Zeichen See also:aufheben, das wir die Konzentration erhalten, v24. Wieder wenn wir das Skalarprodukt des Operators V in einen Vektor A bilden, haben wir (eine 1 AA, aA2 0As See also:Virginia = t +jay+kaz J (IAi-FIA2+kA3) = Axt + --ay + az. . (20) wenn A die Geschwindigkeit an irgendeinem Punkt darstellt (x, y, z) einer Flüssigkeit, der letzte Ausdruck mißt die Rate, an der Flüssigkeit weg von der Nachbarschaft von P.

By eine Verallgemeinerung dieser See also:

Idee fließt, es wird benannt die See also:Abweichung von A, und wir schreiben vA=div A.. (21) hat das vektorprodukt [ VA ] auch eine wichtige Bedeutung. Wir See also:finden ein a [ Virginia ] = [ (ix+Jay+kaz) (iAI -- % Ai+kAs) _ ~ (aA3 aA2) (----) k aA2 --) ay az- + ~z Axt + Axt a0AI y (22), wenn A wie vor der Geschwindigkeit einer Flüssigkeit darstellt, das geschriebene vektorletzte darstellen die (geverdoppelte) Winkelgeschwindigkeit eines flüssigen Elements. Wieder, wenn A die magnetische Kraft an irgendeinem Punkt eines elektromagnetischen Feldes darstellt, stellt der Vektor [ VA ] den elektrischen Strom See also:dar. Im allgemeinen Fall wird es die Wellung genannt, oder die Umdrehung, von A und wir schreiben [ Virginia ] = Wellung A oder verrotten A.. . . (23) ermöglichen diese Definitionen uns, eine kompakte See also:Form zu zwei wichtigen Theoremen von C. F. See also:Gauss und See also:Sir See also:G. G. Stokes zu geben. Das ehemalige von diesen kann f Div.

A schriftlich. dV = fAndS. . . (24) wo die Integration auf der linken Hand das ganzes Ausgabe-ElementdV einer gegebenen Region umfaßt und die auf dem Recht alle Oberfläche-Elemente dS der See also:

Grenze umfaßt, n, das einen gezeichneten außerhalb Normal der Maßeinheit Vektor zu dS. wieder, Stokesschees Theoremnehmen die Form f ADS = f-Wellung A bezeichnet. ndS. . (25) wo das Integral auf dem Recht geöffnete Oberfläche des Over irgendwie verlängert, während auf dem linken ds ist ein See also:Element der springenden Kurve, behandelt als Vektor. Eine bestimmte See also:Versammlung wird hinsichtlich der Relation zwischen den positiven Richtungen von n und von ds angedeutet. Es soll beobachtet werden, daß die See also:Bezeichnung "Vektor" verwendet worden ist, um zwei eindeutige Kategorien geometrische und körperliche Wesen zu umfassen. Die erste Kategorie wird durch eine Versetzung oder eine mechanische Kraft verkörpert. Ein polarer Vektor, da er benannt wird, ist eine Größe, die mit einer bestimmten linearen Richtung dazugehörig ist. Dieses kann durch irgendein einer vollständigen Montage der parallelen Linien spezifiziert werden, aber die zwei "fragt" das Gehören bis irgendeine der Linien sind bemerkenswert ab. Die Mitglieder der zweiten Kategorie, das der axialen Vektoren, sind hauptsächlich nicht Vektoren an allen.

Ein axialer Vektor wird durch ein Paar im statics illustriert; es ist eine Größe, die mit einer geschlossenen Form dazugehörig ist, die in irgendeiner eines Systems der parallelen Flächen liegt, aber die zwei Richtungen, in denen die Form beschrieben werden kann, sind bemerkenswert. Sie wurde folglich von H. Grassmann ein Plangrosse oder ein Ebenengrosse benannt. Gerade während ein polarer Vektor durch eine Länge angezeigt werden kann, können der Respekt, der zu seiner Richtung, also gezahlt werden, ein axialer Vektor durch einen bestimmten See also:

Bereich, der Respekt bezeichnet werden, der zur Richtung ringsum die Form gezahlt wird. Eine Theorie von "Plangrossen" konnte auf unabhängigen Linien gänzlich entwickelt werden; aber, da die See also:Gesetze der Kombination analog denen des verwendbare Vektoren gezeichneten Senkrechten den jeweiligen Bereichen sind, ist es bequem, damit mathematische Zwecke sie im gleichen Kalkül mit polaren Vektoren umfassen. Im See also:Kasten der Paare ist dieses See also:Verfahren seit der Zeit von See also:L. See also:Poinsot (18o4) vertraut gewesen. In der kartesischen Behandlung des Themas ist keine Unterscheidung zwischen den polaren und axialen Vektoren notwendig, solange wir übereinstimmende Systeme von koordinieren Äxte beschäftigen. Aber, wenn wir von einem rechtshändigem zu einem linkshändigen System überschreiten, sind die Formeln der See also:Umwandlung in den zwei Fällen unterschiedlich. Ein polarer Vektor (z.B. eine Versetzung) wird durch den Prozeß der Reflexion in einem Spiegelnormal zu seiner Richtung aufgehoben, während der entsprechende axiale Vektor (See also:e.Rp ein Paar) unverändert ist. See also:Abraham in Vol. iv. des Encycl. d.

Mathe . Wiss. (See also:

Leipzig, 19o1-2); A. H. Bucherer, Vektor-Analyse Elemente d. (Leipzig, 1905). Für ein See also:Konto anderer Systeme der vektoranalyse sehen Sie H. Hankel, Theorie d. complexen Zahlensysteme (Leipzig, 1867); und A. N. See also:Whitehead, Universalalgebra, Vol. i. (See also:Cambridge, 1898). (H.

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